年普通高等學(xué)校招生考試模擬卷(二)(滿分：150分時間：120分鐘)一、選擇題：本大題共8個小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．在某次高三模擬考試后，數(shù)學(xué)老師隨機抽取了6名同學(xué)第一個解答題的得分情況如下：7，9，5，8，4，1，則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和極差分別為()A．173，8 B．153C．173，7 D．153A[根據(jù)題意，這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)x＝1+4+5+7+8+96＝173，極差為9－12．若(1－i)z＝i，則z＝()A．－12＋12i B．－12C．12＋12i D．12A[由題知z＝i1?i＝i(1+i)(1?i)(1+i)＝i+i223．已知集合A＝{x∈Z|x2<3}，B＝{x|x2＋2x－3<0}，則A∩B的子集的個數(shù)為()A．4 B．5C．7 D．8A[由題得A＝{x∈Z|x2<3}＝{x∈Z|－3<x<3}＝{－1，0，1}，B＝{x|x2＋2x－3<0}＝{x|－3<x<1}，所以A∩B＝{－1，0}，其子集的個數(shù)為22＝4．]4．不等式3xA．{x|x<1，且x≠－2} B．{x|x>1}C．{x|－2<x<1} D．{x|x<－2，或x>1}C[不等式3x+2>1等價于x?1x+2<0，等價于(x－1)(x＋2)<0，且x＋2≠0，故不等式的解集為{x5．若數(shù)列{an}滿足2an+1＝an＋an+2，其前n項和為Sn，若a5＝0，a10＋a11＝11，則S11＝()A．0 B．1C．5 D．11D[因為2an+1＝an＋an+2?an+2－an+1＝an+1－an，所以數(shù)列{an}為等差數(shù)列．設(shè)首項為a1，公差為d，則a1+4所以S11＝11a1＋11×102d＝－44＋55＝6．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且B＝π4，a＝22，b＝25，則AC邊上的高h＝A．322 B．C．536 B[因為B＝π4，a＝22，b＝25所以由余弦定理的推論cosB＝a2得22＝(2解得c＝6或c＝－2(舍去)，又B＝π4所以sinB＝22由三角形的面積公式可得12bh＝12acsin即h＝acsinBb7．已知cosθ+π12＝45，θ∈0，πA．－7210 B．C．－210 D．D[因為θ∈0，π2，所以θ＋π12因為cosθ+π12所以sinθ+π12＝1?cos2所以sin25π6?θ＝sin4π+＝cosπ2?π＝cosθ＝cosθ+π12cosπ4－＝45×22－35×28．已知拋物線C1：y2＝2px(p>0)的焦點F是圓C2：x2＋y2－8x＋12＝0的圓心，過點F的直線與C1，C2相交，交點自上而下分別為A，B，C，D，則|AB|＋|CD|的取值范圍為()A．[4，＋∞) B．[8，＋∞)C．[12，＋∞) D．[16，＋∞)C[圓x2＋y2－8x＋12＝0的圓心為F(4，0)，半徑為2，所以p2＝4，p＝8，拋物線方程為y2＝16x設(shè)直線AD的方程為x＝my＋4，由x=my+4，y2=16x，消去x并化簡得y2所以yA＋yD＝16m，所以xA＋xD＝m(yA＋yD)＋8＝16m2＋8，所以|AB|＋|CD|＝|AD|－|BC|＝xA＋xD＋p－4＝16m2＋12≥12，所以|AB|＋|CD|的取值范圍為[12，＋∞)．]二、選擇題：本大題共3個小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分．9．在等比數(shù)列{an}中，a1a2＝2，a3＝4，則()A．{an}的公比為2 B．{an}的公比為2C．a(chǎn)3＋a5＝20 D．?dāng)?shù)列l(wèi)ogBC[設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，依題意，a12q=2，a1q2=4，解得a1=1，q=2，則an＝2n-1，a3＋a5＝22＋對于D，log21an＝1－n，則數(shù)列l(wèi)og2110．設(shè)函數(shù)f(x)＝(x＋a)lnx，a∈R，則()A．當(dāng)a＝0時，f(x)的最小值為－1B．