第1頁（共1頁）2025年江蘇省蘇州市中考數(shù)學試卷一、選擇題：本大題共8小題，每小題3分，共24分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.請將選擇題的答案用2B鉛筆涂在答題卡相對應的位置上。1．（3分）（2025?蘇州）下列實數(shù)中，比2小的數(shù)是（）A．5 B．4 C．3 D．﹣12．（3分）（2025?蘇州）如圖，將直角三角形繞它的一條直角邊所在直線旋轉一周后形成的幾何體是（）A． B． C． D．3．（3分）（2025?蘇州）據(jù)人民網(wǎng)消息，2025年第一季度，蘇州市貨物貿易進出口總值達63252000萬元，其中，出口40317000萬元，創(chuàng)歷史同期新高，同比增長11.5%．數(shù)據(jù)40317000用科學記數(shù)法可表示為（）A．0.40317×108 B．4.0317×107 C．40.317×106 D．40317×1034．（3分）（2025?蘇州）下列運算正確的是（）A．a(chǎn)?a3＝a3 B．a(chǎn)6÷a2＝a3 C．（ab）2＝a2b2 D．（a3）2＝a55．（3分）（2025?蘇州）如圖，在A，B兩地間修一條筆直的公路，從A地測得公路的走向為北偏東70°．若A，B兩地同時開工，要使公路準確接通，則∠α的度數(shù)應為（）A．100° B．105° C．110° D．115°6．（3分）（2025?蘇州）一只不透明的袋子中，裝有3個白球和若干個紅球，這些球除顏色外都相同，攪勻后從中任意摸出一個球，摸到白球的概率為35A．1 B．2 C．3 D．47．（3分）（2025?蘇州）聲音在空氣中傳播的速度隨溫度的變化而變化，科學家測得一定溫度下聲音傳播的速度v（m/s）與溫度t（℃）部分對應數(shù)值如表：溫度t（℃）﹣1001030聲音傳播的速度v（m/s）324330336348研究發(fā)現(xiàn)v，t滿足公式v＝at+b（a，b為常數(shù)，且a≠0），當溫度t為15℃時，聲音傳播的速度v為（）A．333m/s B．339m/s C．341m/s D．342m/s8．（3分）（2025?蘇州）如圖，在正方形ABCD中，E為邊AD的中點，連接BE，將△ABE沿BE翻折，得到△A′BE，連接A′C，A′D，則下列結論不正確的是（）A．A′D∥BE B．A'C=2A'C．△A′CD的面積＝△A′DE的面積 D．四邊形A′BED的面積＝△A′BC的面積二、填空題：本大題共8小題，每小題3分，共24分.把答案直接填在答題卡相對應的位置上。9．（3分）（2025?蘇州）因式分解：x2﹣9＝．10．（3分）（2025?蘇州）某籃球隊在一次聯(lián)賽中共進行了6場比賽，得分依次為：71，71，65，71，64，66．這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為．11．（3分）（2025?蘇州）若y＝x+1，則代數(shù)式2y﹣2x+3的值為．12．（3分）（2025?蘇州）過A，B兩點畫一次函數(shù)y＝﹣x+2的圖象，已知點A的坐標為（0，2），則點B的坐標可以為（填一個符合要求的點的坐標即可）．13．（3分）（2025?蘇州）已知x1，x2是關于x的一元二次方程x2+2x﹣m＝0的兩個實數(shù)根，其中x1＝1，則x2＝．14．（3分）（2025?蘇州）“蘇州之眼”摩天輪是亞洲最大的水上摩天輪，共設有28個回轉式太空艙全景轎廂，其示意圖如圖所示．該摩天輪高128m（即最高點離水面平臺MN的距離），圓心O到MN的距離為68m，摩天輪勻速旋轉一圈用時30min．某轎廂從點A出發(fā)，10min后到達點B，此過程中，該轎廂所經(jīng)過的路徑（即AB）長度為m．（結果保留π）15．（3分）（2025?蘇州）如圖，∠MON＝60°，以O為圓心，2為半徑畫弧，分別交OM，ON于A，B兩點，再分別以A，B為圓心，6為半徑畫弧，兩弧在∠MON內部相交于點C，作射線OC，連接AC，BC，則tan∠BCO＝.（結果保留根號）16．（3分）（2025?蘇州）如圖，在△ABC中，AC＝3，BC＝2，∠C＝60°，D是線段BC上一點（不與端點B，C重合），連接AD，以AD為邊，在AD的右側作等邊三角形ADE，線段DE與線段AC交于點F，則線段CF長度的最大值為．三、解答題：本大題共11小題，共82分.把解答過程寫在答題卡相對應的位置上，解答時應寫出必要的計算過程、推演步驟或文字說明.作圖時用2B鉛筆或黑色墨水簽字筆。17．（5分）（2025?蘇州）計算：|﹣5|+32?1618．（5分）（2025?蘇州）解不等式組：3x+1＞x?3x?119．（6分）（2025?蘇州）先化簡，再求值：（2x?1+1）?x220．（6分）（2025?蘇州）為了弘揚社會主義核心價值觀，學校決定組織“立鴻鵠之志，做有為少年”主題觀影活動，建議同學們利用周末時間自主觀看．