第1頁（共1頁）2025年內(nèi)蒙古中考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（共8小題．每小題3分，共24分．每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求）1．（3分）（2025?內(nèi)蒙古）我國是歷史上最早認(rèn)識(shí)和使用負(fù)數(shù)的國家．若盈利100元記作+100元，則虧損200元應(yīng)記作（）A．+200元 B．﹣200元 C．+100元 D．﹣100元2．（3分）（2025?內(nèi)蒙古）下列汽車電子控制裝置顯示的圖案中，是中心對(duì)稱圖形的為（）A． B． C． D．3．（3分）（2025?內(nèi)蒙古）不等式組x?1≥0x＜3A． B． C． D．4．（3分）（2025?內(nèi)蒙古）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△OAB的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是O（0，0），A（2，1），B（1，2），以原點(diǎn)O為位似中心，在第三象限畫△OA′B′與△OAB位似，若△OA′B′與△OAB的相似比為2：1．則點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（）A．（﹣2，﹣1） B．（﹣4，﹣2） C．（﹣1，﹣2） D．（﹣2，﹣4）5．（3分）（2025?內(nèi)蒙古）如圖，ABCD是一個(gè)矩形草坪．對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，H是BC邊的中點(diǎn)，連接OH，且OH＝20m，AD＝30m，則該草坪的面積為（）A．2400m2 B．1800m2 C．1200m2 D．600m26．（3分）（2025?內(nèi)蒙古）如圖，直線AB∥CD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在直線AB，CD上，連接EF，以點(diǎn)E為圓心，適當(dāng)長為半徑畫?。簧渚€EA于點(diǎn)M．交EF于點(diǎn)N．再分別以點(diǎn)M，N為圓心．大于12MN的長為半徑畫?。▋苫“霃较嗟龋?，兩弧在∠AEF的內(nèi)部相交于點(diǎn)H，畫射線EH交CD于點(diǎn)G，若∠AEF＝80°，則∠EGFA．100° B．80° C．50° D．40°7．（3分）（2025?內(nèi)蒙古）在閉合電路中，通過定值電阻的電流I（單位：A）是它兩端的電壓U（單位：V）的正比例函數(shù)，其圖象如圖所示．當(dāng)該電阻兩端的電壓為15V時(shí)，通過它的電流為（）A．12A B．8A C．6A D．4A8．（3分）（2025?內(nèi)蒙古）已知點(diǎn)A（m，y1），B（m+1，y2）都在反比例函數(shù)y=?3A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．當(dāng)m＜0時(shí)，y1＜y2 D．當(dāng)m＜﹣1時(shí)，y1＜y2二、填空題（共4小題．每小題3分，共12分）9．（3分）（2025?內(nèi)蒙古）在單詞class（班級(jí)）中隨機(jī)選擇一個(gè)字母，則選中字母“s”的概率是．10．（3分）（2025?內(nèi)蒙古）冰糖葫蘆是我國傳統(tǒng)小吃．若大串冰糖葫蘆每根穿5個(gè)山楂，小串冰糖葫蘆每根穿3個(gè)山楂，則穿m根大串和n根小串冰糖葫蘆需要的山楂總個(gè)數(shù)用代數(shù)式表示為．11．（3分）（2025?內(nèi)蒙古）如圖，因地形原因，湖泊兩端A，B的距離不易測量，某科技小組需要用無人機(jī)進(jìn)行測量，他們將無人機(jī)上升并飛行至距湖面90m的點(diǎn)C處，從C點(diǎn)測得A點(diǎn)的俯角為60°，測得B點(diǎn)的俯角為30°（A，B，C三點(diǎn)在同一豎直平面內(nèi)），則湖泊兩端A，B的距離為m（結(jié)果保留根號(hào)）．12．（3分）（2025?內(nèi)蒙古）如圖，在菱形ABCD中，AB＝45，對(duì)角線BD的長為16，E是AD的中點(diǎn)，F(xiàn)是BD上一點(diǎn)，連接EF．若BF＝3，則EF的長為．三、解答題（共6小題，共64分）13．（10分）（2025?內(nèi)蒙古）計(jì)算：（1）|﹣5|+4+（﹣6）（2）x214．