當(dāng)0<a<1e2時，f(C．若f(x)為增函數(shù)，則a≥1D．若f(x)≥0，則a＝－1ABD[對于A，f(x)＝xlnx且x>0，則f'(x)＝1＋lnx，當(dāng)0<x<1e時f'(x)<0，當(dāng)x>1e時f'(x所以f(x)在0，1e內(nèi)單調(diào)遞減，在1e，+∞上單調(diào)遞增，則f(x)≥f1e對于B，由題設(shè)得f'(x)＝lnx＋ax＋1且x>0令g(x)＝f'(x)，則g'(x)＝1x－ax2當(dāng)0<a<1e2，則0<x<a時g'(x)<0，x>a時g'(x所以g(x)＝f'(x)在(0，a)內(nèi)單調(diào)遞減，在(a，＋∞)上單調(diào)遞增，則f'(x)≥f'(a)＝lna＋2，而lna＋2<0，由0<a2<a，且f'(a2)＝2lna＋1a＋1對于y＝2lna＋1a＋1且0<a<1e2，則y'＝2a－1所以y＝2lna＋1a＋1在0，1e2內(nèi)單調(diào)遞減，y>2ln1e2＋e2＋1則f'(a2)>0，又f'(1)＝a＋1>0，故g(x)＝f'(x)在(0，a)和(a，＋∞)上各存在唯一變號零點，所以f(x)有且僅有兩個極值點，B正確；對于C，由B分析，要使f(x)為增函數(shù)，只需lna＋2≥0，即a≥1e2，C對于D，由f(x)＝(x＋a)lnx≥0，且y＝x＋a、y＝lnx在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，又ln1＝0，故只需1＋a＝0，即a＝－1，D正確．]11．已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線x2－y2＝2的左、右焦點，P為雙曲線右支上一點且滿足2|PF2|＝|F1F2|，直線PF1與圓x2＋y2＝r2(r>0)有公共點，則下列說法正確的是()A．雙曲線的虛軸長為2B．PF1·PC．r的取值范圍為14D．過點(2，1)且與雙曲線有一個公共點的直線有3條BC[對于A，雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為x22－y22＝1，b2＝2，b＝2，虛軸長22，對于B，由題意可設(shè)P(m，n)，F(xiàn)1(－2，0)，F(xiàn)2(2，0)，由2|PF2|＝|F1F2|，可得2(m?2)2+n2＝4，兩邊平方可得m2＋n2－4因為點P在雙曲線上，所以m2－n2＝2，②聯(lián)立①②可得m2－2m－3＝0，解得m＝3或m＝－1(舍去)，n＝±7，所以點P坐標(biāo)為(3，7)或(3，－7)，PF1·PF2＝5＋7＝12．對于C，若P為(3，7)，則直線PF1的方程為y＝75(x＋2)，即75x－y＋27故圓心(0，0)到直線PF1的距離d＝275725+1≤r，故r≥14對于D，若直線的斜率不存在，顯然滿足題意；若直線的斜率存在，可設(shè)直線方程為y－1＝k(x－2)，聯(lián)立直線方程與雙曲線方程，消去y得(1－k2)x2＋(22k2－2k)x－2k2＋22k－3＝0，若1－k2＝0，k＝±1滿足題意；若1－k2≠0，則當(dāng)Δ＝0時滿足題意，解得k＝32綜上，過點(2，1)且與雙曲線有一個公共點的直線有4條，故D錯誤．]三、填空題：本大題共3個小題，每小題5分，共15分．12．若向量a，b滿足|a|＝2，|b|＝1，且b⊥(a－b)，則向量a，b的夾角為________．π4[因為b⊥(a－b)，所以b·(a－b)＝a·b－b2＝a·b－1＝0，解得a·b＝1cos<a，b>＝a·bab＝由于<a，b>∈0，π，則<a，b>＝π413．已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，f(x＋1)為偶函數(shù)，且當(dāng)x∈[0，1]時，f(x)＝13sinπ2x，則函數(shù)g(x)＝f(x)－1x?4在[－5，4)24[依題意，f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，則f(x)＝－f(－x)．由于f(x＋1)為偶函數(shù)，則f(x＋1)＝f(1－x)?f(x)＝f(2－x)．從而f(－x)＝－f(2－x)?f(x＋2)＝－f(x)?f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．所以f(x)是一個周期為4的周期函數(shù)．