第1頁/共4頁2023-2024學(xué)年度翠園中學(xué)高二年級第一學(xué)期期中考試卷數(shù)學(xué)1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考號填寫或填涂在答題卡上.動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回3.考試結(jié)束后，只上交答題卡.A.1B.1C.2D.25A.1B.C.3D.44A.1條B.2條C.3條D.4條 B.D.26.已知F1,F2分別為橢圓+y2=1的左、右焦點，P是橢圓E上一動點，G點是三角形PF1F2的重心，則點G的軌跡方程為().2222C.D.第2頁/共4頁7.已知橢圓C:+=1(a>b>0)，點(a,b)關(guān)于直線y=x的對稱點落在橢圓C上，則橢圓 32 A.BCD.角的取值范圍是()A.l1在x軸上的截距為2B.l1丄l2C.l1,l2的交點坐標(biāo)為(2,—4)10.下列關(guān)于空間向量的命題中，正確的是()A若非零向量滿足//，//，則有//.B.任意向量滿足2411.已知P是橢圓4y2 A.橢圓C的焦距為B.橢圓C的離心率為 C.iPD的最大值為3D.PQ的最小值為=81上，頂點A,B在圓O:x2+y2=4上.若 第3頁/共4頁 B.直線PA被圓C截得的弦長的最小值為42C.有且僅有一個點P，使得△ABP為等邊三角形D.有且僅有一個點P，使得直線PA，PB都是圓O的切線14.過點(3,2)且在x軸，y軸上截距相等的直線方程為15.寫出一個既與y軸相切又與直線3y=0相切，且半徑為3的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：.2216.已知P是橢圓上的動點，F(xiàn)1,F2是橢圓的左右焦點，O是坐標(biāo)原點，若M是上F1PF2的角平分線上一點，且F1M.MP=0，則OM的取值范圍是.（1）求AB邊的高所在直線的方程；（2）若直線l過點C，且點A，B到直線l的距離相等，求直線l的方程.)，且圓心C在直線l:y=3x上.（1）求圓C的方程；（2）若從點P(—2,4)發(fā)出的光線經(jīng)過直線2x—y—7=0反射，反射光線恰好平分圓C的圓周，求反射光線所在直線的方程.19.如圖，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，棱長為2,E,F,G分別是DD1,BC,AD的中點..第4頁/共4頁（2）求直線A1C1與平面B1FG所成角的正弦值.20.某公園有一圓柱形建筑物，底面半徑為2米，在其南面有一條東西走向的觀景直道（圖中用實線表示建筑物的東西兩側(cè)有與直道平行的兩段輔道（圖中用虛線表示觀景直道與輔道距離5米．在建筑物底面中心O的北偏東45°方向10·米的點A處，有一臺360°全景攝像頭，其安裝高度低于建筑物高度．請建立恰當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，并解決問題：（1）在西輔道上與建筑物底面中心O距離4米處的游客，是否在攝像頭監(jiān)控范圍內(nèi)？（2）求觀景直道不在攝像頭的監(jiān)控范圍內(nèi)的長度.（2）在平面EFB內(nèi)尋求一點M，使得AM丄平面EFB，求此時二面角M—AB—F的平面角的正弦值.（1）求圓O的半徑r；（2）若圓O與圓C相內(nèi)切，設(shè)圓O與x軸的負半軸的交點為P，過點P作兩條斜率之積為-3的直線l1,l2，分別交圓O于M,N兩點，求點P到直線MN距離的最大值.2023-2024學(xué)年度翠園中學(xué)高二年級第一學(xué)期期中考試卷數(shù)學(xué)1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考號填寫或填涂在答題卡上.動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回3.考試結(jié)束后，只上交答題卡.【答案】B【解析】【分析】利用平面向量的坐標(biāo)計算可得答案.故選：B2.若直線y=2x+m是圓x2+y2-2y=0的一條對稱軸，則m的值為()A.-1B.1C.