度相關(guān)網(wǎng)絡(luò)下傳染病SIR模型傳播特性與仿真分析一、引言1.1研究背景與意義1.1.1研究背景在信息技術(shù)飛速發(fā)展的當(dāng)下，物聯(lián)網(wǎng)、社交網(wǎng)絡(luò)等新型網(wǎng)絡(luò)如雨后春筍般涌現(xiàn)，深刻改變著人們的交流方式與信息傳播速度。這些網(wǎng)絡(luò)中，節(jié)點(diǎn)之間的連接并非隨機(jī)，而是呈現(xiàn)出度相關(guān)性，即高度數(shù)節(jié)點(diǎn)更傾向于與高度數(shù)節(jié)點(diǎn)相連，低度數(shù)節(jié)點(diǎn)也更易與低度數(shù)節(jié)點(diǎn)連接。這種特性顯著影響信息傳播的速度和規(guī)模，使得對度相關(guān)網(wǎng)絡(luò)中信息傳播的研究至關(guān)重要。傳染病的傳播與信息傳播在一定程度上具有相似性，其在人群中的傳播過程也可類比于網(wǎng)絡(luò)中的信息擴(kuò)散。傳統(tǒng)的傳染病傳播研究多基于均勻混合的假設(shè)，然而在現(xiàn)實(shí)世界中，人群接觸網(wǎng)絡(luò)往往具有復(fù)雜的結(jié)構(gòu)，度相關(guān)性是其中一個重要特征。因此，研究傳染病在度相關(guān)網(wǎng)絡(luò)上的傳播規(guī)律，對于準(zhǔn)確理解傳染病的傳播機(jī)制、制定有效的防控策略具有重要意義。SIR模型作為經(jīng)典的傳染病傳播模型，簡潔而有力地描述了群體中感染者（Infected）、易感者（Susceptible）和康復(fù)者（Recovered）之間的動態(tài)關(guān)系。在該模型中，感染者會將疾病傳播給易感者，經(jīng)過一段時間后康復(fù)并獲得免疫。盡管SIR模型已在傳染病研究中得到廣泛應(yīng)用，但將其置于度相關(guān)網(wǎng)絡(luò)背景下進(jìn)行深入研究仍具有很大的探索空間。因為度相關(guān)網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)度數(shù)的差異，會對傳染病的傳播速度、傳播范圍和最終傳播規(guī)模產(chǎn)生重要影響。1.1.2研究意義從理論層面來看，本研究有助于完善和拓展傳染病傳播理論。通過將SIR模型與度相關(guān)網(wǎng)絡(luò)相結(jié)合，深入探究度相關(guān)性對傳染病傳播的影響機(jī)制，能夠揭示傳統(tǒng)模型在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)環(huán)境下未被發(fā)現(xiàn)的傳播規(guī)律，為傳染病傳播理論注入新的內(nèi)涵，推動該領(lǐng)域的學(xué)術(shù)研究向縱深發(fā)展。在實(shí)踐應(yīng)用方面，本研究成果對疾病防控工作具有重要的指導(dǎo)價值。準(zhǔn)確掌握傳染病在度相關(guān)網(wǎng)絡(luò)中的傳播規(guī)律，能夠幫助公共衛(wèi)生部門更加精準(zhǔn)地預(yù)測疫情發(fā)展趨勢，制定針對性更強(qiáng)的防控策略。例如，根據(jù)網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)的度相關(guān)性特征，可以確定重點(diǎn)防控對象和關(guān)鍵傳播節(jié)點(diǎn)，合理分配醫(yī)療資源，有效切斷傳播途徑，從而最大程度地降低傳染病的傳播風(fēng)險，保障公眾的健康和社會的穩(wěn)定。此外，研究成果還可應(yīng)用于計算機(jī)病毒傳播、謠言傳播等其他領(lǐng)域，為相關(guān)問題的解決提供有益的借鑒和參考。1.2國內(nèi)外研究現(xiàn)狀在傳染病傳播研究領(lǐng)域，SIR模型作為經(jīng)典模型，一直是國內(nèi)外學(xué)者關(guān)注的焦點(diǎn)。隨著復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論的興起，將SIR模型與不同類型的網(wǎng)絡(luò)相結(jié)合，探究傳染病在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)環(huán)境下的傳播規(guī)律，成為了該領(lǐng)域的重要研究方向。國外在這方面的研究起步較早，取得了一系列具有影響力的成果。Newman等學(xué)者深入研究了傳染病在無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)上的傳播行為，發(fā)現(xiàn)無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的異質(zhì)性對傳染病傳播有顯著影響，高度數(shù)節(jié)點(diǎn)在傳播過程中起到關(guān)鍵作用，其研究成果為后續(xù)在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中研究傳染病傳播奠定了基礎(chǔ)。Pastor-Satorras和Vespignani則對SIR模型在隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)上的傳播進(jìn)行了理論分析，通過建立數(shù)學(xué)模型，推導(dǎo)出傳染病傳播的閾值條件，揭示了網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)與傳染病傳播之間的內(nèi)在聯(lián)系。國內(nèi)學(xué)者在該領(lǐng)域也積極開展研究，并取得了豐碩的成果。例如，文獻(xiàn)[X]利用SIR模型研究了傳染病在社交網(wǎng)絡(luò)中的傳播，通過對實(shí)際社交網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)的分析，發(fā)現(xiàn)社交網(wǎng)絡(luò)中的社區(qū)結(jié)構(gòu)會影響傳染病的傳播速度和范圍，社區(qū)內(nèi)部的緊密聯(lián)系使得傳染病在社區(qū)內(nèi)傳播迅速，而社區(qū)之間的相對隔離則在一定程度上阻礙了傳播。文獻(xiàn)[X]則關(guān)注傳染病在交通網(wǎng)絡(luò)上的傳播，考慮到交通網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)的流動性和連接的動態(tài)性，建立了改進(jìn)的SIR模型，研究表明交通網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和流量特征對傳染病的傳播具有重要影響，合理調(diào)控交通流量可以有效減緩傳染病的傳播。然而，當(dāng)前對于SIR模型在度相關(guān)網(wǎng)絡(luò)上傳播的研究仍存在一定的局限性。一方面，現(xiàn)有的研究在度相關(guān)性的量化和建模方面還不夠完善，不同的研究采用的度相關(guān)模型存在差異，導(dǎo)致研究結(jié)果之間缺乏可比性。另一方面，大部分研究主要集中在理論分析和數(shù)值模擬上，缺乏與實(shí)際數(shù)據(jù)的緊密結(jié)合，使得研究成果在實(shí)際應(yīng)用中的有效性受到一定限制。此外，對于度相關(guān)網(wǎng)絡(luò)中多種因素相互作用對傳染病傳播的綜合影響，如網(wǎng)絡(luò)的動態(tài)演化、個體行為的異質(zhì)性等，目前的研究還不夠深入，有待進(jìn)一步探索。1.3研究內(nèi)容與方法1.3.1研究內(nèi)容本研究旨在深入探究傳染病SIR模型在度相關(guān)網(wǎng)絡(luò)上的傳播特性，通過構(gòu)建度相關(guān)網(wǎng)絡(luò)并應(yīng)用SIR模型進(jìn)行仿真分析，揭示傳染病在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)環(huán)境下的傳播規(guī)律。具體研究內(nèi)容如下：建立度相關(guān)網(wǎng)絡(luò)并分析其特征：采用合適的算法，如基于優(yōu)先連接機(jī)制的擴(kuò)展算法，構(gòu)建具有不同度相關(guān)性的網(wǎng)絡(luò)。通過理論推導(dǎo)和數(shù)值計算，分析網(wǎng)絡(luò)的基本特征和統(tǒng)計性質(zhì)，包括度分布、平均度、聚類系數(shù)、平均路徑長度等。深入研究度相關(guān)性對這些特征的影響，為后續(xù)傳染病傳播分析提供網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)。例如，通過理論推導(dǎo)發(fā)現(xiàn)，在正度相關(guān)網(wǎng)絡(luò)中，高度數(shù)節(jié)點(diǎn)傾向于相互連接，會導(dǎo)致聚類系數(shù)增大，平均路徑長度減?。欢谪?fù)度相關(guān)網(wǎng)絡(luò)中，高度數(shù)節(jié)點(diǎn)與低度數(shù)節(jié)點(diǎn)相連的概率增加，使得網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)更為分散，平均路徑長度增大。將SIR模型應(yīng)用于度相關(guān)網(wǎng)絡(luò)并探究傳播參數(shù)影響：將經(jīng)典的SIR模型應(yīng)用于所構(gòu)建的度相關(guān)網(wǎng)絡(luò)中，考慮網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)的度相關(guān)性對傳染病傳播的影響。通過調(diào)整模型中的傳播參數(shù)，如傳染概率\beta和康復(fù)概率\gamma，進(jìn)行大量的仿真實(shí)驗，觀察不同參數(shù)組合下傳染病的傳播過程。分析傳播參數(shù)的變化對疾病傳播的影響，如傳播速度、傳播范圍和最終感染規(guī)模等。例如，當(dāng)傳染概率\beta增大時，疾病的傳播速度明顯加快，在相同時間內(nèi)感染的節(jié)點(diǎn)數(shù)量增多；而康復(fù)概率\gamma增大時，感染節(jié)點(diǎn)康復(fù)的速度加快，從而抑制疾病的傳播，使最終感染規(guī)模減小。分析網(wǎng)絡(luò)規(guī)模、平均度和度相關(guān)性等因素對疾病傳播的影響：在固定傳播參數(shù)的情況下，系統(tǒng)地改變網(wǎng)絡(luò)規(guī)模、平均度和度相關(guān)性等網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)參數(shù)，研究這些因素對傳染病傳播的綜合影響。通過仿真實(shí)驗，分析不同網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)下傳染病傳播的閾值條件、傳播動力學(xué)行為以及最終傳播狀態(tài)。例如，研究發(fā)現(xiàn)隨著網(wǎng)絡(luò)規(guī)模的增大，傳染病傳播的閾值降低，疾病更容易在大規(guī)模網(wǎng)絡(luò)中傳播；平均度的增加也會促進(jìn)傳染病的傳播，因為節(jié)點(diǎn)之間的連接增多，病毒傳播的機(jī)會增加；而度相關(guān)性對傳染病傳播的影響較為復(fù)雜，正度相關(guān)網(wǎng)絡(luò)在一定程度上會加速疾病在局部區(qū)域的傳播，負(fù)度相關(guān)網(wǎng)絡(luò)則可能使傳播過程更加分散和緩慢。對疾病傳播網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行可視化分析并探究傳播規(guī)律：利用網(wǎng)絡(luò)可視化工具，如Gephi、NetworkX等，對傳染病在度相關(guān)網(wǎng)絡(luò)上的傳播過程進(jìn)行可視化展示。通過直觀地觀察傳播過程中節(jié)點(diǎn)狀態(tài)的變化和傳播路徑的擴(kuò)展，深入探究疾病傳播的規(guī)律和特征。結(jié)合可視化結(jié)果和仿真數(shù)據(jù)，分析傳染病在不同網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)和參數(shù)條件下的傳播模式，如是否存在傳播熱點(diǎn)區(qū)域、傳播路徑的偏好性等。例如，可視化結(jié)果顯示，在正度相關(guān)網(wǎng)絡(luò)中，高度數(shù)節(jié)點(diǎn)聚集的區(qū)域往往成為疾病傳播的熱點(diǎn)，病毒從這些熱點(diǎn)迅速向周邊擴(kuò)散；而在負(fù)度相關(guān)網(wǎng)絡(luò)中，傳播路徑更加分散，沒有明顯的集中傳播區(qū)域。1.3.2研究方法為實(shí)現(xiàn)上述研究內(nèi)容，本研究將綜合運(yùn)用多種研究方法，具體如下：MATLAB編程實(shí)現(xiàn)度相關(guān)網(wǎng)絡(luò)生成、SIR模型建立和仿真實(shí)驗：MATLAB具有強(qiáng)大的數(shù)值計算和矩陣處理能力，以及豐富的繪圖函數(shù)和工具箱，非常適合用于網(wǎng)絡(luò)生成、模型實(shí)現(xiàn)和仿真實(shí)驗。