（7分）（2025?內(nèi)蒙古）每年的6月6日是全國愛眼日．某校為了解八年級(jí)學(xué)生的視力健康狀況，從該年級(jí)學(xué)生今年的體檢結(jié)果中隨機(jī)抽取了40名學(xué)生的視力數(shù)據(jù)，將所得視力數(shù)據(jù)進(jìn)行整理后分為5組，得到如下的頻數(shù)分布表：分組ABCDE1.0≤x＜4.24.2≤x＜4.54.5≤x＜4.84.8≤x＜5.15.1≤x≤5.3人數(shù)（頻數(shù)）2814124請(qǐng)根據(jù)所給信息，解答下列問題：（1）這40名學(xué)生視力的中位數(shù)落在哪個(gè)組內(nèi)？（2）該校八年級(jí)共有500名學(xué)生．①根據(jù)如表數(shù)據(jù)，請(qǐng)估計(jì)這500名八年級(jí)學(xué)生的視力在4.8≤x≤5.3范圍內(nèi)的人數(shù)；②從去年同期這500名學(xué)生的體檢結(jié)果中可知，視力在4.8≤x≤5.3范圍內(nèi)的人數(shù)為263人．如果你是該校的一名學(xué)生，請(qǐng)說明這500名學(xué)生今年和去年視力在4.8≤x≤5.3范圍內(nèi)的人數(shù)變化情況，并為學(xué)校提一條保護(hù)學(xué)生視力的合理化建議．15．（10分）（2025?內(nèi)蒙古）智能機(jī)器人的廣泛應(yīng)用是智慧農(nóng)業(yè)的發(fā)展趨勢之一．某品牌蘋果采摘機(jī)器人的機(jī)械手能自動(dòng)對(duì)成熟的蘋果進(jìn)行采摘，一個(gè)機(jī)器人可以搭載多個(gè)機(jī)械手同時(shí)工作．在正常工作狀態(tài)下，該機(jī)器人的每一個(gè)機(jī)械手平均a秒采摘一個(gè)成熟的蘋果，它的一個(gè)機(jī)械手用800秒采摘蘋果的個(gè)數(shù)比用600秒采摘蘋果的個(gè)數(shù)多25個(gè)．（1）求a的值；（2）現(xiàn)需要一定數(shù)量的蘋果發(fā)往外地，采摘工作由多個(gè)機(jī)器人共同完成．每個(gè)機(jī)器人搭載4個(gè)相同的機(jī)械手，那么至少需要多少個(gè)這樣的機(jī)器人同時(shí)工作1小時(shí)，才能使采摘的蘋果個(gè)數(shù)不少于10000個(gè)？16．（12分）（2025?內(nèi)蒙古）如圖，AB是⊙O的直徑，半徑OC⊥AB．垂足為O，OC＝2，P是BA延長線上一點(diǎn)，連接CP，交⊙O于點(diǎn)D，連接AD，∠OCP＝60°．過點(diǎn)P作⊙O的切線，切點(diǎn)為E．交CO的延長線于點(diǎn)F．（1）求CD的長；（2）求∠DAB的度數(shù)；（3）求cos∠OFP的值．17．（12分）（2025?內(nèi)蒙古）問題背景：綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們?cè)O(shè)計(jì)一個(gè)家電裝置圖案，某小組設(shè)計(jì)的效果圖如圖1所示．外形參數(shù)：如圖2，裝置整體圖案為軸對(duì)稱圖形，外形由上方的拋物線L1，中間的矩形ABCD和下方的拋物線L2組成．拋物線L1的高度為8cm，矩形ABCD的邊AB＝8cm，BC＝6cm，拋物線L2的高度為4cm．在裝置內(nèi)部安裝矩形電子顯示屏EFGH，點(diǎn)E，F(xiàn)在拋物線L2上，點(diǎn)H，G在拋物線L1上．問題解決：如圖3，該小組以矩形ABCD的頂點(diǎn)A為原點(diǎn)，以AB邊所在的直線為x軸，以AD邊所在的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系．請(qǐng)結(jié)合外形參數(shù)，完成以下任務(wù)：（1）直接寫出B，C，D三點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）直接寫出拋物線L1和L2的頂點(diǎn)坐標(biāo)，并分別求出拋物線L1和L2的函數(shù)表達(dá)式；（3）為滿足矩形電子顯示屏EFGH的空間要求，需要EH邊的長為15cm，求此時(shí)EF邊的長．18．（13分）（2025?內(nèi)蒙古）如圖，ABCD是一個(gè)平行四邊形紙片，BD是一條對(duì)角線，BD＝BC＝5，CD＝6．（1）如圖1，將平行四邊形紙片ABCD沿BD折疊，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在點(diǎn)P處，PB交CD于點(diǎn)M．①試猜想PM與CM的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；②求△BDM的面積；（2）如圖2，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在平行四邊形紙片ABCD的AB，AD邊上，連接EF，且EF∥BD，將平行四邊形紙片ABCD沿EF折疊，使點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)G落在CD邊上，求DG的長．

