專題04動(dòng)點(diǎn)折疊類問題中有關(guān)計(jì)算題型精品例題解析題型一：圖形折疊中的計(jì)算例1.如圖，在正方形紙片ABCD中，E是CD的中點(diǎn)，將正方形紙片折疊，點(diǎn)B落在線段AE上的點(diǎn)G處，折痕為AF．若AD＝4cm，則CF的長為cm．【解析】∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=CD=BC=4，∠C=∠D=90°，設(shè)CF=x，由折疊知：BF=GF=4－x，∵E是CD中點(diǎn)，∴DE=2，在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE=,即：解得x=，例2.如圖，矩形ABCD中，AB=，BC=12，E為AD的中點(diǎn)，F(xiàn)為AB上一點(diǎn)，將△AEF沿EF折疊后，點(diǎn)A恰好落在CF上的點(diǎn)G處，則折痕EF的長是 【解析】∵E是AD的中點(diǎn)，∴AE=ED，由折疊知：AE=EG，∴EG=DE,連接CE，在Rt△CDE和Rt△CDG中，CE=CE，EG=AE=DE，∴Rt△CDE≌Rt△CDG，∴∠GEC=∠DEC，∴∠FEC=90°，設(shè)AF=x，則BF=－x，BC=AD=12，在Rt△EFC和Rt△BFC中，由勾股定理，得即，解得x=，∴EF=例3.如圖，在矩形ABCD中，AD＝AB．將矩形ABCD對(duì)折，得到折痕MN；沿著CM折疊，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E，ME與BC的交點(diǎn)為F；再沿著MP折疊，使得AM與EM重合，折痕為MP，此時(shí)點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為G．下列結(jié)論：①△CMP是直角三角形；②點(diǎn)C、E、G不在同一條直線上；③PC＝MP；④BP＝AB；⑤點(diǎn)F是△CMP外接圓的圓心，其中正確的個(gè)數(shù)為（）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【解析】由折疊性質(zhì)知：∠DMC＝∠EMC，∠AMP＝∠EMP，∵∠AMD＝180°，∴∠PME+∠CME＝×180°＝90°，∴△CMP是直角三角形；故①正確；由折疊知：∠D＝∠MEC＝90°，∠MEG＝∠A＝90°，∴∠GEC＝180°，即點(diǎn)C、E、G在同一條直線上，故②錯(cuò)誤；∵AD＝AB，設(shè)AB＝x，則AD＝x，由折疊知：DM＝AD＝x，由勾股定理，得CM＝，∵∠PMC＝90°，MN⊥PC，∴△CMN∽△CPM，∴CM2＝CN?CP，∴CP＝，∴PN＝CP﹣CN＝，由勾股定理，得PM＝，∴，即PC＝MP，故③錯(cuò)誤；PB＝，，∴PB＝AB，故④正確，由折疊知：CD＝CE，EG＝AB，AB＝CD，∴CE＝EG，∵∠CEM＝∠G＝90°，∴FE∥PG，∴CF＝PF，∵∠PMC＝90°，∴CF＝PF＝MF，∴點(diǎn)F是△CMP外接圓的圓心，故⑤正確；故選B．例4.如圖，在矩形ABCD中，AD=2，將∠A向內(nèi)折疊，點(diǎn)A落在BC上，記為A’，折痕為DE.若將∠B沿EA’向內(nèi)折疊，點(diǎn)B恰好落在DE上，記為B’，則AB= 【解析】由折疊知：∠AED=∠DEA’=∠BEA’，而∠AED+∠DEA’+∠BEA’=180°，∴∠AED=∠DEA’=∠BEA’=60°，∴∠EDA=∠EDA’=∠CDA’=30°,∵AD=2，∴A’E=AE=，∴BE=,即AB=AE+BE=.例5.如圖，正方形紙片ABCD的邊長為12，E是邊CD上一點(diǎn)，連接AE,折疊該紙片，使點(diǎn)A落在AE上的G點(diǎn)，并使折痕經(jīng)過點(diǎn)B，得到折痕BF，點(diǎn)F在AD上.若DE=5，則GE的長為 【解析】∵四邊形ABCD是正方形，∴∠D=∠DAB=90°，AD=AB，由折疊性質(zhì)知：AE⊥BF，∴∠DAE+∠BAE=∠ABF+∠BAE=90°，即∠DAE=∠ABF，∴△ADE≌△BAF，∴AF=DE=5，由勾股定理，得AE=BF=13，∴AG=2×=，∴GE=AE－AG=.