利用MATLAB的隨機(jī)數(shù)生成函數(shù)和矩陣運(yùn)算函數(shù)，實(shí)現(xiàn)度相關(guān)網(wǎng)絡(luò)的生成算法，根據(jù)不同的度相關(guān)性要求構(gòu)建相應(yīng)的網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)?；贛ATLAB的面向?qū)ο缶幊烫匦?，建立SIR模型的數(shù)學(xué)表達(dá)式，并將其轉(zhuǎn)化為可執(zhí)行的代碼。通過編寫循環(huán)語句和條件判斷語句，實(shí)現(xiàn)傳染病在度相關(guān)網(wǎng)絡(luò)上的傳播過程的仿真模擬。在仿真過程中，記錄不同時刻節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)信息和傳播參數(shù)，為后續(xù)數(shù)據(jù)分析提供數(shù)據(jù)支持。例如，使用MATLAB的rand函數(shù)生成隨機(jī)數(shù)，用于確定節(jié)點(diǎn)之間的連接概率和傳染病傳播過程中的隨機(jī)事件；利用矩陣存儲網(wǎng)絡(luò)的鄰接關(guān)系和節(jié)點(diǎn)狀態(tài)，通過矩陣運(yùn)算實(shí)現(xiàn)節(jié)點(diǎn)之間的信息傳遞和狀態(tài)更新?；赑ython進(jìn)行數(shù)據(jù)處理和可視化分析：Python擁有豐富的數(shù)據(jù)處理和可視化庫，如Pandas、NumPy、Matplotlib和Seaborn等，能夠高效地對仿真實(shí)驗得到的數(shù)據(jù)進(jìn)行處理、分析和可視化展示。使用Pandas庫讀取MATLAB生成的仿真數(shù)據(jù)文件，對數(shù)據(jù)進(jìn)行清洗、整理和預(yù)處理，去除異常值和重復(fù)數(shù)據(jù)，確保數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性和完整性。利用NumPy庫進(jìn)行數(shù)值計算，如計算傳播過程中的各種統(tǒng)計量，如平均感染時間、最終感染比例等。借助Matplotlib和Seaborn庫，繪制折線圖、柱狀圖、散點(diǎn)圖和熱力圖等多種可視化圖表，直觀地展示傳染病傳播的動態(tài)過程、傳播參數(shù)的影響以及網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)因素與傳播結(jié)果之間的關(guān)系。例如，使用Matplotlib的plot函數(shù)繪制傳染病傳播過程中易感者、感染者和康復(fù)者數(shù)量隨時間的變化曲線；利用Seaborn的heatmap函數(shù)繪制不同傳播參數(shù)和網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)下最終感染規(guī)模的熱力圖，清晰地展示各因素之間的交互作用對傳播結(jié)果的影響。通過Python的數(shù)據(jù)分析和可視化功能，能夠深入挖掘仿真數(shù)據(jù)中的信息，為研究傳染病在度相關(guān)網(wǎng)絡(luò)上的傳播規(guī)律提供有力的支持。二、相關(guān)理論基礎(chǔ)2.1SIR模型原理2.1.1SIR模型基本假設(shè)SIR模型是一種經(jīng)典的傳染病傳播模型，其核心在于對人群狀態(tài)的劃分以及狀態(tài)轉(zhuǎn)移的假設(shè)。在SIR模型中，將人群劃分為以下三類：易感者（Susceptible，簡稱S）：這類人群尚未感染傳染病，但由于缺乏對該疾病的免疫力，一旦與感染者接觸，就有被感染的風(fēng)險。例如，在流感爆發(fā)季節(jié)，那些未接種流感疫苗且之前未感染過流感病毒的人，就屬于易感者群體。感染者（Infected，簡稱I）：已經(jīng)感染了傳染病的個體，他們能夠?qū)⒉《緜鞑ソo易感者。以新冠疫情為例，確診感染新冠病毒的患者就是感染者，他們在潛伏期和發(fā)病期都可能具有傳染性，通過飛沫傳播、接觸傳播等方式將病毒傳播給周圍的易感人群?？祻?fù)者（Recovered，簡稱R）：曾經(jīng)感染過傳染病，但經(jīng)過治療或自身免疫系統(tǒng)的作用后康復(fù)的人群?？祻?fù)者通常獲得了對該疾病的免疫力，在一段時間內(nèi)不會再次感染相同的傳染病。比如，感染麻疹后康復(fù)的人，一般會終身免疫，不會再次感染麻疹。SIR模型假設(shè)在疾病傳播過程中，人口總數(shù)保持不變，即不考慮人口的出生、死亡以及遷移等因素。并且認(rèn)為易感者、感染者和康復(fù)者的比例之和始終為1。易感者與感染者之間存在一定的接觸率，單位時間內(nèi)，一個感染者能傳染的易感者數(shù)目與易感者總數(shù)成正比，比例系數(shù)為\beta，稱為傳染率。感染者在單位時間內(nèi)康復(fù)的人數(shù)與感染者數(shù)量成正比，比例系數(shù)為\gamma，稱為康復(fù)率。2.1.2SIR模型數(shù)學(xué)表達(dá)式基于上述基本假設(shè)，SIR模型可以用以下一組微分方程來描述：\frac{dS(t)}{dt}=-\betaS(t)I(t)\frac{dI(t)}{dt}=\betaS(t)I(t)-\gammaI(t)\frac{dR(t)}{dt}=\gammaI(t)其中，S(t)、I(t)和R(t)分別表示在時刻t時易感者、感染者和康復(fù)者的數(shù)量。\frac{dS(t)}{dt}表示易感者數(shù)量隨時間的變化率，由于易感者與感染者接觸后會被感染，所以其變化率為負(fù)，與\betaS(t)I(t)成正比。\frac{dI(t)}{dt}表示感染者數(shù)量隨時間的變化率，它等于新感染的人數(shù)（\betaS(t)I(t)）減去康復(fù)的人數(shù)（\gammaI(t)）。\frac{dR(t)}{dt}表示康復(fù)者數(shù)量隨時間的變化率，與感染者康復(fù)的人數(shù)（\gammaI(t)）成正比。通過對這組微分方程的求解，可以得到S(t)、I(t)和R(t)隨時間t的變化曲線，從而分析傳染病的傳播過程和趨勢。然而，這組非線性微分方程通常沒有解析解，需要借助數(shù)值計算方法，如歐拉法、龍格-庫塔法等進(jìn)行求解。在實(shí)際應(yīng)用中，還需要根據(jù)具體的傳染病數(shù)據(jù)，估計出傳染率\beta和康復(fù)率\gamma的值，以便更準(zhǔn)確地模擬傳染病的傳播。2.1.3SIR模型在傳染病傳播中的應(yīng)用案例SIR模型在傳染病傳播研究中有著廣泛的應(yīng)用，許多實(shí)際的傳染病案例都可以借助該模型進(jìn)行分析和預(yù)測。在流感傳播研究方面，學(xué)者們利用SIR模型對流感的季節(jié)性流行進(jìn)行了深入分析。通過收集歷史上不同地區(qū)流感爆發(fā)期間的易感者、感染者和康復(fù)者數(shù)量數(shù)據(jù)，結(jié)合當(dāng)?shù)氐娜丝诿芏?、社交活動等因素，估計出SIR模型中的參數(shù)\beta和\gamma。例如，在對某城市流感季節(jié)的研究中，通過對醫(yī)院就診數(shù)據(jù)、社區(qū)衛(wèi)生調(diào)查數(shù)據(jù)的整理和分析，確定了該城市流感的傳染率\beta和康復(fù)率\gamma。利用這些參數(shù)構(gòu)建SIR模型，成功預(yù)測了流感在該城市的傳播趨勢，包括感染人數(shù)的峰值出現(xiàn)時間、感染規(guī)模等。研究結(jié)果表明，在流感季節(jié)初期，由于易感人群較多，且人們的社交活動較為頻繁，傳染率\beta較高，感染人數(shù)迅速上升；隨著感染人數(shù)的增加，康復(fù)人數(shù)也逐漸增多，康復(fù)率\gamma的作用逐漸顯現(xiàn)，當(dāng)康復(fù)人數(shù)超過新感染人數(shù)時，感染人數(shù)開始下降，最終疫情得到控制。這為公共衛(wèi)生部門制定流感防控策略提供了重要的依據(jù)，如提前儲備流感疫苗、加強(qiáng)流感監(jiān)測和預(yù)警、宣傳流感預(yù)防知識等。麻疹作為一種具有高度傳染性的疾病，其傳播過程也可以通過SIR模型進(jìn)行有效研究。在一些疫苗接種率較低的地區(qū)，麻疹疫情時有發(fā)生。通過應(yīng)用SIR模型，研究人員可以分析麻疹在人群中的傳播機(jī)制和影響因素。例如，考慮到人群的年齡結(jié)構(gòu)、疫苗接種情況以及社交接觸模式等因素對麻疹傳播的影響，對SIR模型進(jìn)行適當(dāng)?shù)臄U(kuò)展和改進(jìn)。在一個特定的社區(qū)中，通過對不同年齡段人群的麻疹感染數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)兒童由于免疫系統(tǒng)尚未完全發(fā)育，且在學(xué)校等場所接觸機(jī)會較多，是麻疹的主要易感人群。利用SIR模型模擬不同疫苗接種策略下麻疹的傳播情況，結(jié)果顯示，提高兒童的麻疹疫苗接種率可以顯著降低麻疹的傳播風(fēng)險，減少感染人數(shù)。這為衛(wèi)生部門制定麻疹疫苗接種計劃和防控措施提供了科學(xué)的指導(dǎo)，如開展麻疹疫苗查漏補(bǔ)種工作、加強(qiáng)對學(xué)校等重點(diǎn)場所的疫情防控等。二、相關(guān)理論基礎(chǔ)2.2度相關(guān)網(wǎng)絡(luò)特性2.2.1度相關(guān)網(wǎng)絡(luò)定義與概念度相關(guān)性是復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中一個重要的特性，它描述了網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)度數(shù)之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系。在度相關(guān)網(wǎng)絡(luò)中，節(jié)點(diǎn)的連接并非完全隨機(jī)，而是存在一定的傾向性。具體來說，度相關(guān)性可分為正度相關(guān)和負(fù)度相關(guān)兩種情況。在正度相關(guān)網(wǎng)絡(luò)中，高度數(shù)節(jié)點(diǎn)（即與較多其他節(jié)點(diǎn)相連的節(jié)點(diǎn)）更傾向于與其他高度數(shù)節(jié)點(diǎn)連接，低度數(shù)節(jié)點(diǎn)也更易與低度數(shù)節(jié)點(diǎn)相連。例如，在一些社交網(wǎng)絡(luò)中，影響力較大、粉絲眾多的用戶（類似于高度數(shù)節(jié)點(diǎn)）往往會相互關(guān)注，形成緊密的連接；而普通用戶（低度數(shù)節(jié)點(diǎn)）之間的互動也更為頻繁。這種正度相關(guān)的連接模式使得網(wǎng)絡(luò)呈現(xiàn)出一種聚集的結(jié)構(gòu)，相似度數(shù)的節(jié)點(diǎn)聚集在一起，形成相對密集的子網(wǎng)絡(luò)。與之相反，在負(fù)度相關(guān)網(wǎng)絡(luò)中，高度數(shù)節(jié)點(diǎn)更傾向于與低度數(shù)節(jié)點(diǎn)連接。以電力傳輸網(wǎng)絡(luò)為例，大型發(fā)電站（高度數(shù)節(jié)點(diǎn)）需要將電力傳輸?shù)奖姸喾稚⒌男⌒陀脩艚K端（低度數(shù)節(jié)點(diǎn)），因此它們之間存在著大量的連接。這種負(fù)度相關(guān)的結(jié)構(gòu)使得網(wǎng)絡(luò)更加分散，不同度數(shù)的節(jié)點(diǎn)相互交織，形成一種較為均勻的連接模式。度相關(guān)性的存在對網(wǎng)絡(luò)的許多性質(zhì)和功能產(chǎn)生重要影響。在信息傳播方面，正度相關(guān)網(wǎng)絡(luò)中，信息在高度數(shù)節(jié)點(diǎn)聚集的區(qū)域傳播速度較快，但可能局限在這些局部區(qū)域，難以迅速擴(kuò)散到整個網(wǎng)絡(luò)；而在負(fù)度相關(guān)網(wǎng)絡(luò)中，信息能夠通過高度數(shù)節(jié)點(diǎn)與低度數(shù)節(jié)點(diǎn)的連接，更廣泛地傳播到網(wǎng)絡(luò)的各個部分。在傳染病傳播領(lǐng)域，度相關(guān)性也會影響疾病的傳播速度、范圍和最終的傳播規(guī)模。理解度相關(guān)網(wǎng)絡(luò)的定義和概念，對于深入研究傳染病在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上的傳播機(jī)制具有重要的基礎(chǔ)作用。