2026屆寧波市重點(diǎn)中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末檢測(cè)模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線與雙曲線的左右兩支分別交于P、Q兩點(diǎn)，若，則雙曲線C的離心率為（）A. B.C. D.2．下列命題中，正確的是（）A.若a>b，c>d，則ac>bd B.若ac>bc，則a<bC.若a>b，c>d，則a﹣c>b﹣d D.若，則a<b3．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限4．已知雙曲線離心率為2，過(guò)點(diǎn)的直線與雙曲線C交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)P恰好是弦的中點(diǎn)，則直線的方程為（）A. B.C. D.5．設(shè)、分別為具有公共焦點(diǎn)與的橢圓和雙曲線的離心率，為兩曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，且滿足，則的值為（）A. B.C. D.6．拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）A.（0，－1） B.（－1，0）C. D.7．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，點(diǎn)P在拋物線上，直線PF交x軸于Q點(diǎn)，且，則點(diǎn)P到準(zhǔn)線l的距離為（）A.4 B.5C.6 D.78．已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A. B.C. D.9．拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：由其焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對(duì)稱軸的方向射出；反之，平行于拋物線對(duì)稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過(guò)拋物線的焦點(diǎn)．已知拋物線，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，一條平行于x軸的光線從點(diǎn)射入，經(jīng)過(guò)C上的點(diǎn)A反射后，再經(jīng)C上另一點(diǎn)B反射后，沿直線射出，經(jīng)過(guò)點(diǎn)N．下列說(shuō)法正確的是（）A.若，則 B.若，則平分C.若，則 D.若，延長(zhǎng)AO交直線于點(diǎn)D，則D，B，N三點(diǎn)共線10．已知，且，則的最大值為（）A. B.C. D.11．已知集合，從集合A中任取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P滿足約束條件的概率為（）A. B.C. D.12．若拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為5，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知雙曲線：的右焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)向雙曲線的一條漸近線引垂線，垂足為，交另一條漸近線于，若，則雙曲線的漸近線方程為__________14．設(shè)雙曲線C：(a>0，b>0)的一條漸近線為y=x，則C的離心率為_________15．曲線在點(diǎn)處的切線方程為__________16．如圖，在長(zhǎng)方體ABCD﹣A'B'C'D'中，點(diǎn)P，Q分別是棱BC，CD上的動(dòng)點(diǎn)，BC＝4，CD＝3，CC'＝2，直線CC'與平面PQC'所成的角為30°，則△PQC'的面積的最小值是__三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知斜率為1的直線交拋物線：（）于，兩點(diǎn)，且弦中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2.（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）記點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作兩條直線，分別交拋物線于，（，不同于點(diǎn)）兩點(diǎn)，且的平分線與軸垂直，求證：直線的斜率為定值.18．（12分）年月日，中國(guó)向世界莊嚴(yán)宣告，中國(guó)脫貧攻堅(jiān)戰(zhàn)取得了全面勝利，現(xiàn)行標(biāo)準(zhǔn)下萬(wàn)農(nóng)村貧困人口全部脫貧，個(gè)貧困縣全部摘帽，萬(wàn)個(gè)貧困村全部出列，區(qū)域性整體貧困得到解決，完成了消除絕對(duì)貧困的艱巨任務(wù)，困擾中華民族幾千年的絕對(duì)貧困問(wèn)題得到了歷史性的解決！