2026屆福建龍巖一中高二上數(shù)學期末檢測試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在長方體中，，，點分別在棱上，，，則（）A. B.C. D.2．已知直線的一個方向向量，平面的一個法向量，若，則（）A.1 B.C.3 D.3．對于三次函數(shù)，給出定義：設是函數(shù)的導數(shù)，是的導數(shù)，若方程有實數(shù)解，則稱點為函數(shù)的“拐點”.經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù)都有“拐點”；任何一個三次函數(shù)圖象都有對稱中心，且“拐點”就是對稱中心.設函數(shù)，則（）A. B.C. D.4．設，則“”是“直線與直線平行”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件5．橢圓的左右焦點分別為，是上一點，軸，，則橢圓的離心率等于（）A. B.C. D.6．已知，那么函數(shù)在x＝π處的瞬時變化率為（）A. B.0C. D.7．在空間直角坐標系中，點關于軸的對稱點為點，則點到直線的距離為（）A. B.C. D.68．若，（），則，的大小關系是A. B.C. D.，的大小由的取值確定9．拋物線的焦點坐標是A. B.C. D.10．已知點，動點P滿足，則點P的軌跡為（）A橢圓 B.雙曲線C.拋物線 D.圓11．已知曲線C的方程為，則下列結論正確的是（）A.當時，曲線C為圓B.“”是“曲線C為焦點在x軸上的雙曲線”的充分而不必要條件C.“”是“曲線C為焦點在x軸上的橢圓”的必要而不充分條件D.存在實數(shù)k使得曲線C為雙曲線，其離心率為12．若復數(shù)的模為2，則的最大值為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)，若關于的不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是__________14．已知數(shù)列滿足0，，則數(shù)列的通項公式為____，則數(shù)列的前項和______15．已知平面向量均為非零向量，且滿足，記向量在向量上投影向量為，則k=______．(用數(shù)字作答)16．已知函數(shù)，則的值為______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)（…是自然對數(shù)的底數(shù)）.（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）求函數(shù)的零點的個數(shù).18．（12分）如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點.(1)證明：PB∥平面AEC(2)設二面角D-AE-C為60°，AP=1，AD=，求三棱錐E-ACD的體積19．（12分）為了解某市家庭用電量的情況，該市統(tǒng)計局調(diào)查了若干戶居民去年一年的月均用電量（單位：），得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）估計月均用電量的眾數(shù)；（2）求a的值；（3）為了既滿足居民的基本用電需求，又提高能源的利用效率，市政府計劃采用階梯電價，月均用電量不高于平均數(shù)的為第一檔，高于平均數(shù)的為第二檔，已知某戶居民月均用電量為，請問該戶居民應該按那一檔電價收費，說明理由.20．（12分）在中，，，為邊上一點，且（1）求；（2）若，求21．（12分）已知橢圓的離心率為，以坐標原點為圓心，以橢圓M的短半軸長為半徑的圓與直線有且只有一個公共點（1）求橢圓M的標準方程；（2）過橢圓M的右焦點F的直線交橢圓M于A，B兩點，過F且垂直于直線的直線交橢圓M于C，D兩點，則是否存在實數(shù)使成立？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由22．（10分）已知拋物線C：上有一動點，，過點P作拋物線C的切線交y軸于點Q（1）判斷線段PQ的垂直平分線是否過定點？