第1頁/共6頁深圳市南山為明學(xué)校2023—2024學(xué)年第一學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.1.已知直線l與x軸的夾角為30。，則直線l的斜率為()A.B.C.或-D.或-2.若直線x-2y+5=0與直線2x+my-6=0互相垂直，則實(shí)數(shù)m的值()A.-1B.1C.-2D.23.圓的一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)是(2,0),(2,-2)，則此圓的方程是()A.(x-2)2+(y-1)2=1B.(x-2)2+(y+1)2=1C(x+2)2+(y-1)2=1D.(x+2)2+(y+1)2=1.4.如圖，在空間四邊形ABCD中，E，M，N分別是邊BC，BD，CD的中點(diǎn)，DE，MN交于F點(diǎn)，則第2頁/共6頁5.設(shè)=2-+，=+3-2，=-2+-3，=3+2+5，(其中、、是兩兩垂直的單位向量)，若=λ1+μ+o，則實(shí)數(shù)λ、μA.1，-2，-3B.-2，1，-3D.-1，2，36.已知空間直角坐標(biāo)系O-xyz中有一點(diǎn)A(-1,-1,2)，點(diǎn)B是平面xOy內(nèi)的直線x+y=1上的動(dòng)點(diǎn)，則A,B兩點(diǎn)的最短距離是()7.已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，E、F分別為上底面A1B1C1D1和側(cè)面CDD1C1的中心，則點(diǎn)D到平面AEF的距離為()A.B.C.D.8.直線x+y+2=0分別與x軸、y軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在圓(x-2)2+y2=2上運(yùn)動(dòng)，則△ABP面積第3頁/共6頁 A.6要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2A.圓心為(1,2)B.半徑為2 C.圓C與直線3x+4y+5=0相離D.圓C被直線x=0所截弦長為23(2,4,a)是平面α的一個(gè)法向量，則下列說法正確的A.B.D.則下列說法正確的有()A.直線l過定點(diǎn)(2,3)B.當(dāng)|AB|取得最大值時(shí)，m=1C.當(dāng)上ACB最小時(shí)，其余弦值為4D.AB.AC的最大值為2414.已知直線l：2x－3y＋1＝0，點(diǎn)A12則直線l關(guān)于點(diǎn)A對(duì)稱的直線的方程為.15.若過點(diǎn)P(m,n)的直線與圓x2+y2=10相切，則點(diǎn)P坐標(biāo)應(yīng)滿足的關(guān)系為：.第4頁/共6頁16.已知點(diǎn)P（0，2圓O∶x2+y2=16上兩點(diǎn)M(x1,y1)，N(x2,y2)滿足=λ(λ∈R)，則2BCD18.根據(jù)下列條件，分別求相應(yīng)圓的方程.（1）求異面直線EC1，DB1所成角的余弦值；（2）求平面EB1C1與平面FAD所成角的余弦值.20.直線xy1=0與圓x2+y2=13是否相交？如果相交，求出交點(diǎn).（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；第5頁/共6頁（2）過點(diǎn)A(-3,3)作圓C的切線，求此切線的方程.22.如圖所示，四棱錐P-ABCD中，PA丄菱形ABCD所在的平面，上ABC=60O，點(diǎn)E、F分別是BC、PC的中點(diǎn)，M是線段PD上的點(diǎn).（1）求證：平面AEM丄平面PAD； （2）當(dāng)AB=AP時(shí)，是否存在點(diǎn)M，使直線EM與平面ABF所成角的正弦值為？若存在，請(qǐng)求出的值，若不存在，請(qǐng)說明理由.深圳市南山為明學(xué)校2023—2024學(xué)年第一學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.1.已知直線l與x軸的夾角為30。，則直線l的斜率為()A.B.D.或-【答案】C【解析】【分析】分直線l與x軸正方向和負(fù)方向的夾角為30。兩種情況討論，從而確定直線l的傾斜角，然后確定斜率.【詳解】①當(dāng)直線l與x軸正方向的夾角為30。時(shí)，此時(shí)傾斜角為30。，斜率為tan30。=②當(dāng)直線l與x軸負(fù)方向的夾角為30。時(shí)，此時(shí)傾斜角為150。，斜率為tan150o=-綜上，直線l的斜率為或-.故選：C.2.