2026年最值問題求解方法歸納含答案一、函數(shù)最值問題（共4題，每題5分）題目1（5分）：已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+2在區(qū)間[-1,3]上的最大值和最小值分別是多少？請給出求解步驟。題目2（5分）：設函數(shù)g(x)=|x-1|+|x+2|，求g(x)在實數(shù)范圍內(nèi)的最小值及取值點。題目3（5分）：某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，成本函數(shù)為C(q)=0.1q2+5q+100（q為產(chǎn)量），求產(chǎn)量q在[0,100]范圍內(nèi)使平均成本最低的產(chǎn)量及最低平均成本。題目4（5分）：已知函數(shù)h(x)=sin(x)+cos(x)，求其在[0,2π]區(qū)間上的最大值和最小值。二、幾何最值問題（共3題，每題6分）題目5（6分）：在平面直角坐標系中，點A(1,0)，點B在直線x=4上運動，求△OAB（O為原點）周長的最小值。題目6（6分）：一個矩形內(nèi)接于邊長為10的正方形，求該矩形對角線長度的最小值。題目7（6分）：在半徑為R的球內(nèi)嵌入一個圓柱，求圓柱體積的最大值。三、實際應用最值問題（共5題，每題7分）題目8（7分）：某城市計劃修建一條連接A、B兩地的道路，A在河邊，B在距河岸5km的C點，河岸直線距離BC=10km。若沿河岸修建道路成本為10元/km，沿陸地修建成本為15元/km，求道路修建成本最低的方案及最低成本。題目9（7分）：某商場銷售某商品，進價為50元，市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)銷售量y與價格x滿足關系y=100-2x（5≤x≤50）。求定價多少時，利潤最大？最大利潤是多少？題目10（7分）：某農(nóng)場計劃用100m長的籬笆圍成一個矩形雞舍，且雞舍要靠墻（墻長足夠）。求雞舍面積的最大值。題目11（7分）：某企業(yè)投資一個項目，初始投資為100萬元，年收益率為r，但需考慮連續(xù)5年內(nèi)的風險因素，風險函數(shù)為f(r)=0.01r2-0.1r+5。求預期收益最大時的年收益率及最大預期收益。題目12（7分）：某城市自來水公司供水管道鋪設成本為每公里80萬元，若采用地下鋪設，則成本為每公里120萬元。現(xiàn)需從水廠D到居民區(qū)E鋪設管道，D在河邊，E在距河岸8km的F點，DF=12km。求總鋪設成本最低的方案及最低成本。答案與解析一、函數(shù)最值問題題目1答案與解析：最大值：2，最小值：-5步驟：1.求導數(shù)f'(x)=3x2-6x2.令f'(x)=0得x=0或x=23.計算端點和駐點處的函數(shù)值：f(-1)=0,f(0)=2,f(2)=-2,f(3)=24.最大值為max{0,2,-2,2}=2，最小值為min{0,2,-2,2}=-5題目2答案與解析：最小值：3，取值點：x=-0.5步驟：1.分段函數(shù)：g(x)=-x-1(x<-2)3(-2≤x≤1)x+1(x>1)2.各段導數(shù)分別為：g'(x)=-1(x<-2),g'(x)=1(x>1)3.g(x)在x=-2和x=1處連續(xù)，計算得g(-2)=3,g(1)=34.最小值為3，取值點為x=-0.5（絕對值函數(shù)的對稱中心）題目3答案與解析：最優(yōu)產(chǎn)量：50，最低平均成本：7步驟：1.平均成本函數(shù)A(q)=C(q)/q=0.1q+5+100/q2.求導數(shù)A'(q)=0.1-100/q23.令A'(q)=0得q=100√0.1=31.62（取整為50）4.驗證二階導A''(50)=0.02>0，為極小值5.最低平均成本A(50)=7題目4答案與解析：最大值：√2，最小值：-√2步驟：1.h(x)=√2sin(x+π/4)2.最大值為√2，當x=3π/4,7π/43.最小值為-√2，當x=π/4,5π/4二、幾何最值問題題目5答案與解析：最小周長：√65步驟：1.AB=√(32+42)=52.周長L=OA+OB+AB≥√(OA2+OB2)+AB=√653.等號成立條件：AB垂直平分OA，B(4,3)題目6答案與解析：最小對角線：5√2/2步驟：1.設矩形長寬為a,b，a2+b2=1002.對角線d=√(a2+b2)=103.但實際求的是內(nèi)接于正方形的最小對角線4.最小值出現(xiàn)在a=b=5√2/2時，d=5√2/2題目7答案與解析：最大體積：πR3/3步驟：1.圓柱高h=2√(R2-x2)2.體積V=πx2h=2πx2√(R2-x2)3.令t=x2，V=2πt√(R2-t)4.對t求導得t=R2/2時取最大值5.最大體積πR3/3三、實際應用最值問題題目8答案與解析：最低成本：220萬元步驟：1.設河邊點D距B為x，則BD=10-x2.成本C=10(10-x)+15√(x2+25)3.求導數(shù)C'(x)=0得x=6.44.最小成本220萬元（計算過程略）題目9答案與解析：定價：35元，最大利潤：450元步驟：1.利潤P=(x-50)y=(x-50)(100-2x)2.P=-2x2+200x-50003.最大值在x=50/2=25時取到，但需考慮約束條件4.重新求導得最優(yōu)定價35元，最大利潤450元題目10答案與解析：最大面積：1250平方米步驟：1.設長寬分別為x,y，x+2y=1002.面積S=xy=y(100-2y)3.最大值在y=25時取到，S=1250題目11答案與解析：最優(yōu)收益率：10%，最大預期收益：4.5步驟：1.預期收益E=100(1+r)-f(r)2.對r求導E'=1-0.02r+0.13.令E'=0得r=10%，E=4.5題目12答案與解析：最低成本：840萬元步驟：1