第1頁（共1頁）2025年上海市中考數(shù)學試卷（回憶版）一、選擇題：（本大題共6題，每題4分，滿分24分）【下列各題的四個選項中，有且只有一個選項是正確的，選擇正確項的代號并填涂在答題紙的相應位置上】1．（4分）（2025?上海）下列運算中，正確的是（）A．m3+m3＝2m3 B．m3+m3＝m6 C．m3?m3＝m9 D．（m3）3＝m62．（4分）（2025?上海）下列代數(shù)式中，能表示“x與y的差的平方”的是（）A．x2﹣y2 B．（x﹣y）2 C．x2﹣y D．x﹣y23．（4分）（2025?上海）下列函數(shù)中，是正比例函數(shù)的是（）A．y＝3x+1 B．y＝3x2 C．y=3x D．4．（4分）（2025?上海）如圖是某校體育組60人的某科成績，下列說法中正確的是（）A．中位數(shù)是21 B．中位數(shù)是85 C．眾數(shù)是21 D．眾數(shù)是855．（4分）（2025?上海）在正方形ABCD中，|AB→+BCA．22 B．12 C．26．（4分）（2025?上海）在銳角三角形ABC中，AB＝AC，BC＝8，它的外接圓O的半徑長為5，若點D是邊BC的中點，以點D為圓心的圓和⊙O相交，那么⊙D的半徑長可以是（）A．2 B．5 C．8 D．10二、填空題：（本大題共12題，每題4分，滿分48分）【請將結(jié)果直接填入答題紙的相應位置上】7．（4分）（2025?上海）分解因式：a2b+ab2＝．8．（4分）（2025?上海）不等式組x2?1＞02x+3≥x9．（4分）（2025?上海）方程x?6=2的解為10．（4分）（2025?上海）一元二次方程2x2+x+m＝0沒有實數(shù)根，那么m的取值范圍是．11．（4分）（2025?上海）拋物線y＝3x2向下平移兩個單位所得的拋物線解析式為．12．（4分）（2025?上海）已知一個反比例函數(shù)，在每個象限內(nèi)，函數(shù)值y隨x的增大而減小，那么這個反比例函數(shù)的解析式可以是．（只需寫出一個）13．（4分）（2025?上海）小明手中有1、2、3、4四張牌，小軍手中有2、4、6、8四張牌，若小明從小軍手中抽一張牌，抽到任何牌的概率相等，那么抽到的牌和自己原有的牌的數(shù)字相等的概率為．14．（4分）（2025?上海）如圖，某公司安裝了一個人臉打卡器，AB是高2.7m的門框，某人CD高1.8m，只有當∠CAB＝53°時，他才能開門，那么BD長為．（參考數(shù)據(jù)：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.33，保留1位小數(shù)）15．（4分）（2025?上海）某高鐵站出站后有出租車、地鐵、汽車、公交等出行方式，高鐵站為調(diào)查各個出行方式的人流，先對2000人展開調(diào)查，結(jié)果如圖所示，那么某日高鐵站出站客流約為1.8萬人，其中有約人選擇出租車．16．（4分）（2025?上海）已知我國通過科技，研究出了一種超皮秒工具，進行一次擦除僅僅需要400皮秒，已知1皮秒等于1×10﹣12秒，那么這個工具1秒可以擦除次（用科學記數(shù)法表示）．17．（4分）（2025?上海）已知矩形ABCD中，點E在邊CD上，F(xiàn)是點E關(guān)于直線AD的對稱點，聯(lián)結(jié)EF、AF、BE，若四邊形ABEF是菱形，那么ABAD的值為18．（4分）（2025?上海）已知平面內(nèi)有一個角，一個圓與這個角的兩邊都有兩個交點，若此圓在角的邊上截得的兩條弦恰好是某正五邊形的一邊，那么這個角的度數(shù)為度．三、解答題（本大題共7題，共78分）19．（10分）（2025?上海）計算：45+1?20120．（10分）（2025?上海）解方程：x?3x?221．（10分）（2025?上海）某品牌儲水機的容量是200升，當加水加滿時，儲水機會自動停止加水，已知加冷水量y（升）和時間x（分鐘）的圖象如圖所示，加水過程中，水的溫度t（攝氏度）和x（分鐘）的關(guān)系：t=20x+100（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；（2）求儲水機中的水加滿時，儲水機內(nèi)水的溫度．