若直線x-2y+5=0與直線2x+my-6=0互相垂直，則實(shí)數(shù)m的值()第2頁/共18頁A.1B.1C.2D.2【答案】B【解析】【分析】根據(jù)兩直線垂直的公式，即可計(jì)算結(jié)果.【詳解】因?yàn)閮蓷l直線互相垂直，則1×2+(—2)m=0，得m=1.故選：B3.圓的一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)是(2,0),(2,—2)，則此圓的方程是()A.(x2)2+(y1)2=1B.【答案】B【解析】【分析】用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出圓心，再求出直徑，即可得到圓的方程.則半徑為1，故選：B4.如圖，在空間四邊形ABCD中，E，M，N分別是邊BC，BD，CD的中點(diǎn)，DE，MN交于F點(diǎn)，則A.ADB.AFC.A.ADB.AFC.FAD.EM【答案】B【解析】第3頁/共18頁【詳解】解：“E是邊BC的中點(diǎn)，:2AB+2AC=AE；故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量基本定理，考查學(xué)生的分析能力；屬于基礎(chǔ)題.兩兩垂直的單位向量)，若a4=λa1+μa2+oa3，則實(shí)數(shù)λ、μ【答案】B【解析】【分析】根據(jù)條件可得(2λ+μ—2o)+(—λ+3μ+o)+(λ—2μ—3o)=3+2+5，對(duì)應(yīng)建立方程求解即可.【詳解】=+)+μ(+32)+o(2+3)=3+2+5，即(2λ+μ—2o)+(λ+3μ+o)+(λ2μ3o)=3+2+5，故選：B6.已知空間直角坐標(biāo)系O—xyz中有一點(diǎn)A(—1,—1,2)，點(diǎn)B是平面xOy內(nèi)的直線A,B兩點(diǎn)的最短距離是() A.B.C.3D.【答案】B第4頁/共18頁【解析】【分析】根據(jù)給定條件，設(shè)出點(diǎn)B的坐標(biāo)，再利用空間兩點(diǎn)間的距離公式結(jié)合二次函數(shù)最值求解作答.【詳解】依題意，設(shè)點(diǎn)B(x,1-x,0)，而A(-1,-1,2)，所以A,B兩點(diǎn)的最短距離是.故選：B7.已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，E、F分別為上底面A1B1C1D1和側(cè)面CDD1C1的中心，則點(diǎn)D到平面AEF的距離為()B.C.D.【答案】A【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法得出點(diǎn)D到平面AEF的距離.【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系第5頁/共18頁)則點(diǎn)D到平面AEF的距離為故選：A8.直線x+y+2=0分別與x軸、y軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在圓(x-2)2+y2=2上運(yùn)動(dòng)，則△ABP面積 A.6B.4C.2D.4-2·2【答案】C【解析】【分析】首先利用點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心到直線的距離，減去半徑最小，再利用三角形的面積公式即可求解.由圓(x-2)2+y2=2得圓心M(2，0)，半徑r=，設(shè)點(diǎn)P到直線AB的距離為h，點(diǎn)M到直線AB的距離為d，則d==2·、i2，所以h≥d-y故選：C.要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得29.已知圓C:x2+y2+2x-4y+1=0，下列說法正確的是()A.圓心為(1,2)B.半徑為2 C.圓C與直線3x+4y+5=0相離D.圓C被直線x=0所截弦長為23【答案】BD【解析】【分析】把方程化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求得圓心坐標(biāo)和半徑，可判定A錯(cuò)誤，B正確；由點(diǎn)到直線的距離公第6頁/共18頁式，可判定C錯(cuò)誤；根據(jù)圓的弦長公式，可判定D正確.【詳解】將圓C:x2+y2+2x-4y+1=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程得(x+1)2+(y-2)2=4，可知圓心C(-1,2)，半徑R=2，故A錯(cuò)誤，B正確；由圓心C(-1,2)到直線3x+4y+5=0的距離即R=d，直線與圓相切，故C錯(cuò)誤；圓心C(-1,2)到直線x=0的距離為d1=1，-d22-12故選：BD.