幾何圖形初步（知識(shí)梳理+34個(gè)考點(diǎn)講練+中考真題演練+難度分層練共85題）TOC\o"1-2"\h\u知識(shí)梳理技巧點(diǎn)撥 2知識(shí)點(diǎn)梳理1：幾何圖形 2知識(shí)點(diǎn)梳理2：直線、射線、線段 3知識(shí)點(diǎn)梳理3：角 4優(yōu)選題型考點(diǎn)講練 5考點(diǎn)1幾何體中的點(diǎn)、棱、面 5考點(diǎn)2從不同方向看幾何體 8考點(diǎn)3由展開圖計(jì)算幾何體的表面積 10考點(diǎn)4由展開圖計(jì)算幾何體的體積 13考點(diǎn)5正方體相對(duì)兩面上的字 15考點(diǎn)6求展開圖上兩點(diǎn)折疊后的距離 16考點(diǎn)7補(bǔ)一個(gè)面使圖形圍成正方體 18考點(diǎn)8點(diǎn)、線面、體四者之間的關(guān)系 19考點(diǎn)9平面圖形旋轉(zhuǎn)后所得的立體圖形 21考點(diǎn)10截一個(gè)幾何體 23考點(diǎn)11直線、線段、射線的數(shù)量問題 25考點(diǎn)12直線相交的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題 27考點(diǎn)13作線段（尺規(guī)作圖） 28考點(diǎn)14線段的和與差 30考點(diǎn)15線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算 31考點(diǎn)16線段n等分點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算 34考點(diǎn)17線段之間的數(shù)量關(guān)系 36考點(diǎn)18與線段有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問題 37考點(diǎn)19兩點(diǎn)之間線段最短 39考點(diǎn)20兩點(diǎn)間的距離 41考點(diǎn)21最短路徑問題 43考點(diǎn)22畫特殊角 45考點(diǎn)23鐘面角 47考點(diǎn)24與方向角有關(guān)的計(jì)算題 48考點(diǎn)25角的單位與角度制 50考點(diǎn)26角的度數(shù)大小比較 52考點(diǎn)27三角板中角度計(jì)算問題 53考點(diǎn)28幾何圖形中角度計(jì)算問題 56考點(diǎn)29角度的四則運(yùn)算 59考點(diǎn)30實(shí)際問題中角度計(jì)算問題 60考點(diǎn)31角平分線的有關(guān)計(jì)算 62考點(diǎn)32角n等分線的有關(guān)計(jì)算 65考點(diǎn)33與余角、補(bǔ)角有關(guān)的計(jì)算 68考點(diǎn)34同(等）角的余(補(bǔ))角相等的應(yīng)用 71中考真題實(shí)戰(zhàn)演練 74難度分層拔尖沖刺 77基礎(chǔ)夯實(shí) 77培優(yōu)拔高 79知識(shí)點(diǎn)梳理1：幾何圖形幾何圖形的分類立體圖形：棱柱、棱錐、圓柱、圓錐、球等.立體圖形：棱柱、棱錐、圓柱、圓錐、球等.平面圖形：三角形、四邊形、圓等.幾何圖形2．立體圖形與平面圖形的相互轉(zhuǎn)化（1）立體圖形的平面展開圖：把立體圖形按一定的方式展開就會(huì)得到平面圖形，把平面圖形按一定的途徑進(jìn)行折疊就會(huì)得到相應(yīng)的立體圖形，通過展開與折疊能把立體圖形和平面圖形有機(jī)地結(jié)合起來．（2）從不同方向看：主（正）視圖從正面看幾何體的三視圖左視圖從左邊看俯視圖從上面看（3）幾何體的構(gòu)成元素及關(guān)系幾何體是由點(diǎn)、線、面構(gòu)成的.點(diǎn)動(dòng)成線，線與線相交成點(diǎn)；線動(dòng)成面，面與面相交成線；面動(dòng)成體，體是由面組成.知識(shí)點(diǎn)梳理2：直線、射線、線段直線，射線與線段的區(qū)別與聯(lián)系2.基本性質(zhì)(1)直線的性質(zhì):兩點(diǎn)確定一條直線．(2)線段的性質(zhì):兩點(diǎn)之間，線段最短．3.畫一條線段等于已知線段（1）度量法：可用直尺先量出線段的長度,再畫一條等于這個(gè)長度的線段.（2）用尺規(guī)作圖法：用圓規(guī)在射線AC上截取AB=ａ，如下圖：4．線段的比較與運(yùn)算（1）線段的比較：比較兩條線段的長短，常用兩種方法，一種是度量法；一種是疊合法.（2）線段的和與差：如下圖，有AB+BC=AC，或AC=a+b；AD=AB-BD。（3）線段的中點(diǎn)：把一條線段分成兩條相等線段的點(diǎn)，叫做線段的中點(diǎn)．如下圖，有：知識(shí)點(diǎn)梳理3：角1．角的度量（1）角的定義：有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫做角，這個(gè)公共端點(diǎn)是角的頂點(diǎn)，這兩條射線是角的兩條邊；此外，角也可以看作由一條射線繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成的圖形.(2)角的表示方法：角通常有三種表示方法：一是用三個(gè)大寫英文字母表示，二是用角的頂點(diǎn)的一個(gè)大寫英文字母表示，三是用一個(gè)小寫希臘字母或一個(gè)數(shù)字表示.例如下圖：（3）角度制及角度的換算1周角=360°，1平角=180°，1°=60′，1′=60″，以度、分、秒為單位的角的度量制，叫做角度制.（4）角的分類∠β銳角直角鈍角平角周角范圍0＜∠β＜90°∠β=90°90°<∠β<180°∠β=180°∠β=360°（5）畫一個(gè)角等于已知角（1）借助三角尺能畫出15°的倍數(shù)的角，在0～180°之間共能畫出11個(gè)角.（2）借助量角器能畫出給定度數(shù)的角.（3）用尺規(guī)作圖法.2．角的比較與運(yùn)算（1）角的比較方法:①度量法；②疊合法.（2）角的平分線：從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成相等的兩個(gè)角的射線，叫做這個(gè)角的平分線，例如：如下圖，因?yàn)镺C是∠AOB的平分線，所以∠1=∠2=∠AOB，或∠AOB=2∠1=2∠2.類似地，還有角的三等分線等.3．余角和補(bǔ)角（1）若∠1+∠2=90°，則∠1與∠2互為余角.其中∠1是∠2的余角，∠2是∠1的余角.（2）若∠1+∠2=180°，則∠1與∠2互為補(bǔ)角.其中∠1是∠2的補(bǔ)角，∠2是∠1的補(bǔ)角.（3）結(jié)論:同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的補(bǔ)角相等.4．方位角以正北、正南方向?yàn)榛鶞?zhǔn)，描述物體運(yùn)動(dòng)的方向，這種表示方向的角叫做方位角.考點(diǎn)1幾何體中的點(diǎn)、棱、面【典例精講】（25-26七年級(jí)上·廣東佛山·期中）將一個(gè)正方體木塊涂成紅色，然后如圖把它的棱四等分，再沿等分線把正方體切開，可以得到64個(gè)小正方體．觀察并回答下列問題：(1)其中三面涂色的小正方體有________個(gè)，兩面涂色的小正方體有________個(gè)，各面都沒有涂色的小正方體有________個(gè)；(2)如果將這個(gè)正方體的棱五等分，所得的小正方體中三面涂色的有________個(gè)，各面都沒有涂色的有________個(gè)；(3)如果要得到各面都沒有涂色的小正方體64個(gè)，那么應(yīng)該將此正方體的棱________等分．【答案】(1)8,24,8(2)8,27(3)6【思路引導(dǎo)】此題主要考查了圖形的變化類問題及立體圖形的認(rèn)識(shí)和用特殊歸納一般規(guī)律的方法．關(guān)鍵是通過正方體的特點(diǎn)來得到有關(guān)涂色情況的規(guī)律．（1）三面涂色的為8個(gè)角上的正方體，兩面涂色的為八條棱上除去三面涂色的正方體的個(gè)數(shù)，沒有涂色的用正方體總數(shù)減去三面、兩面及一面涂色的正方體；（2）同理（1）可進(jìn)行求解；（3）由（2）得將這個(gè)正方體的棱n等分，有n-【規(guī)范解答】（1）解：把正方體的棱四等分，然后沿等分線把正方體切開，得到64個(gè)小正方體．其中三面被涂色的有8個(gè)，兩面涂色的有24個(gè)；各面都沒有涂色的有8個(gè)；故答案為8,24,8．（2）解：根據(jù)正方體的棱五等分時(shí)三面被涂色的有8個(gè)，各面都沒涂色內(nèi)部是(5-∴正方體的棱五等分時(shí)三面被涂色的有8個(gè)，有27個(gè)是各個(gè)面都沒有涂色的，故答案為8,27；（3）解：由（1）（2）可知：當(dāng)把正方體的棱三等分時(shí)，沒有涂色的小正方形有1=3-23個(gè)，當(dāng)把正方體的棱四等分時(shí)，沒有涂色的小正方形有∴將這個(gè)正方體的棱n等分，有(n-∴(n解得：n=6；∴至少應(yīng)該將此正方體的棱6等分，故答案為6．【變式訓(xùn)練】（25-26七年級(jí)上·遼寧沈陽·階段練習(xí)）小明在學(xué)習(xí)了《展開與折疊》這一課后，明白了很多幾何體都能展開成平面圖形．于是他在家用剪刀展開了一個(gè)長方體紙盒，可是一不小心多剪了一條棱，把紙盒剪成了兩部分，即圖中的①和②．根據(jù)你所學(xué)的知識(shí)，回答下列問題：(1)小明總共剪開了______條棱．(直接寫出答案(2)現(xiàn)在小明想將剪斷的②重新粘貼到①上去，而且經(jīng)過折疊以后，仍然可以還原成一個(gè)長方體紙盒，你認(rèn)為他應(yīng)該將剪斷的紙條粘貼到①中有______種情況．(3)據(jù)小明說：他所剪的所有棱中，最長的一條棱是最短的一條棱的6倍，現(xiàn)在已知這個(gè)長方體紙盒的底面是一個(gè)正方形，并且這個(gè)長方體紙盒所有棱長的和是104cm，求這個(gè)長方體紙盒的體積．【答案】(1)8(2)4(3)288【思路引導(dǎo)】（1）根據(jù)平面圖形得出剪開棱的條數(shù)，（2）根據(jù)長方體的展開圖的情況可知有四種情況，（3）設(shè)最短的棱長高為acm，則長與寬相等為6acm，根據(jù)棱長的和是本題主要考查了幾何展開圖，結(jié)合具體的問題，辨析幾何體的展開圖，通過結(jié)合立體圖形與平面圖形的轉(zhuǎn)化，建立空間觀念，是解決此類問題的關(guān)鍵．【規(guī)范解答】（1）解：小明共剪了8條棱，故答案為：8（2）解：如圖，四種情況．，故答案為：4（3）解：∵長方體紙盒的底面是一個(gè)正方形，可設(shè)最短的棱長為acm∴長與寬相等為6acm∵長方體紙盒所有棱長的和是104cm∴4(a+6a+6a)=104解得a=2，∴這個(gè)長方體紙盒的體積為2×答：這個(gè)長方體紙盒的體積為288c考點(diǎn)2從不同方向看幾何體【典例精講】（25-26七年級(jí)上·廣東·期中）如圖，在平整的地面上，9個(gè)完全相同的棱長為1dm(1)請(qǐng)?jiān)诰W(wǎng)格中畫出從正面和左面看到的這個(gè)幾何體的形狀圖；(2)該幾何體的表面積為__________dm2(3)如果在這個(gè)幾何體上再添加一些小立方體，并保持從正面看和從左面看到的形狀圖不變，那么最多可以再添加__________個(gè)小立方體．【答案】(1)見解析(2)36(3)2【思路引導(dǎo)】本題考查了從不同方向看幾何體，幾何體的表面積，掌握從不同方向看幾何體作圖的方法是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意畫出形狀圖即可；（2）根據(jù)幾何體的表面積公式即可求解；（3）先求出保持從正面看和從左面看到的形狀圖不變時(shí)，幾何體中小立方體個(gè)數(shù)最多的情況，再將其與原來的幾何體中小立方體的個(gè)數(shù)作差即可得出答案．【規(guī)范解答】（1）解：畫出從正面和左面看到的這個(gè)幾何體的形狀圖如下：（2）解：從正面或背面看，有6個(gè)小正方形；從上面或下面看，有5個(gè)小正方形；從左面或右面看，有5個(gè)小正方形，還有4個(gè)小正方形被遮擋；∴該幾何體的表面積為6+5+5×故答案為：36；（3）解：要使幾何體從正面看和從左面看到的形狀圖不變，第一層最多可以有6個(gè)小立方體，第二層最多可以有4個(gè)小立方體，第三層只能有1個(gè)小立方體，∴幾何體最多可以有6+4+1=11（個(gè)）小立方體，∴最多可以再添加11-故答案為：2．【變式訓(xùn)練】（24-25七年級(jí)上·陜西咸陽·期中）如圖，用幾個(gè)大小相同的小立方塊搭成一個(gè)幾何體．畫出從正面、左面、上面看到的這個(gè)幾何體的形狀圖．

