2026復(fù)變函數(shù)解析延拓技巧試卷及答案考試時(shí)長(zhǎng)：120分鐘滿分：100分試卷名稱：2026復(fù)變函數(shù)解析延拓技巧試卷考核對(duì)象：數(shù)學(xué)專業(yè)本科二年級(jí)學(xué)生題型分值分布：-判斷題（10題，每題2分）總分20分-單選題（10題，每題2分）總分20分-多選題（10題，每題2分）總分20分-案例分析（3題，每題6分）總分18分-論述題（2題，每題11分）總分22分總分：100分---一、判斷題（每題2分，共20分）1.解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍然是解析函數(shù)。2.如果函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)解析且不為常數(shù)，則其解析延拓唯一。3.解析延拓過(guò)程中，兩個(gè)解析函數(shù)的公共解析區(qū)域越大，延拓的可能性越高。4.羅朗級(jí)數(shù)展開(kāi)式的收斂半徑等于其中心點(diǎn)至奇點(diǎn)的距離。5.解析函數(shù)的實(shí)部和虛部滿足柯西-黎曼方程。6.解析延拓可以通過(guò)將函數(shù)定義在更大區(qū)域來(lái)實(shí)現(xiàn)，但無(wú)法改變函數(shù)的本質(zhì)性質(zhì)。7.如果函數(shù)在單連通區(qū)域內(nèi)解析，則其積分與路徑無(wú)關(guān)。8.解析延拓后的函數(shù)在延拓區(qū)域內(nèi)的性質(zhì)與原函數(shù)完全相同。9.羅朗級(jí)數(shù)展開(kāi)式中的負(fù)冪項(xiàng)表示函數(shù)在奇點(diǎn)附近的漸近行為。10.解析延拓過(guò)程中，函數(shù)的解析性可能被破壞。二、單選題（每題2分，共20分）1.下列哪個(gè)函數(shù)在復(fù)平面上處處解析？A.\(f(z)=\frac{1}{z}\)B.\(f(z)=\sqrt{z}\)（分支割線未指定）C.\(f(z)=\sinz\)D.\(f(z)=\lnz\)（分支割線未指定）2.函數(shù)\(f(z)=\frac{z^2-1}{z-1}\)在\(z=1\)處的性質(zhì)是？A.可去奇點(diǎn)B.極點(diǎn)C.本性奇點(diǎn)D.解析點(diǎn)3.解析函數(shù)\(f(z)\)在\(z_0\)處的泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式收斂于？A.\(z_0\)處的值B.\(z_0\)處的導(dǎo)數(shù)值C.\(z_0\)處的解析延拓D.\(z_0\)處的羅朗級(jí)數(shù)4.函數(shù)\(f(z)=\frac{1}{z(z-1)}\)在\(z=0\)和\(z=1\)處的奇點(diǎn)類型分別是？A.可去奇點(diǎn)，極點(diǎn)B.極點(diǎn)，可去奇點(diǎn)C.本性奇點(diǎn)，本性奇點(diǎn)D.極點(diǎn)，極點(diǎn)5.解析延拓的柯西積分定理要求區(qū)域滿足？A.多連通B.單連通C.閉區(qū)域D.開(kāi)區(qū)域6.羅朗級(jí)數(shù)\(\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_nz^n\)的收斂域是？A.\(|z|<R\)B.\(|z|>R\)C.\(R_1<|z|<R_2\)D.\(|z|=R\)7.解析函數(shù)\(f(z)\)的虛部\(v(x,y)\)滿足的偏微分方程是？A.\(\frac{\partialu}{\partialx}=\frac{\partialv}{\partialy}\)B.\(\frac{\partialu}{\partialy}=-\frac{\partialv}{\partialx}\)C.\(\frac{\partialu}{\partialx}+\frac{\partialv}{\partialy}=0\)D.\(\frac{\partialu}{\partialy}+\frac{\partialv}{\partialx}=0\)8.解析延拓的保角性要求函數(shù)滿足？A.單葉性B.對(duì)稱性C.周期性D.可微性9.函數(shù)\(f(z)=e^z\)在復(fù)平面上的解析延拓是？A.\(f(z)=e^{-z}\)B.\(f(z)=z^2\)C.\(f(z)=\lnz\)D.\(f(z)=e^z\)（自身）10.解析函數(shù)\(f(z)\)的積分\(\int_{|z|=1}f(z)\,dz\)的值取決于？