2025年內(nèi)蒙古中考數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）題號(hào)12345678答案B．BCBCDAD一、選擇題（共8小題．每小題3分，共24分．每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求）1．（3分）（2025?內(nèi)蒙古）我國是歷史上最早認(rèn)識(shí)和使用負(fù)數(shù)的國家．若盈利100元記作+100元，則虧損200元應(yīng)記作（）A．+200元 B．﹣200元 C．+100元 D．﹣100元【考點(diǎn)】正數(shù)和負(fù)數(shù)．【分析】在一對(duì)具有相反意義的量中，先規(guī)定其中一個(gè)為正，則另一個(gè)就用負(fù)表示．【解答】解：“正”和“負(fù)”相對(duì)，所以，若盈利100元記作+100元，則虧損200元應(yīng)記作﹣200元．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了正負(fù)數(shù)的意義，解題關(guān)鍵是理解“正”和“負(fù)”的相對(duì)性，明確什么是一對(duì)具有相反意義的量．2．（3分）（2025?內(nèi)蒙古）下列汽車電子控制裝置顯示的圖案中，是中心對(duì)稱圖形的為（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】中心對(duì)稱圖形．【分析】根據(jù)中心對(duì)稱圖形的定義：“繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，旋轉(zhuǎn)后的圖形能與原圖形重合，那么這個(gè)圖形是中心對(duì)稱圖形，”進(jìn)行判斷即可．【解答】解：是中心對(duì)稱圖形的為選項(xiàng)B中的圖案．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查中心對(duì)稱圖形的定義，熟練掌握該知識(shí)點(diǎn)是關(guān)鍵．3．（3分）（2025?內(nèi)蒙古）不等式組x?1≥0x＜3A． B． C． D．【考點(diǎn)】解一元一次不等式組；在數(shù)軸上表示不等式的解集．【分析】求出第一個(gè)不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小無解了確定不等式組的解集，繼而結(jié)合數(shù)軸可得答案．【解答】解：由x﹣1≥0得：x≥1，又x＜3，所以不等式組的解集為1≤x＜3，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個(gè)不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．4．（3分）（2025?內(nèi)蒙古）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△OAB的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是O（0，0），A（2，1），B（1，2），以原點(diǎn)O為位似中心，在第三象限畫△OA′B′與△OAB位似，若△OA′B′與△OAB的相似比為2：1．則點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（）A．（﹣2，﹣1） B．（﹣4，﹣2） C．（﹣1，﹣2） D．（﹣2，﹣4）【考點(diǎn)】位似變換；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．【分析】根據(jù)位似的性質(zhì)可得答案．