【答案】見解析【思路引導(dǎo)】本題考查了從不同方向看幾何體，掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．從正面看得到從左往右3列正方形的個(gè)數(shù)依次為3，1，2；從左面看得到從左往右3列正方形的個(gè)數(shù)依次為3，1，1；從上面看得到從左往右3列正方形的個(gè)數(shù)依次為3，1，2，依此畫出圖形即可．【規(guī)范解答】解：如圖所示：

考點(diǎn)3由展開圖計(jì)算幾何體的表面積【典例精講】（25-26七年級(jí)上·河南鄭州·期中）用若干大小相同棱長為1的小正方體搭一個(gè)幾何體，使得從正面和上面看到的這個(gè)幾何體的形狀如圖所示．完成下列問題：(1)搭成滿足如圖所示的幾何體最多需要個(gè)小正方體，最少需要個(gè)小正方體；(2)請(qǐng)?jiān)谌鐖D網(wǎng)格中畫出用最少小正方體搭成的幾何體的左視圖．（畫出兩種即可）(3)如圖幾何體的表面積為：．【答案】(1)10，7(2)畫圖見解析(3)26【思路引導(dǎo)】（1）根據(jù)主視圖和俯視圖解答即可求解；（2）根據(jù)主視圖和俯視圖解答即可求解；（3）求出幾何體的表面正方形個(gè)數(shù)，進(jìn)而即可求解；本題考查了從不同方向看幾何體，幾何體的表面積，正確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．【規(guī)范解答】（1）解：搭成滿足如圖所示的幾何體最多需要2+2+2+2+2=10個(gè)小正方體，最少需要1+2+1+1+2=7個(gè)小正方體，故答案為：10，7；（2）解：畫圖如下：（3）解：從前后看各有5個(gè)正方形，從左右看各有4個(gè)正方形，從上下看各有4個(gè)正方形，∴幾何體的表面共有5×∴幾何體的表面積為1×故答案為：26．【變式訓(xùn)練】（25-26七年級(jí)上·山東·階段練習(xí)）（1）如圖為一張邊長為30cm①畫出紙盒展開示意圖；②若四角各剪去一個(gè)邊長為4cm（2）如圖為一塊長30cm、寬24cm的長方形紙板，將其四角各剪去一個(gè)正方形，折成高為（3）小明用剪刀展開了一個(gè)長方體紙盒，不小心多剪了一條棱，把紙盒剪成了兩部分．①小明總共剪開了______條棱．②他剪的所有棱中，最長的一條棱是最短的一條棱的5倍．已知紙盒的底面是一個(gè)正方形，且所有棱長之和為88cm【答案】（1）①見解析；②1936cm3；（2）576【思路引導(dǎo)】本題主要考查了幾何展開圖，一元一次方程的應(yīng)用；（1）①畫出示意圖即可；②確定長方體紙盒的長、寬、高，由體積計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算即可；（2）根據(jù)長方形的面積減去4個(gè)邊長為6cm（3）①根據(jù)平面圖形得出剪開棱的條數(shù)；②設(shè)最短的棱長高為acm，則長與寬相等為5acm，根據(jù)棱長的和是【規(guī)范解答】解：①在邊長為30cm②當(dāng)小正方形的邊長為4cm時(shí)，所折疊成長方體紙盒的底面是邊長為30-4×2=22紙盒的體積為22（2）盒子的表面積為30（3）①小明共剪了8條棱，故答案為：8．②∵長方體紙盒的底面是一個(gè)正方形，∴設(shè)最短的棱長高為acm，則長與寬相等為5a∵長方體紙盒所有棱長的和是88cm∴4(a+5a+5a)=88，解得a=2，∴這個(gè)長方體紙盒的體積為2×10×考點(diǎn)4由展開圖計(jì)算幾何體的體積【典例精講】（25-26七年級(jí)上·廣東河源·階段練習(xí)）【問題情境】某綜合實(shí)踐小組開展了“長方體紙盒的制作”實(shí)踐活動(dòng)．(1)【拓展探究】如圖所示的圖形中，是無蓋正方體表面的展開圖的是________（填序號(hào)）(2)綜合實(shí)踐小組利用邊長為acm

①圖①方式制作一個(gè)無蓋的長方體盒子的方法：先在紙板四角剪去四個(gè)同樣大小邊長為bcm的小正方形，再沿虛線折合起來．若a=10cm，②圖②方式制作一個(gè)有蓋的長方體紙盒的方法：先在紙板四角剪去兩個(gè)同樣大小邊長為bcm的小正方形和兩個(gè)同樣大小的小長方形，再沿虛線折合起來．如果a=30cm，b=5cm(3)【問題進(jìn)階】若一個(gè)無蓋長方體的長、寬、高分別為6，4，3，它缺一個(gè)長為6，寬為4的長方形底面，將它的表面沿某些棱剪開，展開成一個(gè)平面圖形，則該長方體表面展開圖的最大外圍周長為多少？通過比較長方體表面展開圖取得最大外圍周長和最小外圍周長的兩個(gè)圖形，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？【答案】(1)①③④(2)①16；②1000(3)該長方體表面展開圖的最大外圍周長為58，規(guī)律是邊長最短的剪得越少，長方體表面展開圖的最大外圍周長越大，邊長最長的剪得越少，長方體表面展開圖的最大外圍周長越?。舅悸芬龑?dǎo)】（1）根據(jù)無蓋正方體紙盒的面數(shù)和展開圖的特征判斷即可；（2）①由條件得底面是正方形，求出邊長后根據(jù)正方形周長公式即可得解；②分別求出長方體的長寬高后根據(jù)長方體的體積公式即可得解；（3）根據(jù)邊長最長的都剪，邊長最短的剪得最少，露出外圍的邊都是長邊，邊長最短的都剪，邊長最長的不剪，露出外圍的邊都是短邊，據(jù)此可得答案；本題主要考查了簡單幾何體的展開圖，熟練根據(jù)簡單幾何的展開圖得出長方體的長寬高是解題的關(guān)鍵．【規(guī)范解答】（1）解：根據(jù)展開圖，②只能折成4個(gè)面，①③④才能折成一個(gè)無蓋正方體紙盒，故選：①③④；（2）①由題意得長方體紙盒的底面為正方形，∴長方體紙盒的底面周長為4a故答案為：16；②由題意可知，該長方體紙盒的長為a-高為b=5cm寬為12∴該長方體紙盒的體積為20×故答案為：1000；（3）邊長最長的都剪，邊長最短的剪得最少，露出外圍的邊都是長邊，如圖，該長方體表面展開圖的最大外圍周長為6×邊長最短的都剪，邊長最長的不剪，露出外圍的邊都是短邊，如圖，該長方體表面展開圖的最小外圍周長為3×則該長方體表面展開圖的最大外圍周長為58，規(guī)律是邊長最短的剪得越少，長方體表面展開圖的最大外圍周長越大，邊長最長的剪得越少，長方體表面展開圖的最大外圍周長越?。咀兪接?xùn)練】（25-26七年級(jí)上·全國·單元測試）如圖是某長方體包裝盒的展開圖，具體數(shù)據(jù)如圖所示，且長方體盒子的長是高的2倍．(1)展開圖的6個(gè)面分別標(biāo)有如圖所示的序號(hào)，則原包裝盒與①相對(duì)的面是___________（填序號(hào)）；(2)求長方體包裝盒的體積．【答案】(1)⑥；(2)375cm3【思路引導(dǎo)】本題考查了長方體的相對(duì)面，一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握長方體展開圖的特征，列出一元一次方程．（1）根據(jù)長方體展開圖進(jìn)行判斷即可解題；（2）設(shè)長方體的高為xcm，則長為2xcm，由題意得35-【規(guī)范解答】（1）解：由長方體包裝盒表面展開圖的特征可知，包裝盒與①相對(duì)的面是⑥，故答案為：⑥；（2）解：設(shè)長方體的高為xcm，則長為2x由題意得，35-解得x=5，所以長為10cm，寬為7.5cm，高為則體積為10×答：這個(gè)長方體包裝盒的體積為375cm3考點(diǎn)5正方體相對(duì)兩面上的字【典例精講】（25-26七年級(jí)上·山西太原·階段練習(xí)）在學(xué)校組織的“傳統(tǒng)文化進(jìn)校園”活動(dòng)中，禮堂的電子屏上，以古典民樂為背景音，滾動(dòng)播放由一個(gè)立方體與其平面展開圖相互轉(zhuǎn)化形成的視頻．這個(gè)立方體的六個(gè)面上分別有：梅、蘭、竹、菊、松、柏，同學(xué)們能看到的一個(gè)展開圖是（

）A． B．C． D．【答案】C【思路引導(dǎo)】本題主要考查了正方體的展開圖，熟練掌握正方體展開圖中面的相鄰關(guān)系是解題的關(guān)鍵．根據(jù)正方體展開圖的特征，判斷每個(gè)選項(xiàng)折疊后“梅”?“竹”?“柏”的位置關(guān)系是否與原立方體一致．【規(guī)范解答】解：原立方體中“梅”?“竹”?“柏”相鄰，選項(xiàng)A，折疊后“梅”?與“柏”不相鄰，不符合．選項(xiàng)B，折疊后“梅”與“柏”不相鄰，不符合．選項(xiàng)C：折疊后““梅”?“竹”?“柏”相鄰，符合．選項(xiàng)D，折疊后“竹”與“柏”不相鄰，不符合．故選項(xiàng)C符合題意．故選：C．【變式訓(xùn)練】（24-25七年級(jí)上·陜西咸陽·期中）一個(gè)正方體的六個(gè)面分別標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4、5、6，從三個(gè)不同的方向看到的情形如圖所示，則數(shù)字6的對(duì)面是．【答案】2【思路引導(dǎo)】本題考查了相對(duì)面上的數(shù)字．根據(jù)正方體表面展開圖的判斷“鄰面”和“對(duì)面”即可．【規(guī)范解答】解：由第一個(gè)和第二個(gè)正方體可知，與數(shù)字1所在的面相鄰的面上數(shù)字是3、2、4、6，因此，與數(shù)字2所在的面相對(duì)的面上的數(shù)字是6，即“6”與“2”相對(duì)，故答案為：2．考點(diǎn)6求展開圖上兩點(diǎn)折疊后的距離【典例精講】．（2025·河南焦作·二模）如圖是正方體表面展開圖．將其折疊成正方體后，距頂點(diǎn)P最遠(yuǎn)的點(diǎn)是（

）A．點(diǎn)A B．點(diǎn)B C．點(diǎn)C D．點(diǎn)D【答案】A【思路引導(dǎo)】本題考查了平面圖形和立體圖形，把圖形圍成立體圖形求解．【規(guī)范解答】解：把圖形圍成立方體如圖所示：所以與頂點(diǎn)P距離最遠(yuǎn)的頂點(diǎn)是A，故選：A．【變式訓(xùn)練】（24-25七年級(jí)上·全國·課后作業(yè)）如圖，一只蜘蛛在長方體木塊的頂點(diǎn)A處，一只蒼蠅在頂點(diǎn)B處，蜘蛛急于捉住蒼蠅，沿著A→D→B爬行，請(qǐng)你確定蜘蛛爬行路線最短時(shí)點(diǎn)