2.2.2度相關(guān)網(wǎng)絡(luò)的統(tǒng)計特征度相關(guān)網(wǎng)絡(luò)具有一系列獨(dú)特的統(tǒng)計特征，這些特征能夠幫助我們更好地理解網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)。以下是一些常見的統(tǒng)計特征及其計算方式：度分布：度分布是描述網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)度數(shù)分布情況的重要特征。它表示網(wǎng)絡(luò)中具有不同度數(shù)的節(jié)點(diǎn)所占的比例。對于一個包含N個節(jié)點(diǎn)的網(wǎng)絡(luò)，若節(jié)點(diǎn)i的度數(shù)為k_i，則度分布P(k)定義為度數(shù)為k的節(jié)點(diǎn)在網(wǎng)絡(luò)中出現(xiàn)的概率，即P(k)=\frac{n_k}{N}，其中n_k是度數(shù)為k的節(jié)點(diǎn)數(shù)量。在隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)中，度分布通常服從泊松分布，大多數(shù)節(jié)點(diǎn)的度數(shù)集中在平均值附近；而在許多實(shí)際的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中，如無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)，度分布呈現(xiàn)冪律分布，即P(k)\simk^{-\gamma}，其中\(zhòng)gamma是冪律指數(shù)，這種分布表明網(wǎng)絡(luò)中存在少量的高度數(shù)節(jié)點(diǎn)（樞紐節(jié)點(diǎn)）和大量的低度數(shù)節(jié)點(diǎn)。平均度：平均度是網(wǎng)絡(luò)中所有節(jié)點(diǎn)度數(shù)的平均值，它反映了網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)連接的平均緊密程度。平均度\langlek\rangle的計算公式為\langlek\rangle=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}k_i，其中N是節(jié)點(diǎn)總數(shù)，k_i是節(jié)點(diǎn)i的度數(shù)。平均度越大，說明網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)之間的連接越緊密，信息傳播或傳染病傳播的機(jī)會也就越多。聚集系數(shù)：聚集系數(shù)用于衡量網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)的聚集程度，即節(jié)點(diǎn)的鄰居節(jié)點(diǎn)之間相互連接的緊密程度。對于節(jié)點(diǎn)i，其聚集系數(shù)C_i的計算方式為：若節(jié)點(diǎn)i的度數(shù)為k_i，它的k_i個鄰居節(jié)點(diǎn)之間實(shí)際存在的邊數(shù)為E_i，則C_i=\frac{2E_i}{k_i(k_i-1)}。整個網(wǎng)絡(luò)的聚集系數(shù)C是所有節(jié)點(diǎn)聚集系數(shù)的平均值，即C=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}C_i。聚集系數(shù)的值介于0和1之間，值越接近1，表示網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)的聚集程度越高，節(jié)點(diǎn)的鄰居節(jié)點(diǎn)之間相互連接的可能性越大；值越接近0，則表示網(wǎng)絡(luò)的聚集程度越低，節(jié)點(diǎn)的鄰居節(jié)點(diǎn)之間相互連接的可能性越小。在正度相關(guān)網(wǎng)絡(luò)中，由于高度數(shù)節(jié)點(diǎn)傾向于相互連接，往往會導(dǎo)致聚集系數(shù)增大；而在負(fù)度相關(guān)網(wǎng)絡(luò)中，節(jié)點(diǎn)連接的分散性使得聚集系數(shù)相對較小。平均路徑長度：平均路徑長度是指網(wǎng)絡(luò)中任意兩個節(jié)點(diǎn)之間最短路徑長度的平均值，它反映了網(wǎng)絡(luò)中信息傳播或物質(zhì)傳輸?shù)男?。對于?jié)點(diǎn)i和節(jié)點(diǎn)j，它們之間的最短路徑長度d_{ij}是連接這兩個節(jié)點(diǎn)的最少邊數(shù)。網(wǎng)絡(luò)的平均路徑長度L的計算公式為L=\frac{2}{N(N-1)}\sum_{1\leqi\ltj\leqN}d_{ij}。平均路徑長度越短，說明網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)之間的距離越近，信息或物質(zhì)能夠更快速地在節(jié)點(diǎn)之間傳播；反之，平均路徑長度越長，則表示節(jié)點(diǎn)之間的距離較遠(yuǎn)，傳播效率較低。在度相關(guān)網(wǎng)絡(luò)中，度相關(guān)性會影響網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，進(jìn)而對平均路徑長度產(chǎn)生影響。例如，正度相關(guān)網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)的聚集結(jié)構(gòu)可能會使局部區(qū)域內(nèi)的平均路徑長度較短，但在整個網(wǎng)絡(luò)范圍內(nèi)，由于不同聚集區(qū)域之間的連接相對稀疏，可能導(dǎo)致平均路徑長度有所增加；而負(fù)度相關(guān)網(wǎng)絡(luò)中不同度數(shù)節(jié)點(diǎn)的均勻連接模式，可能使平均路徑長度相對較為穩(wěn)定。這些統(tǒng)計特征相互關(guān)聯(lián)，共同刻畫了度相關(guān)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)和特性。通過對這些特征的分析，我們能夠深入了解網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，為研究傳染病在度相關(guān)網(wǎng)絡(luò)上的傳播提供重要的理論依據(jù)。2.2.3常見的度相關(guān)網(wǎng)絡(luò)模型在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)研究中，為了更好地理解和分析網(wǎng)絡(luò)的性質(zhì)與行為，學(xué)者們提出了多種度相關(guān)網(wǎng)絡(luò)模型。這些模型各具特點(diǎn)，能夠模擬不同實(shí)際場景下的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。以下是一些常見的度相關(guān)網(wǎng)絡(luò)模型：ER隨機(jī)圖：ER隨機(jī)圖是由匈牙利數(shù)學(xué)家厄多斯（Erd?s）和雷尼（Rényi）于1959年提出的一種簡單的隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)模型。在ER隨機(jī)圖中，給定N個節(jié)點(diǎn)，任意兩個節(jié)點(diǎn)之間以概率p連接，節(jié)點(diǎn)之間的連接是完全隨機(jī)的。其度分布服從泊松分布，大多數(shù)節(jié)點(diǎn)的度數(shù)接近平均度，網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)相對均勻，不存在明顯的高度數(shù)節(jié)點(diǎn)或低度數(shù)節(jié)點(diǎn)的聚集現(xiàn)象，即度相關(guān)性不顯著。這種模型在早期的網(wǎng)絡(luò)研究中被廣泛應(yīng)用，為后續(xù)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型的發(fā)展奠定了基礎(chǔ)，但由于其過于簡單的連接規(guī)則，與許多實(shí)際網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)存在較大差異。WS小世界網(wǎng)絡(luò)：WS小世界網(wǎng)絡(luò)是由瓦茨（Watts）和斯托加茨（Strogatz）于1998年提出的一種介于規(guī)則網(wǎng)絡(luò)和隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)之間的網(wǎng)絡(luò)模型。它的構(gòu)建過程通常是從一個規(guī)則的環(huán)形網(wǎng)絡(luò)開始，然后以一定的概率p對每條邊進(jìn)行隨機(jī)重連。在小世界網(wǎng)絡(luò)中，大部分節(jié)點(diǎn)與相鄰節(jié)點(diǎn)相連，形成局部的緊密連接，同時存在少量的長程連接（捷徑），使得網(wǎng)絡(luò)中的任意兩個節(jié)點(diǎn)之間的平均最短路徑長度很短，具有明顯的小世界特性。其度分布介于正態(tài)分布和冪律分布之間，度相關(guān)性相對較弱。小世界網(wǎng)絡(luò)能夠較好地描述一些實(shí)際系統(tǒng)，如社會網(wǎng)絡(luò)中人們之間的社交關(guān)系，既存在局部的緊密社區(qū)，又通過少數(shù)的長程連接與其他社區(qū)相連。BA無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)：BA無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)是由巴拉巴西（Barabási）和阿爾伯特（Albert）于1999年提出的一種具有高度非均勻度分布的網(wǎng)絡(luò)模型。其構(gòu)建基于兩個重要原則：增長和優(yōu)先連接。在網(wǎng)絡(luò)增長過程中，新節(jié)點(diǎn)不斷加入網(wǎng)絡(luò)，并優(yōu)先與網(wǎng)絡(luò)中度數(shù)較高的節(jié)點(diǎn)連接。這種機(jī)制導(dǎo)致網(wǎng)絡(luò)中出現(xiàn)少數(shù)度數(shù)極高的樞紐節(jié)點(diǎn)，而大多數(shù)節(jié)點(diǎn)的度數(shù)相對較低，節(jié)點(diǎn)的度數(shù)服從冪律分布P(k)\simk^{-\gamma}，其中\(zhòng)gamma通常在2到3之間。BA無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)具有很強(qiáng)的正度相關(guān)性，高度數(shù)節(jié)點(diǎn)傾向于相互連接，在許多實(shí)際網(wǎng)絡(luò)中，如互聯(lián)網(wǎng)、萬維網(wǎng)、社交網(wǎng)絡(luò)等，都呈現(xiàn)出無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的特征，樞紐節(jié)點(diǎn)在信息傳播、資源分配等方面起著關(guān)鍵作用。基于偏好連接的擴(kuò)展模型：為了更好地模擬具有不同度相關(guān)性的網(wǎng)絡(luò)，一些基于偏好連接的擴(kuò)展模型被提出。例如，在傳統(tǒng)BA模型的基礎(chǔ)上，通過引入額外的參數(shù)來調(diào)整節(jié)點(diǎn)連接的偏好程度，使得網(wǎng)絡(luò)能夠呈現(xiàn)出不同程度的正度相關(guān)或負(fù)度相關(guān)。這些擴(kuò)展模型可以根據(jù)實(shí)際需求，靈活地調(diào)整網(wǎng)絡(luò)的度相關(guān)性和其他結(jié)構(gòu)特征，更準(zhǔn)確地模擬各種復(fù)雜的現(xiàn)實(shí)網(wǎng)絡(luò)。這些常見的度相關(guān)網(wǎng)絡(luò)模型為研究傳染病在不同網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)上的傳播提供了多樣化的工具。通過選擇合適的網(wǎng)絡(luò)模型，能夠更深入地探究度相關(guān)性對傳染病傳播的影響，揭示復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)環(huán)境下傳染病傳播的規(guī)律和機(jī)制。三、傳染病SIR模型在度相關(guān)網(wǎng)絡(luò)上的傳播原理3.1傳播過程描述3.1.1易感者、感染者和康復(fù)者在度相關(guān)網(wǎng)絡(luò)中的狀態(tài)變化在度相關(guān)網(wǎng)絡(luò)中，傳染病的傳播涉及易感者、感染者和康復(fù)者三類人群狀態(tài)的動態(tài)變化，這種變化與網(wǎng)絡(luò)的度相關(guān)性密切相關(guān)。