第1頁（共1頁）2025年四川省眉山市中考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本大題共12個小題，每小題4分，共48分.在每個小題給出的四個選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是正確的，請把答題卡上相應(yīng)題目的正確選項(xiàng)涂黑。1．（4分）（2025?眉山）2025的相反數(shù)是（）A．2025 B．﹣2025 C．12025 D．2．（4分）（2025?眉山）剪紙是我國傳統(tǒng)的民間藝術(shù)．下列剪紙作品中屬于軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．3．（4分）（2025?眉山）在《哪吒之魔童鬧?！返扔捌膸酉拢衲甑闹袊娪笆袌龌馃衢_局，一季度的電影票房達(dá)到244億元.244億用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．0.244×1010 B．2.44×109 C．2.44×1010 D．244×1084．（4分）（2025?眉山）下列計(jì)算正確的是（）A．a(chǎn)2+a3＝a5 B．a(chǎn)2?a3＝a6 C．（﹣a2）3＝a6 D．a(chǎn)12÷a3＝a95．（4分）（2025?眉山）在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)A（﹣1，3）向右平移2個單位到點(diǎn)B，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（）A．（﹣3，3） B．（﹣1，1） C．（1，3） D．（﹣1，5）6．（4分）（2025?眉山）如圖，直線l與正五邊形ABCDE的邊AB、DE分別交于點(diǎn)M、N，則∠1+∠2的度數(shù)為（）A．216° B．180° C．144° D．120°7．（4分）（2025?眉山）如圖，在4×3的方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，將△OAB以點(diǎn)O為位似中心放大后得到△OCD，則△OAB與△OCD的周長之比是（）A．2：1 B．1：2 C．4：1 D．1：48．（4分）（2025?眉山）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AB＝6，BC＝10．按下列步驟作圖：①以點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長度為半徑畫弧，分別交AB、AD于E、F兩點(diǎn)；②分別以點(diǎn)E、F為圓心，大于12EF的長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)P；③作射線AP交BC于點(diǎn)G，則CGA．4 B．5 C．6 D．89．（4分）（2025?眉山）我國古代算書《四元玉鑒》里有這樣一道題：“九百九十九文錢，甜果苦果買一千，甜果九個十一文，苦果七個四文錢，試問甜苦果幾個？”其大意是：用九百九十九文錢共買了一千個甜果和苦果，其中十一文錢可以買甜果九個，四文錢可以買苦果七個上，問甜果苦果各買幾個？若設(shè)買甜果x個，苦果y個，根據(jù)題意可列方程組為（）A．x+y=10009x+7y=999B．x+y=99911x+4y=1000C．x+y=100011D．x+y=100010．（4分）（2025?眉山）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，n），則向量OP→=（m，n），已知OA1→=（x1，y1），OA2→=（x2，y2），若x1?x2+A．OB1→=（2，3），OBB．OC1→=（3，﹣9），OC．OD1→=（5，55），D．OE1→=（2，1），11．（4分）（2025?眉山）若關(guān)于x的不等式組3x?12≤x+2x+1≥?x+a至少有兩個正整數(shù)解，且關(guān)于x的分式方程a?1x?1=A．8 B．14 C．18 D．3812．（4分）（2025?眉山）如圖1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)D在AC上，CD=2，動點(diǎn)P在Rt△ABC的邊上沿C→B→A方向以每秒1個單位長度的速度勻速運(yùn)動，到達(dá)點(diǎn)A時(shí)停止，以DP為邊作正方形DPEF．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時(shí)間為t秒，正方形DPEF的面積為S．當(dāng)點(diǎn)P由點(diǎn)B運(yùn)動到點(diǎn)A時(shí)，如圖2，S是關(guān)于t的二次函數(shù)．在3個時(shí)刻t1，t2，t3（t1＜t2＜t3）對應(yīng)的正方形DPEF的面積均相等．下列4個結(jié)論：①當(dāng)t＝1時(shí)，S＝3；②點(diǎn)P在線段BA上時(shí)S＝2t2﹣16t+34；③AD＝42；④t1+t2A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二、填空題：本大題共6個小題，每小題4分，共24分.請將正確答案直接填寫在答題卡相應(yīng)的位置上。13．（4分）（2025?眉山）﹣27的立方根是．14．（4分）（2025?眉山）某校以“陽光運(yùn)動，健康成長”為主題開展體育訓(xùn)練．已知某次訓(xùn)練中7名男生引體向上的成績?yōu)椋?，8，5，8，9，10，6．這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是．15．（4分）（2025?眉山）已知方程x2﹣2x﹣5＝0的兩根分別為x1，x2，則（x1+1）（x2+1）的值為．16．（4分）（2025?眉山）人字梯為現(xiàn)代家庭常用的工具．如圖，若AB、AC的長都為2m，當(dāng)α＝65°時(shí)，人字梯頂端離地面的高度是m．（結(jié)果精確到0.1m，參考依據(jù)：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）17．（4分）（2025?眉山）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，用12個以點(diǎn)O為公共頂點(diǎn)的相似三角形組成形如海螺的圖案，若OA＝1，∠OAB＝90°，則點(diǎn)G的坐標(biāo)為．18．（4分）（2025?眉山）如圖，正方形ABCD的邊長為4，點(diǎn)E在邊AD上運(yùn)動（不與點(diǎn)A、D重合），∠CDP＝45°，點(diǎn)F在射線DP上，且AE：DF＝1：2，連接BF，交CD于點(diǎn)G，連接EB、EF、EG．