-2D.2【答案】B【解析】【分析】求出圓心坐標(biāo)代入直線方程可求得參數(shù)值.【詳解】由已知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是x2+(y-1)2=1，圓心坐標(biāo)為(0,1)，故選：B.第2頁/共19頁5A.1B.C.3D.44【答案】B【解析】【分析】先求得m的值，再去求兩平行直線間的距離即可.故選：BA.1條B.2條C.3條D.4條【答案】D【解析】法，得出兩圓的位置關(guān)系，即可求解.所以兩圓共有4條切線.故選：D. A.B.C.-I3D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)向量a-在向量上的投影向量求出a-cosθ,代入a-.的定義式即可.第3頁/共19頁b【詳解】b2θ,所以向量a-在向量上的投影向量為cosθ.a所以a2故選：C.6.已知F1,F2分別為橢圓E:+y2=1的左、右焦點，P是橢圓E上一動點，G點是三角形PF1F2的重心，則點G的軌跡方程為()2222【答案】B【解析】【分析】設(shè)G(x,y),P(m,n)，利用三角形的重心坐標(biāo)公式可得將其代入+y2=1可得結(jié)果.【詳解】:F1,F2分別為橢圓+y2設(shè)G(x,y),P(m,n)，G點是三角形PF1F2的重心又G點是三角形PF1F2的重心，:y≠0故選：B27.已知橢圓C:a+=1(a>b>0)，點(a,b)關(guān)于直線y=x的第4頁/共19頁 A.B.C.D.52【答案】D【解析】【分析】求得點關(guān)于直線y=x的對稱點的坐標(biāo)，根據(jù)點的坐標(biāo)滿足橢圓方程，整理化簡求得b，再結(jié)合離心率計算公式求解即可.a【詳解】易知點關(guān)于直線y=x的對稱點為，故選：D.角的取值范圍是()【答案】D【解析】又點在直線l上，聯(lián)立其方程，求得a=然后由tanα==求解.【詳解】將A(-1,0)代入2x-2ay+3+a=0得a=-1，所以A，B不在直線l上， 所以點p在線段AB上，第5頁/共19頁直線方程2x-2ay+3+a=0，即為y=設(shè)直線l的傾斜角為α,因為-1≤x≤0，所以-1≤2-≤1，所以故選：D【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵是得到點P在線段AB上，再根據(jù)點P的直線l上，聯(lián)立求得再利用斜率與傾斜角的關(guān)系而得解.A.l1在x軸上的截距為2B.l1丄l2C.l1,l2的交點坐標(biāo)為(2,-4)D.l1,l3之間的距離為【答案】BC【解析】【分析】選項A：令y=0，求l1在x軸上的截距；選項B：根據(jù)直線垂直對應(yīng)系數(shù)關(guān)系求解；第6頁/共19頁選項C：解方程組求解；選項D：根據(jù)兩平行線間距離求解；【詳解】令y=0，易得l1在x軸上的截距為-2，A錯誤.丄l2，B正確.由{得{2-,4,所以l1,l2的交點坐標(biāo)為(2,-4)，C正確.故選：BC.10.下列關(guān)于空間向量的命題中，正確的是()A.若非零向量滿足//，//，則有//B.任意向量滿足(-3,x,9)，若x>，則,為銳角【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)共線向量的性質(zhì)、共面向量定義、空間夾角的計算公式逐一判斷即可.【詳解】A：因為是非零向量，所以由//，//，可得//，因此本選項說法正確；B：因為向量，不一定是共線向量，因此.).=.)不一定成立，所以本選項說法不正確；所以A，B，C，D四點共面，因此本選項說法正確；2222，當(dāng)x第7頁/共19頁角，故本選說法正確，故選：ACDA.橢圓C的焦距為B.橢圓C的離心率為 C.iPD的最大值為3D.PQ的最小值為【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)，可判定A不正確，B正確，設(shè)橢圓C上一點P(x,y)，求得a2a2-b2 又由圓2+y2=可得圓心D(-1,0)，半徑為設(shè)橢圓C上任意一點P(x,y)(-2≤x≤2)，令x2+2x+2，可得圖象是開口向上的拋物線，且對稱軸為PDmaxPDmax,第8頁/共19頁則PQ的最小值為6-r=，所以C正確，D不正確.