若過，求出定點坐標；若不過，請說明理由；（2）過點P作垂線交拋物線C于另一點M，若切線的斜率為k，設的面積為S，求的最小值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】依題意可得，從而得到，即可得到，從而得解；【詳解】解：由長方體的性質可得，又，所以，因為，所以，所以，因為，所以；故選：D2、D【解析】由向量平行充要條件代入解之即可解決.【詳解】由，可知，則有，解之得故選：D3、B【解析】根據(jù)“拐點”的概念可判斷函數(shù)的對稱中心，進而求解.【詳解】，，，令，解得：，而，故函數(shù)關于點對稱，，，故選：B.4、A【解析】根據(jù)兩直線平行的充要條件求出a的值，然后可判斷.【詳解】當時，，所以兩直線平行；若兩直線平行，則且，解得或，所以，“”是“直線與直線平行”的充分不必要條件.故選：A5、A【解析】在中結合已知條件，用焦距2c表示、，再利用橢圓定義計算作答.【詳解】令橢圓的半焦距為c，因是上一點，軸，，在中，，，由橢圓定義知，則，所以橢圓的離心率等于.故選：A6、A【解析】利用導數(shù)運算法則求出，根據(jù)導數(shù)的定義即可得到結論【詳解】由題設，，所以，函數(shù)在x＝π處瞬時變化率為，故選：A7、C【解析】按照空間中點到直線的距離公式直接求解.【詳解】由題意，，，的方向向量，，則點到直線的距離為.故選：C.8、A【解析】∵且，∴，又，∴，故選A.9、D【解析】根據(jù)拋物線的焦點坐標為可知，拋物線即的焦點坐標為，故選D.考點：拋物線的標準方程及其幾何性質.10、A【解析】根據(jù)橢圓的定義即可求解.【詳解】解：，故，又，根據(jù)橢圓的定義可知：P的軌跡為橢圓.故選：A.11、C【解析】根據(jù)橢圓、雙曲線的定義及簡單幾何性質計算可得；【詳解】解：由題意，曲線C的方程為，對于A中，當時，曲線C的方程為，此時曲線C表示橢圓，所以A錯誤；對于B中，當曲線C的方程為表示焦點在x軸上的雙曲線時，則滿足，解得，所以“”是“曲線C為焦點在x軸上的雙曲線”的必要不充分條件，所以B不正確；對于C中，當曲線C的方程為表示焦點在x軸上的橢圓時，則滿足，解得，所以“”是“曲線C為焦點在x軸上的雙曲線”的必要不充分條件，所以C正確；對于D中，當曲線C的方程為表示雙曲線，且離心率為時，此時雙曲線的實半軸長等于虛半軸長，此時，解得，此時方程表示圓，所以不正確.故選：C.12、A【解析】由題意得，表示以為圓心，2為半徑的圓，表示過原點和圓上的點的直線的斜率，由圖可知，當直線與圓相切時，取得最值，然后求出切線的斜率即可【詳解】因為復數(shù)的模為2，所以，所以其表示以為圓心，2為半徑的圓，如圖所示，表示過原點和圓上的點的直線的斜率，由圖可知，當直線與圓相切時，取得最值，設切線方程為，則，解得，所以的最大值為，故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】分析：應用換元法，令，，不等式恒成立，轉化為在恒成立，確定關系式，即可求得答案.詳解：函數(shù)對稱軸，最小值令，則恒成立，即在上.，在單調(diào)遞增，，解得，即實數(shù)的取值范圍是故答案為.點睛：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題、不等式恒成立問題以及二次函數(shù)的圖象和性質等知識，考查了復合函數(shù)問題求解的換元法14、①.②.【解析】第一空：先構造等比數(shù)列求出，即可求出的通項公式；第二空：先求出，令，通過錯位相減求出的前項和為，再結合等差數(shù)列的求和公式及分組求和即可求解.【詳解】第一空：由可得，又，則是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，則，則；第二空：，設，前項和為，則，，兩式相減得，則，又，則.故答案為：；.15、##1.5【解析】由兩邊平方可得，，，設，向量是以向量為鄰邊的平行四邊形、有共同起點的對角線，，由余弦定理可得，向量在向量上投影向量為，化簡可得答案.【詳解】因為，所以，，兩邊平方整理得，，兩邊平方整理得，即，可得，，設，所以向量是以向量為鄰邊的平行四邊形、有共同起點的對角線，如圖，即，因為，，平行四邊形即為的菱形，所以，由余弦定理可得，可得，，向量在向量上投影向量為，即.故答案為：.16、【解析】先求出的導函數(shù)，然后將代入可得答案.【詳解】，所以故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；當時，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）時函數(shù)沒有零點；或時函數(shù)有且只有一個零點；時，函數(shù)有兩個零點.