(-1,2,5)是直線l的一個(gè)方向向量，n-=(2,-4,a)是平面α的一個(gè)法向量，則下列說法正確的A.若l//α,則a=2【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)直線的方向向量與平面的法向量的關(guān)系逐一判斷即可.故選：ADA.B.C.D.【答案】BC【解析】第7頁/共18頁【分析】根據(jù)斜率和截距對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.:{，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.:{，所以B選項(xiàng)正確.:{，所以C選項(xiàng)正確.:{，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC12.設(shè)動(dòng)直線l:mxy2m+3=0(m∈R)交圓C:(x4)2+(y5則下列說法正確的有()A.直線l過定點(diǎn)(2,3)B.當(dāng)|AB|取得最大值時(shí)，m=1C.當(dāng)上ACB最小時(shí)，其余弦值為4D.AB.AC的最大值為24【答案】ABD【解析】【分析】A選項(xiàng)，將直線方程整理為m(x—2)—(y—3)=0，然后得到解方程即可得到定點(diǎn)；B選項(xiàng)，根據(jù)弦長最大是直徑得到AB最大時(shí)經(jīng)過圓心，然后列方程求解即可；C選項(xiàng)，根據(jù)幾何知識(shí)得到當(dāng)直線l與過點(diǎn)(4,5)和(2,3)的直線垂直時(shí)上ACB最小，然后利用勾股定理和余弦定理求余弦值即可；D選項(xiàng)，根據(jù)外心的結(jié)論得到然后求最值即可.即直線l過定點(diǎn)(2,3)，即選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，當(dāng)|AB|取得最大值時(shí)，直線l過點(diǎn)，即m=即選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，當(dāng)上ACB最小時(shí)，此時(shí)|AB|最小，當(dāng)|AB|最小時(shí)，直線l與過點(diǎn)(4,5)和(2,3)的直線垂直，第8頁/共18頁選項(xiàng)C錯(cuò)誤；故選：ABD. 【解析】【分析】利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則求出a+b 故答案為：-35.【點(diǎn)睛】本題考查空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則以及利用坐標(biāo)求模，熟練掌握向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則是解決此題的關(guān)鍵.14.已知直線l：2x－3y＋1＝0，點(diǎn)A12則直線l關(guān)于點(diǎn)A對(duì)稱的直線的方程為.【答案】2x－3y－9＝0【解析】【分析】在l上任取兩點(diǎn)，求出其關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)式即可求出直線l關(guān)于點(diǎn)A對(duì)稱的直線的方程.【詳解】法一在l：2x－3y＋1＝0上任取兩點(diǎn)，如M（1,1N（4,3則M，N關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)M′，N′均在直線l′上，易知M′35N′67由兩點(diǎn)式可得l′的方程為2x－3y－9＝0.法二設(shè)P（x，y）為l′上任意一點(diǎn)，第9頁/共18頁則P（x，y）關(guān)于點(diǎn)A12）的對(duì)稱點(diǎn)為P′2－x4－y∵P′在直線l上，∴22－x34－y1＝0，即2x－3y－9＝0.故答案為：2x－3y－9＝0.【點(diǎn)睛】本題考查直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱直線，關(guān)鍵是對(duì)稱點(diǎn)的求解，是基礎(chǔ)題.15.若過點(diǎn)P(m,n)的直線與圓x2+y2=10相切，則點(diǎn)P坐標(biāo)應(yīng)滿足的關(guān)系為：.