甘肅省武威第十八中學(xué)2026屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末經(jīng)典試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在三棱錐中，，，則異面直線PC與AB所成角的余弦值是（）A. B.C. D.2．下列說法中正確的是（）A.存在只有4個(gè)面的棱柱 B.棱柱的側(cè)面都是四邊形C.正三棱錐的所有棱長(zhǎng)都相等 D.所有幾何體的表面都能展開成平面圖形3．下列命題中正確的是A.命題“若，則”的否命題為：“若，則”B.若命題，是假命題，則實(shí)數(shù)C.“”的一個(gè)充分不必要條件是“”D.命題“若，則”的逆否命題為真命題4．若，則的虛部為（）A. B.C. D.5．已知雙曲線＝1的一條漸近線方程為x－4y＝0，其虛軸長(zhǎng)為（）A.16 B.8C.2 D.16．阿基米德（公元前287年～公元前212年）不僅是著名的物理學(xué)家，也是著名的數(shù)學(xué)家，他利用“逼近法”得到的橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的乘積.若橢圓的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)在軸上，且橢圓的離心率為，面積為，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A. B.C. D.7．記等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則等于（）A.5 B.31C.38 D.418．已知是數(shù)列的前項(xiàng)和，，則數(shù)列是（）A.公比為3的等比數(shù)列 B.公差為3的等差數(shù)列C.公比為的等比數(shù)列 D.既非等差數(shù)列，也非等比數(shù)列9．拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：由其焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對(duì)稱軸的方向射出；反之，平行于拋物線對(duì)稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點(diǎn)．已知拋物線，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，一條平行于x軸的光線從點(diǎn)射入，經(jīng)過C上的點(diǎn)A反射后，再經(jīng)C上另一點(diǎn)B反射后，沿直線射出，經(jīng)過點(diǎn)N．下列說法正確的是（）A.若，則 B.若，則平分C.若，則 D.若，延長(zhǎng)AO交直線于點(diǎn)D，則D，B，N三點(diǎn)共線10．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，若，則（）A. B.C. D.11．已知空間向量，，且與互相垂直，則k的值是（）A.1 B.C. D.12．已知直線為拋物線的準(zhǔn)線，直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，與拋物線交于點(diǎn)，則的最小值為（）A. B.C.4 D.8二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知雙曲線，的左、右焦點(diǎn)分別為、，且的焦點(diǎn)到漸近線的距離為1，直線與交于，兩點(diǎn)，為弦的中點(diǎn)，若為坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率為，，則下列結(jié)論正確的是____________①；②的離心率為；③若，則的面積為2；④若的面積為，則為鈍角三角形14．已知離心率為，且對(duì)稱軸都在坐標(biāo)軸上的雙曲線C過點(diǎn)，過雙曲線C上任意一點(diǎn)P，向雙曲線C的兩條漸近線分別引垂線，垂足分別是A，B，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則四邊形OAPB的面積為______15．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則______16．在1和9之間插入三個(gè)數(shù)，使這五個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則中間三個(gè)數(shù)的積等于________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖1，在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，將△BCD沿對(duì)角線BD折起到△BDC′的位置，如圖2所示，并使得平面BDC′⊥平面ABD，E是BD的中點(diǎn)，F(xiàn)A⊥平面ABD，且FA=.圖1圖2（1）求平面FBC′與平面FBA夾角的余弦值；（2）在線段AD上是否存在一點(diǎn)M，使得⊥平面?若存在，求的值；若不存在，說明理由.18．（12分）設(shè)數(shù)列滿足（1）求的通項(xiàng)公式；（2）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，是否存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意恒成立.19．（12分）在△中，已知、、分別是三內(nèi)角、、所對(duì)應(yīng)的邊長(zhǎng),且（Ⅰ）求角的大??；（Ⅱ）若，且△的面積為，求.20．（12分）求滿足下列條件的曲線的方程：（1）離心率為，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（2）與橢圓有相同焦點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程21．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)的距離和它到直線的距離之比為.動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程，并說明曲線是什么圖形；（2）已知曲線與軸的交點(diǎn)分別為，點(diǎn)是曲線上異于的一點(diǎn)，直線的斜率為，直線的斜率為，求證：為定值.22．（10分）已知圓，直線，直線l與圓C相交于P，Q兩點(diǎn)（1）求的最小值；（2）當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求直線l的方程