為了鞏固脫貧成果，某農(nóng)科所實(shí)地考察，研究發(fā)現(xiàn)某脫貧村適合種植、兩種經(jīng)濟(jì)作物，可以通過(guò)種植這兩種經(jīng)濟(jì)作物鞏固脫貧成果，通過(guò)大量考察研究得到如下統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：經(jīng)濟(jì)作物的畝產(chǎn)量約為公斤，其收購(gòu)價(jià)格處于上漲趨勢(shì)，最近五年的價(jià)格如下表：年份編號(hào)年份單價(jià)（元/公斤）經(jīng)濟(jì)作物的收購(gòu)價(jià)格始終為元/公斤，其畝產(chǎn)量的頻率分布直方圖如下：（1）若經(jīng)濟(jì)作物的單價(jià)（單位：元/公斤）與年份編號(hào)具有線性相關(guān)關(guān)系，請(qǐng)求出關(guān)于的回歸直線方程，并估計(jì)年經(jīng)濟(jì)作物的單價(jià)；（2）用上述頻率分布直方圖估計(jì)經(jīng)濟(jì)作物的平均畝產(chǎn)量（每組數(shù)據(jù)以區(qū)間的中點(diǎn)值為代表），若不考慮其他因素，試判斷年該村應(yīng)種植經(jīng)濟(jì)作物還是經(jīng)濟(jì)作物？并說(shuō)明理由附：，19．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線(t為參數(shù)).以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，直線與曲線的交點(diǎn)為，求的值.20．（12分）在數(shù)列中，，且成等比數(shù)列（1）證明數(shù)列是等差數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列滿足，其前項(xiàng)和為，證明：21．（12分）已知圓C1圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，且與直線相切（1）求圓C1的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線l過(guò)點(diǎn)M（1，2），直線l被圓C1所截得的弦長(zhǎng)為，求直線l的方程22．（10分）如圖，在梯形中，，，四邊形為矩形，且平面，.（1）求證：平面；（2）點(diǎn)在線段含端點(diǎn)上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)在什么位置時(shí)，平面與平面所成銳二面角最大，并求此時(shí)二面角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】由，且，可得，再結(jié)合，可得，進(jìn)而在△中，由余弦定理可得到齊次方程，求出即可.【詳解】由題意，可得，因?yàn)?，所以，又，所以，在△中，，即，由余弦定理，可得，整理得，則，即，解得，因?yàn)?，所?故選：C.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查求雙曲線的離心率，屬于中檔題.雙曲線離心率的求法：（1）由條件直接求出（或或），或者尋找（或或）所滿足的關(guān)系，利用求解；（2）根據(jù)條件列出的齊次方程，利用轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程，解方程即可，注意根據(jù)對(duì)所得解進(jìn)行取舍.2、D【解析】運(yùn)用不等式性質(zhì)，結(jié)合特殊值法，對(duì)選項(xiàng)注逐一判斷正誤即可.【詳解】選項(xiàng)A中，若，時(shí)，則成立，否則，若，則，顯然錯(cuò)誤，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B中，若，，則能推出，否則，若，則，顯然錯(cuò)誤，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C中，若，則，顯然錯(cuò)誤，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D中，若，顯然，由不等式性質(zhì)知不等式兩邊同乘以一個(gè)正數(shù)，不等式不變號(hào)，即.故選：D3、D【解析】根據(jù)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的坐標(biāo)表示可得答案.【詳解】解：由題意得：在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，該點(diǎn)在第四象限.故選：D4、C【解析】運(yùn)用點(diǎn)差法即可求解【詳解】由已知得，又，，可得.則雙曲線C的方程為.設(shè)，，則兩式相減得，即.又因?yàn)辄c(diǎn)P恰好是弦的中點(diǎn)，所以，，所以直線的斜率為，所以直線的方程為，即.