【答案】見解析【思路引導(dǎo)】本題主要考查了平面展開-最短路徑問題，將該長方形木塊的前面和右面展開，連接AB，交CE于點(diǎn)D，即可．【規(guī)范解答】解：如答圖，將該長方形木塊的前面和右面展開，連接AB，交CE于點(diǎn)D，點(diǎn)D即為所求．

考點(diǎn)7補(bǔ)一個(gè)面使圖形圍成正方體【典例精講】（2024七年級(jí)上·全國·專題練習(xí)）如圖①，正方形網(wǎng)格中是一個(gè)正方體的部分展開圖．(1)請(qǐng)你在圖②、圖③中各畫1個(gè)正方形，使這6個(gè)正方形能折疊成一個(gè)正方體；(2)若這個(gè)正方體相對(duì)面上的兩個(gè)數(shù)相等，求x、y的值．【答案】(1)見解析(2)x=1，y=【思路引導(dǎo)】本題主要考查了正方體相對(duì)兩個(gè)面上的文字，注意正方體的空間圖形，從相對(duì)面入手，分析及解答問題．（1）根據(jù)正方體的展開與折疊解答即可；（2）正方體的表面展開圖，相對(duì)的面之間一定相隔一個(gè)正方形，根據(jù)這一特點(diǎn)確定相對(duì)面，再根據(jù)相反數(shù)的定義求出x、y的值．【規(guī)范解答】（1）解：如圖所示．（答案不唯一，任選兩種即可）（2）解：根據(jù)題意，得x+1=2，即x=1，因?yàn)?x=y所以y=-【變式訓(xùn)練】（25-26七年級(jí)上·江西萍鄉(xiāng)·階段練習(xí)）周末，小明同學(xué)準(zhǔn)備了一份禮物送給自己的好朋友．他設(shè)計(jì)了一個(gè)正方體盒子進(jìn)行包裝，如圖，由于粗心少設(shè)計(jì)了其中一個(gè)頂蓋，請(qǐng)你把它補(bǔ)上，使其成為一個(gè)兩面均有蓋的正方體盒子．(1)共有___________種彌補(bǔ)方法；(2)任意畫出一種成功的設(shè)計(jì)圖（在圖中補(bǔ)充），并將-2【答案】(1)4(2)見解析【思路引導(dǎo)】本題考查了正方體展開圖，知道正方體展開圖的形狀是關(guān)鍵；（1）根據(jù)正方體展開圖即可求解；（2）根據(jù)（1）中4種正方體展開圖任選一個(gè)完成即可．【規(guī)范解答】（1）解：根據(jù)正方體展開圖特點(diǎn)知，中間三連方，兩側(cè)各一、二個(gè)，有三種；兩排各三個(gè)，有一種，共4種．故答案為：4；（2）解：如圖所示，答案不唯一．考點(diǎn)8點(diǎn)、線面、體四者之間的關(guān)系【典例精講】（25-26七年級(jí)上·貴州·階段練習(xí)）下圖所示的是由直角三角形和長方形拼成的四邊形．(1)將這個(gè)四邊形繞虛線旋轉(zhuǎn)一周，可以得到一個(gè)立體圖形，這能說明的事實(shí)是________（填序號(hào)）．①點(diǎn)動(dòng)成線；

②線動(dòng)成面；

③面動(dòng)成體．(2)求得到的立體圖形的體積（結(jié)果保留π）．【答案】(1)③(2)48π【思路引導(dǎo)】本題考查了點(diǎn)、線、面、體的關(guān)系及旋轉(zhuǎn)體體積的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是理解面動(dòng)成體的原理，結(jié)合旋轉(zhuǎn)軸和相關(guān)邊長準(zhǔn)確確定旋轉(zhuǎn)后立體圖形的組成及參數(shù)，再運(yùn)用體積公式計(jì)算．（1）根據(jù)四邊形繞虛線旋轉(zhuǎn)成立體圖形的過程，判斷體現(xiàn)的點(diǎn)、線、面、體關(guān)系；（2）明確沿長方形一邊旋轉(zhuǎn)后，立體圖形由底面半徑3cm、高6cm的圓柱減去底面半徑3cm【規(guī)范解答】（1）解：四邊形繞虛線旋轉(zhuǎn)一周得到立體圖形，說明面動(dòng)成體．故答案為：③．（2）解：由題意得，沿長方形一邊旋轉(zhuǎn)后，立體圖形由底面半徑3cm、高(4+2)=6cm的圓柱減去底面半徑3cm設(shè)圓柱的體積為V1，圓錐的體積為V2，旋轉(zhuǎn)后得到的立體圖形的體積為V1V2V3答：得到的立體圖形的體積為48πcm【變式訓(xùn)練】（25-26七年級(jí)上·廣東佛山·階段練習(xí)）如圖，某酒店大堂的旋轉(zhuǎn)門內(nèi)部由三塊寬為1.8m、高為3(1)將此旋轉(zhuǎn)門旋轉(zhuǎn)一周，能形成的幾何體是_____；用數(shù)學(xué)知識(shí)解釋這一現(xiàn)象是______；(2)求該旋轉(zhuǎn)門旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體的體積．（邊框及銜接處忽略不計(jì)，結(jié)果保留π）【答案】(1)圓柱，面動(dòng)成體(2)9.72【思路引導(dǎo)】本題考查了圓柱的體積，平面圖形旋轉(zhuǎn)后形成的立方體，（1）旋轉(zhuǎn)門的形狀是長方形；長方形旋轉(zhuǎn)一周，能形成的幾何體是圓柱；（2）根據(jù)圓柱體的體積=底面積×高計(jì)算即可．【規(guī)范解答】（1）解：∵旋轉(zhuǎn)門的形狀是長方形，∴旋轉(zhuǎn)門旋轉(zhuǎn)一周，能形成的幾何體是圓柱，這能說明的事實(shí)是面動(dòng)成體．故答案為：圓柱，面動(dòng)成體．（2）解：該旋轉(zhuǎn)門旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體是圓柱，體積為：π×故形成的幾何體的體積是9.72π考點(diǎn)9平面圖形旋轉(zhuǎn)后所得的立體圖形【典例精講】（25-26七年級(jí)上·四川成都·階段練習(xí)）同一個(gè)圖形繞不同的軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，得到的幾何體一般不同．如圖是一個(gè)直角三角形．(1)當(dāng)該三角形繞著長為3cm的邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，得到一個(gè)幾何體，請(qǐng)求出這個(gè)幾何體的體積（結(jié)果保留π(2)當(dāng)該三角形繞著長為5cm的邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，得到一個(gè)幾何體，請(qǐng)求出這個(gè)幾何體的體積（結(jié)果保留π【答案】(1)16π(2)48【思路引導(dǎo)】本題主要考查基本圖形的旋轉(zhuǎn)，掌握幾何體的基本概念和體積計(jì)算公式是關(guān)鍵．（1）三角形繞著直角邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周得到圓錐，結(jié)合圓錐體積公式計(jì)算即可得出答案；（2）直角三角形繞著斜邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周，得到兩個(gè)扣在一起的圓錐．【規(guī)范解答】（1）當(dāng)該三角形繞著長為3cm的邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，得到的幾何體是底面半徑4cm，高為所以體積為13（2）當(dāng)該三角形繞著長為5cm的邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，得到兩個(gè)等底面的圓錐體的組合體，如圖2，設(shè)5cm邊上的高為因?yàn)?所以r=12所以體積為1【變式訓(xùn)練】（25-26七年級(jí)上·四川成都·階段練習(xí)）將一個(gè)長為6?cm，寬為5?cm的長方形繞它的一邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，則得到的幾何體的體積為【答案】150π或【思路引導(dǎo)】本題考查了點(diǎn)、線、面、體和圓柱體的體積的求法，熟記圓柱體的體積公式是解題關(guān)鍵，根據(jù)圓柱體的體積公式計(jì)算即可．【規(guī)范解答】解：繞長方形的長所在的直線旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體是底面半徑為5?cm，高為該圓柱的體積為：π×繞長方形的寬所在的直線旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體是底面半徑為6?cm，高為如圖，該圓柱的體積為：π×故答案為：150π或180考點(diǎn)10截一個(gè)幾何體【典例精講】（25-26七年級(jí)上·遼寧·階段練習(xí)）如圖，用一平面切截正方體，截面圖形一定是（

）A．正方形 B．長方形 C．梯形 D．平行四邊形．【答案】D【思路引導(dǎo)】本題考查了用平面去截正方體，截面的四條邊對(duì)邊平行，根據(jù)平行四邊形的定義，可知截面圖形一定是平行四邊形．【規(guī)范解答】解：如圖，用一平面切截正方體，截面圖形一定是平行四邊形．故選：D【變式訓(xùn)練】25-26七年級(jí)上·全國·課后作業(yè)）如圖①，從大正方體上截去一個(gè)小正方體之后，可以得到如圖②所示的立體圖形．(1)設(shè)原大正方體的表面積為S，圖②中立體圖形的表面積為S1，則S1與S的大小關(guān)系是（A．S1>SB．S1=S(2)小明說：“設(shè)圖①中大正方體的棱長之和為l，圖②中立體圖形各棱的長度之和為l1，則l1比(3)圖③是圖②中立體圖形的表面展開圖嗎？如果不是，請(qǐng)?jiān)趫D③中予以修正．【答案】(1)B(2)不一定正確．理由見解析(3)不是．圖見解析【思路引導(dǎo)】（1）根據(jù)平移的性質(zhì)可得出S1與S（2）利用立方體的性質(zhì)得出棱長之間的關(guān)系；（3）利用立方體的側(cè)面展開圖的性質(zhì)得出即可．【規(guī)范解答】（1）解：設(shè)原大正方體的表面積為S，圖②中立體圖形的表面積為S1截去三個(gè)正方形的面，還露出三個(gè)正方形的面，那么S1與S故選：B．（2）解：不一定正確．理由：設(shè)大正方體的棱長為1，小正方體的棱長為x，則l1因?yàn)橹挥挟?dāng)x=12時(shí)，才有（3）解：不是．如圖所示．【考點(diǎn)剖析】此題主要考查了立方體的側(cè)面展開圖以及立方體的性質(zhì)等知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力．考點(diǎn)11直線、線段、射線的數(shù)量問題【典例精講】（25-26七年級(jí)上·全國·課后作業(yè)）如下圖．(1)【試驗(yàn)觀察】如果每2個(gè)點(diǎn)畫1條直線，那么第1組最多可以畫________條直線；第2組最多可以畫________條直線；第3組最多可以畫________條直線；……(2)【探索歸納】如果平面上有nn≥3個(gè)點(diǎn)，且任意3個(gè)點(diǎn)均不在1條直線上，那么經(jīng)過n(3)【解決問題】（3）某班45名同學(xué)在畢業(yè)后的一次聚會(huì)中，如果每兩人握一次手問好，那么一共需要握多少次手？【答案】（1）3，6，10；（2）nn【思路引導(dǎo)】本題主要考查規(guī)律的探究，找出其中的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．（1）先根據(jù)圖中點(diǎn)的個(gè)數(shù)，畫出圖形，從而可確定出圖形中直線的條數(shù)；（2）由（1）規(guī)律求得即可；（3）根據(jù)（1）（2）規(guī)律應(yīng)用求解即可．