【解析】【分析】過點(diǎn)P的直線與圓相切，只能點(diǎn)P在圓外或者圓上，從而確定P坐標(biāo)應(yīng)滿足的關(guān)系.【詳解】若過點(diǎn)P(m,n)的直線與圓x2+y2=10相切，則點(diǎn)P應(yīng)該在圓外或者圓上，16.已知點(diǎn)P（0，2圓O∶x2+y2=16上兩點(diǎn)M(x1,y1)，N(x2,y2)滿足=λ(λ∈R)，則2【答案】48【解析】【分析】將原式化為，而分別表示M,N到直線l:3x+4y+25=0的距離，取MN的中點(diǎn)T，設(shè)T在直線l:3x+4y+25=0的射影為T1，則原式=10|TT1|，根據(jù)圓的性質(zhì)可以知道T在以O(shè)P為直徑的圓C上，其中C(0,1)，進(jìn)一步即可得到答 案.【詳解】由題意，M,P,N三點(diǎn)共線，設(shè)T為MN的中點(diǎn)，M,T,N在直線l:3x+4y+25=0的射影分第10頁/共18頁(55,22(55,||-1=，當(dāng)C,T,共線，且T在C,之間時(shí)取“=”.2故答案為：48.【點(diǎn)睛】本題突破口有兩點(diǎn)，一是將原式轉(zhuǎn)化為距離的問題，這需要我們對(duì)距離公式非常熟悉；二是取MN的中點(diǎn)T，這就需要對(duì)圓的性質(zhì)要敏感，提到弦立馬要想到弦心距，進(jìn)而問題才能得解. （2）0【解析】，利用基底表示所求向量，然后將向量的模轉(zhuǎn)化為數(shù)量積計(jì)算可得；（2）利用基底表示所求向量，根據(jù)數(shù)量積運(yùn)算律計(jì)算可得.【小問1詳解】【小問2詳解】18.根據(jù)下列條件，分別求相應(yīng)圓的方程.；2+(y1)2=6(x3)2+(y1)2=5或(x3)2+(y+1)2=5.【解析】【分析】（1）求出圓的半徑r=AC=6，再代入標(biāo)準(zhǔn)方程即可求得結(jié)果；（2）易知圓心在線段AB的垂直平分線上，求出圓心坐標(biāo)代入標(biāo)準(zhǔn)方程即可.【小問1詳解】2+第12頁/共18頁【小問2詳解】因?yàn)閳A與x軸相交于A(1,0)、B(5,0)兩點(diǎn)，故圓心在線段AB的垂直平分線上，)，所以線段AB的垂直平分線為x=3，不妨設(shè)圓心坐標(biāo)為(3,a)，當(dāng)圓心為(3,1)時(shí)，圓方程為(x-3)2+(y-1)2=5；當(dāng)圓心為(3,-1)時(shí)，圓方程為(x-3)2+(y+1)2=5；因此所求圓的方程為(x-3)2+(y-1)2=5或(x-3)2+(y+1)2=5.19.(請(qǐng)用空間向量求解)已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=1，AA上的點(diǎn)，且滿足AE=2EA1，CF=2FC1.（1）求異面直線EC1，DB1所成角的余弦值；（2）求平面EB1C1與平面FAD所成角的余弦值. 【解析】【分析】（1）以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可；（2）利用向量法求解即可.【小問1詳解】如圖，以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，第13頁/共18頁所以設(shè)異面直線EC1，DB1所成角為， 所以異面直線EC1，DB1所成角的余弦值為；【小問2詳解】設(shè)平面EB1C1的一個(gè)法向量為=(x1,y1,z1)，設(shè)平面FAD的一個(gè)法向量為=(x2,y2,z2)，則有z2所以所以面EB1C1與面FAD所成角的余弦值為.20.直線x-y-1=0與圓x2+y2=13是否相交？如果相交，求出交點(diǎn).【答案】直線與圓相交，交點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,-3)，(3,2).【解析】第14頁/共18頁 【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可得d=小于半徑，可得相交，聯(lián)立兩方程可得交點(diǎn)坐標(biāo). 【詳解】圓心坐標(biāo)(0,0)，半徑r=·13，則圓心到直線的距離所以直線與圓相交，聯(lián)立解得即交點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,-3)，(3,2).21.已知圓C過點(diǎn)M(-3,2)，圓心C在直線x-y+3=0上，且圓C與x軸相切.（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)A(-3,3)