2026復(fù)變函數(shù)積分技巧訓(xùn)練試卷及答案考試時長：120分鐘滿分：100分試卷名稱：2026復(fù)變函數(shù)積分技巧訓(xùn)練試卷考核對象：數(shù)學(xué)專業(yè)本科二年級學(xué)生題型分值分布：-判斷題（10題，每題2分）總分20分-單選題（10題，每題2分）總分20分-多選題（10題，每題2分）總分20分-案例分析（3題，每題6分）總分18分-論述題（2題，每題11分）總分22分總分：100分---一、判斷題（每題2分，共20分）1.若函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，則沿D內(nèi)任意簡單閉曲線C，有∮_Cf(z)dz=0。2.柯西積分定理要求積分路徑必須為簡單閉曲線。3.柯西積分公式適用于任何解析函數(shù)的積分計算。4.留數(shù)定理僅適用于單極點的情況。5.若函數(shù)f(z)在擴充復(fù)平面上除有限個孤立奇點外處處解析，則其積分值僅與路徑繞奇點的次數(shù)有關(guān)。6.柯西積分定理的證明依賴于柯西-黎曼方程。7.留數(shù)定理可以推廣到多極點的情形。8.柯西積分公式中的積分路徑必須包含被積函數(shù)的奇點。9.復(fù)變函數(shù)的積分技巧在實變函數(shù)積分中無應(yīng)用價值。10.若函數(shù)f(z)在簡單閉曲線C上連續(xù)且在C內(nèi)解析，則∮_Cf(z)dz=2πi∮_Cf(z)dz。二、單選題（每題2分，共20分）1.下列哪個條件是柯西積分定理成立的充分條件？A.函數(shù)在閉區(qū)域上連續(xù)B.函數(shù)在閉區(qū)域上解析C.函數(shù)在閉區(qū)域上可導(dǎo)D.函數(shù)在閉區(qū)域上可積2.函數(shù)f(z)=1/(z-1)在z=1處的留數(shù)為？A.1B.-1C.2πiD.03.若函數(shù)f(z)在|z|<1內(nèi)解析，且f(0)=1，則∮_C(z+1)f(z)dz（C為|z|=1）等于？A.2πiB.0C.2πi(f(0)+1)D.-2πi4.函數(shù)f(z)=z/(z^2+1)在z=2處的留數(shù)為？A.1/5B.-1/5C.2πiD.05.柯西積分公式適用于以下哪種情況？A.多連通區(qū)域B.單連通區(qū)域C.僅在原點解析的函數(shù)D.僅在無窮遠(yuǎn)點解析的函數(shù)6.函數(shù)f(z)=1/z在|z|<1內(nèi)解析，則∮_C1/zdz（C為|z|=1）等于？A.2πiB.0C.-2πiD.17.留數(shù)定理中，若函數(shù)在z=0處有m階極點，則其留數(shù)為？A.f^(m-1)(0)/(m-1)!B.f^(m-1)(0)/m!C.f^(m-1)(0)/(m+1)!D.08.柯西積分定理的適用范圍是？A.僅在原點解析的函數(shù)B.僅在無窮遠(yuǎn)點解析的函數(shù)C.在單連通區(qū)域上解析的函數(shù)D.在多連通區(qū)域上解析的函數(shù)9.函數(shù)f(z)=z^2/(z-1)在z=1處的留數(shù)為？A.1B.2C.0D.-110.若函數(shù)f(z)在|z|<1內(nèi)解析，且f(0)=1，則∮_Cz^2f(z)dz（C為|z|=1）等于？A.2πiB.0C.2πi(f(0))D.-2πi三、多選題（每題2分，共20分）1.下列哪些是柯西積分定理的推論？A.柯西積分公式B.留數(shù)定理C.高階導(dǎo)數(shù)公式D.柯西不等式2.留數(shù)定理的應(yīng)用包括？A.計算實變函數(shù)積分B.計算復(fù)變函數(shù)積分C.求解微分方程D.分析函數(shù)性質(zhì)3.柯西積分公式適用于？A.單連通區(qū)域B.多連通區(qū)域C.僅在原點解析的函數(shù)D.僅在無窮遠(yuǎn)點解析的函數(shù)4.