【規(guī)范解答】（1）解：如圖所示：直線的條數(shù)分別可表示為：3=1+2；故答案為：3，6，10；（2）解：由（1）規(guī)律可得，如果平面上有nn≥3個(gè)點(diǎn)，且任意3個(gè)點(diǎn)均不在1條直線上，那么經(jīng)過n故答案為：nn（3）解：某班45名同學(xué)在畢業(yè)后的一次聚會(huì)中，如果每兩人握1次手問好，那么共握手次數(shù)=1答：一共需要握990次手．【變式訓(xùn)練】（25-26七年級(jí)上·全國·課后作業(yè)）（1）【觀察思考】如圖，線段AB上有兩個(gè)點(diǎn)C，D，則圖中共有________條線段．（2）【模型構(gòu)建】如果線段上有m個(gè)點(diǎn)（包括線段的兩個(gè)端點(diǎn)），那么該線段上共有多少條線段？（3）【拓展應(yīng)用】某班45名同學(xué)在畢業(yè)后的一次聚會(huì)中，如果每兩人握1次手問好，那么共握多少次手？【答案】（1）6；（2）12mm【思路引導(dǎo)】此題主要考查了線段的計(jì)數(shù)問題，解本題的關(guān)鍵是找出規(guī)律，此類題目容易數(shù)重或遺漏，要特別注意．（1）從左向右依次固定一個(gè)端點(diǎn)A，C，D找出線段，最后求和即可；（2）根據(jù)數(shù)線段的特點(diǎn)列出式子化簡即可；（3）將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成（2）的模型，借助（2）的結(jié)論即可得出結(jié)論．【規(guī)范解答】解：（1）∵以點(diǎn)A為左端點(diǎn)向右的線段有：線段AB、AC、AD，以點(diǎn)C為左端點(diǎn)向右的線段有線段CD、CB，以點(diǎn)D為左端點(diǎn)的線段有線段DB，∴共有3+2+1=6條線段；（2）設(shè)該線段上共有x條線段，則x=(m-所以倒序排列有x=1+2+3+?所以2x=m+m+m+?所以x=1（3）共握12考點(diǎn)12直線相交的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題【典例精講】（24-25七年級(jí)上·全國·課后作業(yè)）如圖，同一平面內(nèi)2條直線相交，只有1個(gè)交點(diǎn)；3條直線兩兩相交，最多有3個(gè)交點(diǎn)；4條直線兩兩相交，最多有個(gè)交點(diǎn)；5條直線兩兩相交，最多有個(gè)交點(diǎn)．請(qǐng)你猜想：10條直線兩兩相交，最多有個(gè)交點(diǎn)；n條直線兩兩相交，最多有個(gè)交點(diǎn)．【答案】61045n【思路引導(dǎo)】本題通過分析不同數(shù)量直線兩兩相交時(shí)最多交點(diǎn)數(shù)的規(guī)律，進(jìn)而推導(dǎo)出n條直線兩兩相交時(shí)最多交點(diǎn)數(shù)的通用公式．本題考查了直線相交時(shí)交點(diǎn)數(shù)的規(guī)律探索，掌握通過分析少量直線相交的最多交點(diǎn)數(shù)，總結(jié)出n條直線兩兩相交最多交點(diǎn)數(shù)的公式是解題的關(guān)鍵．【規(guī)范解答】解：4條直線兩兩相交，最多交點(diǎn)數(shù)為1+2+3=6，所以①處填6；5條直線兩兩相交，最多交點(diǎn)數(shù)為1+2+3+4=10，所以②處填10；10條直線兩兩相交，最多交點(diǎn)數(shù)為1+2+3+?n條直線兩兩相交，最多交點(diǎn)數(shù)為n(n-1)2故答案為：6；10；【變式訓(xùn)練】（24-25七年級(jí)上·山東濟(jì)寧·期末）在同一平面內(nèi)，我們把n條直線中任一條直線都和其余的直線相交叫做直線兩兩相交．兩條直線相交，最多有1個(gè)交點(diǎn)；三條直線兩兩相交，最多有3個(gè)交點(diǎn)；四條直線兩兩相交，最多有6個(gè)交點(diǎn)．．．按照此規(guī)律，n條直線兩兩相交，最多交點(diǎn)個(gè)數(shù)是（）A．12nn-1 B．【答案】A【思路引導(dǎo)】本題考查了探究規(guī)律，兩條直線相交，最多有12×22-【規(guī)范解答】解：兩條直線相交，最多有12三條直線兩兩相交，最多有12四條直線兩兩相交，最多有12按照此規(guī)律，n條直線兩兩相交，最多交點(diǎn)個(gè)數(shù)是12故選：A．考點(diǎn)13作線段（尺規(guī)作圖）【典例精講】（24-25七年級(jí)上·全國·課后作業(yè)）如圖，已知線段a，b，c，用圓規(guī)和直尺作線段AB，使AB=a+b-【答案】見詳解【思路引導(dǎo)】本題考查了尺規(guī)作圖-作一條線段等于已知線段，線段的和差等知識(shí)．先作射線AM，再依次作線段AC=a，CD=b，再在線段AD上作DB=c，則AB=a+b-【規(guī)范解答】解：如圖，（1）作射線AM，（2）以A為圓心，以a長為半徑作弧，交射線AM于點(diǎn)C，則AC=a；（3）以C為圓心，以b長為半徑作弧，在交射線AM于點(diǎn)D，則CD=b；（4）以D為圓心，以c長為半徑作弧，交線段AD于點(diǎn)B，則AB=a+b-即AB為所求作線段．【變式訓(xùn)練】（23-24七年級(jí)上·廣東·期末）如圖，O點(diǎn)是數(shù)軸的原點(diǎn)，數(shù)軸正半軸上有一點(diǎn)A，已知OA=2．(1)在原點(diǎn)O的左側(cè)畫點(diǎn)B，使OB=3OA；（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）(2)點(diǎn)M，點(diǎn)N同時(shí)從原點(diǎn)O出發(fā)，點(diǎn)M以每秒3個(gè)單位長度的速度沿?cái)?shù)軸向左運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)B后立即返回向右運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N以每秒1個(gè)單位長度的速度沿?cái)?shù)軸向右運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)O時(shí)，兩個(gè)點(diǎn)都停止運(yùn)動(dòng)．若BM=ON時(shí)，求t的值；(3)在以上的條件下，若點(diǎn)M到達(dá)點(diǎn)O后繼續(xù)沿?cái)?shù)軸向右運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)速度和方向保持不變．在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，若點(diǎn)A，點(diǎn)B，點(diǎn)M，點(diǎn)N到原點(diǎn)O的距離之和是15，求t的值．【答案】(1)見解析(2)t的值為32(3)t的值為74或52【思路引導(dǎo)】本題考查了尺規(guī)作圖—作一條線段等于已知線段、數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問題及一元一次方程的應(yīng)用，（1）根據(jù)作線段的尺規(guī)作圖方法即可得；（2）先求出點(diǎn)B表示的有理數(shù)是-6，再求出點(diǎn)M從點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B所需時(shí)間為2秒，然后分兩種情況：①0≤t（3）分三種情況：①0≤t≤2，②2<【規(guī)范解答】（1）解：如圖，點(diǎn)B即為所求；（2）∵OA=2,OB=3OA，∴OB=6，∴點(diǎn)B表示的有理數(shù)是-6點(diǎn)M從點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B所需時(shí)間為63①當(dāng)0≤t≤2時(shí)，點(diǎn)∴BM=-∵BM=ON，∴6-解得t=3②當(dāng)2<∴BM=3t-∵BM=ON，∴3t-解得t=3，符合題設(shè)，綜上，t的值為32（3）①當(dāng)0≤t≤2時(shí)，點(diǎn)∴OM=3t,ON=t，∵點(diǎn)A，點(diǎn)B，點(diǎn)M，點(diǎn)N到原點(diǎn)O的距離之和是15，∴2+6+3t+t=15，解得t=7②當(dāng)2<∴OM=6+6-∵點(diǎn)A，點(diǎn)B，點(diǎn)M，點(diǎn)N到原點(diǎn)O的距離之和是15，∴2+6+12-解得t=5③當(dāng)t>∴OM=3t-∵點(diǎn)A，點(diǎn)B，點(diǎn)M，點(diǎn)N到原點(diǎn)O的距離之和是15，∴2+6+3t-解得t=19綜上，t的值為74或52或考點(diǎn)14線段的和與差【典例精講】（25-26七年級(jí)上·全國·單元測試）如圖，C，D為線段AB上兩點(diǎn)，AC+BD=12，且AD+BC=107AB，則【答案】9【思路引導(dǎo)】本題考查線段的和差，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，列出方程；由題意得方程12+2CD=10【規(guī)范解答】解：∵AC+BD=12，AD+BC=∴AC+CD+CD+BD=12+2CD=∴12+2CD=解得：CD=9．故答案為：9．【變式訓(xùn)練】（25-26七年級(jí)上·全國·課后作業(yè)）已知線段AB=a，延長AB至點(diǎn)C，使BC=2AB．(1)請(qǐng)補(bǔ)全圖形，并求AC的長．(2)若點(diǎn)D為線段AC上一點(diǎn)，且BD=13AB【答案】(1)見解析，AC=3a(2)CD=53【思路引導(dǎo)】本題考查兩點(diǎn)間的距離，掌握?qǐng)D形中線段的和差關(guān)系是正確解答的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意畫圖即可，再根據(jù)線段之間的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算即可；（2）分兩種情況，即點(diǎn)D在點(diǎn)B的左側(cè)或右側(cè)，根據(jù)圖形中線段的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算即可．【規(guī)范解答】（1）解：如圖，因?yàn)锳B=a，BC=2AB，所以BC=2a，所以AC=AB+BC=3a；（2）解：由于BD=1當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)B的左側(cè)時(shí)，CD=BC+BD=2a+1當(dāng)點(diǎn)D在點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)，CD=BC-所以CD=53a考點(diǎn)15線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算【典例精講】（25-26七年級(jí)上·黑龍江齊齊哈爾·期中）如圖，數(shù)軸上O，A兩點(diǎn)的距離為12，一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，按以下規(guī)律跳動(dòng)：第1次跳動(dòng)到AO的中點(diǎn)A1處，第2次從A1點(diǎn)跳動(dòng)到A1O的中點(diǎn)A2處，第3次從A2點(diǎn)跳動(dòng)到A2O的中點(diǎn)A3處．