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】分別取、、的中點(diǎn)、、，連接、、、、，由題意結(jié)合平面幾何的知識(shí)可得、、或其補(bǔ)角即為異面直線PC與AB所成角，再由余弦定理即可得解.【詳解】分別取、、的中點(diǎn)、、，連接、、、、，如圖：由可得，所以，在，，可得由中位線的性質(zhì)可得且，且，所以或其補(bǔ)角即為異面直線PC與AB所成角，在中，，所以異面直線AB與PC所成角的余弦值為.故選：A.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過平移直線，把異面直線的問題化歸為共面直線問題來解決，具體步驟如下：（1）平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；（2）認(rèn)定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；（3）計(jì)算：求該角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是，當(dāng)所作的角為鈍角時(shí)，應(yīng)取它的補(bǔ)角作為兩條異面直線所成的角2、B【解析】對(duì)于A、B：由棱柱的定義直接判斷；對(duì)于C：由正三棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)和底面邊長(zhǎng)不一定相等，即可判斷；對(duì)于D：由球的表面不能展開成平面圖形即可判斷【詳解】對(duì)于A：棱柱最少有5個(gè)面，則A錯(cuò)誤；對(duì)于B：棱柱的所有側(cè)面都是平行四邊形，則B正確；對(duì)于C：正三棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)和底面邊長(zhǎng)不一定相等，則C錯(cuò)誤；對(duì)于D：球的表面不能展開成平面圖形，則D錯(cuò)誤故選：B3、C【解析】．命題的否定是同時(shí)否定條件和結(jié)論；．將當(dāng)成真命題解出的范圍，再取補(bǔ)集即可；．求出“”的充要條件再判斷即可；．判斷原命題的真假即可【詳解】解：對(duì)于A：命題“若，則”的否命題為：“若，則“，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：當(dāng)命題，是真命題時(shí)，，所以，又因?yàn)槊}為假命題，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：由“”解得：，故“”是“”的充分不必要條件，故C正確；對(duì)于D：因?yàn)槊}“若，則”是假命題，所以其逆否命題也是假命題，故D錯(cuò)誤；故選：C4、A【解析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算化簡(jiǎn)，由復(fù)數(shù)概念即可求解.【詳解】因?yàn)椋缘奶摬繛?，故選：A5、C【解析】根據(jù)雙曲線的漸近線方程的特點(diǎn)，結(jié)合虛軸長(zhǎng)的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)殡p曲線＝1的一條漸近線方程為x－4y＝0，所以，因此該雙曲線的虛軸長(zhǎng)為，故選：C6、C【解析】由題意，設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，然后根據(jù)橢圓的離心率以及橢圓面積列出關(guān)于的方程組，求解方程組即可得答案【詳解】由題意，設(shè)橢圓的方程為，由橢圓的離心率為，面積為，∴，解得，∴橢圓的方程為，故選：C.7、A【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，首先根據(jù)題意得到，再解方程組即可得到答案.【詳解】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由題知：，解得.故選：A.8、D【解析】由得，然后利用與的關(guān)系即可求出【詳解】因?yàn)?，所以所以?dāng)時(shí)，時(shí)，所以故數(shù)列既非等差數(shù)列，也非等比數(shù)列故選：D【點(diǎn)睛】要注意由求要分兩步：1.時(shí)，2.時(shí).9、D【解析】根據(jù)求出焦點(diǎn)為、點(diǎn)坐標(biāo)，可得直線的方程與拋物線方程聯(lián)立得點(diǎn)坐標(biāo)，由兩點(diǎn)間的距離公式求出可判斷AC；時(shí)可得，．由可判斷B；求出點(diǎn)坐標(biāo)可判斷D.【詳解】如圖，若，則，C的焦點(diǎn)為，因?yàn)?，所以，直線的方程為，整理得，與拋物線方程聯(lián)立得，解得或，所以，所以，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；時(shí)，因?yàn)椋裕?，，所以不平分，選項(xiàng)B不正確；若，則，C的焦點(diǎn)為，因?yàn)?，所以，直線的方程為，所以，所以，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；若，則，C的焦點(diǎn)為，因?yàn)?，所以，直線的方程為，所以，直線的方程為，延長(zhǎng)交直線于點(diǎn)D，所以則，所以D，B，N三點(diǎn)共線，選項(xiàng)D正確；故選：D.10、D【解析】利用導(dǎo)數(shù)的定義可求得的值.【詳解】由導(dǎo)數(shù)的定義可得.故選：D.11、D【解析】由＝0可求解【詳解】由題意，故選：D12、D【解析】先求拋物線的方程，再聯(lián)立直線方程和拋物線方程，由弦長(zhǎng)公式可求的最小值.