【解答】解：∵以原點(diǎn)O為位似中心，在第三象限畫△OA′B′與△OAB位似，△OA′B′與△OAB的相似比為2：1，∴點(diǎn)A（2，1）的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（﹣2×2，﹣2×1），即（﹣4，﹣2）．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查位似變換、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，熟練掌握位似的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．5．（3分）（2025?內(nèi)蒙古）如圖，ABCD是一個(gè)矩形草坪．對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，H是BC邊的中點(diǎn)，連接OH，且OH＝20m，AD＝30m，則該草坪的面積為（）A．2400m2 B．1800m2 C．1200m2 D．600m2【考點(diǎn)】三角形中位線定理；矩形的性質(zhì)．【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得到CO＝OA，根據(jù)三角形中位線定理求出AB，再根據(jù)矩形的面積公式計(jì)算，得到答案．【解答】解：∵四邊形ABCD為矩形，∴CO＝OA，∵H是BC邊的中點(diǎn)，∴OH是△ABC的中位線，∴AB＝2OH＝2×20＝40（m），∴該草坪的面積為：40×30＝1200（m2），故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形中位線定理、矩形的性質(zhì)，熟記三角形中位線等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．6．（3分）（2025?內(nèi)蒙古）如圖，直線AB∥CD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在直線AB，CD上，連接EF，以點(diǎn)E為圓心，適當(dāng)長為半徑畫?。簧渚€EA于點(diǎn)M．交EF于點(diǎn)N．再分別以點(diǎn)M，N為圓心．大于12MN的長為半徑畫?。▋苫“霃较嗟龋瑑苫≡凇螦EF的內(nèi)部相交于點(diǎn)H，畫射線EH交CD于點(diǎn)G，若∠AEF＝80°，則∠EGFA．100° B．80° C．50° D．40°【考點(diǎn)】平行線的性質(zhì)．【分析】根據(jù)角平分線的定義及平行線的性質(zhì)求解．【解答】解：由作圖得：EG平分∠AEF，∠AEF＝80°，∴∠AEG=12∠∵AB∥CD，∴∠EGF＝∠AEG＝40°，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了基本作圖，平行線的性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．（3分）（2025?內(nèi)蒙古）在閉合電路中，通過定值電阻的電流I（單位：A）是它兩端的電壓U（單位：V）的正比例函數(shù)，其圖象如圖所示．當(dāng)該電阻兩端的電壓為15V時(shí)，通過它的電流為（）A．12A B．8A C．6A D．4A【考點(diǎn)】正比例函數(shù)的圖象．【分析】利用待定系數(shù)法求出電流I關(guān)于電壓U的函數(shù)關(guān)系式，將U＝15V代入函數(shù)關(guān)系式解出即可．【解答】解：設(shè)I＝kU，∵當(dāng)U＝5V時(shí)，I＝4A，∴4＝5k，∴k=4∴I=45當(dāng)U＝15V時(shí)，I=45×故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查正比例函數(shù)的圖象，正確記憶相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．8．（3分）（2025?內(nèi)蒙古）已知點(diǎn)A（m，y1），B（m+1，y2）都在反比例函數(shù)y=?3A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．當(dāng)m＜0時(shí)，y1＜y2 D．當(dāng)m＜﹣1時(shí)，y1＜y2【考點(diǎn)】反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．