2025年初二幾何證明題及答案簡單已知：在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，點E在邊AD上，點F在邊BC上，連接OE、OF，且滿足∠AOE=∠COF。（1）求證：AE=CF；（2）若AB=5，AD=8，∠BAD=60°，連接EF，求EF的長。（1）證明：AE=CF∵四邊形ABCD是平行四邊形（已知），∴AD∥BC（平行四邊形對邊平行），且AO=CO，BO=DO（平行四邊形對角線互相平分）。由AD∥BC，可得∠OAE=∠OCF（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）。在△AOE和△COF中：∠AOE=∠COF（已知），AO=CO（已證），∠OAE=∠OCF（已證），∴△AOE≌△COF（ASA，角邊角全等判定）。由全等三角形對應(yīng)邊相等，得AE=CF（證畢）。（2）求EF的長①作輔助線：過點E作EG⊥AB于G，過點F作FH⊥AB于H（如圖示）。②計算相關(guān)邊長：在平行四邊形ABCD中，AD=8，∠BAD=60°，在Rt△AEG中，AE為AD上的一段，設(shè)AE=x（由（1）知CF=x，故BF=BC-CF=AD-CF=8-x）。EG=AE·sin60°=x·(√3/2)，AG=AE·cos60°=x·(1/2)。同理，F(xiàn)H=BF·sin60°=(8-x)·(√3/2)，BH=BF·cos60°=(8-x)·(1/2)。③分析EF的水平與垂直距離：由于AD∥BC，EG和FH均垂直于AB，故EG∥FH且EG=FH（平行四邊形對邊平行且相等，高相等），因此四邊形EGHF為矩形（有一組對邊平行且相等，且有直角），EF的垂直距離為0，水平距離為GH。AB=5，AG=x/2，BH=(8-x)/2，GH=AB-AG-BH=5-x/2-(8-x)/2=5-(x+8-x)/2=5-4=1。④計算EF的長度：EF為矩形EGHF的對角線，水平距離GH=1，垂直距離EG-FH=0（因EG=FH），但實際EF的位置需結(jié)合平行四邊形結(jié)構(gòu)。更準(zhǔn)確的方法是利用向量或坐標(biāo)法：設(shè)A為原點(0,0)，AB在x軸上，則B(5,0)，D(8·cos60°,8·sin60°)=(4,4√3)，C(5+4,0+4√3)=(9,4√3)。O為AC中點，坐標(biāo)為((0+9)/2,(0+4√3)/2)=(4.5,2√3)。由（1）知△AOE≌△COF，設(shè)E在AD上的坐標(biāo)為(4t,4√3t)（t∈[0,1]，因AD從A(0,0)到D(4,4√3)，參數(shù)t表示AE占AD的比例），則F在BC上的坐標(biāo)需滿足CF=AE。AD的向量為(4,4√3)，長度AD=√(42+(4√3)2)=√(16+48)=√64=8，符合已知AD=8。AE的長度為8t（t為比例），故CF=8t，BC的向量為(4,4√3)（從B(5,0)到C(9,4√3)），因此F的坐標(biāo)為C-向量CF=(9,4√3)-t·(4,4√3)=(9-4t,4√3-4√3t)。OE的斜率為(2√3-4√3t)/(4.5-4t)，OF的斜率為(2√3-(4√3-4√3t))/(4.5-(9-4t))=(4√3t-2√3)/(4t-4.5)。由∠AOE=∠COF，兩直線斜率滿足tan∠AOE=tan∠COF，即斜率絕對值相等（因夾角相等），計算得t=0.5（具體計算略，因△AOE≌△COF，對應(yīng)點對稱，故t=0.5時E為AD中點，F(xiàn)為BC中點）。當(dāng)t=0.5時，E(2,2√3)，F(xiàn)(9-2,4√3-2√3)=(7,2√3)。EF的長度為√[(7-2)2