函數(shù)f(z)在z=0處有簡單極點，其留數(shù)等于？A.∮_Cf(z)dz（C為|z|=ε）B.lim_(z→0)(z-0)f(z)C.f'(0)D.05.留數(shù)定理的適用條件包括？A.函數(shù)在擴充復(fù)平面上除有限個孤立奇點外處處解析B.積分路徑為簡單閉曲線C.函數(shù)在積分路徑上連續(xù)D.函數(shù)在積分路徑內(nèi)解析6.柯西積分定理的證明依賴于？A.柯西-黎曼方程B.斯托克斯定理C.高斯定理D.散度定理7.函數(shù)f(z)在z=0處有m階極點，其留數(shù)等于？A.f^(m-1)(0)/(m-1)!B.f^(m-1)(0)/m!C.lim_(z→0)(d^m/dz^m)[(z-0)^mf(z)]D.08.柯西積分公式的應(yīng)用包括？A.計算復(fù)變函數(shù)積分B.求解微分方程C.分析函數(shù)性質(zhì)D.計算實變函數(shù)積分9.留數(shù)定理的證明依賴于？A.柯西積分公式B.柯西積分定理C.高階導(dǎo)數(shù)公式D.柯西不等式10.函數(shù)f(z)在z=0處有簡單極點，其留數(shù)等于？A.∮_Cf(z)dz（C為|z|=ε）B.lim_(z→0)(z-0)f(z)C.f'(0)D.0四、案例分析（每題6分，共18分）1.計算積分∮_C(z^2+2z+3)/(z-1)dz，其中C為|z|=2。2.計算積分∮_C(z^2+1)/(z(z-1)(z+1))dz，其中C為|z|=2。3.計算積分∮_Ce^z/(z^2+1)dz，其中C為|z|=2。五、論述題（每題11分，共22分）1.論述柯西積分定理的幾何意義及其在復(fù)變函數(shù)理論中的重要性。2.論述留數(shù)定理在計算復(fù)變函數(shù)積分中的應(yīng)用，并舉例說明。---標(biāo)準(zhǔn)答案及解析一、判斷題1.√2.√3.×（柯西積分公式要求被積函數(shù)在閉曲線內(nèi)部及邊界上解析）4.×（留數(shù)定理適用于多極點）5.√6.√7.√8.√9.×（復(fù)變函數(shù)積分技巧可簡化實變函數(shù)積分計算）10.×（柯西積分公式為∮_Cf(z)dz=2πi∮_Cf'(z)dz）二、單選題1.B2.A3.A4.B5.B6.A7.A8.C9.A10.B三、多選題1.A,C2.A,B,D3.A,B4.A,B5.A,B,C,D6.A7.A,C8.A,B,C9.A,B10.A,B四、案例分析1.解：函數(shù)f(z)=z^2+2z+3在z=1處有簡單極點，其留數(shù)為：Res(f,1)=lim_(z→1)(z-1)(z^2+2z+3)=1^2+2×1+3=6∴∮_C(z^2+2z+3)/(z-1)dz=2πi×6=12πi2.解：函數(shù)f(z)=(z^2+1)/(z(z-1)(z+1))在z=1處有簡單極點，其留數(shù)為：Res(f,1)=lim_(z→1)(z-1)(z^2+1)/(z(z-1)(z+1))=(1^2+1)/(1×(1+1))=1/2∴∮_C(z^2+1)/(z(z-1)(z+1))dz=2πi×(1/2)=πi3.解：函數(shù)f(z)=e^z/(z^2+1)在z=±i處有簡單極點，其留數(shù)分別為：Res(f,i)=lim_(z→i)(z-i)e^z/(z^2+1)=e^i/(2i)Res(f,-i)=lim_(z→-i)(z+i)e^z/(z^2+1)=e^{-i}/(-2i)∴∮_Ce^z/(z^2+1)dz=2πi(e^i/(2i)+e^{-i}/(-2i))=2πi(0)=0五、論述題1.柯西積分定理的幾何意義在于：若函數(shù)在單連通區(qū)域內(nèi)解析，則沿該區(qū)域內(nèi)任意簡單閉曲線的積分值為零。這反映了解析函數(shù)的無旋性，即其復(fù)梯度（柯西-黎曼方程）在區(qū)域內(nèi)處處為零。在復(fù)變函數(shù)理論中，該定理是柯西積分公式和留