故選：BC.12.已知△ABP的頂點P在圓C:(x-3)2+(y-4)2=81上，頂點A,B在圓O:x2+y2=4上.若 B.直線PA被圓C截得的弦長的最小值為42C.有且僅有一個點P，使得△ABP為等邊三角形D.有且僅有一個點P，使得直線PA，PB都是圓O的切線【答案】ACD【解析】【分析】設(shè)點P到直線AB的距離為h，由h≤PD≤PO+OD≤PC+OC+OD求得h的最大值判斷A，利用直線和圓的位置關(guān)系判斷B，利用△ABP為等邊三角形，則需PD丄AB，PD=3判斷C，利用射影定理可得PO=4進而判斷D.【詳解】設(shè)線段AB的中點為D，因為圓O的半徑為所以所以當(dāng)且僅當(dāng)P,D,O,C四點共線時，點P到直線AB距離的最大值為15，所以△ABP的面積的最大值為 對于B選項，點C到直線PA的距離小于等于CA，當(dāng)PA丄CA時，等號成立，又CA的最大值為7，第9頁/共19頁 所以點C到直線PA的距離的最大值為7，這時直線PA被圓C截得的弦長的最小值為2·81—72=82，故B錯誤；當(dāng)且僅當(dāng)P,D,O,C四點共線時成立，因此有且僅有一個點P，使得△ABP為等邊三角形，故C正確；對于D選項，若直線PA，PB都是圓O的切線，則PA丄OA，由射影定理，可得PO=4，同上，當(dāng)且僅當(dāng)P,O,C三點共線時，POmin=4，因此有且僅有一個點P，使得直線PA，PB都是圓O的切線，故D正確；故選：ACD 【解析】【分析】利用空間向量垂直的坐標(biāo)表示及模長公式計算即可. 2 2故答案為：-21.14.過點(3,2)且在x軸，y軸上截距相等的直線方程為【解析】【分析】根據(jù)斜率是否為0，分兩種情況，結(jié)合直線的截距式方程即可求解.【詳解】當(dāng)直線經(jīng)過原點時，此時直線方程為2x+3y=0，且在x軸，y軸的距離均為0，符合題意，當(dāng)直線在x軸，y軸均不為0時，設(shè)直線方程為15.寫出一個既與y軸相切又與直線x+·y=0相切，且半徑為3的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：.第10頁/共19頁 2【解析】【分析】利用待定系數(shù)法即可求得該圓的方程.【詳解】設(shè)所求圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=9，22 222 2 2-----------的角平分線上一點，且F1M.MP=0，則OM的取值范圍是.-----------【解析】【分析】設(shè)P是第二象限的點,作出圖形,設(shè)PF2與直線F1M交于點N,易得2222,再由橢圓中xy≠0,可得0<PF2-a<c.OM=PF2222,再由橢圓中xy≠0,可得0<PF2-a<c.【詳解】由題意,設(shè)P是第二象限的點,作出圖形(見下圖),設(shè)PF2與直線F1M交于點N,又M是上F1PF2的角平分線上一點，則PF1=PN,F1M=MN,F2N的中位線,則P是橢圓上的動點，則 PF2,,PF2-4 2,-4PF2故0<-4PF2 OM OM ..故答案為.【點睛】本題考查了橢圓的幾何性質(zhì),考查了轉(zhuǎn)化思想在解題中的運用,利用三角形的中位線、橢圓中PF2+PF,PF2≤a+c是解決本題的關(guān)鍵,屬于中檔題.（1）求AB邊的高所在直線的方程；（2）若直線l過點C，且點A，B到直線l的距離相等，求直線l的方程.【解析】【分析】（1）根據(jù)點斜式求得AB邊的高所在直線的方程.（2）對l是否與直線AB平行進行分類討論，由點斜式或斜截式求得直線l的方程.【小問1詳解】直線AB的斜率為，第12頁/共19頁所以AB邊的高所在直線的斜率為1，所以AB邊的高所在直線的方程為y-5=1×(x-4),y=x+1.【小問2詳解】直線AB的斜率為-1，若直線l與直線AB平行，則直線l的方程為y-5=-(x-4),y=-x+9.線段AB的中點坐標(biāo)為(0,3)，若直線l過(0,3)，則直線l的方程為x+3,y=x+3.18.已知圓C過點A(3,3),B(-1,7)，且圓心C在直線l:y=3x上.