A.\(f(z)\)在\(|z|=1\)內(nèi)的奇點(diǎn)B.\(f(z)\)在\(|z|=1\)上的值C.\(f(z)\)的導(dǎo)數(shù)D.\(f(z)\)的實(shí)部三、多選題（每題2分，共20分）1.解析函數(shù)的下列性質(zhì)哪些正確？A.解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍解析B.解析函數(shù)的實(shí)部和虛部滿足柯西-黎曼方程C.解析函數(shù)的積分與路徑無(wú)關(guān)D.解析函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)處處收斂2.解析延拓的常見(jiàn)方法包括？A.通過(guò)邊界條件延拓B.通過(guò)函數(shù)關(guān)系式延拓C.通過(guò)羅朗級(jí)數(shù)延拓D.通過(guò)積分公式延拓3.羅朗級(jí)數(shù)\(\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_nz^n\)的收斂域可能是？A.\(|z|<R\)B.\(|z|>R\)C.\(R_1<|z|<R_2\)D.\(|z|=R\)4.解析函數(shù)的下列性質(zhì)哪些正確？A.解析函數(shù)的實(shí)部和虛部滿足柯西-黎曼方程B.解析函數(shù)的積分與路徑無(wú)關(guān)C.解析函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)處處收斂D.解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍解析5.解析延拓的柯西積分公式在延拓區(qū)域的應(yīng)用條件是？A.延拓區(qū)域?yàn)閱芜B通B.延拓區(qū)域包含被積函數(shù)的奇點(diǎn)C.延拓區(qū)域?yàn)槎噙B通D.延拓區(qū)域邊界封閉6.羅朗級(jí)數(shù)\(\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_nz^n\)的收斂域可能是？A.\(|z|<R\)B.\(|z|>R\)C.\(R_1<|z|<R_2\)D.\(|z|=R\)7.解析函數(shù)的下列性質(zhì)哪些正確？A.解析函數(shù)的實(shí)部和虛部滿足柯西-黎曼方程B.解析函數(shù)的積分與路徑無(wú)關(guān)C.解析函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)處處收斂D.解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍解析8.解析延拓的常見(jiàn)方法包括？A.通過(guò)邊界條件延拓B.通過(guò)函數(shù)關(guān)系式延拓C.通過(guò)羅朗級(jí)數(shù)延拓D.通過(guò)積分公式延拓9.羅朗級(jí)數(shù)\(\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_nz^n\)的收斂域可能是？A.\(|z|<R\)B.\(|z|>R\)C.\(R_1<|z|<R_2\)D.\(|z|=R\)10.解析函數(shù)的下列性質(zhì)哪些正確？A.解析函數(shù)的實(shí)部和虛部滿足柯西-黎曼方程B.解析函數(shù)的積分與路徑無(wú)關(guān)C.解析函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)處處收斂D.解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍解析四、案例分析（每題6分，共18分）1.設(shè)函數(shù)\(f(z)=\frac{1}{z(z-1)}\)在區(qū)域\(|z|<1\)內(nèi)解析，試通過(guò)解析延拓將其延拓到區(qū)域\(1<|z|<2\)。2.函數(shù)\(f(z)=\frac{1}{z^2+1}\)在\(z=i\)處有極點(diǎn)，試求其在\(|z|>2\)內(nèi)的解析延拓。3.設(shè)函數(shù)\(f(z)=\lnz\)在\(z=1\)處展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)，試通過(guò)解析延拓將其延拓到\(|z|>1\)區(qū)域。五、論述題（每題11分，共22分）1.論述解析延拓的條件和意義，并舉例說(shuō)明解析延拓的應(yīng)用場(chǎng)景。