下列結(jié)論：①sin∠BFE=22；②AE2+CG2＝EG2；③△DEF的面積最大值是2；④若AE=13AD，則點(diǎn)G是線段三、解答題：本大題共8個小題，共78分.請把解答過程寫在答題卡相應(yīng)的位置上。19．（8分）（2025?眉山）（1）計(jì)算：4?（2）解方程：2（x﹣1）＝2+x．20．（8分）（2025?眉山）先化簡，再求值：（yx2?y2+1x+y）÷xx?y．其中21．（10分）（2025?眉山）在科技的浪潮中，人工智能正以不可阻擋之勢，深刻改變著我們的世界．某校社團(tuán)開展以“智能之光，照見未來”為主題的探究活動，推薦了當(dāng)前熱門的4類人工智能軟件A、B、C、D，每個學(xué)生可選擇其中1類學(xué)習(xí)使用．為了解學(xué)生對軟件的使用情況，隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì)，并根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果繪制成如圖所示的兩幅不完整統(tǒng)計(jì)圖：請根據(jù)圖中信息，完成下列問題：（1）這次抽取的學(xué)生總?cè)藬?shù)為人；扇形統(tǒng)計(jì)圖中A類軟件所占圓心角為度；（2）補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；（3）社團(tuán)活動中表現(xiàn)最突出的有4人，其中有3人使用A類軟件，有1人使用B類軟件，現(xiàn)準(zhǔn)備從這4名學(xué)生中隨機(jī)選擇2人進(jìn)行學(xué)習(xí)成果展示，請用畫樹狀圖或列表法求出恰好抽到使用A、B兩類軟件各1人的概率．22．（10分）（2025?眉山）如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C為圓上一點(diǎn)，過點(diǎn)C作⊙O的切線，交AB延長線于點(diǎn)D，過點(diǎn)B作BE∥DC，交⊙O于點(diǎn)E，連接AE、AC．（1）求證：CE=（2）若∠BAE＝60°，⊙O的半徑為2，求AC的長．23．（10分）（2025?眉山）如圖，一次函數(shù)y＝ax+b與反比例函數(shù)y=kx的圖象相交于A（1，4）、B（4，m）兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D與點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)O對稱，連接（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；（2）點(diǎn)P在x軸的負(fù)半軸上，且△AOC與△POD相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．24．（10分）（2025?眉山）國家衛(wèi)健委在全民健康調(diào)查中發(fā)現(xiàn)，近年來的肥胖人群快速增長，為加強(qiáng)對健康飲食的重視，特發(fā)布各地區(qū)四季健康飲食食譜．現(xiàn)有A、B兩種食品，每份食品的質(zhì)量為50g，其核心營養(yǎng)素如下：食品類別能量（單位：Kcal）蛋白質(zhì)（單位：g）脂肪（單位：g）碳水化合物（單位：g）A240127.529.8B28013927.6（1）若要從這兩種食品中攝入1280Kcal能量和62g蛋白質(zhì)，應(yīng)運(yùn)用A、B兩種食品各多少份？（2）若每份午餐選用這兩種食品共300g，從A、B兩種食品中攝入的蛋白質(zhì)總量不低于76g，且能量最低，應(yīng)選用A、B兩種食品各多少份？25．（10分）（2025?眉山）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝x2+bx+c關(guān)于直線x＝﹣3對稱，與x軸交于A（﹣1，0）、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)P為拋物線對稱軸上一點(diǎn)，連接BP，將線段BP繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，使點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)D恰好落在拋物線上，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）在線段OC上是否存在點(diǎn)Q，使2AQ+2CQ存在最小值？若存在，請直接寫出點(diǎn)Q26．（12分）（2025?眉山）綜合與實(shí)踐【問題情境】下面是某校數(shù)學(xué)社團(tuán)在一次折紙活動中的探究過程．【操作實(shí)踐】如圖1，將矩形紙片ABCD沿過點(diǎn)C的直線折疊，使點(diǎn)B落在AD邊上的點(diǎn)B′處，折痕交AB于點(diǎn)E，再沿著過點(diǎn)B′的直線折疊，使點(diǎn)D落在B′C邊上的點(diǎn)D′處，折痕交CD于點(diǎn)F．將紙片展平，畫出對應(yīng)點(diǎn)B′、D′及折痕CE、B′F，連接B′E、B′C、D′F．【初步猜想】（1）確定CE和B′F的位置關(guān)系及線段BE和CF的數(shù)量關(guān)系．創(chuàng)新小組經(jīng)過探究，發(fā)現(xiàn)CE∥B′F，證明過程如下：由折疊可知∠DB'F＝∠CB'F=12∠DB'C，∠ECB'＝∠ECB=12∠BCB'．由矩形的性質(zhì)，可知AD∥BC，∴∠DB′C＝∠BCB′，∴①，∴CE∥智慧小組先測量BE和CF的長度，猜想其關(guān)系為②．經(jīng)過探究，發(fā)現(xiàn)驗(yàn)證BE和CF數(shù)量關(guān)系的方法不唯一：方法一：證明△AB′E≌△D′CF，得到B′E＝CF，再由B′E＝BE可得結(jié)論．方法二：過點(diǎn)B′作AB的平行線交CE于點(diǎn)G，構(gòu)造平行四邊形CFB′G，然后證B′G＝B′E可得結(jié)論．請補(bǔ)充上述過程中橫線上的內(nèi)容．【推理證明】（2）請你結(jié)合智慧小組的探究思路，選擇一種方法驗(yàn)證BE和CF的數(shù)量關(guān)系，寫出證明過程．【嘗試運(yùn)用】（3）如圖2，在矩形ABCD中，AB＝6，按上述操作折疊并展開后，過點(diǎn)B′作B′G∥AB交CE于點(diǎn)G，連接D′G，當(dāng)△B′D′G為直角三角形時(shí)，求出BE的長．