現(xiàn)有A，B，C共3部電影，甲、乙2位同學分別從中任意選擇1部電影觀看．（1）甲同學選擇A電影的概率為；（2）求甲、乙2位同學選擇不同電影的概率（請用畫樹狀圖或列表等方法說明理由）．21．（6分）（2025?蘇州）如圖，C是線段AB的中點，∠A＝∠ECB，CD∥BE．（1）求證：△DAC≌△ECB；（2）連接DE，若AB＝16，求DE的長．22．（8分）（2025?蘇州）隨著人工智能的快速發(fā)展，初中生使用AI大模型輔助學習快速普及，并呈現(xiàn)出多樣化趨勢．某研究性學習小組采用簡單隨機抽樣的方法，對本校九年級學生一周使用AI大模型輔助學習的時間（用x表示，單位：min）進行了抽樣調查，把所得的數(shù)據(jù)分組整理，并繪制成頻數(shù)分布直方圖：抽取的學生一周使用AI大模型輔助學習時間頻率分布表組別時間x（min）頻率A20≤x＜400.16B40≤x＜600.24C60≤x＜800.30D80≤x＜1000.20E100≤x≤1200.10合計1根據(jù)提供的信息回答問題：（1）請把頻數(shù)分布直方圖補充完整（畫圖后標注相應數(shù)據(jù)）；（2）調查所得數(shù)據(jù)的中位數(shù)落在組（填組別）；（3）該校九年級共有750名學生，根據(jù)抽樣調查結果，估計該校九年級學生一周使用AI大模型輔助學習的時間不少于60min的學生人數(shù)．23．（8分）（2025?蘇州）如圖，一次函數(shù)y＝2x+4的圖象與x軸，y軸分別交于A，B兩點，與反比例函數(shù)y=kx（k≠0，x＞0）的圖象交于點C，過點B作x軸的平行線與反比例函數(shù)y=kx（k≠0，x＞0）的圖象交于點（1）求A，B兩點的坐標；（2）若△BCD是以BD為底邊的等腰三角形，求k的值．24．（8分）（2025?蘇州）綜合與實踐小明同學用一副三角板進行自主探究．如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，△CDE中，∠DCE＝90°，∠E＝30°，AB＝CE＝12cm．【觀察感知】（1）如圖①，將這副三角板的直角頂點和兩條直角邊分別重合，AB，DE交于點F，求∠AFD的度數(shù)和線段AD的長．（結果保留根號）【探索發(fā)現(xiàn)】（2）在圖①的基礎上，保持△CDE不動，把△ABC繞點C按逆時針方向旋轉一定的角度，使得點A落在邊DE上（如圖②）．①求線段AD的長；（結果保留根號）②判斷AB與DE的位置關系，并說明理由．25．（10分）（2025?蘇州）如圖，在四邊形ABCD中，BD＝CD，∠C＝∠BAD．以AB為直徑的⊙O經(jīng)過點D，且與邊CD交于點E，連接AE，BE．（1）求證：BC為⊙O的切線；（2）若AB=10，sin∠AED=101026．（10分）（2025?蘇州）兩個智能機器人在如圖所示的Rt△ABC區(qū)域工作，∠ABC＝90°，AB＝40m，BC＝30m，直線BD為生產(chǎn)流水線，且BD平分△ABC的面積（即D為AC中點）．機器人甲從點A出發(fā)，沿A→B的方向以v1（m/min）的速度勻速運動，其所在位置用點P表示，機器人乙從點B出發(fā)，沿B→C→D的方向以v2（m/min）的速度勻速運動，其所在位置用點Q表示．兩個機器人同時出發(fā)，設機器人運動的時間為t（min），記點P到BD的距離（即垂線段PP′的長）為d1（m），點Q到BD的距離（即垂線段QQ′的長）為d2（m）．當機器人乙到達終點時，兩個機器人立即同時停止運動，此時d1＝7.5m．d2與t的部分對應數(shù)值如表（t1＜t2）：t（min）0t1t25.5d2（m）016160（1）機器人乙運動的路線長為m；（2）求t2﹣t1的值；（3）當機器人甲、乙到生產(chǎn)流水線BD的距離相等（即d1＝d2）時，求t的值．27．（10分）（2025?蘇州）如圖，二次函數(shù)y＝﹣x2+2x+3的圖象與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，作直線BC，M（m，y1），N（m+2，y2）為二次函數(shù)y＝﹣x2+2x+3圖象上兩點．（1）求直線BC對應函數(shù)的表達式；（2）試判斷是否存在實數(shù)m使得y1+2y2＝10．若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．（3）已知P是二次函數(shù)y＝﹣x2+2x+3圖象上一點（不與點M，N重合），且點P的橫坐標為1﹣m，作△MNP．若直線BC與線段MN，MP分別交于點D，E，且△MDE與△MNP的面積的比為1：4，請直接寫出所有滿足條件的m的值．