令g(x)＝f(x)－1x?4＝0，得f(x)＝函數(shù)y＝1x?4的圖象關(guān)于點(4，0)對稱，y＝f(x)的圖象也關(guān)于點(4，0)畫出函數(shù)y＝f(x)和y＝1x?4由圖可知，兩個函數(shù)圖象在[－5，4)∪(4，13]內(nèi)有6個交點，且交點關(guān)于(4，0)對稱，所以g(x)所有零點的和為8×3＝24．]14．半球形容器內(nèi)放有三個半徑均為1的玻璃球，三球兩兩相切且均與容器內(nèi)壁和容器沿口所在平面相切，則半球形容器的半徑為________．213＋1[由題意可設(shè)三個小球的球心分別為O1，O2，O3三球心在容器沿口所在平面上的投影分別為O'1，O'2，O'3，則得到一個底面邊長為2，高為1的正三棱柱O1O2O3-O'1O'2O'3，由球的對稱性知半球的球心O為△O'1O'2O'3的中心，則OO1'＝23在Rt△OO1O'1中，OO1'＝233，O1O'1＝可得OO1＝OO'12+O1O得半球的半徑為213＋四、解答題：本大題共5個小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．(13分)已知函數(shù)f(x)＝sin2x＋3cosxcosπ2(1)求函數(shù)f(x)圖象的對稱中心及對稱軸方程；(2)當(dāng)x∈0，7π12時，求函數(shù)f([解](1)f(x)＝sin2x＋3cosxsinx＝1?cos2x2＝32sin2x－12cos2x＋12＝sin2令2x－π6＝π2＋kπ(k∈Z解得x＝π3＋kπ2(k∈所以函數(shù)f(x)圖象的對稱軸方程為x＝π3＋kπ2(k令2x－π6＝k'π(k'∈Z)解得x＝π12＋k'π2(k'∈所以函數(shù)f(x)圖象的對稱中心為π12+k'π2(2)當(dāng)x∈0，7π12時，2x－π6由正弦函數(shù)的性質(zhì)可知，sin2x?π6的最大值為1，所以函數(shù)f(x)＝sin2x?π6＋1216．(15分)已知橢圓Γ：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)經(jīng)過點?1，63，焦距為22．斜率為1的直線(1)求橢圓Γ的方程；(2)若M為AB的中點，O為坐標(biāo)原點，且|OM|＝104，求直線l與y[解](1)橢圓的焦距為22，可知c＝2，橢圓經(jīng)過點?1，63，列出方程組a2=b2+2，1a(2)設(shè)直線l為y＝x＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立方程組得y消去y得4x2＋6tx＋3t2－3＝0，Δ＝36t2－4×4×(3t2－3)＝48－12t2>0，－2<t<2．根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可知x1＋x2＝－3t2，則y1＋y2＝x1＋t＋x2＋t＝－32t＋2t＝M為AB的中點，則點Mx1+x22因為|OM|＝104，得?3t42+t4所以直線l與y軸的交點坐標(biāo)為(0，－1)或(0，1)．17．(15分)已知函數(shù)f(x)＝ax＋lnx(1)當(dāng)a＝1時，求曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線方程；(2)討論f(x)的單調(diào)性；(3)記f(x)的極小值為g(a)，證明：g(a)≤ea-1．[解](1)當(dāng)a＝1時，f(x)＝1x＋lnx，求導(dǎo)得f'(x)＝－1x2＋1x，則f'(1)＝0，而f所以曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線方程為y＝1．(2)函數(shù)f(x)＝ax＋lnx的定義域為(0，＋∞)，求導(dǎo)得f'(x)＝－ax2＋1當(dāng)a≤0時，f'(x)>0，函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；當(dāng)a>0時，由f'(x)<0，得0<x<a；由f'(x)>0，得x>a，函數(shù)f(x)在(0，a)內(nèi)單調(diào)遞減，在(a，＋∞)上單調(diào)遞增，綜上，當(dāng)a≤0時，函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；當(dāng)a>0時，函數(shù)f(x)在(0，a)內(nèi)單調(diào)遞減，在(a，＋∞)上單調(diào)遞增．