2025年四川省眉山市中考數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一．選擇題（共12小題）題號1234567891011答案BAC．DCCBACDB題號12答案B一、選擇題：本大題共12個小題，每小題4分，共48分.在每個小題給出的四個選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是正確的，請把答題卡上相應(yīng)題目的正確選項(xiàng)涂黑。1．（4分）（2025?眉山）2025的相反數(shù)是（）A．2025 B．﹣2025 C．12025 D．【考點(diǎn)】相反數(shù)．【分析】根據(jù)符號不同，絕對值相同的兩個數(shù)互為相反數(shù)即可求得答案．【解答】解：2025的相反數(shù)是﹣2025．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了相反數(shù)的概念，掌握只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)是解答此題的關(guān)鍵．2．（4分）（2025?眉山）剪紙是我國傳統(tǒng)的民間藝術(shù)．下列剪紙作品中屬于軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】軸對稱圖形．【分析】根據(jù)如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸進(jìn)行分析即可．【解答】解：B、C、D選項(xiàng)中的圖形都不能找到一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形；A選項(xiàng)中的圖形能找到一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形；故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合．3．（4分）（2025?眉山）在《哪吒之魔童鬧海》等影片的帶動下，今年的中國電影市場火熱開局，一季度的電影票房達(dá)到244億元.244億用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．0.244×1010 B．2.44×109 C．2.44×1010 D．244×108【考點(diǎn)】科學(xué)記數(shù)法—表示較大的數(shù)．【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點(diǎn)移動的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對值≥10時(shí)，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值＜1時(shí)，n是負(fù)數(shù)．【解答】解：244億＝24400000000＝2.44×1010．故選：C．【點(diǎn)評】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．4．（4分）（2025?眉山）下列計(jì)算正確的是（）A．a(chǎn)2+a3＝a5 B．a(chǎn)2?a3＝a6 C．（﹣a2）3＝a6 D．a(chǎn)12÷a3＝a9【考點(diǎn)】同底數(shù)冪的除法；合并同類項(xiàng)；同底數(shù)冪的乘法；冪的乘方與積的乘方．【分析】A．先判斷a2，a3是不是同類項(xiàng)，能否合并，然后判斷即可；B．根據(jù)同底數(shù)冪相乘法則進(jìn)行計(jì)算，然后判斷即可；C．根據(jù)冪的乘方法則進(jìn)行計(jì)算，然后判斷即可；D．根據(jù)同底數(shù)冪相除法則進(jìn)行計(jì)算，然后判斷即可．【解答】解：A．∵a2，a3不是同類項(xiàng)，不能合并，∴此選項(xiàng)的計(jì)算錯誤，故此選項(xiàng)不符合題意；B．∵a2?a3＝a5，∴此選項(xiàng)的計(jì)算錯誤，故此選項(xiàng)不符合題意；C．∵（﹣a2）3＝﹣a6，∴此選項(xiàng)的計(jì)算錯誤，故此選項(xiàng)不符合題意；D．∵a12÷a3＝a9，∴此選項(xiàng)的計(jì)算正確，故此選項(xiàng)符合題意；故選：D．【點(diǎn)評】本題主要考查了整式的有關(guān)運(yùn)算，解題關(guān)鍵是熟練掌握同底數(shù)冪的乘除法則、冪的乘方法則和同類項(xiàng)的概念．5．（4分）（2025?眉山）在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)A（﹣1，3）向右平移2個單位到點(diǎn)B，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（）A．（﹣3，3） B．（﹣1，1） C．（1，3） D．（﹣1，5）【考點(diǎn)】坐標(biāo)與圖形變化﹣平移．【分析】根據(jù)平移時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)變化規(guī)律進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：由題知，將點(diǎn)A（﹣1，3）向右平移2個單位到點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，3）．故選：C．【點(diǎn)評】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形變化﹣平移，熟知平移時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．6．（4分）（2025?眉山）如圖，直線l與正五邊形ABCDE的邊AB、DE分別交于點(diǎn)M、N，則∠1+∠2的度數(shù)為（）A．216° B．180° C．144° D．120°【考點(diǎn)】多邊形內(nèi)角與外角．【分析】首先根據(jù)正多邊形內(nèi)角和公式確定∠A＝∠E＝108°，進(jìn)而可得∠AMN+∠ENM的值，再根據(jù)對頂角相等的性質(zhì)可知∠1+∠2＝∠AMN+∠ENM，即可獲得答案．【解答】解：∵∠A＝∠E=1∴∠AMN+∠ENM＝360°﹣∠B﹣∠C＝144°，∵∠1＝∠AMN，∠2＝∠ENM，∴∠1+∠2＝∠AMN+∠ENM＝144°．故選：C．【點(diǎn)評】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和外角，解題關(guān)鍵是熟練掌握多邊形內(nèi)角和公式和正多邊形的性質(zhì)．7．（4分）（2025?眉山）如圖，在4×3的方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，將△OAB以點(diǎn)O為位似中心放大后得到△OCD，則△OAB與△OCD的周長之比是（）A．2：1 B．1：2 C．4：1 D．1：4【考點(diǎn)】位似變換；勾股定理．【分析】根據(jù)勾股定理分別求出OB、OD，根據(jù)位似變換的性質(zhì)得到△OAB∽△OCD，再根據(jù)相似三角形的周長比等于相似比解答即可．