22．（10分）（2025?上海）某小組對分割梯形組成等腰三角形展開研究．（1）如圖1，梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，點E是AB中點，D是梯形的頂點，將△ADE繞E旋轉(zhuǎn)180°得到△BFE，若AD＝a，且此時DF＝DC，求BC的長（用含a的代數(shù)式嘗試表示）；（2）如圖2，梯形MNPQ，MN∥PQ，MQ＝NP，請設計一種方法，用一條直線或兩條直線分割梯形為若干部分，再進行一系列的圖形運動，拼成一個等腰三角形，在圖2中畫出圖形，要求：①所得的部分不重疊，不間隙地拼；②在答題紙橫線上并寫出等腰三角形的腰是哪條線段；③在答題紙橫線上寫出這一或兩條直線的頂點．（模仿1中的表述：點E是AB中點，D是梯形的頂點）23．（12分）（2025?上海）如圖，在⊙O中，AB和CD是弦，半徑OA、OB分別交CD于點E、F，且CE＝DF．（1）求證：AB∥CD；（2）若AB＝BD，求證：AB2＝BF?OB．24．（12分）（2025?上海）在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過點A（1，1）和B（3，1），頂點為點P，拋物線于y軸交于點C．（1）求b和c的值．（2）另一條拋物線y＝ax2+mx+n（a≠1）也經(jīng)過點A（1，1）和B（3，1），頂點為點Q，與y軸交于點D．①求CDPQ②當四邊形CDPQ是直角梯形，求其最小內(nèi)角的正弦值．25．（14分）（2025?上海）如圖1，平行四邊形ABCD中，點E、F分別是邊BC、CD上的點．（1）若E是BC中點；①如圖1，若AE＝EF，求證：∠BAE＝∠EFC；②如圖2，若CF＝DF，聯(lián)結(jié)BF交AE于G，求S△BEG：S△AEF的值；（2）如圖3，若AB＝3，AD＝5，CF＝1，∠AEB＝∠AFE＝∠EFC，求AF的長．

2025年上海市中考數(shù)學試卷（回憶版）參考答案與試題解析一．選擇題（共6小題）題號123456答案ABDDCB一、選擇題：（本大題共6題，每題4分，滿分24分）【下列各題的四個選項中，有且只有一個選項是正確的，選擇正確項的代號并填涂在答題紙的相應位置上】1．（4分）（2025?上海）下列運算中，正確的是（）A．m3+m3＝2m3 B．m3+m3＝m6 C．m3?m3＝m9 D．（m3）3＝m6【考點】冪的乘方與積的乘方；合并同類項；同底數(shù)冪的乘法．【分析】A、B選項均根據(jù)合并同類項法則計算，然后判斷即可；C．根據(jù)同底數(shù)冪相乘法則進行計算，然后判斷即可；D．根據(jù)冪的乘方法則進行計算，然后判斷即可．【解答】解：A．∵m3+m3＝2m3，∴此選項的計算正確，故此選項符合題意；B．∵m3+m3＝2m3，∴此選項的計算錯誤，故此選項不符合題意；C．∵m3?m3＝m6，∴此選項的計算錯誤，故此選項不符合題意；D．∵（m3）3＝m9，∴此選項的計算錯誤，故此選項不符合題意；故選：A．【點評】本題主要考查了整式的有關(guān)運算，解題關(guān)鍵是熟練掌握同底數(shù)冪的乘法法則、冪的乘方法則和合并同類項法則．2．（4分）（2025?上海）下列代數(shù)式中，能表示“x與y的差的平方”的是（）A．x2﹣y2 B．（x﹣y）2 C．x2﹣y D．x﹣y2【考點】列代數(shù)式．【分析】先列出前半部分“x與y的差”，即x﹣y，再列后半部分“的平方”，即可得出答案．【解答】解：根據(jù)題目可列出（x﹣y）2，故選B．【點評】本題考查的是根據(jù)題意列出代數(shù)式．3．（4分）（2025?上海）下列函數(shù)中，是正比例函數(shù)的是（）A．y＝3x+1 B．y＝3x2 C．y=3x D．【考點】正比例函數(shù)的定義．【分析】根據(jù)形如y＝kx（k≠0）的是正比例函數(shù)，逐項分析判斷，即可求解．【解答】解：A．y＝3x+1是一次函數(shù)，不是正比例函數(shù)，故不符合題意；B．