2025年江蘇省蘇州市中考數(shù)學試卷參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）題號12345678答案D．AB．CCBBD一、選擇題：本大題共8小題，每小題3分，共24分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.請將選擇題的答案用2B鉛筆涂在答題卡相對應的位置上。1．（3分）（2025?蘇州）下列實數(shù)中，比2小的數(shù)是（）A．5 B．4 C．3 D．﹣1【考點】實數(shù)大小比較．【分析】利用有理數(shù)大小的比較方法：1、在數(shù)軸上表示的兩個數(shù)，右邊的總比左邊的數(shù)大．2、正數(shù)都大于零，負數(shù)都小于零，正數(shù)大于負數(shù)．3、兩個正數(shù)比較大小，絕對值大的數(shù)大；兩個負數(shù)比較大小，絕對值大的數(shù)反而?。凑諒男〉酱蟮捻樞蚺帕姓页鼋Y論即可．【解答】解：A．5＞2，故不符合題意；B．4＞2，故不符合題意；C．3＞2，故不符合題意；D．﹣1＜2，故符合題意；故選：D．【點評】本題考查了有理數(shù)的大小比較，掌握正數(shù)都大于零；負數(shù)都小于零；正數(shù)大于負數(shù)；兩個正數(shù)比較大小，絕對值大的數(shù)大；兩個負數(shù)比較大小，絕對值大的數(shù)反而小是解答本題的關鍵．2．（3分）（2025?蘇州）如圖，將直角三角形繞它的一條直角邊所在直線旋轉一周后形成的幾何體是（）A． B． C． D．【考點】點、線、面、體．【分析】根據(jù)直角三角形繞直角邊旋轉是圓錐，可得答案．【解答】解：將直角三角形繞其一條直角邊所在直線l旋轉一周，得到的幾何體是圓錐，故選：A．【點評】本題考查了點、線、面、體，熟記各種平面圖形旋轉得到的立體圖形是解題的關鍵．3．（3分）（2025?蘇州）據(jù)人民網(wǎng)消息，2025年第一季度，蘇州市貨物貿易進出口總值達63252000萬元，其中，出口40317000萬元，創(chuàng)歷史同期新高，同比增長11.5%．數(shù)據(jù)40317000用科學記數(shù)法可表示為（）A．0.40317×108 B．4.0317×107 C．40.317×106 D．40317×103【考點】科學記數(shù)法—表示較大的數(shù)．【分析】科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當原數(shù)絕對值≥10時，n是正數(shù)；當原數(shù)的絕對值＜1時，n是負數(shù)．【解答】解：40317000＝4.0317×107．故選：B．【點評】此題考查科學記數(shù)法的表示方法．科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值．4．（3分）（2025?蘇州）下列運算正確的是（）A．a(chǎn)?a3＝a3 B．a(chǎn)6÷a2＝a3 C．（ab）2＝a2b2 D．（a3）2＝a5【考點】同底數(shù)冪的除法；同底數(shù)冪的乘法；冪的乘方與積的乘方．【分析】利用同底數(shù)冪乘法及除法，冪的乘方與積的乘方法則逐項判斷即可．【解答】解：a?a3＝a4，則A不符合題意，a6÷a2＝a4，則B不符合題意，（ab）2＝a2b2，則C符合題意，（a3）2＝a6，則D不符合題意，故選：C．【點評】本題考查同底數(shù)冪乘法及除法，冪的乘方與積的乘方，熟練掌握相關運算法則是解題的關鍵．5．（3分）（2025?蘇州）如圖，在A，B兩地間修一條筆直的公路，從A地測得公路的走向為北偏東70°．若A，B兩地同時開工，要使公路準確接通，則∠α的度數(shù)應為（）A．100° B．105° C．110° D．115°【考點】平行線的性質；方向角．【分析】利用平行線的性質得出∠A+∠B＝180°，進而得出答案．【解答】解：∵使公路準確接通，∴∠A+∠B＝180°，∵∠A＝70°，∴∠B＝110°．即∠α的度數(shù)應為110°．故選：C．【點評】本題主要考查方向角，靈活利用平行線的性質是解題的關鍵．6．（3分）（2025?蘇州）一只不透明的袋子中，裝有3個白球和若干個紅球，這些球除顏色外都相同，攪勻后從中任意摸出一個球，摸到白球的概率為35A．1 B．2 C．3 D．4【考點】概率公式．【分析】設紅球的個數(shù)為x個，根據(jù)概率公式列出方程，解方程即可．【解答】解：設紅球的個數(shù)為x個，由題意得：33+x解得：x＝2，經(jīng)檢驗，x＝2是原方程的解，且符合題意，即紅球的個數(shù)為2個，故選：B．【點評】本題考查了概率公式：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．熟記概率公式是解題的關鍵．7．（3分）（2025?蘇州）聲音在空氣中傳播的速度隨溫度的變化而變化，科學家測得一定溫度下聲音傳播的速度v（m/s）與溫度t（℃）部分對應數(shù)值如表：溫度t（℃）﹣1001030聲音傳播的速度v（m/s）324330336348研究發(fā)現(xiàn)v，t滿足公式v＝at+b（a，b為常數(shù)，且a≠0），當溫度t為15℃時，聲音傳播的速度v為（）A．