初始階段，網(wǎng)絡(luò)中的大部分節(jié)點(diǎn)處于易感狀態(tài)，即這些節(jié)點(diǎn)代表的個體尚未感染傳染病，但具有被感染的可能性。此時，網(wǎng)絡(luò)中僅有極少數(shù)節(jié)點(diǎn)為感染者，它們成為傳染病傳播的源頭。例如，在一個模擬的社交網(wǎng)絡(luò)中，最初可能只有個別活躍用戶（高度數(shù)節(jié)點(diǎn)）或少數(shù)普通用戶（低度數(shù)節(jié)點(diǎn)）感染了病毒。隨著時間的推移，傳播過程開始。由于度相關(guān)性的存在，不同度數(shù)節(jié)點(diǎn)的傳播情況有所不同。在正度相關(guān)網(wǎng)絡(luò)中，高度數(shù)節(jié)點(diǎn)傾向于與其他高度數(shù)節(jié)點(diǎn)連接。這意味著，當(dāng)一個高度數(shù)節(jié)點(diǎn)成為感染者時，它會迅速將病毒傳播給周圍同樣是高度數(shù)的節(jié)點(diǎn)。因為高度數(shù)節(jié)點(diǎn)具有較多的連接邊，所以它們能夠在短時間內(nèi)接觸到大量的易感者，從而加速傳染病在高度數(shù)節(jié)點(diǎn)聚集區(qū)域的傳播。例如，在一個明星社交圈（可看作正度相關(guān)網(wǎng)絡(luò)中的高度數(shù)節(jié)點(diǎn)聚集區(qū)）中，若有一位明星感染了傳染病，由于明星之間的緊密聯(lián)系和頻繁互動，病毒很容易在這個小圈子里快速傳播開來。而在低度數(shù)節(jié)點(diǎn)區(qū)域，雖然節(jié)點(diǎn)之間的連接較少，但由于低度數(shù)節(jié)點(diǎn)也傾向于與低度數(shù)節(jié)點(diǎn)相連，它們之間的傳播也在相對緩慢地進(jìn)行。不過，由于低度數(shù)節(jié)點(diǎn)的傳播范圍有限，其對整體傳播的影響相對較小。在負(fù)度相關(guān)網(wǎng)絡(luò)中，傳播模式則有所不同。高度數(shù)節(jié)點(diǎn)更傾向于與低度數(shù)節(jié)點(diǎn)連接，這使得傳染病能夠迅速從高度數(shù)節(jié)點(diǎn)傳播到低度數(shù)節(jié)點(diǎn)，從而更廣泛地擴(kuò)散到整個網(wǎng)絡(luò)。例如，在一個城市的交通網(wǎng)絡(luò)（可看作負(fù)度相關(guān)網(wǎng)絡(luò)）中，交通樞紐（高度數(shù)節(jié)點(diǎn)）與眾多分散的小區(qū)（低度數(shù)節(jié)點(diǎn)）相連。當(dāng)傳染病在交通樞紐出現(xiàn)時，它會通過交通線路快速傳播到各個小區(qū)，使得病毒在城市中迅速擴(kuò)散。在傳播過程中，感染者會以一定的康復(fù)概率轉(zhuǎn)變?yōu)榭祻?fù)者。一旦節(jié)點(diǎn)進(jìn)入康復(fù)狀態(tài)，它將不再參與傳染病的傳播，并獲得對該疾病的免疫力。康復(fù)者的數(shù)量逐漸增加，而感染者的數(shù)量則會隨著時間的推移和康復(fù)者的增多而逐漸減少。當(dāng)大部分感染者都康復(fù)后，傳染病的傳播逐漸得到控制，最終整個網(wǎng)絡(luò)中的感染人數(shù)趨于穩(wěn)定。這種易感者、感染者和康復(fù)者在度相關(guān)網(wǎng)絡(luò)中的狀態(tài)變化，受到網(wǎng)絡(luò)度相關(guān)性、節(jié)點(diǎn)度數(shù)以及傳播參數(shù)（如傳染概率和康復(fù)概率）等多種因素的綜合影響，呈現(xiàn)出復(fù)雜的傳播動力學(xué)行為。3.1.2傳播過程中的接觸機(jī)制在度相關(guān)網(wǎng)絡(luò)中，傳染病傳播的接觸機(jī)制是理解傳播過程的關(guān)鍵。節(jié)點(diǎn)之間的接觸概率并非完全隨機(jī)，而是與節(jié)點(diǎn)的度數(shù)以及度相關(guān)性密切相關(guān)。對于度相關(guān)網(wǎng)絡(luò)中的任意兩個節(jié)點(diǎn)i和j，它們之間存在連接的概率可以表示為p_{ij}。在正度相關(guān)網(wǎng)絡(luò)中，高度數(shù)節(jié)點(diǎn)i（度數(shù)為k_i）與另一個高度數(shù)節(jié)點(diǎn)j（度數(shù)為k_j）相連的概率p_{ij}相對較高。這是因為在正度相關(guān)網(wǎng)絡(luò)的形成機(jī)制中，高度數(shù)節(jié)點(diǎn)更傾向于吸引其他高度數(shù)節(jié)點(diǎn)與之連接。例如，在一個學(xué)術(shù)合作網(wǎng)絡(luò)中，著名學(xué)者（高度數(shù)節(jié)點(diǎn)）往往更容易與其他著名學(xué)者建立合作關(guān)系，他們之間的合作概率（類似于接觸概率）明顯高于普通學(xué)者之間的合作概率。這種連接概率的增加，使得傳染病在高度數(shù)節(jié)點(diǎn)之間傳播的機(jī)會增大。當(dāng)一個高度數(shù)節(jié)點(diǎn)感染傳染病后，它能夠通過這些高概率的連接迅速將病毒傳播給其他高度數(shù)節(jié)點(diǎn)，進(jìn)而在高度數(shù)節(jié)點(diǎn)聚集的區(qū)域引發(fā)快速傳播。相反，在負(fù)度相關(guān)網(wǎng)絡(luò)中，高度數(shù)節(jié)點(diǎn)i與低度數(shù)節(jié)點(diǎn)j相連的概率p_{ij}較大。以供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)為例，大型供應(yīng)商（高度數(shù)節(jié)點(diǎn)）通常會與眾多小型零售商（低度數(shù)節(jié)點(diǎn)）建立業(yè)務(wù)聯(lián)系。在這種網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)下，當(dāng)傳染病在大型供應(yīng)商處出現(xiàn)時，由于其與小型零售商之間的高連接概率，病毒很容易通過這些連接傳播到各個小型零售商，從而實(shí)現(xiàn)傳染病在整個網(wǎng)絡(luò)中的廣泛擴(kuò)散。節(jié)點(diǎn)的度數(shù)也直接影響其與其他節(jié)點(diǎn)的接觸機(jī)會。度數(shù)越高的節(jié)點(diǎn)，與其他節(jié)點(diǎn)的連接邊越多，也就意味著它有更多的機(jī)會接觸到不同的節(jié)點(diǎn)。在傳染病傳播過程中，這使得高度數(shù)節(jié)點(diǎn)更容易將病毒傳播給更多的易感者。例如，在一個社交網(wǎng)絡(luò)中，擁有大量粉絲的網(wǎng)紅（高度數(shù)節(jié)點(diǎn)）每天會與眾多粉絲（其他節(jié)點(diǎn)）進(jìn)行互動，一旦網(wǎng)紅感染傳染病，其粉絲被感染的風(fēng)險就會大大增加。度相關(guān)性對接觸機(jī)制的影響還體現(xiàn)在網(wǎng)絡(luò)的局部結(jié)構(gòu)上。在正度相關(guān)網(wǎng)絡(luò)中，高度數(shù)節(jié)點(diǎn)的聚集形成了緊密的子網(wǎng)絡(luò)，子網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部節(jié)點(diǎn)之間的接觸概率較高，傳染病在子網(wǎng)絡(luò)內(nèi)傳播迅速；而子網(wǎng)絡(luò)之間的連接相對較少，傳播到其他子網(wǎng)絡(luò)的速度相對較慢。在負(fù)度相關(guān)網(wǎng)絡(luò)中，高度數(shù)節(jié)點(diǎn)與低度數(shù)節(jié)點(diǎn)的均勻連接使得網(wǎng)絡(luò)的局部結(jié)構(gòu)相對較為分散，傳染病能夠更均勻地在網(wǎng)絡(luò)中傳播，沒有明顯的傳播熱點(diǎn)區(qū)域。這種與度相關(guān)性和節(jié)點(diǎn)度數(shù)相關(guān)的接觸機(jī)制，使得傳染病在度相關(guān)網(wǎng)絡(luò)上的傳播呈現(xiàn)出獨(dú)特的模式和特征，深入理解這一機(jī)制對于研究傳染病的傳播規(guī)律和制定有效的防控策略具有重要意義。三、傳染病SIR模型在度相關(guān)網(wǎng)絡(luò)上的傳播原理3.2傳播參數(shù)對傳播的影響3.2.1傳染概率對傳播的影響傳染概率\beta是SIR模型中一個關(guān)鍵的傳播參數(shù)，它直接決定了易感者與感染者接觸后被感染的可能性大小，對傳染病在度相關(guān)網(wǎng)絡(luò)上的傳播速度和范圍有著至關(guān)重要的影響。當(dāng)傳染概率\beta增大時，在度相關(guān)網(wǎng)絡(luò)中，傳染病的傳播速度會顯著加快。這是因為較高的傳染概率意味著每個感染者在單位時間內(nèi)能夠?qū)⒉《緜鞑ソo更多的易感者。在正度相關(guān)網(wǎng)絡(luò)中，高度數(shù)節(jié)點(diǎn)之間原本就具有緊密的連接，當(dāng)\beta增大時，高度數(shù)節(jié)點(diǎn)感染后，能以更高的概率將病毒傳播給周圍同樣是高度數(shù)的節(jié)點(diǎn)，使得傳染病在高度數(shù)節(jié)點(diǎn)聚集區(qū)域迅速擴(kuò)散。例如，在一個社交網(wǎng)絡(luò)中，如果傳染概率較高，一位社交廣泛的網(wǎng)紅（高度數(shù)節(jié)點(diǎn)）感染傳染病后，其眾多的粉絲（與之相連的節(jié)點(diǎn)）被感染的可能性就會大大增加，從而導(dǎo)致疾病在短時間內(nèi)快速傳播到網(wǎng)絡(luò)的各個角落。在負(fù)度相關(guān)網(wǎng)絡(luò)中，高度數(shù)節(jié)點(diǎn)與低度數(shù)節(jié)點(diǎn)的連接使得病毒傳播范圍更廣。隨著\beta的增大，高度數(shù)節(jié)點(diǎn)更容易將病毒傳播給低度數(shù)節(jié)點(diǎn)，進(jìn)而使傳染病在整個網(wǎng)絡(luò)中快速蔓延。以城市交通網(wǎng)絡(luò)為例，交通樞紐（高度數(shù)節(jié)點(diǎn)）與眾多小區(qū)（低度數(shù)節(jié)點(diǎn)）相連，當(dāng)傳染概率提高時，一旦交通樞紐出現(xiàn)感染者，病毒會迅速通過交通線路傳播到各個小區(qū)，使更多的人被感染。從傳播范圍來看，傳染概率\beta的增大也會導(dǎo)致傳染病的傳播范圍擴(kuò)大。在相同的時間內(nèi)，更多的易感者會被感染，使得疾病能夠傳播到網(wǎng)絡(luò)中原本相對較難到達(dá)的區(qū)域。這是因為較高的傳染概率增加了病毒在節(jié)點(diǎn)之間傳播的機(jī)會，即使是那些連接相對稀疏的節(jié)點(diǎn)，也有更大的可能性被感染，從而擴(kuò)大了傳染病的傳播范圍。相反，當(dāng)傳染概率\beta減小時，傳染病的傳播速度會明顯減緩。在度相關(guān)網(wǎng)絡(luò)中，感染者傳播病毒的能力減弱，單位時間內(nèi)被感染的易感者數(shù)量減少。在正度相關(guān)網(wǎng)絡(luò)中，高度數(shù)節(jié)點(diǎn)之間的傳播速度變慢，傳染病在高度數(shù)節(jié)點(diǎn)聚集區(qū)域的擴(kuò)散受到抑制；在負(fù)度相關(guān)網(wǎng)絡(luò)中，高度數(shù)節(jié)點(diǎn)向低度數(shù)節(jié)點(diǎn)傳播病毒的概率降低，疾病的傳播范圍也會相應(yīng)縮小。例如，在采取嚴(yán)格的防控措施后，如加強(qiáng)社交距離、佩戴口罩等，傳染概率降低，傳染病的傳播速度明顯下降，感染人數(shù)的增長趨勢得到有效控制。通過大量的仿真實(shí)驗，可以更直觀地觀察傳染概率\beta對傳染病傳播的影響。在固定其他參數(shù)的情況下，分別設(shè)置不同的傳染概率值，如\beta=0.1、\beta=0.3、\beta=0.5等，對傳染病在度相關(guān)網(wǎng)絡(luò)上的傳播過程進(jìn)行模擬。實(shí)驗結(jié)果表明，隨著\beta的增大，感染人數(shù)曲線上升的速度更快，達(dá)到峰值的時間更短，且最終感染的節(jié)點(diǎn)比例更高；而當(dāng)\beta減小時，感染人數(shù)曲線上升緩慢，峰值出現(xiàn)的時間延遲，最終感染的節(jié)點(diǎn)比例也較低。這進(jìn)一步驗證了傳染概率\beta與傳染病傳播速度和范圍之間的正相關(guān)關(guān)系。3.2.2康復(fù)概率對傳播的影響康復(fù)概率\gamma是影響傳染病在度相關(guān)網(wǎng)絡(luò)上傳播過程的另一個重要參數(shù)，它主要對感染者數(shù)量和傳播持續(xù)時間產(chǎn)生作用。當(dāng)康復(fù)概率\gamma增大時，意味著感染者在單位時間內(nèi)康復(fù)的可能性增加。在度相關(guān)網(wǎng)絡(luò)中，這會導(dǎo)致感染者數(shù)量迅速減少。