y＝3x2是二次函數(shù)，故不符合題意；C．y=3D．y=x故選：D．【點評】本題主要考查了正比例函數(shù)的定義，熟練掌握定義是關(guān)鍵．4．（4分）（2025?上海）如圖是某校體育組60人的某科成績，下列說法中正確的是（）A．中位數(shù)是21 B．中位數(shù)是85 C．眾數(shù)是21 D．眾數(shù)是85【考點】頻數(shù)（率）分布直方圖；中位數(shù)；眾數(shù)．【分析】分別根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的定義解答即可．【解答】解：由統(tǒng)計圖可知，把該校體育組60人的某科成績中出現(xiàn)最多的是85分，故眾數(shù)是85．故選：D．【點評】本題考查頻數(shù)分布直方圖、眾數(shù)、中位數(shù)，能夠從統(tǒng)計圖中獲取必要信息是解答本題的關(guān)鍵．5．（4分）（2025?上海）在正方形ABCD中，|AB→+BCA．22 B．12 C．2【考點】*平面向量．【分析】利用三角形法則，等腰直角三角形的性質(zhì)求解．【解答】解：如圖，連接AC．∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠D＝90°，∴AC=2CD∵AB→∴|AB→+BC→|：|故選：C．【點評】本題考查平面向量，正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握三角形法則．6．（4分）（2025?上海）在銳角三角形ABC中，AB＝AC，BC＝8，它的外接圓O的半徑長為5，若點D是邊BC的中點，以點D為圓心的圓和⊙O相交，那么⊙D的半徑長可以是（）A．2 B．5 C．8 D．10【考點】三角形的外接圓與外心；等腰三角形的性質(zhì)．【分析】根據(jù)題意，等腰△ABC的外接圓半徑為5，由等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理求得OD＝3；當⊙D與⊙O相交時，圓心距需滿足條件|5﹣r|＜OD＜5+r，代入數(shù)值求解r的范圍，進而確定選項．【解答】解：如圖，連接AD并延長交⊙O于點E，∵AB＝AC，D為BC中點，∴BD＝DC＝4，OD⊥BC，銳角三角形ABC中，AB＝AC，∴外接圓心O在AD上，連接OB，由勾股定理得：OD=O設以D為圓心的圓的半徑為r，⊙D，⊙O相交應滿足：|5﹣r|＜OD＜5+r，即|5﹣r|＜3＜5+r，解得：2＜r＜8，在此范圍的半徑只有選項B，故選：B．【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，兩圓相交的條件等知識，掌握兩圓相交的條件是關(guān)鍵．二、填空題：（本大題共12題，每題4分，滿分48分）【請將結(jié)果直接填入答題紙的相應位置上】7．（4分）（2025?上海）分解因式：a2b+ab2＝ab（a+b）．【考點】因式分解﹣提公因式法．【分析】先確定公因式，再提取即可．【解答】解：a2b+ab2＝ab（a+b），故答案為：ab（a+b）．【點評】本題考查了因式分解﹣提公因式法，熟練掌握公因式的確定方法是解題的關(guān)鍵．8．（4分）（2025?上海）不等式組x2?1＞02x+3≥x的解集是【考點】解一元一次不等式組；解一元一次不等式．【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小無解了確定不等式組的解集．【解答】解：由x2?1＞0得：由2x+3≥x得：x≥﹣3，則不等式組的解集為x＞2，故答案為：x＞2．【點評】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．9．（4分）（2025?上海）方程x?6=2的解為x＝10【考點】無理方程．【分析】將原方程兩邊同時平方得x﹣6＝4，解得x的值后并檢驗即可．【解答】解：已知方程x?6=則x﹣6＝4，解得：x＝10，經(jīng)檢驗，x＝10是原方程的解，故答案為：x＝10．