333m/s B．339m/s C．341m/s D．342m/s【考點】一次函數(shù)的應用．【分析】利用待定系數(shù)法求出v與t之間的函數(shù)關系式，當t＝15時，求出對應v的值即可．【解答】解：將t＝0，v＝330和t＝10，v＝336分別代入v＝at+b，得b=33010a+b=336解得a=0.6b=330∴v與t之間的函數(shù)關系式為v＝0.6t+330，當t＝15時，v＝0.6×15+330＝339，∴當溫度t為15℃時，聲音傳播的速度v為339m/s．故選：B．【點評】本題考查一次函數(shù)的應用，掌握待定系數(shù)法求一次函數(shù)的關系式是解題的關鍵．8．（3分）（2025?蘇州）如圖，在正方形ABCD中，E為邊AD的中點，連接BE，將△ABE沿BE翻折，得到△A′BE，連接A′C，A′D，則下列結論不正確的是（）A．A′D∥BE B．A'C=2A'C．△A′CD的面積＝△A′DE的面積 D．四邊形A′BED的面積＝△A′BC的面積【考點】翻折變換（折疊問題）；三角形的面積；正方形的性質．【分析】連接AA′交BE于點L，由正方形的性質得∠BAD＝∠ADC＝90°，因為E為邊AD的中點，所以AE＝DE，由翻折得A′E＝AE＝DE，BE垂直平分AA′，則∠ALE＝90°，可證明∠AA′D＝90°，則A′D∥BE，可判斷A正確；作A′H⊥CD于點H，設A′H＝m，由A′H∥AD，得∠DA′H＝∠ADA′＝∠AEB，則DHA′H=tan∠DA′H＝tan∠ADA′=AA′A′D=tan∠AEB=ABAE=2，則DH＝2A′H＝2m，求得A′D=5m，AB＝CD＝AD＝5m，則CH＝3m，所以A′C=10m，則A′C=2A′D，可判斷B正確；求得AA′＝25m，則S△A′AD＝5m2，所以S△A′DE=52m2，而S△A′CD=52m2，則S△A′CD＝S△A′DE，可判斷C正確；因為AE=52m，所以S△A′BE＝S△ABE=254m2，求得S四邊形A′BED=354m2，由S正方形ABCD＝25m2，求得S△【解答】解：連接AA′交BE于點L，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝CD＝AD，∠BAD＝∠ADC＝90°，∵E為邊AD的中點，∴AE＝DE=12AD=∵將△ABE沿BE翻折，得到△A′BE，∴A′E＝AE＝DE，點A′與點A關于直線BE對稱，∴BE垂直平分AA′，∴∠ALE＝90°，∵∠EA′A＝∠EAA′，∠EA′D＝∠EDA′，∴∠AA′D＝∠EA′A+∠EA′D＝∠EAA′+∠EDA′=1∴∠AA′D＝∠ALE，∴A′D∥BE，故A正確；作A′H⊥CD于點H，設A′H＝m，則∠A′HD＝∠A′HC＝∠ADC＝90°，∴A′H∥AD，∴∠DA′H＝∠ADA′＝∠AEB，∴DHA′H=tan∠DA′H＝tan∠ADA′=AA′A′D∴DH＝2A′H＝2m，AA′＝2A′D，AB＝2AE，∴A′D=A′H2+DH2=m∴AB＝CD＝AD=5×5m∴CH＝CD﹣DH＝5m﹣2m＝3m，∴A′C=A′H∴A′CA′D∴A′C=2A′D故B正確；∵AA′＝2A′D＝25m，∴S△A′AD=12×5m×25m∴S△A′DE＝S△A′AE=12S△A′AD=5∵S△A′CD=12×5m2=∴S△A′CD＝S△A′DE，故C正確；∵AE=12AD=∴S△A′BE＝S△ABE=12×5m×52∴S四邊形A′BED=254m2+52m2∵S正方形ABCD＝（5m）2＝25m2，∴S△A′BC＝25m2﹣2×254m2﹣2×52m2∴S四邊形A′BED≠S△A′BC，故D不正確，故選：D．【點評】此題重點考查正方形的性質、翻折變換的性質、同角的余角相等、平行線的判定與性質、勾股定理、解直角三角形、三角形的面積公式等知識，正確地添加輔助線是解題的關鍵．二、填空題：本大題共8小題，每小題3分，共24分.把答案直接填在答題卡相對應的位置上。9．（3分）（2025?蘇州）因式分解：x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）．【考點】因式分解﹣運用公式法；平方差公式．【分析】原式利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式＝（x+3）（x﹣3），故答案為：（x+3）（x﹣3）．【點評】此題考查了因式分解﹣運用公式法，熟練掌握平方差公式是解本題的關鍵．10．（3分）（2025?蘇州）某籃球隊在一次聯(lián)賽中共進行了6場比賽，得分依次為：71，71，65，71，64，66．這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為71．【考點】眾數(shù)．【分析】根據(jù)眾數(shù)的定義直接求解即可．