山西省運(yùn)城市景勝中學(xué)2026屆數(shù)學(xué)高二上期末經(jīng)典模擬試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．從1，2，3，4，5中任取2個(gè)不同的數(shù)，兩數(shù)和為偶數(shù)的概率為（）A. B.C. D.2．南北朝時(shí)期杰出的數(shù)學(xué)家祖沖之的兒子祖暅在數(shù)學(xué)上也有很多創(chuàng)造，其最著名的成就是祖暅原理：夾在兩個(gè)平行平面之間的幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截，如果截得的兩個(gè)截面的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等，現(xiàn)有一個(gè)圓柱體和一個(gè)長(zhǎng)方體，它們的底面面積相等，高也相等，若長(zhǎng)方體的底面周長(zhǎng)為，圓柱體的體積為，根據(jù)祖暅原理，可推斷圓柱體的高（）A.有最小值 B.有最大值C.有最小值 D.有最大值3．“”是“直線與直線互相垂直”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4．“”是直線與直線平行的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5．圓的圓心到直線的距離為2，則（）A. B.C. D.26．與圓和圓都外切的圓的圓心在（）A.一個(gè)圓上 B.一個(gè)橢圓上C.雙曲線的一支上 D.一條拋物線上7．已知雙曲線，過左焦點(diǎn)且與軸垂直的直線與雙曲線交于、兩點(diǎn)，若弦的長(zhǎng)恰等于實(shí)鈾的長(zhǎng)，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.8．設(shè)a，b，c非零實(shí)數(shù)，且，則（）A. B.C. D.9．下列各式正確的是（）A. B.C. D.10．空間四點(diǎn)共面，但任意三點(diǎn)不共線，若為該平面外一點(diǎn)且，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B.C. D.11．已知，為雙曲線的左，右頂點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線C上，為等腰三角形，且頂角為，則雙曲線C的離心率為（）A. B.C.2 D.12．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知A(1,3)，B(5，－2)，點(diǎn)P在x軸上，則使|AP|－|BP|取最大值的點(diǎn)P的坐標(biāo)是________14．若曲線在處的切線平行于x軸，則___________.15．已知P是橢圓的上頂點(diǎn)，過原點(diǎn)的直線l交C于A，B兩點(diǎn)，若的面積為，則l的斜率為____________16．設(shè)，，若將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位能使其圖像與原圖像重合，則正實(shí)數(shù)的最小值為___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知，（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，，求實(shí)數(shù)a的取值范圍18．（12分）已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為，橢圓C上點(diǎn)M滿足（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程：（2）若過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線l交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)，求線段PQ長(zhǎng)為時(shí)直線l的方程19．（12分）已知橢圓的離心率是，且過點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，求面積的最大值.20．（12分）已知拋物線的頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸的正半軸上，是拋物線上的點(diǎn)，點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為1，且到軸的距離是（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）假設(shè)直線通過點(diǎn)，與拋物線相交于，兩點(diǎn)，且，求直線的方程21．（12分）已知，，分別是銳角內(nèi)角，，對(duì)邊，，.（1）求的值；（2）若的面積為，求的值.22．（10分）圓的圓心為，且與直線相切，求：（1）求圓的方程；（2）過的直線與圓交于，兩點(diǎn)，如果，求直線的方程

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】利用列舉法，結(jié)合古典概型概率計(jì)算公式，計(jì)算出所求概率.【詳解】從中任取個(gè)不同的數(shù)的方法有，共種，其中和為偶數(shù)的有共種，所以所求的概率為.故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查古典概型概率計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.2、C【解析】由條件可得長(zhǎng)方體的體積為，設(shè)長(zhǎng)方體的底面相鄰兩邊分別為，根據(jù)基本不等式，可求出底面面積的最大值，進(jìn)而求出高的最小值，得出結(jié)論.【詳解】依題意長(zhǎng)方體的體積為，設(shè)圓柱的高為長(zhǎng)方體的底面相鄰兩邊分別為，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，.故選:C.【點(diǎn)睛】本題以數(shù)學(xué)文化為背景，考查基本不等式求最值，要認(rèn)真審題，理解題意，屬于基礎(chǔ)題.3、A【解析】根據(jù)直線垂直求出的范圍即可得出.【詳解】由直線垂直可得，解得或1，所以“”是“直線與直線互相垂直”的充分不必要條件.故選：A.4、C【解析】先根據(jù)直線平行的充要條件求出a，然后可得.【詳解】若，則，，顯然平行；若直線，則且，即.故“”是直線與直線平行的充要條件.故選：C5、B【解析】配方求出圓心坐標(biāo)，再由點(diǎn)到直線距離公式計(jì)算【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是，圓心為，∴，解得故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查點(diǎn)到直線距離公式，屬于基礎(chǔ)題6、C【解析】設(shè)動(dòng)圓的半徑為，然后根據(jù)動(dòng)圓與兩圓都外切得，再兩式相減消去參數(shù)，則滿足雙曲線的定義，即可求解.【詳解】設(shè)動(dòng)圓的圓心為，半徑為，而圓的圓心為，半徑為1；圓的圓心為，半徑為2依題意得，則，所以點(diǎn)的軌跡是雙曲線的一支故選：C7、B【解析】求出，進(jìn)而求出，之間的關(guān)系，即可求解結(jié)論【詳解】解：由題意，直線方程為：，其中，因此，設(shè)，，，，解得，得，，弦的長(zhǎng)恰等于實(shí)軸的長(zhǎng)，，，故選：B8、C【解析】對(duì)于A、B、D：取特殊值否定結(jié)論；對(duì)于C：利用作差法證明.【詳解】對(duì)于A：取符合已知條件，但是不成立.故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：取符合已知條件，但是，所以不成立.