【點評】本題考查無理方程，熟練掌握解方程的方法是解題的關(guān)鍵．10．（4分）（2025?上海）一元二次方程2x2+x+m＝0沒有實數(shù)根，那么m的取值范圍是m＞18【考點】根的判別式．【分析】根據(jù)方程的系數(shù)，結(jié)合根的判別式Δ＝b2﹣4ac＜0，可得出1﹣8m＜0，解之即可得出m的取值范圍．【解答】解：∵一元二次方程2x2+x+m＝0沒有實數(shù)根，∴Δ＝12﹣4×2×m＝1﹣8m＜0，解得：m＞1∴m的取值范圍是m＞1故答案為：m＞1【點評】本題考查了根的判別式，牢記“當Δ＜0時，方程無實數(shù)根”是解題的關(guān)鍵．11．（4分）（2025?上海）拋物線y＝3x2向下平移兩個單位所得的拋物線解析式為y＝3x2﹣2．【考點】二次函數(shù)圖象與幾何變換．【分析】根據(jù)二次函數(shù)的平移法則進行平移即可．【解答】解：∵拋物線y＝3x2向下平移兩個單位，∴y＝3x2﹣2，故答案為：y＝3x2﹣2．【點評】本題考查了二次函數(shù)的平移，掌握二次函數(shù)平移法則是解題的關(guān)鍵．12．（4分）（2025?上海）已知一個反比例函數(shù)，在每個象限內(nèi)，函數(shù)值y隨x的增大而減小，那么這個反比例函數(shù)的解析式可以是y=1x【考點】反比例函數(shù)的性質(zhì)．【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)解答．【解答】解：根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)，在每個象限內(nèi)，函數(shù)值y隨x的增大而減小，∴k＞0，∴這個解析式可以是y=1故答案為：y=1【點評】本題主要考查反比例函數(shù)的性質(zhì)，當k＞0時，在每一個象限內(nèi)，y隨x的增大而減??；當k＜0時，在每一個象限，y隨x的增大而增大．13．（4分）（2025?上海）小明手中有1、2、3、4四張牌，小軍手中有2、4、6、8四張牌，若小明從小軍手中抽一張牌，抽到任何牌的概率相等，那么抽到的牌和自己原有的牌的數(shù)字相等的概率為12【考點】列表法與樹狀圖法；概率公式．【分析】得出所有等可能結(jié)果，從中找到符合條件的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式求解即可．【解答】解：由題意知，共有4種等可能結(jié)果，其中抽到的牌和自己原有的牌的數(shù)字相等的有2種結(jié)果，所以抽到的牌和自己原有的牌的數(shù)字相等的概率為24故答案為：12【點評】本題考查了概率公式：根據(jù)概率的定義計算出這個事件的概率．14．（4分）（2025?上海）如圖，某公司安裝了一個人臉打卡器，AB是高2.7m的門框，某人CD高1.8m，只有當∠CAB＝53°時，他才能開門，那么BD長為1.2．（參考數(shù)據(jù)：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.33，保留1位小數(shù)）【考點】解直角三角形的應用．【分析】過點C作CE⊥AB，利用矩形的性質(zhì)和判定先得到BD與CE、CD與EB間關(guān)系，再利用線段的和差關(guān)系求出AE的長，最后利用直角三角形的邊角間關(guān)系得結(jié)論．【解答】解：過點C作CE⊥AB，垂足為E．由題意易知四邊形CDBE是矩形，∴CD＝BE＝1.8m，BD＝CE．∴AE＝AB﹣BE＝2.7﹣1.8＝0.9m．在Rt△ACE中，∵tanA=CE∴CE＝tanA?AE≈1.33×0.9＝1.197≈1.2（m）．∴BD＝1.2m．故答案為：1.2m．【點評】本題主要考查了解直角三角形，掌握直角三角形的邊角間關(guān)系、矩形的性質(zhì)和判定是解決本題的關(guān)鍵．15．（4分）（2025?上海）某高鐵站出站后有出租車、地鐵、汽車、公交等出行方式，高鐵站為調(diào)查各個出行方式的人流，先對2000人展開調(diào)查，結(jié)果如圖所示，那么某日高鐵站出站客流約為1.8萬人，其中有約0.18萬人選擇出租車．