【解答】解：∵71出現(xiàn)了3次，出現(xiàn)的次數(shù)最多，∴這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是71；故答案為：71．【點評】此題考查了眾數(shù)，掌握眾數(shù)的定義是解題的關鍵；眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)．11．（3分）（2025?蘇州）若y＝x+1，則代數(shù)式2y﹣2x+3的值為5．【考點】代數(shù)式求值．【分析】根據(jù)已知條件將要求代數(shù)式變形，然后整體代入求值即可．【解答】解：∵2y﹣2x+3＝﹣2x+2y+3，∵y＝x+1，∴y﹣x＝1，∴當y﹣x＝1時，原式＝﹣2x+2y+3＝2（y﹣x）+3＝2×1+3＝5．故答案為：5．【點評】本題考查代數(shù)式求值，按照代數(shù)式規(guī)定的運算，計算的結果就是代數(shù)式的值．12．（3分）（2025?蘇州）過A，B兩點畫一次函數(shù)y＝﹣x+2的圖象，已知點A的坐標為（0，2），則點B的坐標可以為（1，1）（答案不唯一）（填一個符合要求的點的坐標即可）．【考點】一次函數(shù)圖象上點的坐標特征；一次函數(shù)的圖象．【分析】代入x＝1，求出y的值，進而可得出點B的坐標可以為（1，1）．【解答】解：當x＝1時，y＝﹣1×1+2＝1，∴點B的坐標可以為（1，1）．故答案為：（1，1）（答案不唯一）．【點評】本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征以及一次函數(shù)的圖象，牢記“直線上任意一點的坐標都滿足函數(shù)關系式y(tǒng)＝kx+b”是解題的關鍵．13．（3分）（2025?蘇州）已知x1，x2是關于x的一元二次方程x2+2x﹣m＝0的兩個實數(shù)根，其中x1＝1，則x2＝﹣3．【考點】根與系數(shù)的關系．【分析】利用根與系數(shù)的關系，可得出x1+x2＝﹣2，結合x1＝1，即可求出x2的值．【解答】解：∵x1，x2是關于x的一元二次方程x2+2x﹣m＝0的兩個實數(shù)根，∴x1+x2＝﹣2，又∵x1＝1，∴x2＝﹣2﹣x1＝﹣2﹣1＝﹣3．故答案為：﹣3．【點評】本題考查了根與系數(shù)的關系，牢記“一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根之和等于?b14．（3分）（2025?蘇州）“蘇州之眼”摩天輪是亞洲最大的水上摩天輪，共設有28個回轉式太空艙全景轎廂，其示意圖如圖所示．該摩天輪高128m（即最高點離水面平臺MN的距離），圓心O到MN的距離為68m，摩天輪勻速旋轉一圈用時30min．某轎廂從點A出發(fā)，10min后到達點B，此過程中，該轎廂所經(jīng)過的路徑（即AB）長度為40πm．（結果保留π）【考點】弧長的計算．【分析】先根據(jù)題意求出∠AOB的度數(shù)，再求出圓O的半徑，利用弧長公式進行求解即可；【解答】解：由題意得∠AOB＝360°×10圓O的半徑為128﹣68＝60（m），∴該轎廂所經(jīng)過的路徑（即AB）長度為120π×60180=40π（故答案為：40π．【點評】本題主要考查了弧長的計算，熟記弧長公式是解題的關鍵．15．（3分）（2025?蘇州）如圖，∠MON＝60°，以O為圓心，2為半徑畫弧，分別交OM，ON于A，B兩點，再分別以A，B為圓心，6為半徑畫弧，兩弧在∠MON內部相交于點C，作射線OC，連接AC，BC，則tan∠BCO＝55【考點】作圖—基本作圖；解直角三角形；角平分線的性質．【分析】過點B作BD⊥OC于點D，由作圖過程得OC平分MON，得∠BOD=12∠MON＝30°，然后根據(jù)含30度角的直角三角形的性質求出BD【解答】解：如圖，過點B作BD⊥OC于點D，由作圖過程可知：OC平分MON，∴∠BOD=12∴BD=12OB∵BC=6∴CD=B∴tan∠BCO=BD故答案為：55【點評】本題考查作圖—基本作圖，解直角三角形，勾股定理，掌握基本作圖方法是解答本題的關鍵．16．（3分）（2025?蘇州）如圖，在△ABC中，AC＝3，BC＝2，∠C＝60°，D是線段BC上一點（不與端點B，C重合），連接AD，以AD為邊，在AD的右側作等邊三角形ADE，線段DE與線段AC交于點F，則線段CF長度的最大值為34【考點】勾股定理；等邊三角形的性質．【分析】過點A作AH⊥BC于H，解Rt△AHC得到AH=332，證明△DAC∽△FAD，可得AF=AD2AC=AD23，根據(jù)CF＝AC﹣AF可知，當AF有最小值時，CF有最大值，當AD⊥BC時，AD有最小值，即AF有最小值，此時點【解答】解：如圖所示，過點A作AH⊥BC于H，在Rt△AHC中，∠C＝60°，∠AHC＝90°，AC＝3，∴AH＝AC?sinC=3∵△ADE是等邊三角形，∴∠ADE＝60°＝∠C，又∵∠DAC＝∠FAD，∴△DAC∽△FAD，∴AFAD∴AF=A∵CF＝AC﹣AF，∴當AF有最小值時，CF有最大值，∴當AD有最小值時，AF有最小值，∴當AD⊥BC時，AD有最小值，即AF有最小值，此時點D與點H重合，∴AD的最小值為33∴AF的最小值為(3∴CF的最大值為3?9故答案為：34【點評】本題主要考查了解直角三角形，相似三角形的性質與判定，等邊三角形的性質，垂線段最短，掌握以上性質是解題的關鍵．