2026復(fù)變函數(shù)入門(mén)水平測(cè)試試卷及答案考試時(shí)長(zhǎng)：120分鐘滿分：100分2026復(fù)變函數(shù)入門(mén)水平測(cè)試試卷及答案考核對(duì)象：數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)本科生、相關(guān)專(zhuān)業(yè)從業(yè)人員題型分值分布：-單選題（10題，每題2分）——20分-填空題（10題，每題2分）——20分-判斷題（10題，每題2分）——20分-簡(jiǎn)答題（3題，每題4分）——12分-應(yīng)用題（2題，每題9分）——18分總分：100分一、單選題（每題2分，共20分）1.函數(shù)f(z)=z2在z=1處的導(dǎo)數(shù)是（）A.2B.1C.2zD.02.在z=0處解析的函數(shù)f(z)=e^z，其泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式中z3項(xiàng)的系數(shù)是（）A.1B.0C.1/3!D.1/2!3.函數(shù)f(z)=1/(z-1)在z=2處的留數(shù)是（）A.1B.-1C.1/2D.-1/24.沿正向繞原點(diǎn)一圈的積分∮(1/z)dz的值是（）A.0B.2πiC.-2πiD.2π5.函數(shù)f(z)=z/(z2+1)在z=i處的留數(shù)是（）A.1/2iB.-1/2iC.1/2D.-1/26.函數(shù)f(z)=sin(z)在z=π處的值是（）A.0B.1C.-1D.i7.函數(shù)f(z)=z2在z=1處的方向?qū)?shù)沿向量(1,1)方向是（）A.2√2B.2C.√2D.08.函數(shù)f(z)=e^z在z=0處的拉普拉斯變換是（）A.1B.1/(s-1)C.1/sD.s9.函數(shù)f(z)=z/(z2+1)在z=0處的洛朗級(jí)數(shù)展開(kāi)式中z的系數(shù)是（）A.0B.1C.-1D.1/210.函數(shù)f(z)=|z|在z=1處的導(dǎo)數(shù)存在嗎？（）A.存在且為1B.存在且為0C.不存在D.存在且為-1---二、填空題（每題2分，共20分）1.函數(shù)f(z)=z2在z=1處的泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式的第一項(xiàng)是______。2.函數(shù)f(z)=1/(z-2)在z=3處的留數(shù)是______。3.沿正向繞原點(diǎn)兩圈的積分∮(z/z2)dz的值是______。4.函數(shù)f(z)=sin(z)在z=0處的泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式中z3項(xiàng)的系數(shù)是______。5.函數(shù)f(z)=z/(z2+1)在z=i處的值是______。6.函數(shù)f(z)=e^z在z=1處的導(dǎo)數(shù)是______。7.函數(shù)f(z)=z2在z=0處的方向?qū)?shù)沿向量(1,0)方向是______。8.函數(shù)f(z)=1/z在z=1處的洛朗級(jí)數(shù)展開(kāi)式中z的系數(shù)是______。9.函數(shù)f(z)=sin(z)在z=π/2處的值是______。10.函數(shù)f(z)=|z|在z=0處的導(dǎo)數(shù)是______。---三、判斷題（每題2分，共20分）1.函數(shù)f(z)=z2在z=0處解析。（）2.函數(shù)f(z)=1/z在z=0處有奇點(diǎn)。（）3.函數(shù)f(z)=sin(z)在z=0處解析。（）4.函數(shù)f(z)=z/(z2+1)在z=i處解析。（）5.函數(shù)f(z)=e^z在z=0處的泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式是唯一的。（）6.函數(shù)f(z)=|z|在z=0處可導(dǎo)。（）7.函數(shù)f(z)=z2在z=1處的方向?qū)?shù)沿任意方向都相同。（）8.函數(shù)f(z)=1/(z-1)在z=1處解析。（）9.函數(shù)f(z)=sin(z)在z=π處的值是0。（）10.函數(shù)f(z)=z/(z2+1)在z=0處的洛朗級(jí)數(shù)展開(kāi)式是唯一的。（）---四、簡(jiǎn)答題（每題4分，共12分）1.簡(jiǎn)述函數(shù)f(z)=z2在z=1處的泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式及其收斂半徑。2.解釋什么是函數(shù)的解析性與柯西-黎曼方程的關(guān)系。3.說(shuō)明留數(shù)定理在計(jì)算積分中的應(yīng)用，并舉例說(shuō)明。---五、應(yīng)用題（每題9分，共18分）1.計(jì)算積分∮(z/(z2+1))dz，其中積分路徑是繞原點(diǎn)正向一圈。2.求函數(shù)f(z)=z/(z-1)(z-2)在z=0處的留數(shù)，并計(jì)算∮(f(z))dz，其中積分路徑是繞原點(diǎn)正向一圈。---標(biāo)準(zhǔn)答案及解析一、單選題1.A解析：f'(z)=2z，f'(1)=2。2.C解析：泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式為∑(n=0to∞)(z^n/n!)，z3項(xiàng)系數(shù)為1/3!。3.B解析：留數(shù)等于積分值，∮(1/(z-1))dz=2πi，留數(shù)為-1。4.B解析：∮(1/z)dz=2πi（繞原點(diǎn)一圈）。5.A解析：留數(shù)等于積分值，∮(z/(z2+1))dz=πi，留數(shù)為1/2i。6.C解析：sin(π)=-1。7.A解析：方向?qū)?shù)為?f(1)·(1/√2,1/√2)=2√2。8.C解析：拉普拉斯變換為1/s（f(z)=e^z）。9.A解析：洛朗級(jí)數(shù)展開(kāi)式中z的系數(shù)為0。10.C解析：|z|在z=1處不可導(dǎo)。二、填空題1.1解析：泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式為1+2(z-1)+(z-1)2，第一項(xiàng)為1。2.-1/2解析：留數(shù)等于積分值，∮(1/(z-2))dz=2πi，留數(shù)為-1/2。3.4πi解析：繞原點(diǎn)兩圈，積分值為2×2πi=4πi。4.0解析：sin(z)的泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式中z3項(xiàng)系數(shù)為0。5.1/2解析：f(i)=i/(i2+1)=i/0=1/2。6.e解析：f'(z)=e^z，f'(1)=e。7.1解析：方向?qū)?shù)為?f(0)·(1,0)=1。8.-1解析：洛朗級(jí)數(shù)展開(kāi)式中z的系數(shù)為-1。9.1解析：sin(π/2)=1。10.不存在解析：|z|在z=0處不可導(dǎo)。三、判斷題1.×解析：f(z)=z2在z=0處解析，但題目問(wèn)z=0。2.√解析：1/z在z=0處有奇點(diǎn)。3.√解析：sin(z)在z=0處解析。4.√解析：z/(z2+1)在z=i處解析。5.√解析：泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式唯一。6.×解析：|z|在z=0處不可導(dǎo)。7.√解析：方向?qū)?shù)沿任意方向相同。8.×解析：f(z)=1/(z-1)在z=1處不解析。9.√解析：sin(π)=0。10.√解析：洛朗級(jí)數(shù)展開(kāi)式唯一。四、簡(jiǎn)答題1.解析：f(z)=z2在z=1處的泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式為1+2(z-1)+(z-1)2，收斂半徑為∞。2.解析：函數(shù)解析的充要條件是滿足柯西-黎曼方程且偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)。3.解析：留數(shù)定理用于計(jì)算積分，如∮(f(z))dz=2πi∑(Res(f))，舉例：∮(1/(z-1))