2.詳細(xì)解釋羅朗級(jí)數(shù)的收斂域及其物理意義，并說(shuō)明如何通過(guò)羅朗級(jí)數(shù)分析函數(shù)的奇點(diǎn)性質(zhì)。---標(biāo)準(zhǔn)答案及解析一、判斷題1.√解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍解析，這是解析函數(shù)的基本性質(zhì)。2.√解析函數(shù)的解析延拓唯一性由柯西積分定理保證。3.√公共解析區(qū)域越大，延拓的可能性越高，因?yàn)楦鄺l件可用于確定函數(shù)關(guān)系。4.√羅朗級(jí)數(shù)的收斂半徑等于中心點(diǎn)至奇點(diǎn)的距離。5.√柯西-黎曼方程是解析函數(shù)的必要條件。6.√解析延拓不改變函數(shù)的本質(zhì)性質(zhì)，僅擴(kuò)展定義域。7.√單連通區(qū)域內(nèi)解析函數(shù)的積分與路徑無(wú)關(guān)。8.√解析延拓后的函數(shù)在延拓區(qū)域內(nèi)的性質(zhì)與原函數(shù)相同。9.√負(fù)冪項(xiàng)表示函數(shù)在奇點(diǎn)附近的漸近行為。10.×解析延拓過(guò)程中，函數(shù)的解析性不會(huì)被破壞。二、單選題1.C\(\sinz\)在復(fù)平面上處處解析。2.A\(z=1\)處為可去奇點(diǎn)，因?yàn)閈(f(z)=z+1\)在\(z=1\)處解析。3.A泰勒級(jí)數(shù)收斂于\(z_0\)處的值。4.B\(z=0\)處為極點(diǎn)，\(z=1\)處為可去奇點(diǎn)。5.B柯西積分定理要求區(qū)域單連通。6.C羅朗級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)閈(R_1<|z|<R_2\)。7.A柯西-黎曼方程為\(\frac{\partialu}{\partialx}=\frac{\partialv}{\partialy}\)。8.A解析延拓的保角性要求函數(shù)單葉。9.D\(e^z\)的解析延拓是自身。10.A積分值取決于\(f(z)\)在\(|z|=1\)內(nèi)的奇點(diǎn)。三、多選題1.ABC解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍解析，實(shí)部和虛部滿足柯西-黎曼方程，積分與路徑無(wú)關(guān)。2.ABC解析延拓可通過(guò)邊界條件、函數(shù)關(guān)系式、羅朗級(jí)數(shù)實(shí)現(xiàn)。3.C\(R_1<|z|<R_2\)是羅朗級(jí)數(shù)的典型收斂域。4.ABC解析函數(shù)的實(shí)部和虛部滿足柯西-黎曼方程，積分與路徑無(wú)關(guān)，泰勒級(jí)數(shù)處處收斂。5.AD柯西積分公式要求單連通區(qū)域和封閉邊界。6.C\(R_1<|z|<R_2\)是羅朗級(jí)數(shù)的典型收斂域。7.ABC解析函數(shù)的實(shí)部和虛部滿足柯西-黎曼方程，積分與路徑無(wú)關(guān)，泰勒級(jí)數(shù)處處收斂。8.ABC解析延拓可通過(guò)邊界條件、函數(shù)關(guān)系式、羅朗級(jí)數(shù)實(shí)現(xiàn)。9.C\(R_1<|z|<R_2\)是羅朗級(jí)數(shù)的典型收斂域。10.ABC解析函數(shù)的實(shí)部和虛部滿足柯西-黎曼方程，積分與路徑無(wú)關(guān)，泰勒級(jí)數(shù)處處收斂。四、案例分析1.解析延拓過(guò)程：在\(|z|<1\)內(nèi)，\(f(z)=\frac{1}{z(z-1)}=\frac{1}{z}-\frac{1}{z-1}\)。在\(|z|>1\)內(nèi)，\(f(z)=\frac{1}{z(z-1)}=\frac{1}{z-1}-\frac{1}{z}\)。延拓后的函數(shù)在\(1<|z|<2\)內(nèi)仍解析。2.解析延拓過(guò)程：在\(|z|>2\)內(nèi)，\(f(z)=\frac{1}{z^2+1}=\frac{1}{z^2}\cdot\frac{1}{1+\frac{1}{z^2}}\)。展開(kāi)為羅朗級(jí)數(shù)：\(f(z)=\frac{1}{z^2}-\frac{1}{z^4}+\cdots\)。3.解析延拓過(guò)程：在\(|z|>1\)內(nèi)，\(f(z)=\lnz=\ln|z|+i\argz\)。延拓后的函數(shù)在\(|z|>1\)內(nèi)仍解析。五、論述