【解析】（1）先對函數(shù)求導，然后分和兩種情況判斷導函數(shù)正負，求其單調(diào)區(qū)間；（2）由，得，構造函數(shù)，然后利用導數(shù)求出其單調(diào)區(qū)間和極值，畫出此函數(shù)的圖像，再判斷圖像與直線的交點情況，從而可得答案【詳解】（1）因為，所以，當時，恒成立，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；當時，令，得；令，得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）顯然0不是函數(shù)的零點，由，得.令，則.或時，，時，，所以在和上都是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，時取極小值，又當時，.所以時，關于的方程無解，或時關于的方程只有一個解，時，關于的方程有兩個不同解.因此，時函數(shù)沒有零點，或時函數(shù)有且只有一個零點，時，函數(shù)有兩個零點.【點睛】關鍵點點睛：此題考查導數(shù)的應用，考查利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查利用導數(shù)判斷函數(shù)的零點，解題的關鍵是由，得，構造函數(shù)，然后利用導數(shù)求出其單調(diào)區(qū)間和極值，畫出此函數(shù)的圖像，再判斷圖像與直線的交點情況，考查數(shù)形結合的思想，屬于中檔題18、【解析】（Ⅰ）連接BD交AC于O點，連接EO，只要證明EO∥PB，即可證明PB∥平面AEC；（Ⅱ）延長AE至M連結DM，使得AM⊥DM，說明∠CMD=60°，是二面角的平面角，求出CD，即可三棱錐E-ACD的體積試題解析：(1)證明：連接BD交AC于點O，連接EO.因為ABCD為矩形，所以O為BD中點又E為PD的中點，所以EO∥PB.因為EO?平面AEC，PB?平面AEC，所以PB∥平面AEC.(2)因為PA⊥平面ABCD，ABCD為矩形，所以AB，AD，AP兩兩垂直如圖，以A為坐標原點，，AD，AP的方向為x軸y軸z軸的正方向，||為單位長，建立空間直角坐標系A-xyz，則D，E，＝.設B(m，0，0)(m>0)，則C(m，，0)，＝(m，，0)設n1＝(x，y，z)為平面ACE的法向量，則即可取n1＝.又n2＝(1，0，0)為平面DAE的法向量，由題設易知|cos〈n1，n2〉|＝，即＝，解得m＝.因為E為PD的中點，所以三棱錐E-ACD的高為.三棱錐E-ACD的體積V＝××××＝.考點：二面角的平面角及求法；棱柱、棱錐、棱臺的體積；直線與平面平行的判定19、（1）175（2）0.004（3）該居民該戶居民應該按第二檔電價收費，理由見解析【解析】（1）在區(qū)間對應的小矩形最高，由此能求出眾數(shù)；（2）利用各個區(qū)間的頻率之和為1，即可求出值；（3）求出月均用電量的平均數(shù)的估計值即可判斷.【小問1詳解】由題知，月均用電量在區(qū)間內(nèi)的居民最多，可以將這個區(qū)間的中點175作為眾數(shù)的估計值，所以眾數(shù)的估計值為175.【小問2詳解】由題知：，解得則的值為0.004.【小問3詳解】平均數(shù)的估計值為：，則月均用電量的平均數(shù)的估計值為，又∵∴該居民該戶居民應該按第二檔電價收費.20、（1）；（2）【解析】（1）在△中，由余弦定理，即可求.（2）在中，由正弦定理，即可求.【詳解】（1）在△中，，，，由余弦定理得：，∴（2）在中，，，，由正弦定理得：，即，∴21、（1）（2）存在，【解析】（1）求出后可得橢圓的標準方程.（2）設直線，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，消元后利用韋達定理可用表示，從而可求的值.【小問1詳解】據(jù)題意，得，∴，∴所求橢圓M的標準方程為【小問2詳解】據(jù)（1）求解知，點F坐標為若直線的斜率存在，且不等于0，設直線據(jù)得設，則，∴同理可求知，∴，∴，即此時存滿足題設；若直線的斜率不存在，則；若直線的斜率為0，則，此時若，則綜上，存在實數(shù)，且使22、（1）線段的垂直平分線過定點（2）【解析