經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意故選：C5、A【解析】設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為，不妨設(shè)，利用橢圓和雙曲線的定義可得出，再利用勾股定理可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為，不妨設(shè)，由橢圓和雙曲線的定義可得，所以，，設(shè)，因?yàn)?，則，由勾股定理得，即，整理得，故.故選：A.6、C【解析】根據(jù)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程，可得p的值，進(jìn)而求出焦點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】由拋物線可知其開口向下，，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故選：C.7、C【解析】根據(jù)題干條件得到相似，進(jìn)而得到，求出點(diǎn)P到準(zhǔn)線l的距離.【詳解】由題意得：，準(zhǔn)線方程為，因?yàn)椋?，故點(diǎn)P到準(zhǔn)線l的距離為.故選：C8、D【解析】根據(jù)題意參變分離得到，求出的最小值，進(jìn)而求出實(shí)數(shù)a的取值范圍.【詳解】由題意得：在上恒成立，即，其中在處取得最小值，，所以，解得：，故選：D9、D【解析】根據(jù)求出焦點(diǎn)為、點(diǎn)坐標(biāo)，可得直線的方程與拋物線方程聯(lián)立得點(diǎn)坐標(biāo)，由兩點(diǎn)間的距離公式求出可判斷AC；時(shí)可得，．由可判斷B；求出點(diǎn)坐標(biāo)可判斷D.【詳解】如圖，若，則，C的焦點(diǎn)為，因?yàn)椋?，直線的方程為，整理得，與拋物線方程聯(lián)立得，解得或，所以，所以，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；時(shí)，因?yàn)?，所以．又，，所以不平分，選項(xiàng)B不正確；若，則，C的焦點(diǎn)為，因?yàn)?，所以，直線的方程為，所以，所以，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；若，則，C的焦點(diǎn)為，因?yàn)?，所以，直線的方程為，所以，直線的方程為，延長(zhǎng)交直線于點(diǎn)D，所以則，所以D，B，N三點(diǎn)共線，選項(xiàng)D正確；故選：D.10、A【解析】由基本不等式直接求解即可得到結(jié)果.【詳解】由基本不等式知；（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），的最大值為.故選：A.11、C【解析】根據(jù)圓的性質(zhì)，結(jié)合兩條直線的位置關(guān)系、幾何概型計(jì)算公式進(jìn)行求解即可.【詳解】，圓心坐標(biāo)為，半徑為，直線互相垂直，且交點(diǎn)為，由圓的性質(zhì)可知：點(diǎn)P滿足約束條件的概率為，故選：C12、C【解析】設(shè)，由拋物線的方程可得準(zhǔn)線方程為，由拋物線的性質(zhì)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線的距離，求出，解出縱坐標(biāo)，進(jìn)而求出【詳解】由題意可得，解得，代入拋物線的方程，解得，所以的坐標(biāo)，故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由題意得雙曲線的右焦點(diǎn)F(c,0)，設(shè)一漸近線OM的方程為，則另一漸近線ON的方程為．設(shè)，∵，∴，∴，解得∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為，又，∴，整理得，∴雙曲線的漸近線方程為答案：點(diǎn)睛：（1）已知雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求雙曲線的漸近線方程時(shí)，只要令雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中“1”為“0”就得到兩漸近線方程，即方程就是雙曲線的兩條漸近線方程（2）求雙曲線的漸進(jìn)線方程的關(guān)鍵是求出的關(guān)系，并根據(jù)焦點(diǎn)的位置確定出漸近線的形式，并進(jìn)一步得到其方程14、【解析】根據(jù)已知可得，結(jié)合雙曲線中的關(guān)系，即可求解.【詳解】由雙曲線方程可得其焦點(diǎn)在軸上，因?yàn)槠湟粭l漸近線為，所以，.