【分析】根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征解答即可．【解答】解：∵反比例函數(shù)常量k＝﹣3＜0，∴反比例函數(shù)圖象分布在第二四象限，在每個(gè)象限內(nèi)y隨x的增大而增大，A、若兩點(diǎn)在同一分支上，m＜m+1，故y1＜y2，原說法錯(cuò)誤，不符合題意；B、若兩點(diǎn)不在同一分支上，m＜m+1，故y1＞y2，原說法錯(cuò)誤，不符合題意；C、當(dāng)m＜0時(shí)，無法確定B（m+1，y2）所在象限，原說法錯(cuò)誤，不符合題意；D、當(dāng)m＜﹣1時(shí)，兩點(diǎn)都在第二象限，y1＜y2，原說法正確，符合題意；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟練掌握該知識(shí)點(diǎn)是關(guān)鍵．二、填空題（共4小題．每小題3分，共12分）9．（3分）（2025?內(nèi)蒙古）在單詞class（班級(jí)）中隨機(jī)選擇一個(gè)字母，則選中字母“s”的概率是25【考點(diǎn)】概率公式．【分析】在單詞class（班級(jí)）中隨機(jī)選擇一個(gè)字母共有5種等可能結(jié)果，其中選中字母“s”的有2種結(jié)果，再根據(jù)概率公式求解即可．【解答】解：在單詞class（班級(jí)）中隨機(jī)選擇一個(gè)字母共有5種等可能結(jié)果，其中選中字母“s”的有2種結(jié)果，所以選中字母“s”的概率是25故答案為：25【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查概率公式，解題的關(guān)鍵是掌握隨機(jī)事件A的概率P（A）＝事件A可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)÷所有可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)．10．（3分）（2025?內(nèi)蒙古）冰糖葫蘆是我國傳統(tǒng)小吃．若大串冰糖葫蘆每根穿5個(gè)山楂，小串冰糖葫蘆每根穿3個(gè)山楂，則穿m根大串和n根小串冰糖葫蘆需要的山楂總個(gè)數(shù)用代數(shù)式表示為（5m+3n）個(gè)．【考點(diǎn)】列代數(shù)式．【分析】分別用m、n表示出大串冰糖葫蘆和小串冰糖葫蘆山楂的數(shù)量，再相加即可．【解答】解：需要的山楂總個(gè)數(shù)為：（5m+3n）個(gè)，故答案為：（5m+3n）個(gè)．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了列代數(shù)式，解題的關(guān)鍵是根據(jù)數(shù)量關(guān)系來列代數(shù)式．11．（3分）（2025?內(nèi)蒙古）如圖，因地形原因，湖泊兩端A，B的距離不易測量，某科技小組需要用無人機(jī)進(jìn)行測量，他們將無人機(jī)上升并飛行至距湖面90m的點(diǎn)C處，從C點(diǎn)測得A點(diǎn)的俯角為60°，測得B點(diǎn)的俯角為30°（A，B，C三點(diǎn)在同一豎直平面內(nèi)），則湖泊兩端A，B的距離為1203m（結(jié)果保留根號(hào)）．【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題．【分析】過點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為D，根據(jù)題意可得：EF∥AB，從而可得∠FCA＝∠CAB＝60°，∠ECB＝∠CBA＝30°，然后分別在Rt△ACD和Rt△BCD中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AD和BD的長，最后進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：如圖：過點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為D，由題意得：EF∥AB，∴∠FCA＝∠CAB＝60°，∠ECB＝∠CBA＝30°，在Rt△ACD中，CD＝90m，∴AD=CDtan60°=903在Rt△BCD中，BD=CDtan30°=903∴AB＝AD+BD＝1203（m），∴湖泊兩端A，B的距離為1203m，故答案為：1203．