2026復(fù)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)應(yīng)用練習(xí)試卷及答案考試時(shí)長(zhǎng)：120分鐘滿分：100分試卷名稱：2026復(fù)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)應(yīng)用練習(xí)試卷考核對(duì)象：數(shù)學(xué)專業(yè)本科生題型分值分布：-判斷題（10題，每題2分）總分20分-單選題（10題，每題2分）總分20分-多選題（10題，每題2分）總分20分-案例分析（3題，每題6分）總分18分-論述題（2題，每題11分）總分22分總分：100分---一、判斷題（每題2分，共20分）1.若函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，則f(z)在D內(nèi)處處可導(dǎo)。2.解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍然是解析函數(shù)。3.若f(z)在z?處解析，則f(z)在z?的去心鄰域內(nèi)解析。4.所有解析函數(shù)的實(shí)部與虛部都滿足Cauchy-Riemann方程。5.若f(z)在z?處可導(dǎo)，則f(z)在z?的去心鄰域內(nèi)解析。6.解析函數(shù)的實(shí)部與虛部都是調(diào)和函數(shù)。7.若f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析且不為常數(shù)，則f(z)在D內(nèi)處處不等于常數(shù)。8.所有調(diào)和函數(shù)都可以表示為某個(gè)解析函數(shù)的實(shí)部或虛部。9.若f(z)在z?處解析，則f(z)在z?處的泰勒級(jí)數(shù)收斂于f(z)。10.解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可以通過直接求導(dǎo)得到，無需驗(yàn)證Cauchy-Riemann方程。二、單選題（每題2分，共20分）1.函數(shù)f(z)=z2+2z+3在z=1處的導(dǎo)數(shù)為（）。A.4B.5C.6D.72.函數(shù)f(z)=e^z在z=0處的泰勒級(jí)數(shù)展開式的前三項(xiàng)為（）。A.1+z+z2/2!B.1+z+z2C.1+z+z3/3!D.1+z2+z33.函數(shù)f(z)=sin(z)在z=π/2處的值為（）。A.1B.-1C.iD.-i4.函數(shù)f(z)=|z|在z=1處的導(dǎo)數(shù)存在嗎？（）A.存在且為1B.存在且為-1C.不存在D.存在且為05.函數(shù)f(z)=z/(z2+1)在z=i處的留數(shù)為（）。A.-1/2B.1/2C.-iD.i6.函數(shù)f(z)=log(z)在z=1處的導(dǎo)數(shù)為（）。A.1B.-1C.iD.-i7.函數(shù)f(z)=z2在z=2處的二階導(dǎo)數(shù)為（）。A.4B.8C.12D.168.函數(shù)f(z)=cos(z)在z=π處的值為（）。A.1B.-1C.iD.-i9.函數(shù)f(z)=sinh(z)在z=0處的值為（）。A.0B.1C.iD.-i10.函數(shù)f(z)=tan(z)在z=π/4處的值為（）。A.1B.-1C.iD.-i三、多選題（每題2分，共20分）1.下列函數(shù)中，在z=0處解析的有（）。A.f(z)=z2B.f(z)=z/(z2+1)C.f(z)=e^zD.f(z)=|z|2.下列函數(shù)中，實(shí)部與虛部都滿足Cauchy-Riemann方程的有（）。A.f(z)=z2B.f(z)=e^zC.f(z)=sin(z)D.f(z)=log(z)3.下列函數(shù)中，在z=1處可導(dǎo)的有（）。A.f(z)=z2B.f(z)=z/(z2+1)C.f(z)=e^zD.f(z)=|z|4.下列函數(shù)中，是調(diào)和函數(shù)的有（）。A.f(x,y)=x2-y2B.f(x,y)=xyC.f(x,y)=e^xcos(y)D.f(x,y)=sin(x)cos(y)5.下列函數(shù)中，可以表示為某個(gè)解析函數(shù)的實(shí)部或虛部的有（）。A.f(x,y)=x2-y2B.f(x,y)=xyC.f(x,y)=e^xcos(y)D.f(x,y)=sin(x)cos(y)6.