【解答】解：∵小正方形的邊長均為1，∴OB=12+22=∴OB：OD＝1：2，∵將△OAB以點(diǎn)O為位似中心放大后得到△OCD，∴△OAB∽△OCD，相似比為1：2，∴△OAB與△OCD的周長之比1：2，故選：B．【點(diǎn)評】本題考查的是位似變換、勾股定理，掌握位似圖形的概念、相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．（4分）（2025?眉山）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AB＝6，BC＝10．按下列步驟作圖：①以點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長度為半徑畫弧，分別交AB、AD于E、F兩點(diǎn)；②分別以點(diǎn)E、F為圓心，大于12EF的長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)P；③作射線AP交BC于點(diǎn)G，則CGA．4 B．5 C．6 D．8【考點(diǎn)】作圖—基本作圖；角平分線的定義；平行線的性質(zhì)．【分析】由作圖過程可知，AG為∠BAD的平分線，可得∠BAG＝∠DAG．由平行線的性質(zhì)可得∠AGB＝∠DAG，則∠BAG＝∠AGB，可得BG＝AB＝6，則可得CG＝BC﹣BG＝4．【解答】解：由作圖過程可知，AG為∠BAD的平分線，∴∠BAG＝∠DAG．∵AD∥BC，∴∠AGB＝∠DAG，∴∠BAG＝∠AGB，∴BG＝AB＝6，∴CG＝BC﹣BG＝10﹣6＝4．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查作圖—基本作圖、角平分線的定義、平行線的性質(zhì)，熟練掌握角平分線的定義、平行線的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．9．（4分）（2025?眉山）我國古代算書《四元玉鑒》里有這樣一道題：“九百九十九文錢，甜果苦果買一千，甜果九個十一文，苦果七個四文錢，試問甜苦果幾個？”其大意是：用九百九十九文錢共買了一千個甜果和苦果，其中十一文錢可以買甜果九個，四文錢可以買苦果七個上，問甜果苦果各買幾個？若設(shè)買甜果x個，苦果y個，根據(jù)題意可列方程組為（）A．x+y=10009x+7y=999B．x+y=99911x+4y=1000C．x+y=100011D．x+y=1000【考點(diǎn)】由實(shí)際問題抽象出二元一次方程組．【分析】根據(jù)九百九十九文錢買了甜果和苦果共一千個，列出關(guān)于x、y的二元一次方程組即可．【解答】解：由題意得：x+y=100011故選：C．【點(diǎn)評】本題考查由實(shí)際問題抽象出二元一次方程組，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．10．（4分）（2025?眉山）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，n），則向量OP→=（m，n），已知OA1→=（x1，y1），OA2→=（x2，y2），若x1?x2+A．OB1→=（2，3），OBB．OC1→=（3，﹣9），OC．OD1→=（5，55），D．OE1→=（2，1），【考點(diǎn)】*平面向量；解直角三角形；零指數(shù)冪；負(fù)整數(shù)指數(shù)冪；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．【分析】根據(jù)2sin30°+3×π0＝1+3＝4≠0，可知OB1→與OB2→不相互垂直，根據(jù)3×1+(?9)×(?13)=3+3＝6≠0，可知OC1→與OC【解答】解：∵2sin30°+3×π0＝1+3＝4≠0，∴OB1→故A選項(xiàng)不符合題意；∵3×1+(?9)×(?1∴OC1→故B選項(xiàng)不符合題意；∵5×2+∴OD1→故C選項(xiàng)不符合題意；∵2×2﹣1+1×（﹣1）＝1﹣1＝0，∴OE1→故D選項(xiàng)符合題意．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查平面向量、零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)、解直角三角形，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題．11．（4分）（2025?眉山）若關(guān)于x的不等式組3x?12≤x+2x+1≥?x+a至少有兩個正整數(shù)解，且關(guān)于x的分式方程a?1x?1=A．8 B．14 C．18 D．38【考點(diǎn)】分式方程的解；解一元一次不等式組；一元一次不等式組的整數(shù)解．【分析】先解不等式組，確定出a的取值范圍，再解分式方程，結(jié)合解為正整數(shù)的條件篩選出a的值，最后求和即可．【解答】解：3x?12解①得：x≤5．解②得：x≥a?1∵關(guān)于x的不等式組3x?12∴不等式組的解集為a?12∵不等式組的解集至少有兩個正整數(shù)解，則解集需包含至少兩個整數(shù)，當(dāng)a?12≤4時(shí)，解集包含此時(shí)a≤9，分式方程a?1x?1=2?3解得x=a?2要求解為正整數(shù)且x≠1，則a?22即a為大于等于6的偶數(shù)，∵a≤9，∴a＝6或8，當(dāng)a＝6時(shí)，不等式組的解集為2.5≤x≤5，整數(shù)解為3，4，5，滿足條件，當(dāng)a＝8時(shí)，不等式組的解集為3.5≤x≤5，整數(shù)解為4，5，滿足條件，則所有滿足條件的整數(shù)a之和為6+8＝14，故選：B．【點(diǎn)評】本題主要考查了求不等式組的解集，解分式方程，注意正確運(yùn)算．12．（4分）（2025?眉山）如圖1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)D在AC上，CD=2，動點(diǎn)P在Rt△ABC的邊上沿C→B→A方向以每秒1個單位長度的速度勻速運(yùn)動，到達(dá)點(diǎn)A時(shí)停止，以DP為邊作正方形DPEF．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時(shí)間為t秒，正方形DPEF的面積為S．當(dāng)點(diǎn)P由點(diǎn)B運(yùn)動到點(diǎn)A時(shí)，如圖2，S是關(guān)于t的二次函數(shù)．在3個時(shí)刻t1，t2，t3（t1＜t2＜t3）對應(yīng)的正方形DPEF的面積均相等．下列4個結(jié)論：①當(dāng)t＝1時(shí)，S＝3；②點(diǎn)P在線段BA上時(shí)S＝2t2﹣16t+34；③AD＝42；④t1+t2A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；勾股定理．