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．12．（3分）（2025?內(nèi)蒙古）如圖，在菱形ABCD中，AB＝45，對(duì)角線BD的長為16，E是AD的中點(diǎn)，F(xiàn)是BD上一點(diǎn)，連接EF．若BF＝3，則EF的長為85．【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)．【分析】由菱形的性質(zhì)可得AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO＝8，AB＝AD＝45，由勾股定理可求AO的長，通過證明△EGD∽△AOD，可求EG=12AO＝2，DG=【解答】解：如圖，連接AC交BD于O，過點(diǎn)E作EG⊥BD于G，∵四邊形ABCD是菱形，對(duì)角線BD的長為16，∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO＝8，AB＝AD＝45，∴AO=A∵E是AD的中點(diǎn)，∴AD＝2DE，∵EG⊥BD，∴EG∥AC，∴△EGD∽△AOD，∴EGAO∴EG=12AO＝2，DG=∵BF＝3，∴FG＝BD﹣GD﹣BF＝9，∴EF=E故答案為：85．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．三、解答題（共6小題，共64分）13．（10分）（2025?內(nèi)蒙古）計(jì)算：（1）|﹣5|+4+（﹣6）（2）x2【考點(diǎn)】分式的乘除法；實(shí)數(shù)的運(yùn)算．【分析】（1）根據(jù)絕對(duì)值、算術(shù)平方根以及有理數(shù)的乘法的計(jì)算方法進(jìn)行計(jì)算即可；（2）根據(jù)分式乘除法的計(jì)算方法進(jìn)行計(jì)算即可..【解答】解：（1）原式＝5+2﹣2＝5；（2）原式=(x+1)(x?1)x=x?1【點(diǎn)評(píng)】本題考查有理數(shù)的運(yùn)算，分式的乘除法，掌握有理數(shù)混合運(yùn)算的方法以及分式乘除法的計(jì)算方法是正確解答的關(guān)鍵．14．（7分）（2025?內(nèi)蒙古）每年的6月6日是全國愛眼日．某校為了解八年級(jí)學(xué)生的視力健康狀況，從該年級(jí)學(xué)生今年的體檢結(jié)果中隨機(jī)抽取了40名學(xué)生的視力數(shù)據(jù)，將所得視力數(shù)據(jù)進(jìn)行整理后分為5組，得到如下的頻數(shù)分布表：分組ABCDE1.0≤x＜4.24.2≤x＜4.54.5≤x＜4.84.8≤x＜5.15.1≤x≤5.3人數(shù)（頻數(shù)）2814124請(qǐng)根據(jù)所給信息，解答下列問題：（1）這40名學(xué)生視力的中位數(shù)落在哪個(gè)組內(nèi)？（2）該校八年級(jí)共有500名學(xué)生．①根據(jù)如表數(shù)據(jù)，請(qǐng)估計(jì)這500名八年級(jí)學(xué)生的視力在4.8≤x≤5.3范圍內(nèi)的人數(shù)；②從去年同期這500名學(xué)生的體檢結(jié)果中可知，視力在4.8≤x≤5.3范圍內(nèi)的人數(shù)為263人．如果你是該校的一名學(xué)生，請(qǐng)說明這500名學(xué)生今年和去年視力在4.8≤x≤5.3范圍內(nèi)的人數(shù)變化情況，并為學(xué)校提一條保護(hù)學(xué)生視力的合理化建議．【考點(diǎn)】中位數(shù)；用樣本估計(jì)總體；頻數(shù)（率）分布表．【分析】（1）根據(jù)中位數(shù)的定義求解即可；（2）①總?cè)藬?shù)乘以樣本中D、E組人數(shù)和所占比例即可；②比較去年和今年該視力范圍內(nèi)人數(shù)即可得出答案，建議答案不唯一，合理均可．【解答】解：（1）這40名學(xué)生視力的中位數(shù)是第20、21個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，而這2個(gè)數(shù)據(jù)均落在C組，所以這40名學(xué)生視力的中位數(shù)落在C組；（2）①500×12+4答：估計(jì)這500名八年級(jí)學(xué)生的視力在4.8≤x≤5.3范圍內(nèi)的人數(shù)約為200名；②去年視力在4.8≤x≤5.3范圍內(nèi)的人數(shù)為263人，今年視力在4.8≤x≤5.3范圍內(nèi)的人數(shù)約為200人，今年視力在該范圍內(nèi)的人數(shù)明顯減少，建議：保護(hù)性用眼，保持工作、生活環(huán)境光線的柔和，避免強(qiáng)烈紫外線的照射．