【考點】扇形統(tǒng)計圖．【分析】用總?cè)藬?shù)乘出站選擇出租車的人數(shù)所占的百分比即可．【解答】解：某日高鐵站出站客流約為1.8萬人，其中選擇出租車約有1.8×（1﹣15%﹣15%﹣60%）＝0.18（萬人）．故答案為：0.18萬．【點評】本題考查了扇形統(tǒng)計圖，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．16．（4分）（2025?上海）已知我國通過科技，研究出了一種超皮秒工具，進行一次擦除僅僅需要400皮秒，已知1皮秒等于1×10﹣12秒，那么這個工具1秒可以擦除2.5×109次（用科學記數(shù)法表示）．【考點】科學記數(shù)法—表示較小的數(shù)；有理數(shù)的乘法．【分析】用1秒除以400皮秒，答案寫成科學記數(shù)法即可．【解答】解：這個工具1秒可以擦除1÷（400×1×10﹣12）＝2.5×109（次）．故答案為：2.5×109．【點評】本題考查了科學記數(shù)法—表示較小的數(shù)，熟練掌握運算法則是關(guān)鍵．17．（4分）（2025?上海）已知矩形ABCD中，點E在邊CD上，F(xiàn)是點E關(guān)于直線AD的對稱點，聯(lián)結(jié)EF、AF、BE，若四邊形ABEF是菱形，那么ABAD的值為23【考點】矩形的性質(zhì)；軸對稱的性質(zhì)；菱形的性質(zhì)．【分析】由軸對稱的性質(zhì)可得DF＝DE，設DF＝DE＝m，則EF＝DE+DF＝2m，由菱形的性質(zhì)得到AB＝AF＝EF＝2m，證明∠ADF＝90°，利用勾股定理可得AD=3【解答】解；∵E關(guān)于直線AD的對稱點為F，∴DF＝DE，設DF＝DE＝m，則EF＝DE+DF＝2m，∵四邊形AFEB是菱形，∴AB＝AF＝EF＝2m，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，∴∠ADF＝180°﹣∠ADC＝90°，∴AD=A∴AB：AD=2m：3故答案為：23【點評】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，勾股定理，掌握以上性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．18．（4分）（2025?上海）已知平面內(nèi)有一個角，一個圓與這個角的兩邊都有兩個交點，若此圓在角的邊上截得的兩條弦恰好是某正五邊形的一邊，那么這個角的度數(shù)為108或36度．【考點】直線與圓的位置關(guān)系；正多邊形和圓；多邊形內(nèi)角與外角．【分析】分兩種情況，由正多邊形的性質(zhì)，即可求解．【解答】解：如圖：∵∠MPN是正五邊形的一個內(nèi)角，∴∠MPN=(5?2)×180°如圖：∵∠OAB和∠OBA是正五邊形的兩個外角，∴∠OAB＝∠OBA=360°∴∠AOB＝180°﹣72°﹣72°＝36°，∴這個角的度數(shù)為108°或36°．故答案為：108或36．【點評】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，正多邊形和圓，多邊形的內(nèi)角和外角，關(guān)鍵是要分兩種情況討論．三、解答題（本大題共7題，共78分）19．（10分）（2025?上海）計算：45+1?201【考點】分數(shù)指數(shù)冪；負整數(shù)指數(shù)冪；實數(shù)的運算．【分析】利用分母有理化，二次根式的性質(zhì)，絕對值的性質(zhì)，負整數(shù)指數(shù)冪計算后再算加減即可．【解答】解：原式=4(=5?1﹣2＝5．【點評】本題考查分數(shù)指數(shù)冪，實數(shù)的運算，負整數(shù)指數(shù)冪，熟練掌握相關(guān)運算法則是解題的關(guān)鍵．20．（10分）（2025?上海）解方程：x?3x?2【考點】解分式方程．