按照這樣的規(guī)律繼續(xù)跳動(dòng)到點(diǎn)A4，A5，A6…【答案】9【思路引導(dǎo)】本題主要考查了數(shù)軸上的點(diǎn)表示數(shù)，數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離，先根據(jù)規(guī)律得出各點(diǎn)表示的數(shù)，進(jìn)而求出點(diǎn)2025次跳動(dòng)的點(diǎn)表示的數(shù)，再求出A1【規(guī)范解答】解：由題意可得，點(diǎn)A1表示的數(shù)為12點(diǎn)A2表示的數(shù)為12點(diǎn)A3表示的數(shù)為12…，點(diǎn)An表示的數(shù)為12∴點(diǎn)A2025表示的數(shù)為12∵A1A的中點(diǎn)表示的數(shù)為∴2025次跳動(dòng)后的點(diǎn)與A1A的中點(diǎn)的距離是：故答案為：9-【變式訓(xùn)練】（25-26七年級(jí)上·湖北武漢·階段練習(xí)）數(shù)軸上兩個(gè)點(diǎn)A、B對(duì)應(yīng)的數(shù)為-8、2，若M、N兩點(diǎn)分別從A、B兩點(diǎn)出發(fā)，各自以一定速度在數(shù)軸上運(yùn)動(dòng)，且M點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為2(1)若M、N兩點(diǎn)均向數(shù)軸正方向同時(shí)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)N點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到6時(shí)，M點(diǎn)恰好到達(dá)原點(diǎn)，求N點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度．(2)若M、N兩點(diǎn)以（1）中的速度向右運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)多少時(shí)間時(shí)，MO=2NO？(3)若C點(diǎn)在A、B之間，N點(diǎn)從B點(diǎn)出發(fā)向數(shù)軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)．當(dāng)N點(diǎn)走到B、C兩點(diǎn)的中點(diǎn)D處時(shí)，它到A、C兩點(diǎn)的距離和為多少？(4)若點(diǎn)M沿?cái)?shù)軸向右運(yùn)動(dòng)，記AM的中點(diǎn)為P，記BM的中點(diǎn)為Q，假設(shè)運(yùn)動(dòng)t秒，此時(shí)：點(diǎn)P表示的數(shù)為，點(diǎn)Q表示的數(shù)為，點(diǎn)P與點(diǎn)Q的距離PQ=．【答案】(1)N點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為1個(gè)單位/秒；(2)運(yùn)動(dòng)1秒時(shí)，MO=2NO；(3)當(dāng)N點(diǎn)走到B、C兩點(diǎn)的中點(diǎn)D處時(shí)，它到A、C兩點(diǎn)的距離和為10；(4)-8+t，t-【思路引導(dǎo)】本題考查一元一次方程的實(shí)際應(yīng)用，用數(shù)軸上的點(diǎn)表示有理數(shù)，數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離．（1）設(shè)N點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為n個(gè)單位/秒，根據(jù)題意列方程求解即可；（2）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒時(shí)，根據(jù)點(diǎn)M和原點(diǎn)的位置關(guān)系分類討論，列方程求解即可；（3）根據(jù)已知可得AB=10，由點(diǎn)之間的位置關(guān)系可得當(dāng)N點(diǎn)走到B、C兩點(diǎn)的中點(diǎn)D處時(shí)，它到A、C兩點(diǎn)的距離和；（4）根據(jù)題意可得AP=t，從而可得點(diǎn)P表示的數(shù)，根據(jù)點(diǎn)M和點(diǎn)B的位置關(guān)系，進(jìn)行分類討論，可得BQ，從而可得點(diǎn)Q表示的數(shù)，減去點(diǎn)P表示的數(shù)，即可得點(diǎn)P與點(diǎn)Q的距離．【規(guī)范解答】（1）解：設(shè)N點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為n個(gè)單位/秒，根據(jù)題意可得6-解得n=1，∴N點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為1個(gè)單位/秒．（2）解：設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒時(shí)，MO=2NO，∵點(diǎn)A、B對(duì)應(yīng)的數(shù)為-8、2∴OA=0--8若點(diǎn)M在原點(diǎn)左側(cè)，8-解得t=1，若點(diǎn)M在原點(diǎn)右側(cè)，2t-∴運(yùn)動(dòng)1秒時(shí)，MO=2NO．（3）解：∵點(diǎn)A、B對(duì)應(yīng)的數(shù)為-8、2∴AB=2-當(dāng)N點(diǎn)走到B、C兩點(diǎn)的中點(diǎn)D處時(shí)，NB=NC，∴NA+NC=NA+NB=AB=10，∴當(dāng)N點(diǎn)走到B、C兩點(diǎn)的中點(diǎn)D處時(shí)，它到A、C兩點(diǎn)的距離和為10．（4）解：AP=2t×∴點(diǎn)P表示的數(shù)為-8+t若點(diǎn)M在點(diǎn)B左邊，BQ=1∴點(diǎn)Q表示的數(shù)為2-PQ=PM+MQ=1若點(diǎn)M在點(diǎn)B右邊，BQ=1∴點(diǎn)Q表示的數(shù)為2+tPQ=t∴點(diǎn)P表示的數(shù)為-8+t，點(diǎn)Q表示的數(shù)為t-3，點(diǎn)P與點(diǎn)Q故答案為：-8+t，t-3考點(diǎn)16線段n等分點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算【典例精講】24-25七年級(jí)上·山西呂梁·期末）如圖，點(diǎn)C為線段AB上一點(diǎn)，點(diǎn)D為線段CB的中點(diǎn)，且AB=18cm，AC=8(1)求線段BD的長度．(2)若點(diǎn)E在線段AB上，且點(diǎn)E是線段AB的三等分點(diǎn)，求線段ED的長度．【答案】(1)5(2)7cm或【思路引導(dǎo)】本題考查線段的和差，中點(diǎn)的定義，三等分點(diǎn)的定義，（1）根據(jù)BC=AB-AC，（2）先求出BE的長，再根據(jù)三等分點(diǎn)的定義可求解；根據(jù)題意得出各線段之間的和、差及倍數(shù)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【規(guī)范解答】（1）解：∵AB=18，AC=8，∴BC=AB-∵點(diǎn)D為線段CB的中點(diǎn)，∴BD=1∴線段BD的長度為5cm（2）當(dāng)AE=13AB∵AB=18，∴AE=13AB=∵BD=5，∴ED=BE-當(dāng)AE=23AB∵AB=18，∴AE=23AB=∵BD=5，∴ED=BE-∴線段ED的長度為7cm或1【變式訓(xùn)練】（24-25七年級(jí)上·湖北武漢·期末）已知線段AB長為12，點(diǎn)D是線段AB的三等分點(diǎn)，點(diǎn)C是線段AB上一點(diǎn)，且滿足AC+CD=BC，則AC=．【答案】4或16【思路引導(dǎo)】本題考查線段的和與差，分BD=13AB=4【規(guī)范解答】解：當(dāng)BD=1∵AC+CD=BC=BD+CD，∴AC=BD=4；當(dāng)AD=1則：AC+CD=AC+AC-∵AC+BC=AB=12，∴3AC-∴AC=16綜上：AC=4或AC=16故答案為：4或163考點(diǎn)17線段之間的數(shù)量關(guān)系【典例精講】（24-25七年級(jí)上·湖北武漢·月考）如圖，點(diǎn)B在線段AC上，且BC=2AB，D,E分別是AB，BC的中點(diǎn)．則下列結(jié)論：①AB=13AC；②B是AE的中點(diǎn)；③EC=2BD；④DE=32A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】D【思路引導(dǎo)】本題考查了線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算，線段的數(shù)量，線段的和差計(jì)算，根據(jù)線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算和線段的和差結(jié)合題意可得結(jié)論①②③④正確，圖中線段總共有10條，分別加一起即可求出結(jié)論⑤正確【規(guī)范解答】解：①、由BC=2AB，AC=AB+BC，得：②、由E是BC的中點(diǎn)，BC=2AB，得BE=AB，則B是AE的中點(diǎn)，故正確；③、由D，E分別是AB，BC的中點(diǎn)，得：④、由上述結(jié)論，得：DE=DB+BE=1⑤、由DE=32AB，DE=5，得到AB=103，又13AC=AB∴AD+AB+AE+AC=DB+DE+DC=5BE+BC=103+∴圖中所有線段之和為653綜上所述，正確的結(jié)論共有5個(gè)，故選：D【變式訓(xùn)練】（24-25七年級(jí)下·湖南郴州·開學(xué)考試）如圖，線段AC上依次有D，B，E三點(diǎn)，AD=12DB，E是BC(1)求證：AD=BE；(2)求線段AC的長．【答案】(1)見解析(2)10【思路引導(dǎo)】本題主要考查了線段和差倍分，線段中點(diǎn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握線段和差倍分的計(jì)算．（1）利用線段的倍分關(guān)系即可證明；（2）利用線段中點(diǎn)性質(zhì)得出BC=4，利用線段的倍分關(guān)系求出DB長度，然后利用線段的和差即可求解．【規(guī)范解答】（1）證明：∵BE=1∴BE=1∵AD=1∴AD=BE；（2）解：∵E是BC的中點(diǎn)，∴BC=2BE=4,由（1）得AD=BE=2，∴DB=2AD=4，∴AC=AD+DB+BC=2+4+4=10，∴線段AC的長為10．考點(diǎn)18與線段有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問題【典例精講】（24-25七年級(jí)上·云南臨滄·期末）在數(shù)軸上，點(diǎn)O為原點(diǎn)，點(diǎn)A表示的數(shù)為a，點(diǎn)B表示的數(shù)為b，且a、b滿足a+32(1)求線段AB的長；(2)若A、B兩點(diǎn)分別以每秒2個(gè)單位長度和每秒3個(gè)單位長度的速度在數(shù)軸上同時(shí)向左運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過多少秒，點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)且兩點(diǎn)之間的距離為10？