盡量減少熬夜和過度用眼，減少過度使用電子產(chǎn)品．增加戶外活動(dòng)，定期遠(yuǎn)眺．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了中位數(shù)以及頻數(shù)分布表、樣本估計(jì)總體，明確中位數(shù)所反映數(shù)據(jù)的特征是解決問題、做出判斷的前提．15．（10分）（2025?內(nèi)蒙古）智能機(jī)器人的廣泛應(yīng)用是智慧農(nóng)業(yè)的發(fā)展趨勢之一．某品牌蘋果采摘機(jī)器人的機(jī)械手能自動(dòng)對(duì)成熟的蘋果進(jìn)行采摘，一個(gè)機(jī)器人可以搭載多個(gè)機(jī)械手同時(shí)工作．在正常工作狀態(tài)下，該機(jī)器人的每一個(gè)機(jī)械手平均a秒采摘一個(gè)成熟的蘋果，它的一個(gè)機(jī)械手用800秒采摘蘋果的個(gè)數(shù)比用600秒采摘蘋果的個(gè)數(shù)多25個(gè)．（1）求a的值；（2）現(xiàn)需要一定數(shù)量的蘋果發(fā)往外地，采摘工作由多個(gè)機(jī)器人共同完成．每個(gè)機(jī)器人搭載4個(gè)相同的機(jī)械手，那么至少需要多少個(gè)這樣的機(jī)器人同時(shí)工作1小時(shí)，才能使采摘的蘋果個(gè)數(shù)不少于10000個(gè)？【考點(diǎn)】一元一次不等式的應(yīng)用；一元一次方程的應(yīng)用．【分析】（1）根據(jù)“該機(jī)器人的一個(gè)機(jī)械手用800秒采摘蘋果的個(gè)數(shù)比用600秒采摘蘋果的個(gè)數(shù)多25個(gè)”，可列出關(guān)于a的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論；（2）設(shè)需要x個(gè)這樣的機(jī)器人，利用1小時(shí)采摘蘋果的總數(shù)量＝每個(gè)機(jī)器人的一個(gè)機(jī)械手1小時(shí)采摘蘋果的數(shù)量×4×使用機(jī)器人的數(shù)量，結(jié)合要求1小時(shí)采摘的蘋果個(gè)數(shù)不少于10000個(gè)，可列出關(guān)于x的一元一次不等式，解之可得出x的取值范圍，再取其中的最小整數(shù)值，即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）根據(jù)題意得：25a＝800﹣600，解得：a＝8．答：a的值為8；（2）設(shè)需要x個(gè)這樣的機(jī)器人，根據(jù)題意得：36008×4解得：x≥50又∵x為正整數(shù)，∴x的最小值為6．答：至少需要6個(gè)這樣的機(jī)器人同時(shí)工作1小時(shí)，才能使采摘的蘋果個(gè)數(shù)不少于10000個(gè)．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式．16．（12分）（2025?內(nèi)蒙古）如圖，AB是⊙O的直徑，半徑OC⊥AB．垂足為O，OC＝2，P是BA延長線上一點(diǎn)，連接CP，交⊙O于點(diǎn)D，連接AD，∠OCP＝60°．過點(diǎn)P作⊙O的切線，切點(diǎn)為E．交CO的延長線于點(diǎn)F．（1）求CD的長；（2）求∠DAB的度數(shù)；（3）求cos∠OFP的值．【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)；弧長的計(jì)算；解直角三角形；垂徑定理；圓周角定理．【分析】（1）連接OD，判定△OCD是等邊三角形，得到∠COD＝60°，由弧長公式即可求出CD的長；（2）求出∠AOD＝∠AOC﹣∠COD＝30°，由等腰三角形的性質(zhì)得到∠DAB＝∠ADO=1（3）連接OE，由切線的性質(zhì)得到半徑OE⊥PE，由余角的性質(zhì)推出∠POE＝∠OFP，由tanC=POOC=3，求出PO＝23，得到cos∠POE=OEPO【解答】解：（1）連接OD，∵OC＝OD，∠OCD＝60°，∴△OCD是等邊三角形，∴∠COD＝60°，∵OC＝2，∴CD的長=60π×2180（2）∵OC⊥AB，∴∠AOC＝90°，∴∠AOD＝∠AOC﹣∠COD＝30°，∵OD＝OA，∴∠DAB＝∠ADO=1（3）連接OE，∵PE切圓與E，∴半徑OE⊥PE，∵∠POE+∠OPE＝∠OFP+∠OPE，∴∠POE＝∠OFP，∵tanC＝tan60°=PO∴PO＝23，∵OE＝OC＝2，∴cos∠POE=OE∴cos∠OFP＝cos∠POE=3【點(diǎn)評(píng)】本題考查切線的性質(zhì)，解直角三角形，弧長的計(jì)算，等邊三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握弧長公式，銳角的余弦定義，由銳角的正切定義求出PO的長．