在正度相關(guān)網(wǎng)絡(luò)中，高度數(shù)節(jié)點(diǎn)感染區(qū)域內(nèi)的感染者康復(fù)速度加快，使得該區(qū)域內(nèi)的傳染源減少，從而抑制了傳染病在該區(qū)域的進(jìn)一步傳播。例如，在一個企業(yè)內(nèi)部網(wǎng)絡(luò)（可看作正度相關(guān)網(wǎng)絡(luò)）中，如果康復(fù)概率較高，感染傳染病的核心員工（高度數(shù)節(jié)點(diǎn)）能夠快速康復(fù)，那么他們傳播病毒的時間縮短，周圍員工被感染的風(fēng)險也隨之降低。在負(fù)度相關(guān)網(wǎng)絡(luò)中，高度數(shù)節(jié)點(diǎn)和低度數(shù)節(jié)點(diǎn)上的感染者康復(fù)速度均加快，整體上減少了網(wǎng)絡(luò)中的感染源，使傳染病的傳播范圍得到控制。以城市供水網(wǎng)絡(luò)（可看作負(fù)度相關(guān)網(wǎng)絡(luò)）為例，當(dāng)康復(fù)概率增大時，供水樞紐（高度數(shù)節(jié)點(diǎn)）和各個用水點(diǎn)（低度數(shù)節(jié)點(diǎn)）處的感染者迅速康復(fù)，減少了病毒通過供水系統(tǒng)傳播的機(jī)會，降低了傳染病在整個城市的傳播風(fēng)險。隨著感染者數(shù)量的減少，傳染病的傳播持續(xù)時間也會相應(yīng)縮短。因為康復(fù)者不再參與傳播過程，且具有免疫力，當(dāng)大量感染者康復(fù)后，傳染病在網(wǎng)絡(luò)中的傳播鏈逐漸被切斷，傳播過程難以持續(xù)下去。例如，在一個學(xué)校的社交網(wǎng)絡(luò)中，如果康復(fù)概率較高，感染傳染病的學(xué)生能夠快速康復(fù)，那么疾病在學(xué)校內(nèi)的傳播時間就會大大縮短，能夠更快地恢復(fù)正常的教學(xué)秩序。相反，當(dāng)康復(fù)概率\gamma減小時，感染者康復(fù)的速度變慢，感染者在網(wǎng)絡(luò)中存在的時間延長。這會導(dǎo)致感染者數(shù)量在較長時間內(nèi)保持較高水平，傳染病的傳播持續(xù)時間也會顯著增加。在正度相關(guān)網(wǎng)絡(luò)中，高度數(shù)節(jié)點(diǎn)感染區(qū)域內(nèi)的傳播會持續(xù)較長時間，病毒不斷在該區(qū)域內(nèi)傳播，增加了更多易感者被感染的風(fēng)險；在負(fù)度相關(guān)網(wǎng)絡(luò)中，高度數(shù)節(jié)點(diǎn)和低度數(shù)節(jié)點(diǎn)之間的傳播也會持續(xù)進(jìn)行，使傳染病在整個網(wǎng)絡(luò)中長時間存在。例如，對于一些難以治愈的傳染病，由于康復(fù)概率較低，感染者長期攜帶病毒，導(dǎo)致疾病在人群中持續(xù)傳播，給防控工作帶來極大的困難。通過仿真實(shí)驗可以清晰地看到康復(fù)概率\gamma對傳染病傳播的影響。在固定其他參數(shù)的情況下，設(shè)置不同的康復(fù)概率值，如\gamma=0.1、\gamma=0.3、\gamma=0.5等，對傳染病在度相關(guān)網(wǎng)絡(luò)上的傳播進(jìn)行模擬。實(shí)驗結(jié)果顯示，當(dāng)\gamma增大時，感染人數(shù)曲線迅速下降，傳播持續(xù)時間明顯縮短；而當(dāng)\gamma減小時，感染人數(shù)曲線下降緩慢，傳播持續(xù)時間大幅延長。這充分說明了康復(fù)概率\gamma與感染者數(shù)量和傳播持續(xù)時間之間的密切關(guān)系，增大康復(fù)概率能夠有效抑制傳染病的傳播，縮短傳播時間，減少疾病對網(wǎng)絡(luò)的影響。三、傳染病SIR模型在度相關(guān)網(wǎng)絡(luò)上的傳播原理3.3度相關(guān)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)對傳播的影響3.3.1網(wǎng)絡(luò)規(guī)模對傳播的影響網(wǎng)絡(luò)規(guī)模是影響傳染病在度相關(guān)網(wǎng)絡(luò)上傳播的一個重要因素，它直接關(guān)系到傳播的速度和最終感染規(guī)模。在固定傳播參數(shù)（如傳染概率\beta和康復(fù)概率\gamma）以及度相關(guān)性的情況下，研究不同規(guī)模網(wǎng)絡(luò)中傳染病的傳播特性具有重要意義。當(dāng)網(wǎng)絡(luò)規(guī)模增大時，節(jié)點(diǎn)數(shù)量增多，傳染病傳播的空間也相應(yīng)擴(kuò)大。在正度相關(guān)網(wǎng)絡(luò)中，由于高度數(shù)節(jié)點(diǎn)傾向于相互連接，形成了緊密的局部子網(wǎng)絡(luò)。隨著網(wǎng)絡(luò)規(guī)模的增大，這些局部子網(wǎng)絡(luò)的數(shù)量也會增加，且它們之間的連接也可能變得更加復(fù)雜。這使得傳染病在局部區(qū)域內(nèi)的傳播速度加快，因為高度數(shù)節(jié)點(diǎn)之間的緊密連接為病毒傳播提供了更多的途徑。例如，在一個社交網(wǎng)絡(luò)中，隨著用戶數(shù)量的增加，不同的社交圈子（類似于正度相關(guān)網(wǎng)絡(luò)中的局部子網(wǎng)絡(luò)）不斷涌現(xiàn)，每個圈子內(nèi)的核心用戶（高度數(shù)節(jié)點(diǎn)）之間的互動更加頻繁，一旦傳染病在某個圈子內(nèi)爆發(fā)，就會迅速在該圈子內(nèi)傳播開來。同時，由于網(wǎng)絡(luò)規(guī)模的增大，不同局部子網(wǎng)絡(luò)之間的聯(lián)系也可能增多，傳染病有可能通過這些聯(lián)系傳播到其他子網(wǎng)絡(luò)，從而擴(kuò)大傳播范圍，導(dǎo)致最終感染規(guī)模增大。在負(fù)度相關(guān)網(wǎng)絡(luò)中，高度數(shù)節(jié)點(diǎn)與低度數(shù)節(jié)點(diǎn)的連接模式使得網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)相對較為分散。當(dāng)網(wǎng)絡(luò)規(guī)模增大時，這種分散的結(jié)構(gòu)更加明顯，高度數(shù)節(jié)點(diǎn)與更多的低度數(shù)節(jié)點(diǎn)相連。這使得傳染病能夠更廣泛地傳播到網(wǎng)絡(luò)的各個角落，傳播速度也可能加快。以城市交通網(wǎng)絡(luò)為例，隨著城市規(guī)模的擴(kuò)大，交通樞紐（高度數(shù)節(jié)點(diǎn)）與更多的小區(qū)（低度數(shù)節(jié)點(diǎn)）建立了交通聯(lián)系。一旦傳染病在交通樞紐出現(xiàn)，它會通過這些新增的連接迅速傳播到更多的小區(qū)，使更多的人暴露在感染風(fēng)險之下，最終導(dǎo)致感染規(guī)模擴(kuò)大。相反，當(dāng)網(wǎng)絡(luò)規(guī)模減小時，傳染病傳播的空間受限。在正度相關(guān)網(wǎng)絡(luò)中，局部子網(wǎng)絡(luò)的規(guī)模和數(shù)量都會減少，高度數(shù)節(jié)點(diǎn)之間的連接也相對較少，這使得傳染病在局部區(qū)域內(nèi)的傳播速度減緩，傳播范圍縮小，最終感染規(guī)模也相應(yīng)減小。在負(fù)度相關(guān)網(wǎng)絡(luò)中，由于節(jié)點(diǎn)數(shù)量減少，高度數(shù)節(jié)點(diǎn)與低度數(shù)節(jié)點(diǎn)的連接也減少，傳染病傳播的途徑受限，傳播速度變慢，感染規(guī)模也會隨之降低。通過大量的仿真實(shí)驗可以直觀地驗證網(wǎng)絡(luò)規(guī)模對傳染病傳播的影響。在實(shí)驗中，分別構(gòu)建不同規(guī)模的正度相關(guān)網(wǎng)絡(luò)和負(fù)度相關(guān)網(wǎng)絡(luò)，如網(wǎng)絡(luò)規(guī)模為100、500、1000等節(jié)點(diǎn)，然后在每個網(wǎng)絡(luò)中進(jìn)行傳染病傳播的模擬。實(shí)驗結(jié)果表明，隨著網(wǎng)絡(luò)規(guī)模的增大，傳染病傳播的速度明顯加快，達(dá)到峰值感染人數(shù)的時間縮短，最終感染規(guī)模也顯著增加；而當(dāng)網(wǎng)絡(luò)規(guī)模減小時，傳播速度減緩，峰值出現(xiàn)時間延遲，最終感染規(guī)模減小。這進(jìn)一步證明了網(wǎng)絡(luò)規(guī)模與傳染病傳播速度和最終感染規(guī)模之間的密切關(guān)系，在研究傳染病傳播和制定防控策略時，必須充分考慮網(wǎng)絡(luò)規(guī)模的影響。3.3.2平均度對傳播的影響平均度作為度相關(guān)網(wǎng)絡(luò)的一個關(guān)鍵結(jié)構(gòu)參數(shù)，對傳染病在網(wǎng)絡(luò)上的傳播效率和范圍有著顯著的影響。平均度反映了網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)連接的平均緊密程度，它的變化會改變節(jié)點(diǎn)之間的接觸機(jī)會，進(jìn)而影響傳染病的傳播過程。當(dāng)平均度增加時，網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)之間的連接增多，傳染病傳播的機(jī)會也隨之增加。在正度相關(guān)網(wǎng)絡(luò)中，高度數(shù)節(jié)點(diǎn)之間原本就具有緊密的連接，平均度的增加會進(jìn)一步強(qiáng)化這種連接。這使得傳染病在高度數(shù)節(jié)點(diǎn)聚集區(qū)域的傳播效率大幅提高，因為更多的連接意味著感染者能夠更快速地將病毒傳播給更多的易感者。例如，在一個學(xué)術(shù)合作網(wǎng)絡(luò)中，隨著學(xué)者之間合作關(guān)系的增多（平均度增加），如果有一位學(xué)者感染了傳染病，他能夠通過更多的合作連接將病毒傳播給其他學(xué)者，從而加速傳染病在學(xué)術(shù)圈中的傳播。在負(fù)度相關(guān)網(wǎng)絡(luò)中，平均度的增加同樣會促進(jìn)傳染病的傳播。由于高度數(shù)節(jié)點(diǎn)與低度數(shù)節(jié)點(diǎn)相連，平均度的提高意味著高度數(shù)節(jié)點(diǎn)與更多的低度數(shù)節(jié)點(diǎn)建立了連接，這使得傳染病能夠更廣泛地擴(kuò)散到整個網(wǎng)絡(luò)。以供應(yīng)鏈網(wǎng)絡(luò)為例，當(dāng)供應(yīng)商與零售商之間的合作關(guān)系更加緊密（平均度增加）時，一旦傳染病在供應(yīng)商處出現(xiàn)，它能夠通過更多的供應(yīng)渠道傳播到各個零售商，從而擴(kuò)大了傳染病的傳播范圍。從傳播范圍來看，平均度的增加會使傳染病更容易傳播到網(wǎng)絡(luò)中的各個角落。因為更多的連接使得病毒能夠突破原本的傳播限制，到達(dá)那些原本相對較難接觸到的節(jié)點(diǎn)。在正度相關(guān)網(wǎng)絡(luò)中，雖然傳染病在高度數(shù)節(jié)點(diǎn)聚集區(qū)域傳播迅速，但平均度的增加也有助于病毒傳播到其他局部子網(wǎng)絡(luò)；在負(fù)度相關(guān)網(wǎng)絡(luò)中，平均度的增加則直接導(dǎo)致傳染病傳播范圍的擴(kuò)大，使得更多的節(jié)點(diǎn)有機(jī)會被感染。相反，當(dāng)平均度降低時，網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)之間的連接減少，傳染病傳播的效率和范圍都會受到抑制。在正度相關(guān)網(wǎng)絡(luò)中，高度數(shù)節(jié)點(diǎn)之間的連接稀疏，傳染病在局部區(qū)域內(nèi)的傳播速度減緩，傳播范圍縮??；在負(fù)度相關(guān)網(wǎng)絡(luò)中，高度數(shù)節(jié)點(diǎn)與低度數(shù)節(jié)點(diǎn)的連接減少，傳染病傳播的途徑受限，難以傳播到更廣泛的區(qū)域，最終感染規(guī)模也會相應(yīng)減小。通過仿真實(shí)驗可以清晰地觀察到平均度對傳染病傳播的影響。在實(shí)驗中，構(gòu)建具有不同平均度的正度相關(guān)網(wǎng)絡(luò)和負(fù)度相關(guān)網(wǎng)絡(luò)，如平均度為4、6、8等，然后在這些網(wǎng)絡(luò)上進(jìn)行傳染病傳播的模擬。實(shí)驗結(jié)果顯示，隨著平均度的增加，感染人數(shù)曲線上升得更快，達(dá)到峰值的時間更短，最終感染的節(jié)點(diǎn)比例也更高；而當(dāng)平均度降低時，感染人數(shù)曲線上升緩慢，峰值出現(xiàn)時間延遲，最終感染的節(jié)點(diǎn)比例較低。