三、解答題：本大題共11小題，共82分.把解答過程寫在答題卡相對應的位置上，解答時應寫出必要的計算過程、推演步驟或文字說明.作圖時用2B鉛筆或黑色墨水簽字筆。17．（5分）（2025?蘇州）計算：|﹣5|+32?16【考點】實數(shù)的運算．【分析】利用絕對值的性質，有理數(shù)的乘方法則，算術平方根的定義計算后再算加減即可．【解答】解：原式＝5+9﹣4＝14﹣4＝10．【點評】本題考查實數(shù)的運算，熟練掌握相關運算法則是解題的關鍵．18．（5分）（2025?蘇州）解不等式組：3x+1＞x?3x?1【考點】解一元一次不等式組．【分析】先根據(jù)解一元一次不等式的一般步驟，求出各個不等式的解集，然后根據(jù)判斷不等式組解集的口訣“同大取大”，判斷不等式組的解集即可．【解答】解：3x+1＞x?3①x?1由①得：3x﹣x＞﹣3﹣1，2x＞﹣4，x＞﹣2．由②得：3（x﹣1）＞2x，3x﹣3＞2x，3x﹣2x＞3，x＞3，∴不等式組的解集是x＞3．【點評】本題主要考查了解一元一次不等式組，解題關鍵是熟練掌握解一元一次不等式組的一般步驟．19．（6分）（2025?蘇州）先化簡，再求值：（2x?1+1）?x2【考點】分式的化簡求值．【分析】將括號內的分式通分并計算，然后算乘法并約分，最后將已知數(shù)值代入化簡結果中計算即可．【解答】解：（2x?1+=2+x?1=x+1x?1?=x當x＝﹣2時，原式=?2【點評】本題考查分式的化簡求值，熟練掌握相關運算法則是解題的關鍵．20．（6分）（2025?蘇州）為了弘揚社會主義核心價值觀，學校決定組織“立鴻鵠之志，做有為少年”主題觀影活動，建議同學們利用周末時間自主觀看．現(xiàn)有A，B，C共3部電影，甲、乙2位同學分別從中任意選擇1部電影觀看．（1）甲同學選擇A電影的概率為13（2）求甲、乙2位同學選擇不同電影的概率（請用畫樹狀圖或列表等方法說明理由）．【考點】列表法與樹狀圖法；概率公式．【分析】（1）直接由概率公式求解即可；（2）畫樹狀圖，共有9種等可能的結果，共有9種等可能的結果，其中甲、乙2位同學選擇不同電影的結果有6種，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）∵現(xiàn)有A，B，C共3部電影，∴甲同學選擇A電影的概率為13故答案為：13（2）畫樹狀圖如下：共有9種等可能的結果，其中甲、乙2位同學選擇不同電影的結果有6種，∴甲、乙2位同學選擇不同電影的概率為69【點評】此題考查的是用樹狀圖法求概率．樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，適合兩步或兩步以上完成的事件；注意概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．21．（6分）（2025?蘇州）如圖，C是線段AB的中點，∠A＝∠ECB，CD∥BE．（1）求證：△DAC≌△ECB；（2）連接DE，若AB＝16，求DE的長．【考點】全等三角形的判定與性質．【分析】（1）根據(jù)CD∥BE得∠DCA＝∠B，根據(jù)點C是線段AB的中點得AC＝CB=12AB，由此可依據(jù)“ASA”判定△DAC和△（2）根據(jù)AB＝16得AC＝CB=12AB＝8．根據(jù)全等三角形性質得CD＝BE，再根據(jù)CD∥BE得四邊形BCDE是平行四邊形，然后根據(jù)平行四邊形的性質即可得出【解答】（1）證明：∵CD∥BE，∴∠DCA＝∠B，∵點C是線段AB的中點，∴AC＝CB=12在△DAC和△ECB中，∠A=∠ECBAC=CB∴△DAC≌△ECB（ASA）；（2）解：∵AB＝16，∴AC＝CB=12由（1）可知：△DAC≌△ECB，∴CD＝BE，又∵CD∥BE，∴四邊形BCDE是平行四邊形．∴DE＝BC＝8．【點評】此題主要考查了全等三角形的判定和性質，熟練掌握全等三角形的判定和性質，平行四邊形的判定和性質是解決問題的關鍵．22．（8分）（2025?蘇州）隨著人工智能的快速發(fā)展，初中生使用AI大模型輔助學習快速普及，并呈現(xiàn)出多樣化趨勢．