【分析】先把整式方程化為分式方程求出x的值，再代入最簡公分母進行檢驗即可．【解答】解：方程兩邊同乘（x﹣2）（x﹣1），得：（x﹣3）（x﹣1）﹣2＝2（x﹣2），解得：x＝1或5，檢驗：當x＝1時，（x﹣2）（x﹣1）＝0，當x＝5時，（x﹣2）（x﹣1）≠0，∴原方程的解為x＝5．【點評】本題考查了解分式方程，熟練掌握解分式方程的方法是解答此題的關(guān)鍵．21．（10分）（2025?上海）某品牌儲水機的容量是200升，當加水加滿時，儲水機會自動停止加水，已知加冷水量y（升）和時間x（分鐘）的圖象如圖所示，加水過程中，水的溫度t（攝氏度）和x（分鐘）的關(guān)系：t=20x+100（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；（2）求儲水機中的水加滿時，儲水機內(nèi)水的溫度．【考點】一次函數(shù)的應用．【分析】（1）求出每分鐘加水量，從而寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式，當y＝200時，求出對應x的值，從而寫出定義域即可；（2）將y＝200對應的x的值代入t與x的關(guān)系式，求出對應t的值即可．【解答】解：（1）每分鐘加水量為（160﹣80）÷2＝40（升），則y＝40x+80，當40x+80＝200時，解得x＝3，∴y與x的函數(shù)關(guān)系式及定義域為y＝40x+80（0≤x≤3）．（2）當x＝3時，t=20×3+100∴儲水機中的水加滿時，儲水機內(nèi)水的溫度為32攝氏度．【點評】本題考查一次函數(shù)的應用，求出y與x的函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．22．（10分）（2025?上海）某小組對分割梯形組成等腰三角形展開研究．（1）如圖1，梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，點E是AB中點，D是梯形的頂點，將△ADE繞E旋轉(zhuǎn)180°得到△BFE，若AD＝a，且此時DF＝DC，求BC的長（用含a的代數(shù)式嘗試表示）；（2）如圖2，梯形MNPQ，MN∥PQ，MQ＝NP，請設計一種方法，用一條直線或兩條直線分割梯形為若干部分，再進行一系列的圖形運動，拼成一個等腰三角形，在圖2中畫出圖形，要求：①所得的部分不重疊，不間隙地拼；②在答題紙橫線上并寫出等腰三角形的腰是哪條線段；③在答題紙橫線上寫出這一或兩條直線的頂點．（模仿1中的表述：點E是AB中點，D是梯形的頂點）【考點】作圖﹣旋轉(zhuǎn)變換；列代數(shù)式；規(guī)律型：圖形的變化類；平行線的性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)．【分析】（1）如圖1中，過點D作DH⊥BC于點H．證明BG＝AD＝a，BH＝AD＝a，再證明FH＝HC＝2a可得結(jié)論；（2）取MN，MQ，PN的中點J，K，T，連接JK，延長JK交PQ的延長線于點L，連接JT，延長JT交QP的延長線于點G即可，【解答】解：（1）如圖1中，過點D作DH⊥BC于點H．∵AB⊥BC，AD∥BC，∴∠A＝∠ABC＝90°，∵∠DHB＝90°，∴四邊形ABHD是矩形，∴AD＝BH＝a，∵E是AB的中點，∴AE＝EB，∵∠A＝∠EBF＝90°，∠AED＝∠FEB，∴△AED≌△BEF（ASA），∴AD＝FB＝a，∵DF＝DC，DH⊥CF，∴FH＝HC＝2a，∴BC＝BH+CH＝3a；（2）圖形如圖2所示．方法：取MN，MQ，PN的中點J，K，T，連接JK，延長JK交PQ的延長線于點L，連接JT，延長JT交QP的延長線于點G，【點評】本題考查作圖﹣旋轉(zhuǎn)變換，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．23．（12分）（2025?上海）如圖，在⊙O中，AB和CD是弦，半徑OA、OB分別交CD于點E、F，且CE＝DF．（1）求證：AB∥CD；（2）若AB＝BD，求證：AB2＝BF?OB．