下列函數(shù)中，在z=0處解析的有（）。A.f(z)=z3B.f(z)=z/(z2+1)C.f(z)=e^zD.f(z)=|z|7.下列函數(shù)中，實(shí)部與虛部都滿足Cauchy-Riemann方程的有（）。A.f(z)=z3B.f(z)=z/(z2+1)C.f(z)=e^zD.f(z)=|z|8.下列函數(shù)中，在z=1處可導(dǎo)的有（）。A.f(z)=z3B.f(z)=z/(z2+1)C.f(z)=e^zD.f(z)=|z|9.下列函數(shù)中，是調(diào)和函數(shù)的有（）。A.f(x,y)=x3-3xy2B.f(x,y)=xyC.f(x,y)=e^xcos(y)D.f(x,y)=sin(x)cos(y)10.下列函數(shù)中，可以表示為某個(gè)解析函數(shù)的實(shí)部或虛部的有（）。A.f(x,y)=x3-3xy2B.f(x,y)=xyC.f(x,y)=e^xcos(y)D.f(x,y)=sin(x)cos(y)四、案例分析（每題6分，共18分）1.已知函數(shù)f(z)=z2+2z+3，求其在z=1處的導(dǎo)數(shù)，并驗(yàn)證是否滿足Cauchy-Riemann方程。2.已知函數(shù)f(z)=e^z，求其在z=πi處的值，并求其導(dǎo)數(shù)。3.已知函數(shù)f(z)=sin(z)，求其在z=π/2處的值，并求其導(dǎo)數(shù)。五、論述題（每題11分，共22分）1.論述解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)之間的關(guān)系，并舉例說明。2.論述Cauchy-Riemann方程在復(fù)變函數(shù)中的作用，并舉例說明如何驗(yàn)證一個(gè)函數(shù)是否解析。---標(biāo)準(zhǔn)答案及解析一、判斷題1.√2.√3.×（解析函數(shù)在z?的去心鄰域內(nèi)解析，但題目描述不完整）4.√5.×（可導(dǎo)不等于解析）6.√7.√（根據(jù)Liouville定理）8.√（調(diào)和函數(shù)是解析函數(shù)的實(shí)部或虛部）9.√（解析函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)收斂于函數(shù)本身）10.×（解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)需驗(yàn)證Cauchy-Riemann方程）二、單選題1.B2.A3.A4.C5.A6.A7.B8.B9.B10.A三、多選題1.A,C2.A,B,C3.A,B,C4.A,C5.A,C6.A,C7.A,B,C8.A,B,C9.A,C10.A,C四、案例分析1.解析：f(z)=z2+2z+3，求導(dǎo)得f'(z)=2z+2。在z=1處，f'(1)=2(1)+2=4。驗(yàn)證Cauchy-Riemann方程：u(x,y)=x2+2x+3,v(x,y)=0。?u/?x=2x+2,?u/?y=0,?v/?x=0,?v/?y=0。滿足Cauchy-Riemann方程。2.解析：f(z)=e^z，在z=πi處，f(πi)=e^(πi)=-1。導(dǎo)數(shù)f'(z)=e^z，在z=πi處，f'(πi)=e^(πi)=-1。3.解析：f(z)=sin(z)，在z=π/2處，f(π/2)=sin(π/2)=1。導(dǎo)數(shù)f'(z)=cos(z)，在z=π/2處，f'(π/2)=cos(π/2)=0。五、論述題1.解析：解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系：解析函數(shù)的實(shí)部與虛部都是調(diào)和函數(shù)，反之，調(diào)和函數(shù)可以通過添加一個(gè)任意常數(shù)成為某個(gè)解析函數(shù)的實(shí)部或虛部。舉例：f(z)=z2，實(shí)部u(x,y)=x2-y2，虛部v(x,y)=2xy，都是調(diào)和函數(shù)。2.解析：Cauchy-Riemann方程的作用：是判斷一個(gè)函數(shù)是否解析的重要條件。若函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)滿足Cauchy-Riemann方程且偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，則f(z)在相應(yīng)