(3)證明：由(2)知，若f(x)有極小值，則a>0，極小值g(a)＝f(a)＝1＋lna，令函數(shù)h(a)＝ea-1－lna－1，求導(dǎo)得h'(a)＝ea-1－1a，函數(shù)h'(a)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，且h'(1)＝0則當(dāng)0<a<1時，h'(a)<0，當(dāng)a>1時，h'(a)>0，函數(shù)h(a)在(0，1)內(nèi)單調(diào)遞減，在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，則h(a)≥h(1)＝0，即ea-1－lna－1≥0，所以g(a)≤ea-1．18．(17分)如圖1，已知正方形ABCD的邊長為4，E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點，以EF為棱將正方形ABCD折成如圖2所示，使得二面角A-EF-D的大小為60°，點M在線段AB上且不與點A，B重合．(1)直線MF與由A，D，E三點所確定的平面相交，交點為O，若CE⊥MF，求AM的長度，并求此時點O到平面CDEF的距離；(2)若AM＝34AB，求平面MEC與平面[解](1)由題意可知，EF⊥CF，EF⊥BF，CF∩BF＝F，CF，BF?平面CFB，所以EF⊥平面CFB，同理可得EF⊥平面DEA，因為二面角A-EF-D為60°，所以∠DEA＝∠CFB＝60°，所以△DEA與△CFB是全等的正三角形，取BF中點H，連接CH，EH，則CH⊥BF，由EF⊥平面CFB，CH?平面CFB，得CH⊥EF，又BF∩EF＝F，BF，EF?平面ABFE，因此CH⊥平面ABFE，又MF?平面ABFE，所以CH⊥MF，因為CE⊥MF，CE∩CH＝C，CE，CH?平面CEH，所以MF⊥平面CEH，因為EH?平面CEH，所以MF⊥EH，設(shè)AM＝t，所以tan∠FEH＝tan∠MFB，F(xiàn)HEF＝MBFB，所以14＝4?t2，所以AM的長為72過O作OT⊥DE于T，因為EF⊥平面DEA，OT?平面DEA，所以O(shè)T⊥EF，又DE∩EF＝E，DE，EF?平面CDEF，所以O(shè)T⊥平面CDEF，即OT為點O到平面CDEF的距離，因為OAOE＝AMEF，所以O(shè)AOA所以O(shè)A＝14，OE＝16，OT＝OEsinπ3＝83，所以點O到平面CDEF的距離為83(2)取AE，BF中點O'，P，連接O'D，O'P，因為∠DEA＝60°，O'E＝12DE＝1所以O(shè)'D2＝4＋1－4cos60°＝3，所以O(shè)'D2＋O'E2＝DE2，所以O(shè)'D⊥AE，因為O'P∥EF，所以O(shè)'P⊥DE，O'P⊥AE，又AE，DE?平面AED，AE∩DE＝E，所以O(shè)'P⊥平面AED，因為O'D，AE?平面AED，所以O(shè)'D⊥O'P，AE⊥O'P，則以O(shè)'為坐標(biāo)原點，O'A，O'P，O'D的方向為x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則D(0，0，3)，E(－1，0，0)，F(xiàn)(－1，4，0)，C(0，4，3)，M(1，3，0)，則EM＝(2，3，0)，EC＝(1，4，3)，設(shè)平面EMC的法向量m＝(x1，y1，z1)，則EM令y1＝2，則x1＝－3，z1＝－53所以m＝?3，2，?5設(shè)平面CEF的法向量n＝(x2，y2，z2)，又EC＝(1，4，3)，F(xiàn)C＝(1，0，3)，所以EC令z2＝1，則x2＝－3，y2＝0，所以n＝(－3，0，1)．設(shè)平面MEC與平面CEF的夾角為θ，所以cosθ＝|cos<m，n>|＝|m·n||m||n|＝4所以sinθ＝1?cos2θ＝1?故平面MEC與平面CEF夾角的正弦值為15419．(17分)某公司計劃舉辦周年慶活動，其中設(shè)計了“做游戲贏獎金”環(huán)節(jié)，從所有員工中選取10名業(yè)績突出的員工參加投擲游戲，每位員工只能參加一次，并制定游戲規(guī)則如下：參與者投擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，