【分析】利用正方形面積公式得出S＝PD2＝t2+2，代入t＝1求得S的值即可判斷①；根據(jù)圖2中的數(shù)據(jù)求得函數(shù)的解析式即判斷②；利用勾股定理求得AC，進(jìn)而求得AD即可判斷③；畫出函數(shù)S＝t2+2（0≤t≤2），觀察圖象t1、t2關(guān)于t＝2對稱，即可判斷④．【解答】解：在Rt△PCD中CD=2，PC＝t則S＝PD2＝t2+2，當(dāng)S＝6時(shí)，即t2+2＝6，解得：t＝2（負(fù)值已舍去），即BC＝2，當(dāng)t＝1時(shí)，S＝t2+2＝3，故①正確；由圖象可知拋物線頂點(diǎn)為（4，2），且過點(diǎn)（2，6），則拋物線的表達(dá)式為：S＝a（t﹣4）2+2，將（2，6）代入上式得：6＝a（2﹣4）2+2，解得：a＝1，則拋物線的表達(dá)式為：S＝（t﹣4）2+2＝t2﹣8t+18（2≤x≤8），故②錯誤；當(dāng)S＝18時(shí)，則t2﹣8t+18＝18，解得：t＝0（舍去）或8，則AB＝8﹣2＝6，∴AC=AB2∴AD＝42?2=32畫出S＝t2+2（0≤t≤2），如圖：從兩個函數(shù)表達(dá)式看，兩個函數(shù)a相同，都為1，若存在3個時(shí)刻t1，t2，t3（t1＜t2＜t3）對應(yīng)的正方形DPEF的面積均相等，從圖象看，t1、t2關(guān)于t＝2對稱，則12（t1+t2即t1+t2＝4，故④正確．故選：B．【點(diǎn)評】本題為二次函數(shù)綜合題，涉及到動點(diǎn)問題、面積的計(jì)算，讀懂函數(shù)圖象、正確理解題意，利用數(shù)形結(jié)合是本題解題的關(guān)鍵．二、填空題：本大題共6個小題，每小題4分，共24分.請將正確答案直接填寫在答題卡相應(yīng)的位置上。13．（4分）（2025?眉山）﹣27的立方根是﹣3．【考點(diǎn)】立方根．【分析】根據(jù)立方根的定義求解即可．【解答】解：∵（﹣3）3＝﹣27，∴3?27故答案為：﹣3．【點(diǎn)評】此題主要考查了立方根的定義，求一個數(shù)的立方根，應(yīng)先找出所要求的這個數(shù)是哪一個數(shù)的立方．由開立方和立方是互逆運(yùn)算，用立方的方法求這個數(shù)的立方根．注意一個數(shù)的立方根與原數(shù)的符號相同．14．（4分）（2025?眉山）某校以“陽光運(yùn)動，健康成長”為主題開展體育訓(xùn)練．已知某次訓(xùn)練中7名男生引體向上的成績?yōu)椋?，8，5，8，9，10，6．這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是8．【考點(diǎn)】中位數(shù)．【分析】根據(jù)中位數(shù)的概念求解即可．【解答】解：按從小到大排列：5，6，7，8，8，9，10，排在中間的數(shù)是8，所以這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是8．故答案為：8．【點(diǎn)評】本題考查了求一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，把一組數(shù)據(jù)按大小排列，最中間一個或兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．15．（4分）（2025?眉山）已知方程x2﹣2x﹣5＝0的兩根分別為x1，x2，則（x1+1）（x2+1）的值為﹣2．【考點(diǎn)】根與系數(shù)的關(guān)系．【分析】依據(jù)題意，利用根與系數(shù)的關(guān)系得到x1+x2，x1x2的值，然后（x1+1）（x2+1）代入計(jì)算即可．【解答】解：由題意，∵方程x2﹣2x﹣5＝0的兩根分別為x1，x2，∴x1+x2＝2，x1x2＝﹣5．∴（x1+1）（x2+1）＝x1x2+x1+x2+1＝﹣5+2+1＝﹣2．故答案為：﹣2．【點(diǎn)評】本題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系，解題時(shí)要熟練掌握并能靈活運(yùn)用關(guān)系式是關(guān)鍵．16．（4分）（2025?眉山）人字梯為現(xiàn)代家庭常用的工具．如圖，若AB、AC的長都為2m，當(dāng)α＝65°時(shí)，人字梯頂端離地面的高度是1.8m．（結(jié)果精確到0.1m，參考依據(jù)：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用．【分析】過點(diǎn)A作AD⊥BC，在Rt△ADC中，求出AD即可．【解答】解：∵AB＝AC＝2m，AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴AD＝AC?sin65°＝2×0.91≈1.8（m），∴人字梯頂端離地面的高度1.8m．故答案為：1.8．【點(diǎn)評】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題．17．（4分）（2025?眉山）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，用12個以點(diǎn)O為公共頂點(diǎn)的相似三角形組成形如海螺的圖案，若OA＝1，∠OAB＝90°，則點(diǎn)G的坐標(biāo)為（?6427【考點(diǎn)】相似三角形的應(yīng)用；規(guī)律型：數(shù)字的變化類．【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得∠AOB＝30°，然后在Rt△AOB中，利用銳角三角函數(shù)的定義可得OA=32【解答】解：∵圖中的12個直角三角形是相似三角形，∴∠AOB=360°在Rt△AOB中，cos30°=OA∴OA=32同理可得：OB=32OC，OC=∴OA＝（32）2OC，OA＝（32）3…∴OA＝（32）6OG=27∵OA＝1，∴OG=64∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為（?64故答案為：（?64【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，規(guī)律型：數(shù)字的變化類，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．18．（4分）（2025?眉山）如圖，正方形ABCD的邊長為4，點(diǎn)E在邊AD上運(yùn)動（不與點(diǎn)A、D重合），∠CDP＝45°，點(diǎn)F在射線DP上，且AE：DF＝1：2，連接BF，交CD于點(diǎn)G，連接EB、EF、EG．下列結(jié)論：①sin∠BFE=22；②AE2+CG2＝EG2；③△DEF的面積最大值是2；④若AE=13AD，則點(diǎn)G是線段CD的中點(diǎn)．其中正確結(jié)論的序號是【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)；解直角三角形；勾股定理．