故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：因?yàn)椋?故C正確；對(duì)于D：取符合已知條件，但是，所以不成立.故D錯(cuò)誤；故選：C.9、C【解析】利用導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算即可求解.【詳解】對(duì)于A，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，故C正確；對(duì)于D，，故D錯(cuò)誤；故選：C10、A【解析】由空間向量共面定理構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】空間四點(diǎn)共面，但任意三點(diǎn)不共線，，解得：.故選：A.11、A【解析】根據(jù)給定條件求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，再代入雙曲線方程計(jì)算作答.【詳解】由雙曲線對(duì)稱性不妨令點(diǎn)P在第一象限，過P作軸于B，如圖，因?yàn)榈妊切?，且頂角為，則有，，有，于是得，即點(diǎn)，因此，，解得，所以雙曲線C的離心率為.故選：A12、C【解析】利用已知條件求得，由此求得.【詳解】依題意，解得，所以.故選：C【點(diǎn)睛】本小題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】首先求得點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，然后數(shù)形結(jié)合結(jié)合直線方程求解點(diǎn)P的坐標(biāo)即可.【詳解】點(diǎn)A(1,3)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為A′(1，－3)，如圖所示，連接A′B并延長(zhǎng)交x軸于點(diǎn)P，即為所求直線A′B的方程是y＋3＝(x－1)，即.令y＝0，得x＝13則點(diǎn)P的坐標(biāo)是.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線方程的應(yīng)用，最值問題的求解，等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.14、【解析】求出導(dǎo)函數(shù)得到函數(shù)在時(shí)的導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)值為0求得a的值【詳解】由，得，則，∵曲線在點(diǎn)處的切線平行于x軸，∴，即.故答案為：15、【解析】設(shè)出直線AB的方程，聯(lián)立橢圓方程得到A點(diǎn)橫坐標(biāo)滿足，再利用，解方程即可得到答案.【詳解】設(shè)直線AB的方程為：，，由，得，所以，又所以，解得.故答案為：16、【解析】根據(jù)正弦型函數(shù)圖像平移法則和正弦函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行解題.【詳解】解：由題意得：函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位后得：該函數(shù)與原函數(shù)圖像重合故可知，即故當(dāng)時(shí)，最小正實(shí)數(shù).故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再解導(dǎo)函數(shù)的不等式，即可求出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）依題意可得當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，顯然成立，當(dāng)時(shí)只需，參變分離得到，令，，利用導(dǎo)數(shù)說明函數(shù)的單調(diào)性，即可求出參數(shù)的取值范圍；【小問1詳解】解：當(dāng)時(shí)定義域?yàn)椋?，令，解得或，令，解得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為；【小問2詳解】解：由，即，即，當(dāng)時(shí)顯然成立，當(dāng)時(shí)，只需，即，令，，則，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.18、（1）（2）【解析】（1）依題意可得，即可求出、，即可求出橢圓方程；（2）首先求出直線斜率不存在時(shí)弦顯然可得直線的斜率存在，設(shè)直線方程為、、，聯(lián)立直線與橢圓方程，消元列出韋達(dá)定理，再根據(jù)弦長(zhǎng)公式得到方程，求出，即可得解；【小問1詳解】解：依題意，解得，所以橢圓方程為；【小問2詳解】解：當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，此時(shí)，不符合題意；所以直線的斜率存在，設(shè)直線方程為，則，消元整理得，設(shè)，，則，，所以，即，解得，所以直線的方程為；19、（1）；（2）2.【解析】(1)根據(jù)已知條件列出關(guān)于a、b、c的方程組即可求得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)直線l和x軸垂直時(shí)，根據(jù)已知條件求出此時(shí)△AOB面積；直線l和x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線方程為點(diǎn)斜式y(tǒng)＝kx＋t，代入橢圓方程得二次方程，結(jié)合韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)得k和t關(guān)系，表示出△AOB的面積，結(jié)合基本不等式即可求解三角形面積最值.【小問1詳解】由題知，解得，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】當(dāng)軸時(shí)，位于軸上，且，由可得，此時(shí)；當(dāng)不垂直軸時(shí)，設(shè)直線的方程為，與橢圓交于，，由，得.得，，從而已知，可得.∵.設(shè)到直線的距離為，則，結(jié)合化簡(jiǎn)得此時(shí)的面積最大，最大值為2.當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，綜上，的面積的最大值為2.20、（1）；（2）【解析】（1）根據(jù)拋物線的定義，結(jié)合到焦點(diǎn)、軸的距離求，寫出拋物線方程.（2）直線的斜率不存在易得與不垂直與題設(shè)矛盾，設(shè)直線方程聯(lián)立拋物線方程，應(yīng)用韋達(dá)定理求，，進(jìn)而求，由題設(shè)向量垂直的坐標(biāo)表示有求直線方程即可.【詳解】（1）由己知，可設(shè)拋物線的方程為，又到焦點(diǎn)的距離是1，∴點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是1，又到軸的距離是，∴，解得，則拋物線方程是（2）假設(shè)直線的斜率不存在，則直線的方程為，與聯(lián)立可得交點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為，，易得，可知直線與直線不垂直，不滿足題意，故假設(shè)不成立，∴直線的斜率存在．設(shè)直線為，整理得，設(shè)，，聯(lián)立直線與拋物線的方程得，消去，并整理得，于是，，∴，又，因此，即，∴，解得或當(dāng)時(shí)，直線的方程是，不滿足，舍去當(dāng)時(shí)，直線的方程是，即，∴直線的方程是21、（1）；（2）4.【解析】（1）由正弦定理即可得答案.（2）根據(jù)題意得到，再由關(guān)于角的余弦定理和整理化簡(jiǎn)得，再由的面積，即可求出的值.【小問1詳解】由及正弦定理可得.小問2詳解】由銳