例6.如圖，正方形MNCB在寬為2的矩形紙片一端，對(duì)折正方形MNCB得到折痕AE，再翻折紙片，使AB與AD重合.以下結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A.B.C.D.【解析】由折疊知：四邊形BADH為菱形，∴EH=BE+BH，在Rt△ABE中，由勾股定理得：AB=;∴AD=AB=BH=，EH=+1，在Rt△AEH中，由勾股定理，得：AH2=，故A正確；CD=AD－AC=－1，BC=2，∴，故B正確；BC2=4，CD×EH=（－1）×（+1）=4，故C正確；∵∠AHD=∠AHE，∴故D錯(cuò)誤，故選D.例7.如圖，將一張正方形紙片按如圖步驟，通過折疊得到圖④，再沿虛線減去一個(gè)角，展開鋪平后得到圖⑤，其中FM，GN是折痕，若正方形EFGH與五邊形MCNGF面積相等，則的值是（ ）A.B.C.D.【解析】設(shè)正方形ABCD的邊長為a，連接HF，GE交于點(diǎn)O，則GE⊥HF，∠GFH=45°，∴FO=,則正方形EFGH、與其它四個(gè)五邊形的面積均相等，∴正方形EFGE面積為：，即GF=，∴FO=，F(xiàn)M=OM－FO=，∴，故選A例8.如圖，在△ABC中，D是AC邊上的中點(diǎn)，連結(jié)BD，把△BDC沿BD翻折，得到△，DC’與AB交于點(diǎn)A’，連結(jié)，若AD=AC’=2，BD=3，則點(diǎn)D到BC的距離為（）A． B． C． D．【解析】如圖，連接CC’，交BD于M，過D作DH⊥BC’于H，∵AD=AC’=2，AD=CD=2，由翻折知：CD=DC’=2，∠DBC=∠BDC’，∴△ADC’為等邊三角形，DH即為所求，∴∠ACC’=∠DC’C=30°，∴DM=1，C’M=∵BD=3，∴BM=BD－DM=2，在Rt△BMC’中，由勾股定理得：BC’=,∵∴DH=，故選B.例9.如圖，在△ABC中，∠ABC=45°，AB=3，AD⊥BC于點(diǎn)D，BE⊥AC于點(diǎn)E，AE=1.連接DE，將△ADE沿直線AE翻折至△ABC所在的平面內(nèi)，得△AEF，連接DF，過點(diǎn)D作DG⊥DE交BE于點(diǎn)G.則四邊形DFEG的周長為（ ）A.8 B.C. D.【解析】∵∠ABC＝45°，AD⊥BC于點(diǎn)D，∴∠BAD＝90°﹣∠ABC＝45°，∴△ABD是等腰直角三角形，∴AD＝BD，∵BE⊥AC，∴∠GBD+∠C＝90°，∵∠EAD+∠C＝90°，∴∠GBD＝∠EAD，∵∠ADB＝∠EDG＝90°，∴∠ADB﹣∠ADG＝∠EDG﹣∠ADG，即∠BDG＝∠ADE，∴△BDG≌△ADE，∴BG＝AE＝1，DG＝DE，∵∠EDG＝90°，∴△EDG為等腰直角三角形，∴∠AED＝∠AEB+∠DEG＝90°+45°＝135°，∵△AED沿直線AE翻折得△AEF，∴△AED≌△AEF，∴∠AED＝∠AEF＝135°，ED＝EF，∴∠DEF＝360°﹣∠AED﹣∠AEF＝90°，∴△DEF為等腰直角三角形，∴EF＝DE＝DG，在Rt△AEB中，由勾股定理，得BE＝2，∴GE＝BE﹣BG＝2﹣1，在Rt△DGE中，DG＝DE=GE＝2﹣，∴EF＝DE＝2﹣，在Rt△DEF中，DF＝DE＝2﹣1，∴四邊形DFEG的周長為GD+EF+GE+DF＝2（2﹣）+2（2﹣1）＝3+2，故選D．題型二：圖形折疊中證明、計(jì)算題例10.如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)E在邊CD上，將△BCE沿BE折疊，點(diǎn)C落在AD邊上的點(diǎn)F處，過點(diǎn)F作FG∥CD交BE于點(diǎn)G，連接CG.（1）求證：四邊形CEFG是菱形；（2）若AB=6，AD=10，求四邊形CEFG的面積.【解析】（1）證明：由題意可得：△BCE≌△BFE，∴∠BEC＝∠BEF，F(xiàn)E＝CE，∵FG∥CE，∴∠FGE＝∠CEB，∴∠FGE＝∠FEG，∴FG＝FE，專題04動(dòng)點(diǎn)折疊類問題中有關(guān)計(jì)算題型∴FG＝EC，∴四邊形CEFG是平行四邊形，又