(3)點(diǎn)P為射線BA上的一個(gè)點(diǎn)，且不與A、B兩點(diǎn)重合，M為線段的PA的中點(diǎn)，N為線段的PB的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在射線BA上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段MN的長度是否會(huì)發(fā)生改變？若不變，求出MN的長度，若改變，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)AB=12；(2)經(jīng)過2秒，點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)且兩點(diǎn)之間的距離為10；(3)線段MN的長度不會(huì)發(fā)生改變，MN的長度為6；【思路引導(dǎo)】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，數(shù)軸上兩點(diǎn)的距離公式，一元一次方程的應(yīng)用，線段的中點(diǎn)以及和差計(jì)算，利用分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想解決問題是關(guān)鍵．（1）根據(jù)平方和絕對(duì)值的非負(fù)性，求出a、b的值，再根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)的距離公式求解即可；（2）設(shè)經(jīng)過t秒后，點(diǎn)A表示的數(shù)為-3-2t，點(diǎn)B（3）由線段中點(diǎn)可知MP=12AP，NP=12BP，分兩種情況討論：當(dāng)點(diǎn)P在A、【規(guī)范解答】（1）解：∵a+32∴a+3=0，b-∴a=-3，∴AB=-（2）解：設(shè)經(jīng)過t秒后，點(diǎn)A表示的數(shù)為-3-2t，點(diǎn)B∵點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)，∴9-解得：t=2，∴經(jīng)過2秒，點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)且兩點(diǎn)之間的距離為10；（3）解：∵M(jìn)為線段PA的中點(diǎn)，N為線段PB的中點(diǎn)，∴MP=12AP當(dāng)點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，MN=MP+NP，即MN=1當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A左側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)，MN=NP-即MN=1∴綜上所述，線段MN的長度不會(huì)發(fā)生改變，其值為6．【變式訓(xùn)練】（24-25七年級(jí)下·湖南衡陽·期中）如圖，已知線段AB=27cm，AO=5cm，半徑OM=3cm，當(dāng)點(diǎn)M在AB的上方，且∠MOB=60°時(shí)，點(diǎn)M繞著點(diǎn)O以每秒30°的速度在圓周上逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周后停止，同時(shí)點(diǎn)N從點(diǎn)B沿線段BA向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，若點(diǎn)M、N【答案】1910或【思路引導(dǎo)】本題主要考查了線段的和差計(jì)算，點(diǎn)M和點(diǎn)N相遇時(shí)，只會(huì)在線段AB上相遇，且有兩個(gè)相遇點(diǎn)，點(diǎn)O左側(cè)和點(diǎn)O右側(cè)，據(jù)此討論求解即可．【規(guī)范解答】解：當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)M在點(diǎn)O左邊相遇時(shí)，則點(diǎn)N的速度為27-當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)M在點(diǎn)O右邊相遇時(shí)，則點(diǎn)N的速度為27-綜上所述，點(diǎn)N的速度為1910cm/故答案為：1910或25考點(diǎn)19兩點(diǎn)之間線段最短【典例精講】（24-25七年級(jí)上·浙江臺(tái)州·期末）如圖，已知平面內(nèi)有線段AB，BC和點(diǎn)D，且AB≤(1)作射線AB，并在射線AB上取點(diǎn)E，使得BE=BC（請(qǐng)用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖，并保留作圖痕跡，不寫作法）：(2)在BC上取一點(diǎn)F，使得AF+DF最短，并說明理由．【答案】(1)見解析(2)圖見解析；兩點(diǎn)之間，線段最短【思路引導(dǎo)】本題考查作圖—復(fù)雜作圖、直線、射線、線段、線段的性質(zhì)：兩點(diǎn)之間線段最短，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．（1）以點(diǎn)B為圓心，AB的長為半徑畫弧，交AB的延長線于點(diǎn)E，則點(diǎn)E即為所求．（2）結(jié)合線段的性質(zhì)：兩點(diǎn)之間線段最短，連接AD交BC于點(diǎn)F，則點(diǎn)F即為所求，即可得出答案．【規(guī)范解答】（1）解：如圖，以點(diǎn)B為圓心，AB的長為半徑畫弧，交AB的延長線于點(diǎn)E，則點(diǎn)E即為所求；（2）解：如圖，連接AD交BC于點(diǎn)F，則點(diǎn)F即為所求．理由：兩點(diǎn)之間，線段最短．【變式訓(xùn)練】（24-25七年級(jí)上·湖北武漢·期末）如圖，在同一平面內(nèi)有四個(gè)點(diǎn)A、B、C、D，請(qǐng)按要求完成下列問題．（注此題作圖不要求寫出畫法和結(jié)論）(1)畫直線AC，畫射線AB；(2)我們?nèi)菀着袛喑鼍€段AB+AD與BD的大小關(guān)系是___________：(3)在平面內(nèi)找一點(diǎn)P，使得P點(diǎn)到A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)的距離之和最小，畫出點(diǎn)P．(4)在下圖中，經(jīng)過A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)能夠作出___________條直線，若平面內(nèi)有n個(gè)點(diǎn)，最多能夠作出___________條直線．【答案】(1)畫圖見解析(2)AB+AD>BD(3)P點(diǎn)見解析(4)6，n【思路引導(dǎo)】本題考查畫直線，射線和線段，線段的性質(zhì)，直線的數(shù)量問題：（1）根據(jù)要求畫圖即可；（2）根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短，即可得出結(jié)果；（3）線段AC,BD的交點(diǎn)即為點(diǎn)P；（4）根據(jù)兩點(diǎn)確定一條直線，進(jìn)行判斷即可．【規(guī)范解答】（1）畫直線AC，畫射線AB如圖所示：（2）∵兩點(diǎn)之間，線段距離最短，∴AB+AD>BD；（3）P點(diǎn)即為所求（4）能夠作出直線AB,AC,AD，直線BC,BD和直線CD共6條；當(dāng)任意三點(diǎn)不共線時(shí)，直線的數(shù)量最多，∵兩點(diǎn)確定一條直線，∴每個(gè)點(diǎn)都能跟剩下的n-1個(gè)點(diǎn)確定∵直線AB和直線BA是同一條直線，∴一共有nn考點(diǎn)20兩點(diǎn)間的距離【典例精講】（24-25七年級(jí)上·黑龍江哈爾濱·開學(xué)考試）下列說法：①一個(gè)四次多項(xiàng)式與一個(gè)五次多項(xiàng)式的和一定是一個(gè)五次整式；②連接兩點(diǎn)的線段叫兩點(diǎn)間的距離；③若AP=BP，則點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn)；④三條直線兩兩相交，有三個(gè)交點(diǎn)；⑤若有理數(shù)a和b互為相反數(shù)，則一定有a=-A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【思路引導(dǎo)】本題考查了兩點(diǎn)間的距離、直線的性質(zhì)、相反數(shù)的定義、線段的性質(zhì)，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離、直線的性質(zhì)、相反數(shù)的定義、線段的性質(zhì)逐個(gè)判斷即可得出答案，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．【規(guī)范解答】解：①一個(gè)四次多項(xiàng)式與一個(gè)五次多項(xiàng)式的和一定是一個(gè)五次整式，說法正確；②連接兩點(diǎn)的線段的長度叫兩點(diǎn)間的距離，原說法錯(cuò)誤；③若AP=BP且點(diǎn)P在線段AB上，則點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn)，原說法錯(cuò)誤；④三條直線兩兩相交，有三個(gè)交點(diǎn)或一個(gè)交點(diǎn)，原說法錯(cuò)誤；⑤若有理數(shù)a和b互為相反數(shù)，則一定有a=-綜上所述，正確的有①⑤，共2個(gè)，故選：B．【變式訓(xùn)練】（24-25七年級(jí)上·福建莆田·期末）如圖，已知C為線段AD上的一點(diǎn)，(1)在線段AD延長線上求作點(diǎn)B，使得CD=1(2)在（1）條件下，點(diǎn)M是線段AC的中點(diǎn)，N為BD的中點(diǎn)若MN=6，請(qǐng)求出線段AB的長．【答案】(1)見解析；(2)8．【思路引導(dǎo)】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖，兩點(diǎn)間的距離，線段的和差等知識(shí)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．（1）以線段CD上截取線段CF，使得CF=CD，在射線AD上截取DB，使得DB=DF，點(diǎn)B即為所求；（2）設(shè)MC=x,DN=y，由題意可得AB=CD+2x+2y=12AB+2x+2y，得到12AB=2x+2y，所以AB=4x+4y【規(guī)范解答】（1）解：以線段CD上截取線段CF，使得CF=CD，在射線AD上截取DB，使得DB=DF，點(diǎn)B即為所求，如圖：（2）解：如圖：設(shè)MC=x,DN=y，由題意可得：AB=CD+2x+2y=1∴12∴AB=4x+4y，∴MN=CD+x+y=6，∴2MN=2CD+2x+2y=AB+2x+2y=4x+4y+2x+2y=6x+6y=12，∴x+y=2，∴4x+4y=AB=8．考點(diǎn)21最短路徑問題【典例精講】（24-25七年級(jí)上·湖北隨州·期末）如圖，已知四點(diǎn)A、B、C、D，請(qǐng)按要求完成下列問題：(1)畫直線AB；(2)畫射線AD，連接CD；(3)連接BC并延長BC到E，使CE=BC；(4)若AC=2，BD=3，畫點(diǎn)P，使PA+PB+PC+PD的值最小，則這個(gè)最小值為_________．