某研究性學習小組采用簡單隨機抽樣的方法，對本校九年級學生一周使用AI大模型輔助學習的時間（用x表示，單位：min）進行了抽樣調查，把所得的數(shù)據(jù)分組整理，并繪制成頻數(shù)分布直方圖：抽取的學生一周使用AI大模型輔助學習時間頻率分布表組別時間x（min）頻率A20≤x＜400.16B40≤x＜600.24C60≤x＜800.30D80≤x＜1000.20E100≤x≤1200.10合計1根據(jù)提供的信息回答問題：（1）請把頻數(shù)分布直方圖補充完整（畫圖后標注相應數(shù)據(jù)）；（2）調查所得數(shù)據(jù)的中位數(shù)落在C組（填組別）；（3）該校九年級共有750名學生，根據(jù)抽樣調查結果，估計該校九年級學生一周使用AI大模型輔助學習的時間不少于60min的學生人數(shù)．【考點】頻數(shù)（率）分布直方圖；中位數(shù)；用樣本估計總體；頻數(shù)（率）分布表．【分析】（1）用“20≤x＜40”的頻數(shù)除以其頻率可得樣本容量，進而得出“80≤x＜100”的頻數(shù)，再把頻數(shù)分布直方圖補充完整即可；（2）根據(jù)中位數(shù)的定義解答即可；（3）利用樣本估計總體即可．【解答】解：（1）樣本容量為：8÷0.16＝50，“80≤x＜100”的頻數(shù)為：50﹣8﹣12﹣15﹣5＝10，把頻數(shù)分布直方圖補充完整如下：（2）由統(tǒng)計圖可知，把50個數(shù)據(jù)從小到大排列，排在第25和26個數(shù)均落在C組，所以調查所得數(shù)據(jù)的中位數(shù)落在C組，故答案為：C；（3）0.30+0.20+0.10＝0.60，750×0.60＝450（人）．答：該校九年級學生一周使用AI大模型輔助學習的時間不少于60min的學生人數(shù)約為450人．【點評】本題考查頻數(shù)分布直方圖，用樣本估計總體，頻數(shù)分布表以及中位數(shù)；利用統(tǒng)計圖獲取信息時，必須認真觀察、分析、研究統(tǒng)計圖，才能作出正確的判斷和解決問題．23．（8分）（2025?蘇州）如圖，一次函數(shù)y＝2x+4的圖象與x軸，y軸分別交于A，B兩點，與反比例函數(shù)y=kx（k≠0，x＞0）的圖象交于點C，過點B作x軸的平行線與反比例函數(shù)y=kx（k≠0，x＞0）的圖象交于點（1）求A，B兩點的坐標；（2）若△BCD是以BD為底邊的等腰三角形，求k的值．【考點】反比例函數(shù)綜合題．【分析】（1）在y＝2x+4中，令y＝0可得點A的坐標為（﹣2，0），令x＝0得點B的坐標為（0，4）；（2）過點C作CE⊥BD，垂足為E，由△BCD是以BD為底邊的等腰三角形可得BE＝DE=k8，從而C（k8，8），根據(jù)點C在一次函數(shù)y＝2x即可解得k＝16．【解答】解：（1）在y＝2x+4中，令y＝0得2x+4＝0，解得x＝﹣2，∴點A的坐標為（﹣2，0），在y＝2x+4中，令x＝0得y＝4，∴點B的坐標為（0，4）；（2）過點C作CE⊥BD，垂足為E，如圖：∵△BCD是以BD為底邊的等腰三角形，∴CB＝CD，∵CE⊥BD，∴BE＝DE，在y=kx中，令y＝4得x∴D（k4∴BE＝DE=k在y=kx中，令x=k∴C（k8∵點C在一次函數(shù)y＝2x+4的圖象上，∴8＝2×k解得k＝16，∴k的值為16．【點評】本題考查反比例函數(shù)的綜合應用，涉及反比例函數(shù)和一次函數(shù)圖象上點坐標的特征，等腰三角形性質及應用等，解題的關鍵是用方字母的式子表示相關點坐標和相關線段的長度．24．（8分）（2025?蘇州）綜合與實踐小明同學用一副三角板進行自主探究．如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，△CDE中，∠DCE＝90°，∠E＝30°，AB＝CE＝12cm．【觀察感知】（1）如圖①，將這副三角板的直角頂點和兩條直角邊分別重合，AB，DE交于點F，求∠AFD的度數(shù)和線段AD的長．（結果保留根號）【探索發(fā)現(xiàn)】（2）在圖①的基礎上，保持△CDE不動，把△ABC繞點C按逆時針方向旋轉一定的角度，使得點A落在邊DE上（如圖②）．①求線段AD的長；（結果保留根號）②判斷AB與DE的位置關系，并說明理由．【考點】幾何變換綜合題．【分析】（1）先根據(jù)等腰三角形的性質可得∠BAC＝∠ABC＝45°，再求出∠CDE＝60°，然后根據(jù)三角形的外角性質即可得∠AFD＝15°，最后根據(jù)解直角三角形可得AC，CD的長，根據(jù)線段的和差即可得；（2）①過點C作CG⊥DE，垂足為G，先解直角三角形可得CG，DG的長，再利用勾股定理可得AG的長，然后根據(jù)線段的和差即可得；②根據(jù)等腰三角形的性質可得∠CAG＝∠ACG＝45°，則可得∠DAB＝90°，由此即可得．