【詳解】因?yàn)橹本€為拋物線的準(zhǔn)線，故即，故拋物線方程為：.設(shè)直線，則，，而，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立，故的最小值為8，故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、②④【解析】由已知可得，可求，，從而判斷①②，求出△的面積可判斷③，設(shè)，，利用面積求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再求邊長(zhǎng)，求出可判斷④【詳解】解：設(shè)，，，，可得，，兩式相減可得，由題意可得，且，，，，，，故②正確；的焦點(diǎn)到漸近線的距離為1，設(shè)到漸近線的距離為，則，即，，故①錯(cuò)誤，，若，不妨設(shè)在右支上，，又，，則的面積為，故③不正確；設(shè)，，，，將代入雙曲線，得，，根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性，不妨取點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，，，為鈍角，為鈍角三角形．故④正確故答案為：②④14、2【解析】由離心率為，∴雙曲線為等軸雙曲線，設(shè)雙曲線方程為，可得雙曲線方程為，設(shè)，則到兩漸近線的距離為，，從而可求四邊形的面積【詳解】由離心率為，∴雙曲線為等軸雙曲線，設(shè)雙曲線方程為，又雙曲線過點(diǎn)，，∴，故雙曲線方程為，∴漸近線方程為，設(shè)，則到兩漸近線的距離為，，且，∵漸近線方程為，∴四邊形為矩形，∴四邊形的面積為故答案為：215、【解析】先通過裂項(xiàng)相消求出，再代入計(jì)算即可.【詳解】，則，故.故答案為：3.16、27【解析】設(shè)公比為，利用已知條件求出，然后根據(jù)通項(xiàng)公式可求得答案【詳解】設(shè)公比為，插入的三個(gè)數(shù)分別為，因?yàn)?，所以，得，所以，故答案為?7三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）不存在，理由見解析【解析】（1）利用垂直關(guān)系，以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求平面和平面的法向量和，利用公式，即可求解；（2）若滿足條件，，利用向量的坐標(biāo)表示，判斷是否存在點(diǎn)滿足.【小問1詳解】∵，E為BD的中點(diǎn)∴CE⊥BD，又∵平面⊥平面ABD，平面平面，⊥平面，∴⊥平面ABD，如圖以E原點(diǎn)，分別以EB、AE、EC′所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則B(1，0，0)，A(0，-，0)，D(-1，0，0)，F(xiàn)(0，-，2)，(0，0，)，∴=(-1，-，2)，=(-1，0，)，=(1，，0)，設(shè)平面的法向量為=(x，y，z)，則，取z=1，得平面的一個(gè)法向量=(，1，1)，設(shè)平面FBA的法向量為=(a，b，c)，則取b=1，得平面FBA的一個(gè)法向量為=(-，1，0)，∴設(shè)平面ABD與平面的夾角為θ，則∴平面ABD與平面夾角的余弦值為.【小問2詳解】假設(shè)在線段AD上存在M(x，y，z)，使得平面，設(shè)(0≤λ≤1)，則(x，y+，z)=(-1，，0)，即(x，y+，z)=(-λ，，0)，∴，，z=0，∴，是平面的一個(gè)法向量由∥，得，此方程無解.∴線段AD上不存點(diǎn)M，使得平面.18、（1）（2）存在【解析】（1）利用“退作差”法求得的通項(xiàng)公式.（2）利用裂項(xiàng)求和法求得，由此求得.【小問1詳解】依題意①，當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，②，①-②得，，時(shí)，上式也符合.所以.【小問2詳解】.所以.故存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意恒成立.19、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）利用余弦定理和得到關(guān)于角A的關(guān)系式，求解A（II）再結(jié)合正弦面積公式得到三角形的邊長(zhǎng)的求解【詳解】解：（Ⅰ）在△ABC中，（Ⅱ）由，得20、（1）或；（2）【解析】(1)根據(jù)題意,由橢圓的幾何性質(zhì)可得a、c的值,計(jì)算可得b的值,討論橢圓焦點(diǎn)的位置,求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,即可得答案；(2)根據(jù)題意,求出橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo),進(jìn)而可以設(shè)雙曲線的方程為,分析可得和,解可得a、b的值,即可得答案【詳解】解：（1）根據(jù)題意,要求橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6,離心率為,則,,解可得：,；則,若橢圓的焦點(diǎn)在x軸上,其方程為,若橢圓的焦點(diǎn)在y軸上,其方程為,綜合可得：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為或；（2）根據(jù)題意,橢圓的焦點(diǎn)為和,故要求雙曲線的方程為,且,則有,又由雙曲線經(jīng)過經(jīng)過點(diǎn),則有,,聯(lián)立可得：,故雙曲線方程為：【點(diǎn)睛】本題考查橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法,涉及橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題21、（1），曲線是以為焦點(diǎn)的橢圓；（2）證明見解析.【解析】（1）由題可得，即求；（2）利用斜率公式及橢圓方程計(jì)算即得.【小問1詳解】設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)題意，得，左右同時(shí)平方，得，整理得，，