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析(4)5【思路引導(dǎo)】本題考查了直線、射線、線段的畫法，線段的和與差等．（1）根據(jù)直線的概念作圖即可；（2）根據(jù)射線和線段的概念作圖即可；（3）首先畫射線BC，在BC的延長線上依次截取CE=BC即可；（4）連接BD、AC，BD與AC的交點(diǎn)就是P點(diǎn)．【規(guī)范解答】（1）解：如圖：直線AB，即為所求；（2）解：如圖：射線AD，線段CD，即為所求；（3）解：如圖：點(diǎn)E，即為所求；（4）解：如圖：點(diǎn)P，即為所求．此時(shí)，PA+PB+PC+PD=AC+BD=5．故PA+PB+PC+PD的最小值為5．故答案為：5．【變式訓(xùn)練】24-25八年級(jí)上·全國·課后作業(yè)）如圖①，要在一條筆直的路邊l上建一個(gè)燃?xì)庹?，向l同側(cè)的A，B兩個(gè)城鎮(zhèn)分別鋪設(shè)管道輸送燃?xì)猓嚧_定燃?xì)庹镜奈恢?，使鋪設(shè)管道的路線最短．(1)如圖②，作出點(diǎn)A關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)A'，線段A'B與直線l的交點(diǎn)C的位置即為所求，即在點(diǎn)C處建燃?xì)庹?，所得路線ACB是最短的．為了證明點(diǎn)C的位置即為所求，不妨在直線l上另外任取一點(diǎn)C'，連接AC(2)如果在A，B兩個(gè)城鎮(zhèn)之間規(guī)劃一個(gè)生態(tài)保護(hù)區(qū)（正方形區(qū)域），其位置如圖③所示，并規(guī)定燃?xì)夤艿啦荒艽┻^該區(qū)域，請(qǐng)給出這時(shí)鋪設(shè)管道的方案（不需說明理由）．【答案】(1)見解析(2)見解析【思路引導(dǎo)】本題主要考查了最短路徑問題，軸對(duì)稱的性質(zhì)，熟練掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）由軸對(duì)稱的性質(zhì)得到CA=CA'，證明AC+BC=A（2）根據(jù)（1）得到的結(jié)論進(jìn)行畫圖即可．【規(guī)范解答】（1）解：連接A'∵點(diǎn)A，點(diǎn)A'關(guān)于l對(duì)稱，點(diǎn)C在l∴CA=C∴AC+BC=同理可得AC∵A∴（2）如答圖，在點(diǎn)C處建燃?xì)庹?，鋪設(shè)管道的最短路線是ACDB（其中點(diǎn)D是正方形的頂點(diǎn)）．考點(diǎn)22畫特殊角【典例精講】（23-24七年級(jí)上·江蘇常州·期末）觀察下列圖形，利用格點(diǎn)畫圖（每個(gè)方格邊長為一個(gè)單位）：

(1)畫線段AB；(2)在線段AB上方畫∠EAB=90°，在射線AE上取三個(gè)單位長的(3)取AB的中點(diǎn)O，連接CO并延長CO到點(diǎn)D，使OD=OC；(4)連接AD、(5)請(qǐng)你寫出在你所畫圖中相等的線段（除OD=OC外）【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析(4)見解析(5)AC=BD,OA=OB,AD=BC【思路引導(dǎo)】本題主要考查的是直線、射線、線段:（1）根據(jù)題意畫出圖形即可；（2）根據(jù)題意畫出圖形即可；（3）根據(jù)題意畫出圖形即可；（4）根據(jù)題意畫出圖形即可；（5）觀察圖形作出判斷即可．【規(guī)范解答】（1）解：如圖，線段AB即為所畫，

（2）解：如圖，∠EAB=90°，（3）解：如圖，O,D即為所畫；（4）解：如圖，AD、（5）解：如圖，AC=BD,OA=OB,AD=BC【變式訓(xùn)練】（2021七年級(jí)上·全國·專題練習(xí)）（2019·山東青島市·七年級(jí)期中）作圖題：已知：∠α、∠β、

求作：∠AOB，使∠AOB=∠α+∠β【答案】作圖見解析【思路引導(dǎo)】利用量角器作∠AOC=∠α，在∠AOC外以O(shè)C為邊作∠COB=∠β，所以∠AOB=∠α+∠β，即為所求作的角．【規(guī)范解答】如圖所示：（1）作∠AOC=∠α，（2）在∠AOC外以O(shè)C為邊作∠COB=∠β，則∠AOB即為所求作的角．【考點(diǎn)剖析】本題主要考查了用量角器作角，準(zhǔn)確分析作圖是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)23鐘面角【典例精講】（25-26七年級(jí)上·全國·課后作業(yè)）鐘表盤上指示的時(shí)間是11時(shí)20分，此刻時(shí)針與分針之間的較小夾角的度數(shù)為．【答案】140【思路引導(dǎo)】根據(jù)鐘面角的定義以及時(shí)針、分針旋轉(zhuǎn)過程中角的變化關(guān)系進(jìn)行計(jì)算即可．【規(guī)范解答】解：如圖，由鐘面角的定義可知：∠MOC=由時(shí)針、分針旋轉(zhuǎn)過程中所形成的角的變化關(guān)系可得：∠MOA=30∴∠故答案為：140【考點(diǎn)剖析】本題考查鐘面角，解決問題的關(guān)鍵是理解鐘面角的定義以及時(shí)針、分針旋轉(zhuǎn)過程中角的變化關(guān)系．【變式訓(xùn)練】（2023七年級(jí)上·全國·競賽）小明晚上7:00開始做數(shù)學(xué)作業(yè)，做完時(shí)還不到7:30，他測量發(fā)現(xiàn)，此時(shí)時(shí)鐘的時(shí)針和分針之間的夾角為78°，這時(shí)的時(shí)間是7時(shí)【答案】24【思路引導(dǎo)】本題考查了鐘面角，一元一次方程的應(yīng)用，掌握時(shí)鐘上每大格為30°，每小格為6°是解題關(guān)鍵．設(shè)這時(shí)的時(shí)間是7時(shí)【規(guī)范解答】解：設(shè)這時(shí)的時(shí)間是7時(shí)x分，則30°×解得：x=24，即這時(shí)的時(shí)間是7時(shí)24分，故答案為：24．考點(diǎn)24與方向角有關(guān)的計(jì)算題【典例精講】（23-24七年級(jí)上·黑龍江綏化·期中）如圖，貨輪O在航行過程中，發(fā)現(xiàn)燈塔A在它南偏東60°的方向上，同時(shí)在它北偏東30°、西北（即北偏西45°）方向上又分別發(fā)現(xiàn)了客輪B(1)仿照表示燈塔方位的方法，分別畫出表示客輪B和海島C方向的射線OB，OC（不寫作法）；(2)若有一艘漁船D，且∠AOD是它補(bǔ)角的13，則漁船D在貨輪【答案】(1)畫圖見解析(2)南偏東15°或北偏東【思路引導(dǎo)】本題考查方位角以及補(bǔ)角的含義，一元一次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵在于熟悉方位角定義．（1）根據(jù)方向角的度數(shù)，再畫圖可得答案；（2）根據(jù)補(bǔ)角的含義，可得∠AOD=45【規(guī)范解答】（1）解：客輪B和海島C方向的射線OB，OC如圖所示：；（2）解：∵∠AOD是它補(bǔ)角的1∴∠AOD=解得：∠AOD=45如圖，故D在O南偏東15°或北偏東75【變式訓(xùn)練】（24-25八年級(jí)下·河北石家莊·期中）如圖，是小明家和學(xué)校所在地的簡單地圖，已知OA=2cm,OB=2.5cm,OP=4cm(1)圖中距小明家距離相同的是哪些地方？(2)商場、學(xué)校、公園、停車場分別在小明家的什么方位？哪兩個(gè)地方的方位是相同的？(3)若學(xué)校距離小明家400m，那么商場和停車場分別距離小明家多少米？【答案】(1)學(xué)校和公園(2)商場在小明家北偏西30°方向上，學(xué)校在小明家北偏東45°方向上，公園在小明家南偏東60°(3)500m；【思路引導(dǎo)】本題主要考查了用方位角和距離確定位置，正確讀懂圖示是解題的關(guān)鍵．（1）求出OC的長，得到OA=OC<OB<OP即可得到答案；（2）根據(jù)圖示結(jié)合方位角的表示方法求解即可；（3）根據(jù)題意可知地圖上1cm表示實(shí)際400【規(guī)范解答】（1）解：∵C為OP的中點(diǎn)，OP=4cm∴OC=PC=1∴OA=OC<OB<OP，∴圖中距小明家距離相同的是學(xué)校和公園；（2）解：由題意得，商場在小明家北偏西90°-學(xué)校在小明家北偏東90°-公園在小明家南偏東90°-停車場在小明家南偏東90°-∴公園和停車場的方位相同．（3）解：∵學(xué)校距離小明家400m，∴商場距離小明家400×2.52考點(diǎn)25角的單位與角度制【典例精講】（24-25七年級(jí)上·江蘇無錫·階段練習(xí)）計(jì)算：(1)-20(2)2×(3)-1【答案】(1)-(2)129(3)2【思路引導(dǎo)】本題考查了含乘方的有理數(shù)的混合運(yùn)算，有理數(shù)的加減混合運(yùn)算，角度制的計(jì)算，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算方法以及運(yùn)算順序?yàn)榻忸}關(guān)鍵．（1）先化簡符號(hào)，再計(jì)算；（2）分別計(jì)算度與分的部分，再換算即可；（3）先算絕對(duì)值內(nèi)的和乘方運(yùn)算，再算乘除，最后算加減．【規(guī)范解答】（1）解：-==-（2）2×（3）-=1=1+=1+1=2．【變式訓(xùn)練】（24-25七年級(jí)上·貴州畢節(jié)·期末）計(jì)算：(1)-1(2)80°-【答案】(1)-(2)22【思路引導(dǎo)】本題考查了有理數(shù)混合運(yùn)算，度、分、秒的減法運(yùn)算，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握有理數(shù)混合運(yùn)算順序、運(yùn)算法則和運(yùn)算律，度、分、秒是60進(jìn)制．（1）先計(jì)算1的乘方，分配律展開，再計(jì)算乘法，最后計(jì)算加減；（2）利用度、分、秒的換算即可，1度轉(zhuǎn)化為60分，1分轉(zhuǎn)化為60秒．【規(guī)范解答】（1）解：-===-（2）解：80=79=22°考點(diǎn)26角的度數(shù)大小比較【典例精講】（24-25七年級(jí)上·山東日照·期末）下列說法正確的是（