【分析】①在AB上截取AH＝AE，連接EH，設(shè)AE＝a，DF=2a，則AH＝AE＝a，HE=2a，∠BHE＝∠EDF＝135°，BH＝ED，由此可依據(jù)“SAS”判定△BHE和△EDF全等，則BE＝FE，∠HBE＝∠FED，再證明∠FED+∠AEB＝90°得∠BEF＝90°，由此得△BEF是等腰直角三角形，則∠BFE＝∠FBE＝45°，進(jìn)而得sin∠BFE＝sin45°②過點(diǎn)B作BM⊥BF，交DA的延長線于點(diǎn)M，證明△BAM和△BCG全等得AM＝CG，BM＝BG，則AE+CG＝ME，證明∠MBE＝FBE＝45°，進(jìn)而可依據(jù)“SAS”判定△MBE和△GBE全等，則ME＝EG，由此得AE+CG＝EG，據(jù)此可對結(jié)論②進(jìn)行判斷；③過點(diǎn)F作FN⊥AD，交AD的延長線于點(diǎn)N，由（1）知設(shè)AE＝a，DF=2a，則ED＝4﹣a，證明△NDF是等腰直角三角形得DN＝FN＝a，進(jìn)而得△DEF的面積S=12(4?a)?a=?12④設(shè)CG＝x，則DG＝4﹣x，根據(jù)AE=13AD=43得DE=83，由②知AE+CG＝EG=x+43，在Rt△DEG中，由勾股定理得(x+4【解答】解：①在AB上截取AH＝AE，連接EH，如圖1所示：∵AE：DF＝1：2，∴設(shè)AE＝a，DF=2∵四邊形ABCD是正方形，且邊長為4，∴AB＝AD＝CB＝CD＝4，∠BAD＝∠ADC＝∠C＝∠ABC＝90°，∴AH＝AE＝a，∴△AHE是等腰直角三角形，∴∠AEH＝∠AHE＝45°，∴∠BHE＝180°﹣∠AHE＝135°，由勾股定理得：HE=A∴HE＝DF，∵∠CDP＝45°，∴∠EDF＝∠ADC+∠CDP＝135°，∴∠BHE＝∠EDF＝135°，∵AB＝AD，AH＝AE，∴AB﹣AH＝AD﹣AE，即BH＝ED，在△BHE和△EDF中，HE=DF∠BHE=∠EDF△BHE≌△EDF（SAS），∴BE＝FE，∠HBE＝∠FED，∵∠HBE+∠BEH＝180°﹣∠BHE＝45°，∴∠FED+∠BEH＝45°，∴∠FED+∠BEH+∠AHE＝90°，即∠FED+∠AEB＝90°，∴∠BEF＝180°﹣（∠FED+∠AEB）＝90°，∴△BEF是等腰直角三角形，∴∠BFE＝∠FBE＝45°，∴sin∠BFE＝sin45°=2故結(jié)論①正確；②過點(diǎn)B作BM⊥BF，交DA的延長線于點(diǎn)M，如圖2所示：∴∠MBF＝∠ABC＝90°，∴∠MBA+∠ABF＝∠ABF+∠GBC，∴∠MBA＝∠GBC，∵∠BAD＝∠C＝90°，∴∠BAM＝∠C＝90°，在△BAM和△BCG中，∠MBA=∠GBCAB=CB∴△BAM≌△BCG（SAS），∴AM＝CG，BM＝BG，∴AE+CG＝AE+AM＝ME，∵∠ABC＝90°，∠FBE＝45°，∴∠ABE+∠GBC＝45°，∴∠ABE+∠MBA＝45°，即∠MBE＝45°，∴∠MBE＝FBE＝45°，在△MBE和△GBE中，BM=BG∠MBE=FBE∴△MBE≌△GBE（SAS），∴ME＝EG，∴AE+CG＝EG，故結(jié)論②不正確；③過點(diǎn)F作FN⊥AD，交AD的延長線于點(diǎn)N，如圖3所示：由（1）可知：設(shè)AE＝a，DF=2∴ED＝AD﹣AE＝4﹣a，∵∠CDN＝∠ADC＝90°，∠CDP＝45°，∴∠FDN＝∠CDN﹣∠CDP＝45°，∴△NDF是等腰直角三角形，∴DN＝FN，由勾股定理得：DF=DN2∴DN＝FN=22DF=∴△DEF的面積S=12DE?FN整理得：S=?1∴當(dāng)a＝2時(shí)，S為最大，最大值為2，故結(jié)論③正確；④設(shè)CG＝x，則DG＝CD﹣CG＝4﹣x，∵AE=13AD∴DE＝AD﹣AE=4?4由②可知：AE+CG＝EG，∴EG=x+4在Rt△DEG中，由勾股定理得：EG2＝DE2+DG2，∴(x+4解得：x＝2，∴CG＝2，∴DG＝4﹣x＝2，∴CG＝DG＝2，∴點(diǎn)G是線段CD的中點(diǎn)，故結(jié)論④正確，綜上所述：正確結(jié)論的序號是①③④．故答案為：①③④．【點(diǎn)評】此題主要考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形，理解正方形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義和勾股定理是解決問題的關(guān)鍵．三、解答題：本大題共8個小題，共78分.請把解答過程寫在答題卡相應(yīng)的位置上。19．（8分）（2025?眉山）（1）計(jì)算：4?（2）解方程：2（x﹣1）＝2+x．【考點(diǎn)】實(shí)數(shù)的運(yùn)算；解一元一次方程．【分析】（1）根據(jù)算術(shù)平方根的定義和絕對值的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可；（2）按照解一元一次方程的一般步驟進(jìn)行解答即可．【解答】解：（1）原式＝2﹣3＝﹣1；（2）2（x﹣1）＝2+x，2x﹣2＝2+x，2x﹣x＝2+2，x＝4．【點(diǎn)評】本題主要考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算和解一元一次方程，解題關(guān)鍵是熟練掌握算術(shù)平方根的定義、絕對值的性質(zhì)和解一元一次方程的一般步驟．20．（8分）（2025?眉山）先化簡，再求值：（yx2?y2+1x+y）÷xx?y．其中【考點(diǎn)】分式的化簡求值；非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：絕對值；非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：偶次方．【分析】根據(jù)分式的加法法則、除法法則把原式化簡，根據(jù)偶次方、絕對值的非負(fù)性分別求出x、y，代入計(jì)算即可．【解答】解：原式＝[y(x+y)(x?y)+=x(x+y)(x?y)?=1∵（x+2）2+|y﹣1|＝0，∴x+2＝0，y﹣1＝0，∴x＝﹣2，y＝1，∴原式=1【點(diǎn)評】本題考查的是分式的化簡求值，掌握分式的混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．21．（10分）（2025?眉山）在科技的浪潮中，人工智能正以不可阻擋之勢，深刻改變著我們的世界．某校社團(tuán)開展以“智能之光，照見未來”為主題的探究活動，推薦了當(dāng)前熱門的4類人工智能軟件A、B、C、D，每個學(xué)生可選擇其中1類學(xué)習(xí)使用．