這充分說明了平均度與傳染病傳播效率和范圍之間的正相關(guān)關(guān)系，在分析傳染病傳播時，平均度是一個不可忽視的重要因素。3.3.3度相關(guān)性對傳播的影響度相關(guān)性是度相關(guān)網(wǎng)絡(luò)的核心特征，它對傳染病在網(wǎng)絡(luò)上的傳播起著至關(guān)重要的作用，正度相關(guān)和負(fù)度相關(guān)網(wǎng)絡(luò)對傳染病傳播具有截然不同的影響。在正度相關(guān)網(wǎng)絡(luò)中，高度數(shù)節(jié)點(diǎn)傾向于與其他高度數(shù)節(jié)點(diǎn)連接，這種連接模式使得傳染病在傳播過程中呈現(xiàn)出局部爆發(fā)的特點(diǎn)。當(dāng)傳染病在正度相關(guān)網(wǎng)絡(luò)中開始傳播時，高度數(shù)節(jié)點(diǎn)由于具有較多的連接邊，很容易成為病毒傳播的源頭。一旦一個高度數(shù)節(jié)點(diǎn)被感染，它會迅速將病毒傳播給周圍同樣是高度數(shù)的節(jié)點(diǎn)，因為它們之間的連接概率較高。這使得傳染病在高度數(shù)節(jié)點(diǎn)聚集的區(qū)域內(nèi)快速擴(kuò)散，形成局部的傳播熱點(diǎn)。例如，在一個明星社交圈中，明星們（高度數(shù)節(jié)點(diǎn)）之間相互關(guān)注、頻繁互動，當(dāng)其中一位明星感染傳染病后，病毒會在這個小圈子里迅速傳播，導(dǎo)致短期內(nèi)感染人數(shù)急劇增加。然而，由于正度相關(guān)網(wǎng)絡(luò)中不同高度數(shù)節(jié)點(diǎn)聚集區(qū)域之間的連接相對較少，傳染病傳播到其他區(qū)域的速度相對較慢，傳播范圍在一定程度上受到限制。如果不能及時控制局部傳播熱點(diǎn)，隨著時間的推移，傳染病可能會逐漸擴(kuò)散到整個網(wǎng)絡(luò)，但傳播過程相對較為緩慢。與正度相關(guān)網(wǎng)絡(luò)不同，負(fù)度相關(guān)網(wǎng)絡(luò)中高度數(shù)節(jié)點(diǎn)更傾向于與低度數(shù)節(jié)點(diǎn)連接，這種結(jié)構(gòu)使得傳染病的傳播更加廣泛和均勻。當(dāng)傳染病在負(fù)度相關(guān)網(wǎng)絡(luò)中出現(xiàn)時，高度數(shù)節(jié)點(diǎn)能夠迅速將病毒傳播到大量的低度數(shù)節(jié)點(diǎn)。由于低度數(shù)節(jié)點(diǎn)數(shù)量眾多，且分布在網(wǎng)絡(luò)的各個角落，傳染病能夠通過高度數(shù)節(jié)點(diǎn)與低度數(shù)節(jié)點(diǎn)的連接，快速擴(kuò)散到整個網(wǎng)絡(luò)。以城市交通網(wǎng)絡(luò)為例，交通樞紐（高度數(shù)節(jié)點(diǎn)）與眾多分散的小區(qū)（低度數(shù)節(jié)點(diǎn)）相連，一旦交通樞紐出現(xiàn)感染者，病毒會通過交通線路迅速傳播到各個小區(qū)，使得城市中不同區(qū)域的居民都面臨感染的風(fēng)險。負(fù)度相關(guān)網(wǎng)絡(luò)的傳播模式使得傳染病在初期就能夠廣泛傳播，沒有明顯的局部爆發(fā)特征，但傳播速度相對較為穩(wěn)定，不會出現(xiàn)像正度相關(guān)網(wǎng)絡(luò)中局部區(qū)域短期內(nèi)感染人數(shù)急劇增加的情況。然而，由于傳播范圍廣，控制傳染病的難度也相對較大，需要采取更全面的防控措施。綜上所述，度相關(guān)性對傳染病傳播的影響顯著，正度相關(guān)網(wǎng)絡(luò)易引發(fā)局部爆發(fā)但傳播范圍受限，負(fù)度相關(guān)網(wǎng)絡(luò)傳播廣泛且均勻但控制難度大。在研究傳染病傳播和制定防控策略時，必須充分考慮網(wǎng)絡(luò)的度相關(guān)性特征，針對不同的度相關(guān)網(wǎng)絡(luò)采取相應(yīng)的防控措施，以有效控制傳染病的傳播。四、仿真實(shí)驗設(shè)計與實(shí)現(xiàn)4.1實(shí)驗環(huán)境與工具本研究主要借助MATLAB和Python兩款強(qiáng)大的工具進(jìn)行仿真實(shí)驗的設(shè)計與實(shí)現(xiàn)，它們在網(wǎng)絡(luò)生成、模型實(shí)現(xiàn)和數(shù)據(jù)處理等方面發(fā)揮著不可或缺的作用。MATLAB憑借其卓越的數(shù)值計算能力、豐富的工具箱以及便捷的繪圖函數(shù)，成為構(gòu)建度相關(guān)網(wǎng)絡(luò)和實(shí)現(xiàn)SIR模型的首選工具。在構(gòu)建度相關(guān)網(wǎng)絡(luò)時，利用MATLAB的隨機(jī)數(shù)生成函數(shù)和矩陣運(yùn)算函數(shù)，能夠高效地實(shí)現(xiàn)各種復(fù)雜的網(wǎng)絡(luò)生成算法。例如，基于優(yōu)先連接機(jī)制構(gòu)建無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)時，通過調(diào)用rand函數(shù)生成隨機(jī)數(shù)，用于確定新節(jié)點(diǎn)與現(xiàn)有節(jié)點(diǎn)的連接概率，再利用矩陣運(yùn)算實(shí)現(xiàn)節(jié)點(diǎn)之間的連接操作，從而準(zhǔn)確地生成具有特定度相關(guān)性的網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。在實(shí)現(xiàn)SIR模型方面，基于MATLAB的面向?qū)ο缶幊烫匦?，將SIR模型的數(shù)學(xué)表達(dá)式轉(zhuǎn)化為可執(zhí)行的代碼。通過定義不同的類和方法，分別表示易感者、感染者和康復(fù)者群體，以及它們之間的狀態(tài)轉(zhuǎn)移關(guān)系。利用循環(huán)語句和條件判斷語句，模擬傳染病在度相關(guān)網(wǎng)絡(luò)上隨時間的傳播過程，精確地記錄每個時間步長下節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)信息和傳播參數(shù)，為后續(xù)的數(shù)據(jù)分析提供詳實(shí)的數(shù)據(jù)支持。Python則以其豐富的數(shù)據(jù)處理和可視化庫，在數(shù)據(jù)處理和可視化分析環(huán)節(jié)發(fā)揮著關(guān)鍵作用。在數(shù)據(jù)處理方面，使用Pandas庫讀取MATLAB生成的仿真數(shù)據(jù)文件。Pandas庫提供了靈活的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和高效的數(shù)據(jù)處理方法，能夠輕松地對數(shù)據(jù)進(jìn)行清洗、整理和預(yù)處理。例如，通過Pandas的dropna函數(shù)去除數(shù)據(jù)中的缺失值，利用duplicated函數(shù)檢測并刪除重復(fù)數(shù)據(jù)，確保數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性和完整性。借助NumPy庫進(jìn)行復(fù)雜的數(shù)值計算，如計算傳染病傳播過程中的各種統(tǒng)計量，包括平均感染時間、最終感染比例、傳播速度等。在可視化分析方面，Matplotlib和Seaborn庫提供了豐富的繪圖函數(shù)和樣式設(shè)置選項，能夠繪制出各種直觀、美觀的可視化圖表。使用Matplotlib的plot函數(shù)繪制傳染病傳播過程中易感者、感染者和康復(fù)者數(shù)量隨時間的變化曲線，清晰地展示傳染病傳播的動態(tài)過程；利用Seaborn的heatmap函數(shù)繪制不同傳播參數(shù)和網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)下最終感染規(guī)模的熱力圖，直觀地展示各因素之間的交互作用對傳播結(jié)果的影響。通過Python的數(shù)據(jù)處理和可視化功能，能夠深入挖掘仿真數(shù)據(jù)中的潛在信息，為研究傳染病在度相關(guān)網(wǎng)絡(luò)上的傳播規(guī)律提供有力的支持。4.2度相關(guān)網(wǎng)絡(luò)的生成4.2.1基于MATLAB的度相關(guān)網(wǎng)絡(luò)生成算法利用MATLAB生成度相關(guān)網(wǎng)絡(luò)時，采用基于優(yōu)先連接機(jī)制的擴(kuò)展算法，該算法能夠有效生成具有不同度相關(guān)性的網(wǎng)絡(luò)。以下是詳細(xì)的生成步驟：初始化網(wǎng)絡(luò)：創(chuàng)建一個包含少量節(jié)點(diǎn)（如m_0個節(jié)點(diǎn)）的初始網(wǎng)絡(luò)，為每個節(jié)點(diǎn)賦予一定數(shù)量（如m_0條）的初始連接邊，形成一個簡單的初始拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。這一步為后續(xù)網(wǎng)絡(luò)的擴(kuò)展提供基礎(chǔ)，確保網(wǎng)絡(luò)有一定的初始規(guī)模和連接模式。例如，可設(shè)定m_0=3，即初始網(wǎng)絡(luò)包含3個節(jié)點(diǎn)，每個節(jié)點(diǎn)與其他兩個節(jié)點(diǎn)相連，形成一個三角形的初始網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。確定度相關(guān)性參數(shù)：引入一個控制度相關(guān)性的參數(shù)\alpha，其取值范圍為[-1,1]。當(dāng)\alpha=1時，表示生成正度相關(guān)網(wǎng)絡(luò)，高度數(shù)節(jié)點(diǎn)傾向于與高度數(shù)節(jié)點(diǎn)連接；當(dāng)\alpha=-1時，表示生成負(fù)度相關(guān)網(wǎng)絡(luò)，高度數(shù)節(jié)點(diǎn)傾向于與低度數(shù)節(jié)點(diǎn)連接；當(dāng)\alpha=0時，網(wǎng)絡(luò)接近隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)，節(jié)點(diǎn)連接無明顯的度相關(guān)性偏好。通過調(diào)整\alpha的值，可以靈活地生成不同度相關(guān)性的網(wǎng)絡(luò)，以滿足不同研究需求。網(wǎng)絡(luò)擴(kuò)展過程：在每次迭代中，添加一個新節(jié)點(diǎn)到網(wǎng)絡(luò)中。新節(jié)點(diǎn)與現(xiàn)有節(jié)點(diǎn)建立m條連接邊（m\leqm_0），連接的選擇依據(jù)節(jié)點(diǎn)的度數(shù)和度相關(guān)性參數(shù)\alpha。對于正度相關(guān)網(wǎng)絡(luò)（\alpha=1），計算每個現(xiàn)有節(jié)點(diǎn)i被選中與新節(jié)點(diǎn)連接的概率p_i，p_i與節(jié)點(diǎn)i的度數(shù)k_i成正比，即p_i=\frac{k_i}{\sum_{j=1}^{N}k_j}，其中N是當(dāng)前網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)總數(shù)。利用MATLAB的rand函數(shù)生成隨機(jī)數(shù)，根據(jù)概率p_i選擇m個高度數(shù)節(jié)點(diǎn)與新節(jié)點(diǎn)連接。例如，在一個包含10個節(jié)點(diǎn)的網(wǎng)絡(luò)中，節(jié)點(diǎn)1的度數(shù)為5，節(jié)點(diǎn)2的度數(shù)為3，節(jié)點(diǎn)3的度數(shù)為2，那么節(jié)點(diǎn)1被選中與新節(jié)點(diǎn)連接的概率為\frac{5}{5+3+2}=0.5，節(jié)點(diǎn)2的概率為\frac{3}{10}=0.3，節(jié)點(diǎn)3的概率為\frac{2}{10}=0.2。通過生成的隨機(jī)數(shù)與這些概率進(jìn)行比較，確定最終與新節(jié)點(diǎn)連接的節(jié)點(diǎn)。對于負(fù)度相關(guān)網(wǎng)絡(luò)（\alpha=-1），計算每個現(xiàn)有節(jié)點(diǎn)i被選中與新節(jié)點(diǎn)連接的概率p_i，p_i與節(jié)點(diǎn)i的度數(shù)k_i成反比，即p_i=\frac{1/k_i}{\sum_{j=1}^{N}1/k_j}。同樣利用rand函數(shù)生成隨機(jī)數(shù)，依據(jù)概率p_i選擇m個低度數(shù)節(jié)點(diǎn)與新節(jié)點(diǎn)連接。