第19講銳角三角函數(shù)(5年10考)知識梳理夯基礎(chǔ)知識點一銳角三角函數(shù)1.銳角三角函數(shù)的概念知識梳理2.特殊角的三角函數(shù)值1針對訓(xùn)練1.如圖所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,則sinA=

;sinB=

;

cosA=

;cosB=

.

2.計算:(1)cos45°+sin60°=

;

(2)tan60°+cos30°=

;

(3)tan30°sin60°=

.

等邊知識點二解直角三角形1.由直角三角形中的已知元素,求出其余未知元素的過程,叫做解直角三角形.2.直角三角形中的邊角關(guān)系(如圖所示)(1)三邊之間的關(guān)系:a2+b2=

.

(2)銳角之間的關(guān)系:∠A+∠B=

.

知識梳理c290°3.解直角三角形的一般方法針對訓(xùn)練AC5.[人教九下P77習(xí)題T1改編]在△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的對邊分別為a,b,c,由下列條件解直角三角形:知識點三解直角三角形的應(yīng)用知識梳理仰角、俯角在視線與水平線所成的銳角中,視線在水平線上方的角叫做

,視線在水平線下方的角叫做

仰角俯角坡度、坡角坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比叫做坡度(坡比),用字母i表示;坡面與水平線的夾角α叫坡角.i=tanα=

方向角指北或指南的方向與目標(biāo)方向所成的小于90°的角.圖中OA的方向角為北偏東50°,OC的方向角為南偏西15°針對訓(xùn)練13.88.如圖所示,一艘船從A處向北偏東30°的方向行駛10km到B處,再從B處向正西方向行駛30km到C處,此時這艘船與A處的距離是

km.

重難突破提能力考點1銳角三角函數(shù)及其應(yīng)用(5年7考)典例1(2025廣東)如圖所示,在矩形ABCD中,E,F是BC邊上的三等分點,連接DE,AF相交于點G,連接CG.若AB=8,BC=12,則tan∠GCF的值是()過點G作GM⊥BC于點M,根據(jù)矩形的性質(zhì)及已知條件得出△ABF和△GEF是等腰直角三角形,根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)和正切函數(shù)的定義即可得出tan∠GCF的值B即時訓(xùn)練1.(2025深圳)如圖所示為人行天橋的示意圖,若高BC長為10m,斜道AC長為30m,則sinA的值為()D10過點D作DH⊥AB,假設(shè)AC=12k,AD=13k根據(jù)三角函數(shù)和角平分線的性質(zhì)得出DH=CD=5k,再利用面積法求解3.如圖所示,在△ABC中,AB=2,∠B=60°,∠C=45°,求BC和AC的長.考點2解直角三角形的實際應(yīng)用(5年3考)典例2(2023廣東T18,7分)

2023年5月30日,神舟十六號載人飛船發(fā)射取得圓滿成功,3名航天員順利進(jìn)駐中國空間站.如圖所示的照片展示了中國空間站上機(jī)械臂的一種工作狀態(tài).當(dāng)兩臂AC=BC=10m,兩臂夾角∠ACB=100°時,求A,B兩點間的距離(結(jié)果精確到0.1m.參考數(shù)據(jù):sin50°≈0.766,cos50°≈0.643,tan50°≈1.192).規(guī)范解答解:如圖所示,連接AB,過點C作AB垂線交于點D,…………1分∵AC=BC=10m,∴△ABC為等腰三角形.……2分∵CD⊥AB,∴AD=AC·sin∠ACD=10×sin50°.……5分∴AB=2AD=2×10×sin50°=15.32≈15.3(m).………6分答:A,B兩點間的距離約為15.3m.………7分即時訓(xùn)練4.(2024廣東T18,7分)中國新能源汽車為全球應(yīng)對氣候變化和綠色低碳轉(zhuǎn)型作出了巨大貢獻(xiàn).為滿足新能源汽車的充電需求,某小區(qū)增設(shè)了充電站,如圖所示是矩形PQMN充電站的平面示意圖,矩形ABCD是其中一個停車位.經(jīng)測量,∠ABQ=60°,AB=5.4m,CE=1.6m,GH⊥CD,GH是另一個車位的寬,所有車位的長寬相同,按圖示并列劃定.(1)求PQ的長;規(guī)范解答解:(1)由題意,得AB=5.4m,∠ABQ=60°.∵四邊形PQMN為矩形,∴∠Q=90°.∵四邊形ABCD為矩形,CE=1.6m,∴∠ABC=∠DCB=∠BCE=90°.∴∠CBE=180°-90°-60°=30°.(2)該充電站有20個停車位,求PN的長.規(guī)范解答5.(2024廣州)2024年6月2日,嫦娥六號著陸器和上升器組合體(簡稱為“著上組合體”)成功著陸在月球背面.某校綜合實踐小組制作了一個“著上組合體”的模擬裝置,在一次試驗中,如圖所示,該模擬裝置在緩速下降階段從A點垂直下降到B點,再垂直下降到著陸點C,從B點測得地面D點的俯角為36.87°,AD=17m,BD=10m.(1)求CD的長;解:(1)如圖所示,由題意,得AC⊥CD,BE∥CD,∴∠EBD=∠BDC=36.87°.在Rt△BCD中,BD=10m,∴CD=BD·cos36.87°≈10×0.80=8(m).∴CD的長約為8m.(2)若模擬裝置從A點以每秒2m的速度勻速下降到B點,求模擬裝置從A點下降到B點的時間.(參考數(shù)據(jù):sin36.87°≈0.60,cos36.87°≈0.80,tan36.87°≈0.75)(1)若點G到AD的垂直距離為75.0cm,∠DCG=60°,求他的腿的長度;7.幾何直觀將如