為了解學(xué)生對軟件的使用情況，隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì)，并根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果繪制成如圖所示的兩幅不完整統(tǒng)計(jì)圖：請根據(jù)圖中信息，完成下列問題：（1）這次抽取的學(xué)生總?cè)藬?shù)為200人；扇形統(tǒng)計(jì)圖中A類軟件所占圓心角為144度；（2）補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；（3）社團(tuán)活動中表現(xiàn)最突出的有4人，其中有3人使用A類軟件，有1人使用B類軟件，現(xiàn)準(zhǔn)備從這4名學(xué)生中隨機(jī)選擇2人進(jìn)行學(xué)習(xí)成果展示，請用畫樹狀圖或列表法求出恰好抽到使用A、B兩類軟件各1人的概率．【考點(diǎn)】列表法與樹狀圖法；扇形統(tǒng)計(jì)圖；條形統(tǒng)計(jì)圖；概率公式．【分析】（1）由D軟件的人數(shù)除以所占百分比得出這次抽取的學(xué)生總?cè)藬?shù)，即可解決問題；（2）求出B軟件的人數(shù)，補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖即可；（3）畫樹狀圖，共有12種等可能的結(jié)果，其中恰好抽到使用A、B兩類軟件各1人的結(jié)果有6種，再由概率公式求解即可．【解答】解：（1）這次抽取的學(xué)生總?cè)藬?shù)為：40÷20%＝200（人），∴扇形統(tǒng)計(jì)圖中A類軟件所占圓心角為360°×80故答案為：200，144；（2）B軟件的人數(shù)為：200﹣80﹣20﹣40＝60（人），補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如下：（3）畫樹狀圖如下：共有12種等可能的結(jié)果，其中恰好抽到使用A、B兩類軟件各1人的結(jié)果有6種，∴恰好抽到使用A、B兩類軟件各1人的概率為612【點(diǎn)評】本題考查的是用列表法與樹狀圖法求概率以及條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖等知識．列表法與樹狀圖法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，列表法適合于兩步完成的事件，樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件．用到的知識點(diǎn)為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．22．（10分）（2025?眉山）如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C為圓上一點(diǎn)，過點(diǎn)C作⊙O的切線，交AB延長線于點(diǎn)D，過點(diǎn)B作BE∥DC，交⊙O于點(diǎn)E，連接AE、AC．（1）求證：CE=（2）若∠BAE＝60°，⊙O的半徑為2，求AC的長．【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)；圓周角定理．【分析】（1）連接OC，根據(jù)切線的性質(zhì)得到OC⊥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到OC⊥BE，再根據(jù)垂徑定理證明；（2）過點(diǎn)O作OH⊥AC于H，根據(jù)垂徑定理得到AH＝HC，根據(jù)圓周角定理、直角三角形的性質(zhì)求出∠ABE，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)求出∠AOC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理求出∠OAC，根據(jù)余弦的定義求出AH，進(jìn)而求出AC．【解答】（1）證明：如圖，連接OC，∵CD是⊙O的切線，∴OC⊥CD，∵BE∥DC，∴OC⊥BE，∴CE=（2）解：如圖，過點(diǎn)O作OH⊥AC于H，則AH＝HC，∵AB為⊙O的直徑，∴∠AEB＝90°，∴∠ABE＝90°﹣∠BAE＝90°﹣60°＝30°，∵BE∥DC，∴∠D＝∠ABE＝30°，∴∠AOC＝∠OCD+∠D＝120°，∵OA＝OC，∴∠OAC=1∴AH＝OA?cos∠OAC＝2×3∴AC＝2AH＝23．【點(diǎn)評】本題考查的是切線的性質(zhì)、圓周角定理，熟記圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑是解題的關(guān)鍵．23．（10分）（2025?眉山）如圖，一次函數(shù)y＝ax+b與反比例函數(shù)y=kx的圖象相交于A（1，4）、B（4，m）兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D與點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)O對稱，連接（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；（2）點(diǎn)P在x軸的負(fù)半軸上，且△AOC與△POD相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【考點(diǎn)】反比例函數(shù)綜合題．【分析】（1）把A（1，4）代入y=kx得4=k1，得到反比例函數(shù)的解析式為y=4x；把B（4，m）代入y=4x得到B（4，1），把A（1，4）、B（4，1）代入y＝（2）設(shè)P（m，0），根據(jù)勾股定理得到OA＝OD=12+【解答】解：（1）把A（1，4）代入y=kx得4∴k＝4，∴反比例函數(shù)的解析式為y=4把B（4，m）代入y=4x得m∴B（4，1），∵一次函數(shù)y＝ax+b與反比例函數(shù)y=kx的圖象相交于A（1，4）、∴4=k+b1=4k+b∴k=?1b=5∴一次函數(shù)的解析式為y＝﹣x+5；（2）設(shè)P（m，0），∵點(diǎn)D與點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)O對稱，A（1，4），∴OA＝OD=1∵直線AB與x軸交于C（5，0）∴OC＝5，∵△AOC與△POD相似，∠AOC＝∠POD，∴OAOD=OC∴1717=5∴OP＝5，OP=17∴P（﹣5，0）或（?17【點(diǎn)評】本題是反比例函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．24．（10分）（2025?眉山）國家衛(wèi)健委在全民健康調(diào)查中發(fā)現(xiàn)，近年來的肥胖人群快速增長，為加強(qiáng)對健康飲食的重視，特發(fā)布各地區(qū)四季健康飲食食譜．現(xiàn)有A、B兩種食品，每份食品的質(zhì)量為50g，其核心營養(yǎng)素如下：食品類別能量（單位：Kcal）蛋白質(zhì)（單位：g）脂肪（單位：g）碳水化合物（單位：g）A240127.529.8B28013927.6（1）若要從這兩種食品中攝入1280Kcal能量和62g蛋白質(zhì)，應(yīng)運(yùn)用A、B兩種食品各多少份？