【解答】解：（1）∵△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，∴∠BAC＝∠ABC＝45°，∵△CDE中，∠DCE＝90°，∠E＝30°，∴∠CDE＝60°，∴∠AFD＝∠CDE﹣∠A＝60°﹣45°＝15°，在Rt△ABC中，AC=AB?sin∠ABC=12×2在Rt△CDE中，CD=CE?tanE=12×3∴AD=AC?CD=(62（2）①如圖，過點C作CG⊥DE，垂足為G，∵△CDG中，∠CGD＝90°，∠CDE＝60°，CD=43∴DG=CD?cos∠CDE=23cm，CG＝CD?sin∠CDE＝6∵△CGA中，∠CGA＝90°，CA=62cm，CG＝6∴AG=A∴AD=AG+DG=(6+23②AB⊥DE，理由如下：∵在Rt△CGA中，∠CGA＝90°，AG＝CG＝6cm，∴∠CAG＝∠ACG＝45°，又∵∠BAC＝45°，∴∠DAB＝∠CAG+∠BAC＝45°+45°＝90°，∴AB⊥DE．【點評】本題考查了等腰三角形的性質、解直角三角形、勾股定理等知識，熟練掌握解直角三角形的方法是解題關鍵．25．（10分）（2025?蘇州）如圖，在四邊形ABCD中，BD＝CD，∠C＝∠BAD．以AB為直徑的⊙O經(jīng)過點D，且與邊CD交于點E，連接AE，BE．（1）求證：BC為⊙O的切線；（2）若AB=10，sin∠AED=1010【考點】切線的判定與性質；解直角三角形；圓周角定理．【分析】（1）由AB是⊙O的直徑，得∠ADB＝90°，由BD＝CD，得∠C＝∠DBC，而∠C＝∠BAD，則∠DBC＝∠BAD，所以∠OBC＝∠ABD+∠DBC＝∠ABD+∠BAD＝90°，即可證明BC為⊙O的切線；（2）作DF⊥BC于點F，則BF＝CF，DF∥AB，由∠ABD＝∠AED，AB=10，得ADAB=sin∠ABD＝sin∠AED=1010，求得AD＝1，則BD=AB2?AD2=3，由∠BDF＝∠ABD，得BFBD=sin∠BDF＝sin∠ABD=1010，則【解答】（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∵BD＝CD，∴∠C＝∠DBC，∵∠C＝∠BAD，∴∠DBC＝∠BAD，∴∠OBC＝∠ABD+∠DBC＝∠ABD+∠BAD＝90°，∵OB是⊙O的半徑，且BC⊥OB，∴BC為⊙O的切線．（2）解：作DF⊥BC于點F，則∠BFD＝∠CFD＝∠ABC＝90°，BF＝CF，∴DF∥AB，∵∠ABD＝∠AED，AB=10∴ADAB=sin∠ABD＝sin∠AED∴AD=1010AB∴BD=A∵∠BDF＝∠ABD，∴BFBD=sin∠BDF＝sin∠ABD∴BF=1010BD=10∵∠BEC＝∠BAD＝180°﹣∠BED，∠C＝∠BAD，∴∠BEC＝∠C，∴BE＝BC＝2BF＝2×3∴BE的長是310【點評】此題重點考查圓周角定理、等腰三角形的性質、切線的判定、勾股定理、解直角三角形等知識，正確地添加輔助線是解題的關鍵．26．（10分）（2025?蘇州）兩個智能機器人在如圖所示的Rt△ABC區(qū)域工作，∠ABC＝90°，AB＝40m，BC＝30m，直線BD為生產(chǎn)流水線，且BD平分△ABC的面積（即D為AC中點）．機器人甲從點A出發(fā)，沿A→B的方向以v1（m/min）的速度勻速運動，其所在位置用點P表示，機器人乙從點B出發(fā)，沿B→C→D的方向以v2（m/min）的速度勻速運動，其所在位置用點Q表示．兩個機器人同時出發(fā)，設機器人運動的時間為t（min），記點P到BD的距離（即垂線段PP′的長）為d1（m），點Q到BD的距離（即垂線段QQ′的長）為d2（m）．當機器人乙到達終點時，兩個機器人立即同時停止運動，此時d1＝7.5m．d2與t的部分對應數(shù)值如表（t1＜t2）：t（min）0t1t25.5d2（m）016160（1）機器人乙運動的路線長為55m；（2）求t2﹣t1的值；（3）當機器人甲、乙到生產(chǎn)流水線BD的距離相等（即d1＝d2）時，求t的值．【考點】勾股定理的應用；直角三角形斜邊上的中線．【分析】（1）利用勾股定理求解即可；（2）利用直角三角形斜邊中線的性質求得BD＝CD＝AD＝25，得到∠ABD＝∠BAC，∠DBC＝∠C，推出sin∠ABD=sin∠BAC=35，sin∠DBC=sinC=45，分當點Q在BC上和點Q在CD上時，兩種情況討論，分別求得t（3）根據(jù)題意求得d1＝24﹣3t，分當點Q在BC上和點Q在CD上時兩種情況討論，列式一元一次方程方程，求解即可．【解答】解：（1）∵∠ABC＝90°，AB＝40m，BC＝30m，∴AC=302∵D為AC中點，∴CD=12AC=∵BC+CD＝30+25＝55m，∴機器人乙運動的路線長為55m，故答案為：55；（2）根據(jù)題意，得v2=55∵△ABC中，∠ABC＝90°，D為AC中點，∴BD＝CD＝AD＝25，∴∠ABD＝∠BAC，∠DBC＝∠C，∴sin∠ABD＝sin∠BAC=35，當點Q在BC上時，d2∴8t1＝16，解得t1＝2，當點Q在CD上時，作AH⊥BD，垂足為H（如圖），則AH=AB?sin∠ABD=40×3∵∠CDB＝∠ADH，∴sin∠CDB＝sin∠ADH=24∴d2∴2645解得t2∴t2（3）當t＝5.5時，d1＝7.5，此時，BP=PP′∴AP＝AB﹣BP＝40﹣12.5＝27.5，∴v1∴d1當點Q在BC上時，由d1＝d