）A．單項(xiàng)式32πB．近似數(shù)3.70與3.7的精確度相同C．35.5D．鐘面上3點(diǎn)30分，時(shí)針與分針的夾角為80【答案】C【思路引導(dǎo)】本題考查了單項(xiàng)式的系數(shù)，精確度和近似數(shù)，角的度數(shù)大小比較和鐘面角，正確掌握單項(xiàng)式系數(shù)的定義，精確度和近似數(shù)及度數(shù)的大小是解題的關(guān)鍵；根據(jù)單項(xiàng)式系數(shù)的定義，精確度和近似數(shù)及度數(shù)的大小比較方法逐項(xiàng)判斷即可．【規(guī)范解答】解：A、單項(xiàng)式32πxB、近似數(shù)3.70精確到百分位，3.7精確到十分位，精確度不同，故該選項(xiàng)說法錯(cuò)誤，不符合題意；C、35.5°=35°D、鐘面上3時(shí)30分，時(shí)針與分針的夾角為75度，故該選項(xiàng)說法錯(cuò)誤，不符合題意．故選：C．【變式訓(xùn)練】（24-25七年級(jí)上·天津和平·期末）（1）比較大?。?0.24°20°24'（填“>（2）鐘表在8:20時(shí)，時(shí)針與分針的夾角是．【答案】<130°【思路引導(dǎo)】本題考查了角度換算，角度比較大小，鐘面角，確定時(shí)針與分針相距的分?jǐn)?shù)，1'（1）將20°（2）根據(jù)時(shí)針與分針相距的份數(shù)乘以每份的度數(shù)，可得答案．【規(guī)范解答】解：（1）24'∴20∵20.24∴20.24故答案為：<．（2）8:20時(shí)，時(shí)針與分針相距4+208:20時(shí)，時(shí)針與分針?biāo)鶌A的角是30°×故答案為：130°考點(diǎn)27三角板中角度計(jì)算問題【典例精講】24-25七年級(jí)上·廣東汕頭·期末）（1）如圖，線段AB=20cm，C為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以2cm/s的速度沿線段AB向右運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)B停止；點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以1cm/s的速度沿線段AB向左運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)A停止．若P，Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x①AC=cm．②是否存在某一時(shí)刻，使得C，P，Q這三點(diǎn)中，有一點(diǎn)恰為另外兩點(diǎn)所連線段的中點(diǎn)？若存在，求出所有滿足條件的x的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．（2）一副三角板按圖（1）中的方式拼接在一起，其中邊OA、OC與直線EF上，∠AOB=45°，①∠BOD=②如圖（2），三角板COD固定不動(dòng)，將三角板AOB繞點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角α（即∠AOE=α），在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中兩個(gè)三角板一直處于直線EF的上方．在旋轉(zhuǎn)過程中，是否存在某一時(shí)刻滿足∠BOC=2∠【答案】（1）①10；②存在，x=6或x=152；（2）①75；②存在，α=105【思路引導(dǎo)】本題考查了兩點(diǎn)間的距離，角的計(jì)算，特殊角，角平分線的定義，利用線段中點(diǎn)的性質(zhì)得出關(guān)于x的方程是解題關(guān)鍵，要分類討論，以防遺漏．（1）①根據(jù)線段中點(diǎn)，可得答案；②根據(jù)線段中點(diǎn)的性質(zhì)，可得方程，根據(jù)解方程，可得答案．（2）①根據(jù)平角的定義即可得到結(jié)論；②當(dāng)OA在OD的左側(cè)時(shí)，當(dāng)OA在OD的右側(cè)時(shí)，列方程即可得到結(jié)論．【規(guī)范解答】解：（1）①∵C為AB的中點(diǎn)，∴AC=故答案為：10；②存在，（?。逷的速度2cm/s，Q的速度是1∴AP≠又AC=BC，∴PC≠∴C不是線段PQ的中點(diǎn)；（ⅱ）當(dāng)P為線段CQ的中點(diǎn)時(shí)，得22x解得：x=6；（iii）當(dāng)Q為線段PC的中點(diǎn)時(shí)，得2x-解得：x=15綜上所述：x=6或x=15（2）①∵∠AOB=45∴∠BOD=180故答案為：75；②解：當(dāng)OA在OD的左側(cè)時(shí)，則∠AOD=120°-α∵∠BOC=2∴135∴α=105當(dāng)OA在OD的右側(cè)時(shí)，則∠AOD=α-120∵∠BOC=2∴135∴α=125綜上所述，當(dāng)α=105°或125°時(shí)，存在【變式訓(xùn)練】（24-25七年級(jí)上·貴州銅仁·期末）數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師以直線AB上一點(diǎn)O為端點(diǎn)作射線OC，OD，OM，ON，使OM平分(1)如圖1，“興趣小組”將一個(gè)三角尺的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處，即∠COD=90°，則(2)受“興趣小組”的啟發(fā)，如圖2，“智慧小組”將三角尺60°角的頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處，即∠COD=60°(3)如圖3，已知∠COD=α，求∠MOC+∠【答案】(1)45(2)60(3)180【思路引導(dǎo)】（1）根據(jù)角的平分線定義，平角的定義，角的和的定義解答即可．（2）仿照（1）的思路解答即可．（3）仿照（1）的思路解答即可．本題考查了角的和差，角的平分線，平角的定義，熟練掌握平角定義，角的平分線是解題的關(guān)鍵．【規(guī)范解答】（1）解：根據(jù)題意，得∠DOC=90∴∠COA+∵OM平分∠AOC，ON平分∠∴∠MOC=∴∠MOC+故答案為：45°（2）解：根據(jù)題意，得∠DOC=60∴∠COA+∵OM平分∠AOC，ON平分∠∴∠MOC=∴∠MOC+（3）解：根據(jù)題意，得∠DOC=α∴∠COA+∵OM平分∠AOC，ON平分∠∴∠MOC=∴∠MOC+考點(diǎn)28幾何圖形中角度計(jì)算問題【典例精講】（23-24七年級(jí)下·山東德州·開學(xué)考試）如圖，點(diǎn)A，O，B在同一條直線上，將一直角三角尺如圖1放置，使直角頂點(diǎn)重合于點(diǎn)O，∠COD是直角，OE平分∠(1)若∠AOC=32°，求(2)若∠AOC=α，則直接寫出∠(3)如圖2放置，其他條件不變，直接寫出∠AOC和∠DOE的度數(shù)之間的關(guān)系___________；如圖3放置，其他條件不變，直接寫出∠AOC【答案】(1)16°(2)α2(3)∠AOC=2∠DOE【思路引導(dǎo)】本題考查了角的計(jì)算，角平分線，熟練掌握角平分線的定義是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)∠AOC=32°,∠COD=90°，可得∠BOD（2）根據(jù)∠AOC=α,∠COD=90°，可得∠BOD和∠（3）根據(jù)角平分線的定義可得∠COE的度數(shù)，再根據(jù)∠COD=90°，可得∠DOE=∠COD-∠【規(guī)范解答】（1）解：∵∠AOC=32∴∠BOD=180°-90∵OE平分∠BOC∴∠BOE=∴∠DOE=（2）解：∵∠AOC=α，∠∴∠BOD=180°-90°-α=90∵OE平分∠BOC∴∠BOE=∴∠DOE=故答案為：α2（3）解：∵∠BOC=180∵OE平分∠BOC∴∠COE=∵∠COD=90∴∠DOE=90°-故答案為：∠AOC=2∵∠BOC=180∵OE平分∠BOC∴∠COE=∵∠COD=90∴∠DOE=90°+故答案為：∠AOC=360【變式訓(xùn)練】（2023九年級(jí)下·浙江·競賽）如圖，點(diǎn)O在直線AB上，從O點(diǎn)引一條射線OC，OD平分∠AOC，∠(1)如圖1，若∠AOD=27°，n=3，求(2)如圖2，若∠DOE為直角，求n(3)如圖3，若n=5，設(shè)∠AOD=m（用含m的代數(shù)式表示∠【答案】(1)69(2)2(3)36【思路引導(dǎo)】本題主要考查了角的計(jì)算、角平分線的定義等知識(shí)點(diǎn)，弄清角之間的關(guān)系成為解題的關(guān)鍵．（1）已知OD平分∠AOC，∠AOD=27°可得∠AOC、∠COD、∠（2）因?yàn)椤螪OE為直角，即∠DOC+∠COE=∠AOD+∠BOE=90°，因?yàn)镺D（3）已知OD平分∠AOC，∠AOD=m可得∠AOC、∠COD、∠BOC【規(guī)范解答】（1）解：∵OD平分∠AOC，∠∴∠AOC=2∴∠BOC=180∵∠BOC=n∴∠COE=∴∠DOE=（2）解：∵∠DOE∴∠DOC+∵OD平分∠AOC∴∠COD=∴∠COE=∠BOE∴n=2；（3）解：∵OD平分∠AOC，∠∴∠AOC=2∴∠BOC=180∵∠BOC=n∴∠COE=∴∠DOE=考點(diǎn)29角度的四則運(yùn)算【典例精講】（25-26七年級(jí)上·全國·課后作業(yè)）計(jì)算（用度、分、秒表示）：153°2110°362°2102°4【答案】180°10'14【思路引導(dǎo)】（1）相同單位相加，超過60向上一位進(jìn)1即可；（2）先借1°（3）每一個(gè)單位分別乘以4，分、秒超出60的部分向上一個(gè)單位進(jìn)1即可；（4）從度開始計(jì)算，余數(shù)乘以60繼續(xù)除以3進(jìn)行計(jì)算即可得解．74．解：153°2975．解：110°3676．解：62°2477．解：102°【考點(diǎn)剖析】本題考查了度分秒的加、減、乘、除運(yùn)算，解決問題的關(guān)鍵在于要注意度分秒是60進(jìn)制．【變式訓(xùn)練】（25-26七年級(jí)上·全國·課后作業(yè)）計(jì)算：(1)33°(2)180°-(3)119°(4)72°【答案】(1)166(2)123(3)82(4)110【思路引導(dǎo)】本題包含四個(gè)角的運(yùn)算問題，需要根據(jù)度、分、秒的進(jìn)制，按照先乘除后加減、有括號(hào)先算括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算順序進(jìn)行計(jì)算．【規(guī)范解答】（1）解：原式=165°（2）解：原式=180°-（3）解：原式=152°（4）解：原式=36°【考點(diǎn)剖析】本題考查了度分秒的四則運(yùn)算，掌握度、分、秒之間的進(jìn)制關(guān)系，按照運(yùn)算順序進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)30實(shí)際問題中角度計(jì)算問題【典例精講】（24-25七年級(jí)下·甘肅定西·階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)B，C在直線l上，直線l外有一點(diǎn)A，連接AB，AC，∠BAC=45°，則∠ACB是鈍角，將三角形ABC沿著直線l向右平移得到三角形A1B1C【答案】15°或【思路引導(dǎo)】本題考查平移的性質(zhì)，分兩種情形：當(dāng)點(diǎn)B1在線段BC上時(shí)，當(dāng)點(diǎn)B1在【規(guī)范解答】解：當(dāng)點(diǎn)B1在線段BC∵AB∥∴∠A∵∠A∴∠B當(dāng)點(diǎn)B1在BC∵AB∥∴∠A∵∠A∴∠CA故答案為：15°或45【變式訓(xùn)練】（21-22七年級(jí)上·河北廊坊·期末）如圖，小明從A處沿南偏西65°30'方向行走至點(diǎn)B處，又從點(diǎn)B處沿北偏西72°A．114°30' B．108【答案】D【思路引導(dǎo)】先根據(jù)方位角以及平行線的性質(zhì)可得∠2=∠3=65°30'、∠1=【規(guī)范解答】解：如圖：∵小明從A處沿南偏西65°30'方向行走至點(diǎn)B處，又從點(diǎn)B處沿北偏西∴∠2=∠3=65°3∴∠ABE＝∠1+∠2=138°．故答案為D．【考點(diǎn)剖析】本題主要考查了方位角和角的運(yùn)用，正確認(rèn)識(shí)方位角成為解答本題的關(guān)鍵．考點(diǎn)31