例如，在上述網(wǎng)絡(luò)中，節(jié)點(diǎn)1被選中與新節(jié)點(diǎn)連接的概率變?yōu)閈frac{1/5}{\frac{1}{5}+\frac{1}{3}+\frac{1}{2}}\approx0.13，節(jié)點(diǎn)2的概率約為0.22，節(jié)點(diǎn)3的概率約為0.33。通過隨機(jī)數(shù)與這些概率的比較，實(shí)現(xiàn)新節(jié)點(diǎn)與低度數(shù)節(jié)點(diǎn)的連接。當(dāng)-1<\alpha<1且\alpha\neq0時，結(jié)合正度相關(guān)和負(fù)度相關(guān)的概率計算方式，通過一個權(quán)重因子來平衡兩者的影響，確定節(jié)點(diǎn)的連接概率，從而生成具有不同程度度相關(guān)性的網(wǎng)絡(luò)。4.4.重復(fù)擴(kuò)展步驟：不斷重復(fù)步驟3，每次添加一個新節(jié)點(diǎn)并進(jìn)行連接，直到網(wǎng)絡(luò)規(guī)模達(dá)到預(yù)設(shè)的節(jié)點(diǎn)數(shù)N，完成度相關(guān)網(wǎng)絡(luò)的生成。在擴(kuò)展過程中，網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)不斷演變，度相關(guān)性特征逐漸顯現(xiàn)，形成符合要求的度相關(guān)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。4.2.2網(wǎng)絡(luò)生成參數(shù)設(shè)置在生成度相關(guān)網(wǎng)絡(luò)時，合理設(shè)置參數(shù)對于模擬真實(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)和研究傳染病傳播具有重要意義。以下對節(jié)點(diǎn)數(shù)、平均度、度相關(guān)性等參數(shù)的設(shè)置及意義進(jìn)行詳細(xì)說明：節(jié)點(diǎn)數(shù)：節(jié)點(diǎn)數(shù)N決定了網(wǎng)絡(luò)的規(guī)模大小。在傳染病傳播研究中，它可以代表參與傳播的個體數(shù)量。例如，在模擬一個城市的傳染病傳播時，N可以是城市的人口數(shù)量。較大的節(jié)點(diǎn)數(shù)能夠更真實(shí)地反映大規(guī)模人群中的傳播情況，但計算量也會相應(yīng)增加。在實(shí)驗中，可根據(jù)研究目的和計算資源，設(shè)置不同的節(jié)點(diǎn)數(shù)，如N=1000、N=5000等，觀察節(jié)點(diǎn)數(shù)對傳染病傳播的影響。一般來說，隨著節(jié)點(diǎn)數(shù)的增加，傳染病傳播的空間增大，傳播路徑更加復(fù)雜，可能導(dǎo)致傳播速度加快和最終感染規(guī)模增大。平均度：平均度\langlek\rangle反映了網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)連接的平均緊密程度。它的計算公式為\langlek\rangle=\frac{2E}{N}，其中E是網(wǎng)絡(luò)中的邊數(shù)。在傳染病傳播中，平均度影響著節(jié)點(diǎn)之間的接觸機(jī)會。較高的平均度意味著節(jié)點(diǎn)之間連接更緊密，傳染病傳播的機(jī)會增多，傳播效率提高。例如，在一個社交網(wǎng)絡(luò)中，如果平均度較高，人們之間的社交聯(lián)系頻繁，傳染病更容易在人群中傳播。在實(shí)驗中，通過調(diào)整生成網(wǎng)絡(luò)時新節(jié)點(diǎn)的連接邊數(shù)m，可以控制網(wǎng)絡(luò)的平均度。例如，當(dāng)m=3時，網(wǎng)絡(luò)的平均度相對較低；當(dāng)m=5時，平均度會相應(yīng)提高。研究不同平均度下傳染病的傳播情況，能夠深入了解節(jié)點(diǎn)連接緊密程度對傳播的影響。度相關(guān)性：度相關(guān)性通過參數(shù)\alpha來控制，如前文所述，\alpha的取值范圍為[-1,1]，不同取值代表不同的度相關(guān)類型。正度相關(guān)（\alpha=1）使得高度數(shù)節(jié)點(diǎn)聚集，傳染病在局部區(qū)域傳播迅速，但傳播范圍可能受限；負(fù)度相關(guān)（\alpha=-1）使高度數(shù)節(jié)點(diǎn)與低度數(shù)節(jié)點(diǎn)均勻連接，傳染病傳播更廣泛，但傳播速度相對穩(wěn)定。在實(shí)驗中，設(shè)置不同的\alpha值，如\alpha=0.5（部分正度相關(guān)）、\alpha=-0.5（部分負(fù)度相關(guān)）等，研究度相關(guān)性對傳染病傳播的影響。通過對比不同度相關(guān)性下傳染病的傳播特征，如傳播速度、傳播范圍、最終感染規(guī)模等，可以揭示度相關(guān)性在傳染病傳播中的作用機(jī)制，為制定針對性的防控策略提供依據(jù)。4.3SIR模型在度相關(guān)網(wǎng)絡(luò)上的實(shí)現(xiàn)4.3.1模型參數(shù)初始化在將SIR模型應(yīng)用于度相關(guān)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行仿真實(shí)驗時，首先需要對模型參數(shù)進(jìn)行初始化。這些參數(shù)的取值直接影響傳染病的傳播過程和結(jié)果，因此合理設(shè)定參數(shù)至關(guān)重要。傳染概率\beta的初始設(shè)定需要綜合考慮傳染病的特性以及網(wǎng)絡(luò)環(huán)境。對于傳染性較強(qiáng)的疾病，如流感，其傳染概率通常較高。在仿真實(shí)驗中，可將\beta初始值設(shè)為0.5，這意味著在單位時間內(nèi)，一個感染者與易感者接觸后，有50%的概率將病毒傳播給易感者。而對于一些傳染性相對較弱的疾病，如某些罕見傳染病，\beta的初始值可設(shè)為0.1，以反映其較低的傳播可能性。康復(fù)概率\gamma的設(shè)定同樣依賴于疾病的康復(fù)特性。對于康復(fù)周期較短的疾病，如普通感冒，康復(fù)概率較高，可將\gamma初始值設(shè)為0.3，表示感染者在單位時間內(nèi)有30%的概率康復(fù)。對于康復(fù)周期較長的疾病，如艾滋病，由于目前尚無法完全治愈，康復(fù)概率極低，在仿真中可將\gamma設(shè)為一個極小的值，如0.01。初始時刻，網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)也需要確定。通常，大部分節(jié)點(diǎn)被設(shè)定為易感者，只有極少數(shù)節(jié)點(diǎn)被設(shè)定為感染者，康復(fù)者數(shù)量初始為0。例如，在一個包含1000個節(jié)點(diǎn)的網(wǎng)絡(luò)中，可設(shè)定990個節(jié)點(diǎn)為易感者，10個節(jié)點(diǎn)為感染者，這樣的設(shè)定符合傳染病爆發(fā)初期的實(shí)際情況，即大部分人群尚未感染，只有少數(shù)個體成為傳染源。此外，網(wǎng)絡(luò)的一些基本參數(shù)，如節(jié)點(diǎn)數(shù)N、平均度\langlek\rangle以及度相關(guān)性參數(shù)\alpha，在模型初始化時也已確定。這些網(wǎng)絡(luò)參數(shù)與SIR模型參數(shù)相互作用，共同影響傳染病的傳播。例如，在平均度較高的網(wǎng)絡(luò)中，節(jié)點(diǎn)之間接觸頻繁，即使傳染概率\beta不變，傳染病傳播的機(jī)會也會增加；而在正度相關(guān)網(wǎng)絡(luò)中，高度數(shù)節(jié)點(diǎn)的聚集會導(dǎo)致傳染病在局部區(qū)域快速傳播，此時傳染概率\beta和康復(fù)概率\gamma對傳播的影響也會在這種特殊的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)下發(fā)生變化。通過合理初始化這些參數(shù)，可以更準(zhǔn)確地模擬傳染病在度相關(guān)網(wǎng)絡(luò)上的傳播過程，為后續(xù)的仿真實(shí)驗和結(jié)果分析提供可靠的基礎(chǔ)。在實(shí)驗過程中，還可以根據(jù)實(shí)際需要，對這些參數(shù)進(jìn)行調(diào)整，以研究不同參數(shù)組合下傳染病的傳播特性。4.3.2模型迭代計算過程在完成模型參數(shù)初始化后，接下來需要根據(jù)SIR模型的微分方程進(jìn)行迭代計算，以模擬傳染病在度相關(guān)網(wǎng)絡(luò)上隨時間的傳播過程。在每個時間步長\Deltat內(nèi)，根據(jù)SIR模型的微分方程：\frac{dS(t)}{dt}=-\betaS(t)I(t)\frac{dI(t)}{dt}=\betaS(t)I(t)-\gammaI(t)\frac{dR(t)}{dt}=\gammaI(t)采用數(shù)值計算方法，如歐拉法，對上述微分方程進(jìn)行離散化求解。對于易感者數(shù)量S(t)的更新，根據(jù)歐拉法，在時間步長\Deltat后，S(t+\Deltat)的值為：S(t+\Deltat)=S(t)+\frac{dS(t)}{dt}\Deltat=S(t)-\betaS(t)I(t)\Deltat這表示在單位時間內(nèi)，易感者數(shù)量的減少量與當(dāng)前易感者數(shù)量S(t)、感染者數(shù)量I(t)以及傳染概率\beta成正比。例如，在某一時刻t，網(wǎng)絡(luò)中有500個易感者，10個感染者，傳染概率\beta=0.5，時間步長\Deltat=1，則在下一時刻t+1，易感者數(shù)量變?yōu)镾(t+1)=500-0.5\times500\times10\times1=250。對于感染者數(shù)量I(t)的更新，同樣根據(jù)歐拉法，I(t+\Deltat)的值為：I(t+\Deltat)=I(t)+\frac{dI(t)}{dt}\Deltat=I(t)+(\betaS(t)I(t)-\gammaI(t))\Deltat這意味著感染者數(shù)量的變化量等于新增感染人數(shù)（\betaS(t)I(t)\Deltat）減去康復(fù)人數(shù)（\gammaI(t)\Deltat）。例如，在上述例子中，若康復(fù)概率\gamma=0.3，則下一時刻感染者數(shù)量變?yōu)镮(t+1)=10+(0.5\times500\times10-0.3\times10)\times1=2507?？祻?fù)者數(shù)量R(t)的更新公式為：R(t+\Deltat)=R(t)+\frac{dR(t)}{dt}\Deltat=R(t)+\gammaI(t)\Deltat即康復(fù)者數(shù)量的增加量與當(dāng)前感染者數(shù)量I(t)以及康復(fù)概率\gamma成正比。例如，在上述例子中，下一時刻康復(fù)者數(shù)量變?yōu)镽(t+1)=0+0.3\times10\times1=3。在度相關(guān)網(wǎng)絡(luò)中，由于節(jié)點(diǎn)度數(shù)的差異以及度相關(guān)性的存在，每個節(jié)點(diǎn)的傳播情況會有所不同。對于高度數(shù)節(jié)點(diǎn)，由于其連接的節(jié)點(diǎn)數(shù)量較多，在計算其傳播和感染情況時，會涉及到更多的接觸和傳播事件。例如，在正度相關(guān)網(wǎng)絡(luò)中，高度數(shù)節(jié)點(diǎn)感染后，會以較高的概率將病毒傳播給周圍同樣是高度數(shù)的節(jié)點(diǎn)，在計算這些節(jié)點(diǎn)的感染情況時，需要考慮到它們之間的連接概率以及傳染概率\beta。而在負(fù)度相關(guān)網(wǎng)絡(luò)中，高度數(shù)節(jié)點(diǎn)與低度數(shù)節(jié)點(diǎn)的連接使得傳播范圍更廣，在計算傳播過程時，需要綜合考慮不同度數(shù)節(jié)點(diǎn)之間的傳播關(guān)系。通過不斷重復(fù)上述迭代計算過程，逐步更新每個時間步長下易感者、感染者和康復(fù)者的數(shù)量，從而模擬出傳染病在度相關(guān)網(wǎng)絡(luò)上的完整傳播過程。在迭代過程中，記錄每個時間步長下的節(jié)點(diǎn)狀態(tài)信息和傳播參數(shù)，為后續(xù)的數(shù)據(jù)分析和結(jié)果展示提供數(shù)據(jù)支持。通過對這些數(shù)據(jù)的分析，可以深入了解傳染病在度相關(guān)網(wǎng)絡(luò)上的傳播規(guī)律和特征。4.4實(shí)驗數(shù)據(jù)的收集與處理4.4.1數(shù)據(jù)收集方案在仿真實(shí)驗過程中，需要收集大量的數(shù)據(jù)以全面分析傳染病在度相關(guān)網(wǎng)絡(luò)上的傳播特性。確定以下數(shù)據(jù)收集方案：不同時間步三類人群數(shù)量：在每個時間步長\Deltat內(nèi)，記錄易感者（S）、感染者（I）和康復(fù)者（R）的數(shù)量。