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的是有關(guān)雙曲線性質(zhì)，利用漸近線方程與離心率關(guān)系是解題的關(guān)鍵，要注意判斷焦點(diǎn)所在位置，屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】先驗(yàn)證點(diǎn)在曲線上，再求導(dǎo)，代入切線方程公式即可【詳解】由題，當(dāng)時(shí)，，故點(diǎn)在曲線上求導(dǎo)得：，所以故切線方程為故答案為：16、8【解析】設(shè)三棱錐C﹣C′PQ的高為h，CQ＝x，CP＝y(tǒng)，由體積法求得的關(guān)系，由直線CC’與平面C’PQ成的角為30°，得到xy≥8，再由VC﹣C′PQ＝VC′﹣CPQ，能求出△PQC'的面積的最小值【詳解】解：設(shè)三棱錐C﹣C′PQ的高為h，CQ＝x，CP＝y(tǒng)，由長(zhǎng)方體性質(zhì)知兩兩垂直，所以，，，，，所以，由得，所以，∵直線CC’與平面C’PQ成的角為30°，∴h＝2，∴，，∴xy≥8，再由體積可知：VC﹣C′PQ＝VC′﹣CPQ，得，S△C′PQ＝xy，∴△PQC'的面積的最小值是8故答案為：8三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1);(2)見解析.【解析】(1)涉及中點(diǎn)弦,用點(diǎn)差法處理即可求得,進(jìn)而求得拋物線方程;(2)由的平分線與軸垂直,可知直線，的斜率存在,且斜率互為相反數(shù),且不等于零,設(shè),直線,則直線分別和拋物線方程聯(lián)立,解得利用,結(jié)合直線方程,即可證得直線的斜率為定值.【詳解】(1)設(shè),則,兩式相減,得:由弦中點(diǎn)縱坐標(biāo)為2,得,故.所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)由的平分線與軸垂直,可知直線，的斜率存在,且斜率互為相反數(shù),且不等于零,設(shè)直線由得由點(diǎn)在拋物線上,可知上述方程的一個(gè)根為.即,同理.直線的斜率為定值.【點(diǎn)睛】本題考查應(yīng)用點(diǎn)差法處理中點(diǎn)弦問(wèn)題,直線與拋物線中,斜率為定值問(wèn)題,考查分析問(wèn)題的能力,考查學(xué)生的計(jì)算能力,難度較難.18、（1），元/公斤；（2）應(yīng)該種植經(jīng)濟(jì)作物；理由見解析【解析】（1）利用表格數(shù)據(jù)求出中心點(diǎn)值，再利用最小二乘法求出回歸直線方程，進(jìn)而利用所求方程進(jìn)行預(yù)測(cè)；（2）先利用頻率分布直方圖的每個(gè)小矩形面積之和為1求得值，再利用平均值公式求其平均值，再比較兩種作物的畝產(chǎn)量進(jìn)行求解.【詳解】（1），，則關(guān)于回歸直線方程為當(dāng)時(shí)，，即估計(jì)年經(jīng)濟(jì)作物的單價(jià)為元/公斤（2）利用頻率和為得：，所以經(jīng)濟(jì)作物的畝產(chǎn)量的平均值為：，故經(jīng)濟(jì)作物畝產(chǎn)值為元，經(jīng)濟(jì)作物畝產(chǎn)值為元，應(yīng)該種植經(jīng)濟(jì)作物19、（1）；（2）3.【解析】（1）把展開得，兩邊同乘得,再代極坐標(biāo)公式得曲線的直角坐標(biāo)方程.（2）將代入曲線C的直角坐標(biāo)方程得，再利用直線參數(shù)方程t的幾何意義和韋達(dá)定理求解.【詳解】（1）把展開得，兩邊同乘得①將代入①，即得曲線的直角坐標(biāo)方程為②（2）將代入②式，得，點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為（0，3），設(shè)這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為t1，t2，則∴t1＜0，t2＜0則由參數(shù)t的幾何意義即得.【點(diǎn)睛】本題主要考查極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化、直線參數(shù)方程t的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.20、（1）證明見解析；；（2）證明見解析【解析】（1）利用已知條件推出數(shù)列是等差數(shù)列，其公差為，首項(xiàng)為1，求出通項(xiàng)公式，結(jié)合由，，成等比數(shù)列，轉(zhuǎn)化求解即可．（2）化簡(jiǎn)通項(xiàng)公式，利用裂項(xiàng)消項(xiàng)法，求解數(shù)列的和即可【詳解】證明：（1）由，得，即，所以數(shù)列是等差數(shù)列，其公差為，首項(xiàng)為1，因此，，，由成等比數(shù)列，得，即，解得或（舍去），故（2）因?yàn)椋砸驗(yàn)?，所以【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：裂項(xiàng)相消法是最難把握的求和方法之一，其原因是有時(shí)很難找到裂項(xiàng)的方向，突破這一難點(diǎn)的方法是根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，掌握一些常見的裂項(xiàng)技巧：①；②；③；④；此外，需注意裂項(xiàng)之后相消的過(guò)程中容易出現(xiàn)丟項(xiàng)或多項(xiàng)的問(wèn)題，導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果錯(cuò)誤.21、（1）（2）或【解析】（1）由圓心到直線的距離求得半徑，可得圓C1的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，求得直線l被圓