17．（12分）（2025?內(nèi)蒙古）問題背景：綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們?cè)O(shè)計(jì)一個(gè)家電裝置圖案，某小組設(shè)計(jì)的效果圖如圖1所示．外形參數(shù)：如圖2，裝置整體圖案為軸對(duì)稱圖形，外形由上方的拋物線L1，中間的矩形ABCD和下方的拋物線L2組成．拋物線L1的高度為8cm，矩形ABCD的邊AB＝8cm，BC＝6cm，拋物線L2的高度為4cm．在裝置內(nèi)部安裝矩形電子顯示屏EFGH，點(diǎn)E，F(xiàn)在拋物線L2上，點(diǎn)H，G在拋物線L1上．問題解決：如圖3，該小組以矩形ABCD的頂點(diǎn)A為原點(diǎn)，以AB邊所在的直線為x軸，以AD邊所在的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系．請(qǐng)結(jié)合外形參數(shù)，完成以下任務(wù)：（1）直接寫出B，C，D三點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）直接寫出拋物線L1和L2的頂點(diǎn)坐標(biāo)，并分別求出拋物線L1和L2的函數(shù)表達(dá)式；（3）為滿足矩形電子顯示屏EFGH的空間要求，需要EH邊的長為15cm，求此時(shí)EF邊的長．【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．【分析】（1）由矩形ABCD性質(zhì)可得CD＝AB＝8cm，AD＝BC＝6cm，CD∥AB，BC∥AD，即可得出坐標(biāo)；（2）由裝置整體圖案為軸對(duì)稱圖形，作出對(duì)稱軸，分別交拋物線L1于M，交拋物線L2于N，交矩形ABCD于N，P，結(jié)合矩形和拋物線的對(duì)稱性，可得直線MQ是拋物線L1和L2的對(duì)稱軸，AP=BP=12AB=4，∠DNP＝∠APN＝90°，由矩形DAPN中NP＝AD＝6，拋物線L1的高度為8cm，拋物線L2的高度為4cm，直線MQ是拋物線L1和L2的對(duì)稱軸，即可得出拋物線L1和L2的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為M（4，14），Q（4，﹣4），分別設(shè)拋物線L1和L2的表達(dá)式為y=a1(x?4)（3）由裝置整體圖案為軸對(duì)稱圖形，得出EF⊥MG，HG⊥MG，證明HE⊥x軸，設(shè)xE＝xH＝n，則yH=?12n2+4n+6，yE=14n2?2n【解答】解：（1）∵矩形ABCD的邊AB＝8cm，BC＝6cm，∴CD＝AB＝8cm，AD＝BC＝6cm，CD∥AB，BC∥AD，∴B（8，0），C（8，6），D（0，6）；（2）∵裝置整體圖案為軸對(duì)稱圖形，如圖，作出對(duì)稱軸，分別交拋物線L1于M，交拋物線L2于N，交矩形ABCD于N，P，結(jié)合矩形和拋物線的對(duì)稱性，可得直線MQ是拋物線L1和L2的對(duì)稱軸，AP=BP=12AB=4，∠DNP∴四邊形DAPN是矩形，∴NP＝AD＝6，∵拋物線L1的高度為8cm，拋物線L2的高度為4cm，直線MQ是拋物線L1和L2的對(duì)稱軸，∴MP＝MN+NP＝8+6＝14（cm），QP＝4cm，∴拋物線L1和L2的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為M（4，14），Q（4，﹣4），分別設(shè)拋物線L1和L2的表達(dá)式為y=a1(x?4將D（0，6）代入y=a解得a1則拋物線L1的表達(dá)式為y=?1將A（0，0）代入y=a解得a2則拋物線L2的表達(dá)式為y=1（3）∵裝置整體圖案為軸對(duì)稱圖形，∴EF⊥MG，HG⊥MG，∵M(jìn)Q⊥x軸，∴EF∥HG∥x軸，∵EFGH是矩形，∴HE⊥EF，∴HE⊥x軸，∴xE＝xH，設(shè)xE＝xH＝n，∴yH=?1∴EH=y解得