（1）求圓C的方程；（2）若從點P(-2,4)發(fā)出的光線經(jīng)過直線2x-y-7=0反射，反射光線恰好平分圓C的圓周，求反射光線所在直線的方程.【解析】【分析】（1）計算AB的垂直平分線，計算交點得到圓心，再確定半徑得到答案.（2）根據(jù)垂直和中點得到P(-2,4)關(guān)于直線2x-y-7=0對稱的點為P0(10,-2)，CP0即為所求直線.【小問1詳解】kAB==-1，則AB的垂直平分線的斜率為k=1，AB中點為(1,5)，故AB的垂直平分線為y=x+4，解得即圓心為C(2,6)， 【小問2詳解】反射光線恰好平分圓C的圓周，故反射光線過圓心C(2,6)，設(shè)P(-2,4)關(guān)于直線2x-y-7=0對稱的點為P0(x,y)，第13頁/共19頁19.如圖，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，棱長為2,E,F,G分別是DD1,BC,AD的中點.（2）求直線A1C1與平面B1FG所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析；【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，應(yīng)用向量證明垂直關(guān)系和求解角度.【小問1詳解】如圖，以D為原點，DA,DC,DD1所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，第14頁/共19頁【小問2詳解】設(shè)平面B1FG的一個法向量為n–=(x,y,z)，:x=2，y=0，則設(shè)直線A1C1與平面B1FG所成角為α. 則直線A1C1與平面B1FG所成角的正弦值為.20.某公園有一圓柱形建筑物，底面半徑為2米，在其南面有一條東西走向的觀景直道（圖中用實線表示建筑物的東西兩側(cè)有與直道平行的兩段輔道（圖中用虛線表示觀景直道與輔道距離5米．在建筑物底面中心O的北偏東45°方向10·米的點A處，有一臺360°全景攝像頭，其安裝高度低于建筑物高度．請建立恰當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，并解決問題：（1）在西輔道上與建筑物底面中心O距離4米處的游客，是否在攝像頭監(jiān)控范圍內(nèi)？（2）求觀景直道不在攝像頭的監(jiān)控范圍內(nèi)的長度.【答案】（1）游客在該攝像頭的監(jiān)控范圍內(nèi)（2）8.75米【解析】【分析】（1）建立坐標(biāo)系，利用直線和圓的位置關(guān)系可以判斷；（2）根據(jù)直線和圓相切求出切線，利用切線和觀景直道所在直線的交點可得范圍.【小問1詳解】第15頁/共19頁設(shè)O為原點，正東方向為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，O(0,0)，則直線AB的方程為5x-7y+20=0，所以直線AB與圓O相離，所以游客在該攝像頭的監(jiān)控范圍內(nèi).【小問2詳解】由圖知，過A的直線與圓O相切或相離時，攝像頭監(jiān)控不會被建筑物擋住，所以設(shè)直線l過點A且和圓相切，①若直線l垂直于x軸，則直線l不會和圓相切；②若直線l不垂直于x軸，設(shè)l:y-10=k(x-10)，整理得l:kx-y+10-10k=0，所以圓心O到直線l的距離為解得即3x-4y+10=0或4x-3y-10=0，觀景直道所在直線方程為y=-5，設(shè)兩條直線與y=-5的交點為D，E，由-10=0，解得，答：觀景直道不在該攝像頭的監(jiān)控范圍內(nèi)的長度為8.75米.第16頁/共19頁（1）證明：EFTEB；（2）在平面EFB內(nèi)尋求一點M，使得AMT平面EFB，求此時二面角M一AB一F的平面角的正弦值.【答案】（1）證明見解析 【解析】【分析】（1）以C為原點，CA,CB,CF分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量坐標(biāo)運算即可證明；（2）根據(jù)四點共面、線面垂直等求出點M的坐標(biāo)，再利用空間向量坐標(biāo)運算即可求得二面角M一AB一F的平面角