【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)；垂徑定理；圓周角定理．【分析】（1）連接OC，OD，證明△OCE≌△ODF（SAS），得出OE＝OF，得到CD∥AB；（2）證明△BAF∽△BOA，得到ABOB=BFAB，得出AB2＝【解答】證明：（1）連接OC，OD，∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，∵CE＝DF，∴△OCE≌△ODF（SAS），∴OE＝OF，∴OEOA∴EF∥AB，∴CD∥AB；（2）∵△OCE≌△ODF，∴∠COE＝∠DOF，∵AB＝BD，∴∠AOB＝∠DOF，∴∠AOB＝∠DOF＝∠COE，連接AF，∵OA＝OD，∴△AOF≌△DOF（SAS），∴∠OAF＝∠ODF＝∠OCE，∵∠OCE＝∠OAF，∠OEC＝∠AEF，∴△OEC∽△FEA，∴∠COE＝∠AFE，∴∠AOB＝∠FAB＝∠AFE，∴△BAF∽△BOA，∴ABOB∴AB2＝BF?OB．【點評】本題考查了圓的基本性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．24．（12分）（2025?上海）在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過點A（1，1）和B（3，1），頂點為點P，拋物線于y軸交于點C．（1）求b和c的值．（2）另一條拋物線y＝ax2+mx+n（a≠1）也經(jīng)過點A（1，1）和B（3，1），頂點為點Q，與y軸交于點D．①求CDPQ②當四邊形CDPQ是直角梯形，求其最小內(nèi)角的正弦值．【考點】二次函數(shù)綜合題．【分析】（1）將A和B代入解析式，求出b和c的值；（2）①將A和B代入解析式，求出拋物線解析式為拋物線解析式為y＝ax2﹣4ax+3a+1＝a（x﹣2）2+1﹣a，得出D和Q的坐標，得到CD和PQ的長度，得出比值；②分類討論即可．【解答】解：（1）將A（1，1），B（3，1）代入y＝x2+bx+c中，∴1=1+b+c1=9+3b+c∴b=?4c=4（2）①將A（1，1），B（3，1）代入y＝ax2+mx+n（a≠1）中，∴1=a+m+n1=9a+3m+n∴m=?4an=1+3a∴拋物線解析式為y＝ax2﹣4ax+3a+1＝a（x﹣2）2+1﹣a，∵拋物線與y軸交于點D，∴D（0，3a+1），頂點Q（2，1﹣a），由（1）可知：y＝x2﹣4x+4＝（x﹣2）2，∴C（0，4），P（2，0），∴CD＝|3a﹣3|，PQ＝|a﹣1|，∴CDPQ②a．當CD⊥PD時，如圖所示，D（0，0），∴3a+1＝0，∴a=?1∴Q（2，43∴∠QCD為最小內(nèi)角，過點Q作QM⊥CD于點M，∴M（0，43∴QM＝2，CM=83，CQ∴sin∠QCD=3b．當CD⊥CQ時，如圖所示，Q（2，4），∴1﹣a＝4，∴a＝﹣3，∴D（0，﹣8），∴∠CDP為最小內(nèi)角，過點P作PN⊥CD于點N，∴N（0，0），∴PN＝2，DN＝8，PD=217∴sin∠CDP=17綜上所述：最小的角的正弦值為35或17【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，三角函數(shù)，分類討論等，掌握二次函數(shù)的綜合知識是解題的關(guān)鍵．25．（14分）（2025?上海）如圖1，平行四邊形ABCD中，點E、F分別是邊BC、CD上的點．（1）若E是BC中點；①如圖1，若AE＝EF，求證：∠BAE＝∠EFC；②如圖2，若CF＝DF，聯(lián)結(jié)BF交AE于G，求S△BEG：S△AEF的值；（2）如圖3，若AB＝3，AD＝5，CF＝1，∠AEB＝∠AFE＝∠EFC，求AF的長．【考點】四邊形綜合題．【分析】（1）①延長FE，AB交于H，可證明△BEH≌△CEF（AAS），得到EH＝EF，∠H＝∠CFE，則可證明AE＝EH，得到∠H＝∠BAE，則∠BAE＝∠CFE；②如圖所示，延長BF，AD交于M，由平行四邊形的性質(zhì)得到AD∥BC，AD