（2）若每份午餐選用這兩種食品共300g，從A、B兩種食品中攝入的蛋白質(zhì)總量不低于76g，且能量最低，應(yīng)選用A、B兩種食品各多少份？【考點(diǎn)】二元一次方程組的應(yīng)用；一元一次不等式的應(yīng)用；一次函數(shù)的應(yīng)用．【分析】（1）設(shè)應(yīng)選用A種食品x份，B種食品y份，根據(jù)要從這兩種食品中攝入1280Kcal能量和62g蛋白質(zhì)，列出二元一次方程組，解方程組即可；（2）設(shè)應(yīng)選用A種食品m份，則選用B種食品（6﹣m）份，根據(jù)從A、B兩種食品中攝入的蛋白質(zhì)總量不低于76g，列出一元一次不等式，解得m≤2，再設(shè)每份午餐的能量為wKcal，根據(jù)題意列出w關(guān)于m的一次函數(shù)關(guān)系式，然后由一次函數(shù)的性質(zhì)即可解決問題．【解答】解：（1）設(shè)應(yīng)選用A種食品x份，B種食品y份，根據(jù)題意得：240x+280y=128012x+13y=62解得：x=3y=2答：應(yīng)選用A種食品3份，B種食品2份；（2）設(shè)應(yīng)選用A種食品m份，則選用B種食品（30050?m）份，即（6﹣根據(jù)題意得：12m+13（6﹣m）≥76，解得：m≤2，設(shè)每份午餐的能量為wKcal，則w＝240m+280（6﹣m）＝﹣40m+1680，∵﹣40＜0，∴w隨m的增大而減小，∴當(dāng)m＝2時(shí)，w取得最小值，此時(shí)，6﹣m＝4．答：應(yīng)選用A種食品2份，B種食品4份．【點(diǎn)評】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用以及一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）找出數(shù)量關(guān)系，正確列出喻言演唱會和一次函數(shù)關(guān)系式．25．（10分）（2025?眉山）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝x2+bx+c關(guān)于直線x＝﹣3對稱，與x軸交于A（﹣1，0）、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)P為拋物線對稱軸上一點(diǎn)，連接BP，將線段BP繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，使點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)D恰好落在拋物線上，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）在線段OC上是否存在點(diǎn)Q，使2AQ+2CQ存在最小值？若存在，請直接寫出點(diǎn)Q【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．【分析】（1）用待定系數(shù)法可得拋物線的解析式為y＝x2+6x+5；（2）由拋物線的對稱軸為直線x＝﹣3，設(shè)P（﹣3，t），過P作KT∥x軸，過B作BK⊥KT于K，過D作DT⊥KT于T，求出B（﹣5，0），得KP＝﹣3﹣（﹣5）＝2，再證△BPK≌△PDT（AAS），可得BK＝PT＝|t|，KP＝DT＝2，故D（﹣3+t，t﹣2），代入y＝x2+6x+5得：t﹣2＝（﹣3+t）2+6（﹣3+t）+5，解出t值得P的坐標(biāo)為（﹣3，﹣1）或（﹣3，2）；（3）過C在y軸右側(cè)作射線CM，使∠OCM＝45°，過A作AH⊥CM于H，AH交y軸于Q，證明△QCH是等腰直角三角形，可得QH=22CQ，∠CQH＝45°，故2AQ+2CQ＝2（AQ+22CQ）＝2（AQ+QH）＝2AH，由垂線段最短可知，此時(shí)2AQ+2CQ最小，最小值為2AH，由△AQO是等腰直角三角形，得OQ＝OA＝1，AQ=2OA=2，即得Q（0，1），再求出CQ＝OC﹣OQ＝4，可得QH=22CQ＝22，AH＝AQ+【解答】解：（1）∵拋物線y＝x2+bx+c關(guān)于直線x＝﹣3對稱，與x軸交于A（﹣1，0），∴?b解得b=6c=5∴拋物線的解析式為y＝x2+6x+5；（2）由拋物線的對稱軸為直線x＝﹣3，設(shè)P（﹣3，t），過P作KT∥x軸，過B作BK⊥KT于K，過D作DT⊥KT于T，如圖：在y＝x2+6x+5中，令y＝0得0＝x2+6x+5，解得x＝﹣1或x＝﹣5，∴B（﹣5，0），∴KP＝﹣3﹣（﹣5）＝2，∵將線段BP繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到DP，∴∠BPD＝90°，BP＝DP，∴∠BPK＝90°﹣∠DPT＝∠PDT，∵∠K＝∠T＝90°，∴△BPK≌△PDT（AAS），∴BK＝PT＝|t|，KP＝DT＝2，∴D（﹣3+t，t﹣2），把D（﹣3+t，t﹣2）代入y＝x2+6x+5得：t﹣2＝（﹣3+t）2+6（﹣3+t）+5，解得t＝﹣1或t＝2，∴P的坐標(biāo)為（﹣3，﹣1）或（﹣3，2）；（3）在線段OC上存在點(diǎn)Q，使2AQ+2CQ過C在y軸右側(cè)作射線CM，使∠OCM＝45°，過A作AH⊥CM于H，AH交y軸于Q，如圖：∵∠OCM＝45°，∠QHC＝90°，∴△QCH是等腰直角三角形，∴QH=22CQ，∠∴2AQ+2CQ＝2（AQ+22CQ）＝2（AQ+QH由垂線段最短可知，此時(shí)2AQ+2CQ最小，最小值為2AH∵∠AQO＝∠CQH＝45°，∠AOQ＝90°，∴△AQO是等腰直角三角形，∴OQ＝OA＝1，AQ=2OA=∴Q（0，1），在y＝x2+6x+5中，令x＝0得y＝5，∴C（0，5），∴CQ＝OC﹣OQ＝5﹣1＝4，∴QH=22CQ＝2∴AH＝AQ+QH＝32，∴2AQ+2CQ的最小值為62【點(diǎn)評】本題考查一次函數(shù)綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法，全等三角形判定與性質(zhì)，胡不歸問題等，解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．26．（12分）（2025?眉山）綜合與實(shí)踐【問題情境】下面是某校數(shù)學(xué)社團(tuán)在一次折紙活動中的探究過程．【操作實(shí)踐】如圖1，將矩形紙片ABCD沿過點(diǎn)C的直線折疊，使點(diǎn)B落在AD邊上的點(diǎn)B′處，折痕交AB于點(diǎn)E，再沿著過點(diǎn)B′的直線折疊，使點(diǎn)D落在B′C邊上的點(diǎn)D′處，折痕交CD于點(diǎn)F．將紙片展平，畫出對應(yīng)點(diǎn)B′、D′及折痕CE、B′F，連接B′E、B′C、D′F．【初步猜想】（1）確定CE和B′F的位置關(guān)系及線段BE和CF的數(shù)量關(guān)系．創(chuàng)新