這三類人群數(shù)量的變化是傳染病傳播過程的核心指標(biāo)，通過記錄不同時間步的數(shù)量，能夠清晰地描繪出傳染病傳播的動態(tài)過程。例如，在傳染病爆發(fā)初期，易感者數(shù)量會迅速減少，感染者數(shù)量快速上升；隨著時間推移，康復(fù)者數(shù)量逐漸增加，感染者數(shù)量達(dá)到峰值后開始下降。通過對這些數(shù)據(jù)的分析，可以確定傳染病傳播的高峰期、傳播速度以及最終的傳播規(guī)模。節(jié)點(diǎn)度數(shù)與感染狀態(tài)：收集每個節(jié)點(diǎn)的度數(shù)信息以及其在不同時間步的感染狀態(tài)。節(jié)點(diǎn)度數(shù)反映了該節(jié)點(diǎn)在網(wǎng)絡(luò)中的連接緊密程度，而感染狀態(tài)則直接關(guān)系到傳染病的傳播路徑。通過分析不同度數(shù)節(jié)點(diǎn)的感染情況，可以深入了解度相關(guān)性對傳染病傳播的影響。例如，在正度相關(guān)網(wǎng)絡(luò)中，高度數(shù)節(jié)點(diǎn)聚集區(qū)域可能成為傳播熱點(diǎn)，研究這些高度數(shù)節(jié)點(diǎn)的感染時間、傳播范圍等信息，有助于揭示傳染病在正度相關(guān)網(wǎng)絡(luò)中的傳播機(jī)制；在負(fù)度相關(guān)網(wǎng)絡(luò)中，分析高度數(shù)節(jié)點(diǎn)與低度數(shù)節(jié)點(diǎn)之間的感染傳播關(guān)系，能夠了解傳染病如何在這種網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)中廣泛傳播。傳播參數(shù)與網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)參數(shù)：記錄仿真實(shí)驗中設(shè)置的傳播參數(shù)，如傳染概率\beta、康復(fù)概率\gamma，以及網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)參數(shù)，如節(jié)點(diǎn)數(shù)N、平均度\langlek\rangle、度相關(guān)性參數(shù)\alpha等。這些參數(shù)是影響傳染病傳播的關(guān)鍵因素，通過收集不同參數(shù)組合下的傳播數(shù)據(jù)，可以分析各參數(shù)對傳播結(jié)果的影響規(guī)律。例如，固定其他參數(shù)，改變傳染概率\beta，觀察傳染病傳播速度和最終感染規(guī)模的變化，從而確定傳染概率與傳播結(jié)果之間的定量關(guān)系；同樣，研究網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)參數(shù)對傳播的影響，如分析節(jié)點(diǎn)數(shù)增加時傳染病傳播范圍的擴(kuò)大情況，以及平均度變化對傳播效率的影響等。為了確保數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確性和完整性，在數(shù)據(jù)收集過程中，采用可靠的存儲方式，將數(shù)據(jù)存儲在結(jié)構(gòu)化的文件中，如CSV文件。CSV文件具有簡單、通用的格式，便于后續(xù)使用Python等工具進(jìn)行數(shù)據(jù)處理和分析。同時，對收集到的數(shù)據(jù)進(jìn)行定期檢查和驗證，避免出現(xiàn)數(shù)據(jù)丟失、錯誤記錄等問題，為后續(xù)的數(shù)據(jù)分析提供可靠的數(shù)據(jù)基礎(chǔ)。4.4.2基于Python的數(shù)據(jù)處理方法利用Python強(qiáng)大的數(shù)據(jù)處理能力，對收集到的仿真數(shù)據(jù)進(jìn)行清洗、分析和統(tǒng)計，以提取有價值的信息，深入了解傳染病在度相關(guān)網(wǎng)絡(luò)上的傳播規(guī)律。在數(shù)據(jù)清洗階段，使用Pandas庫對數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理。Pandas提供了豐富的函數(shù)和方法，能夠有效地處理數(shù)據(jù)中的缺失值、重復(fù)值和異常值。例如，通過dropna()函數(shù)可以快速刪除包含缺失值的行或列，確保數(shù)據(jù)的完整性；利用duplicated()函數(shù)檢測并刪除重復(fù)的數(shù)據(jù)記錄，避免重復(fù)數(shù)據(jù)對分析結(jié)果的干擾。對于可能存在的異常值，通過統(tǒng)計分析方法，如計算數(shù)據(jù)的四分位數(shù)、繪制箱線圖等，識別出異常值并進(jìn)行適當(dāng)?shù)奶幚?，如用合理的估計值替代或刪除異常值，以保證數(shù)據(jù)的質(zhì)量。在數(shù)據(jù)分析和統(tǒng)計方面，結(jié)合NumPy庫進(jìn)行復(fù)雜的數(shù)值計算。NumPy提供了高效的數(shù)組操作和數(shù)學(xué)函數(shù)，能夠方便地計算傳染病傳播過程中的各種統(tǒng)計量。例如，計算不同時間步的感染率、康復(fù)率以及平均感染時間等。通過計算感染率，可以了解傳染病在不同階段的傳播速度；康復(fù)率的計算有助于評估疾病的治愈情況和康復(fù)進(jìn)程；平均感染時間則反映了感染者從感染到康復(fù)的平均時長。此外，利用NumPy的數(shù)組切片和索引功能，對數(shù)據(jù)進(jìn)行靈活的分組和篩選，以便分析不同參數(shù)組合下傳染病的傳播特征。例如，按照不同的度相關(guān)性參數(shù)\alpha對數(shù)據(jù)進(jìn)行分組，分別計算每組數(shù)據(jù)中的傳播統(tǒng)計量，從而對比分析正度相關(guān)網(wǎng)絡(luò)和負(fù)度相關(guān)網(wǎng)絡(luò)中傳染病傳播的差異。為了更直觀地展示數(shù)據(jù)分析結(jié)果，借助Matplotlib和Seaborn庫進(jìn)行數(shù)據(jù)可視化。Matplotlib提供了基礎(chǔ)的繪圖功能，能夠繪制各種類型的圖表，如折線圖、柱狀圖、散點(diǎn)圖等。通過繪制易感者、感染者和康復(fù)者數(shù)量隨時間的變化折線圖，可以清晰地展示傳染病傳播的動態(tài)過程，直觀地觀察到傳播的高峰期、傳播趨勢以及最終的穩(wěn)定狀態(tài)。Seaborn則在Matplotlib的基礎(chǔ)上，提供了更高級、更美觀的繪圖樣式和函數(shù)，如熱力圖、小提琴圖等。利用Seaborn的熱力圖，可以展示不同傳播參數(shù)和網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)參數(shù)組合下最終感染規(guī)模的變化情況，通過顏色的深淺直觀地反映各因素之間的交互作用對傳播結(jié)果的影響；小提琴圖則可以用于比較不同組數(shù)據(jù)的分布特征，如比較不同度相關(guān)性網(wǎng)絡(luò)中感染時間的分布情況，進(jìn)一步揭示度相關(guān)性對傳染病傳播的影響。通過Python的數(shù)據(jù)處理方法，能夠?qū)Ψ抡鎸?shí)驗收集到的數(shù)據(jù)進(jìn)行全面、深入的分析，從大量的數(shù)據(jù)中提取關(guān)鍵信息，為研究傳染病在度相關(guān)網(wǎng)絡(luò)上的傳播規(guī)律提供有力的數(shù)據(jù)支持，使研究結(jié)果更加準(zhǔn)確、可靠，具有更強(qiáng)的說服力。五、仿真結(jié)果與分析5.1傳播過程的可視化展示5.1.1利用Python可視化工具繪制傳播過程圖利用Python中的Matplotlib和Seaborn庫對傳染病在度相關(guān)網(wǎng)絡(luò)上的傳播過程進(jìn)行可視化展示，能夠直觀地呈現(xiàn)傳染病的傳播動態(tài)，為分析傳播規(guī)律提供清晰的視覺依據(jù)。Matplotlib作為Python中廣泛使用的繪圖庫，提供了豐富的繪圖函數(shù)和靈活的定制選項，能夠繪制各種類型的圖表。在繪制傳染病傳播過程圖時，首先導(dǎo)入Matplotlib庫以及相關(guān)的數(shù)據(jù)處理庫，如Pandas和NumPy。通過Pandas讀取仿真實(shí)驗中記錄的不同時間步下易感者、感染者和康復(fù)者的數(shù)量數(shù)據(jù)，將其存儲在數(shù)據(jù)框中。利用Matplotlib的plot函數(shù)，分別繪制易感者、感染者和康復(fù)者數(shù)量隨時間變化的折線圖。例如，使用以下代碼繪制折線圖：importmatplotlib.pyplotaspltimportpandasaspd#讀取數(shù)據(jù)data=pd.read_csv('simulation_data.csv')time_steps=data['time_step']susceptible=data['susceptible']infected=data['infected']recovered=data['recovered']#繪制折線圖plt.plot(time_steps,susceptible,label='Susceptible')plt.plot(time_steps,infected,label='Infected')plt.plot(time_steps,recovered,label='Recovered')plt.xlabel('TimeStep')plt.ylabel('NumberofNodes')plt.title('SIRModelPropagationinDegree-CorrelatedNetwork')plt.legend()plt.show()importpandasaspd#讀取數(shù)據(jù)data=pd.read_csv('simulation_data.csv')time_steps=data['time_step']susceptible=data['susceptible']infected=data['infected']recovered=data['recovered']#繪制折線圖plt.plot(time_steps,susceptible,label='Susceptible')plt.plot(time_steps,infected,label='Infected')plt.plot(time_steps,recovered,label='Recovered')plt.xlabel('TimeStep')plt.ylabel('NumberofNodes')plt.title('SIRModelPropagationinDegree-CorrelatedNetwork')plt.legend()plt.show()#讀取數(shù)據(jù)data=pd.read_csv('simulation_data.csv')time_steps=data['time_step']susceptible=data['susceptible']infected=data['infected']recovered=data['recovered']#繪制折線圖plt.plot(time_steps,susceptible,label='Susceptible')plt.plot(time_steps,infected,label='Infected')plt.plot(time_steps,recovered,label='Recovered')plt.xlabel('TimeStep')plt.ylabel('NumberofNodes')plt.title('SIRModelPropagationinDegree-CorrelatedNetwork')plt.legend()plt.show()data=pd.read_csv('simulation_data.csv')time_steps=data['time_step']susceptible=data['susceptible']infected=data['infected']recovered=data['recovered']#繪制折線圖plt.plot(time_steps,susceptible,label='Susceptible')plt.plot(time_steps,infected,label='Infected')plt.plot(time_steps,recovered,label='Recovered')plt.xlabel('TimeStep')plt.ylabel('NumberofNodes')plt.title('SIRModelPropagationinDegree-CorrelatedNetwork')plt.legend()plt.show()time_steps=data['time_step']susceptible=data['susceptible']infected=data['infected']recovered=data['recovered']#繪制折線圖plt.plot(time_steps,susceptible,label='Susceptible')plt.plot(