江蘇省常州市禮嘉中學(xué)2026屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．上海世博會期間，某日13時至21時累計入園人數(shù)的折線圖如圖所示，那么在13時~14時，14時~15時，…，20時~21時八個時段中，入園人數(shù)最多的時段是（）A.13時~14時 B.16時~17時C.18時~19時 D.19時~20時2．雙曲線的焦點坐標是（）A. B.C. D.3．已知命題p：，，則命題p的否定為（）A.， B.，C， D.，4．設(shè)A＝37＋·35＋·33＋·3，B＝·36＋·34＋·32＋1，則A－B的值為()A.128 B.129C.47 D.05．圓心在直線上，且過點，并與直線相切的圓的方程為（）A. B.C. D.6．命題：“，”的否定形式為（）A.， B.，C.， D.，7．一個袋中裝有大小和質(zhì)地相同的5個球，其中有2個紅色球，3個綠色球，從袋中不放回地依次隨機摸出2個球，下列結(jié)論正確的是（）A.第一次摸到綠球的概率是 B.第二次摸到綠球的概率是C.兩次都摸到綠球的概率是 D.兩次都摸到紅球的概率是8．若a>b，c>d，則下列不等式中一定正確的是（）A. B.C. D.9．在圓內(nèi)，過點的最長弦和最短弦分別是AC和BD，則四邊形ABCD的面積為（）A. B.C. D.10．若函數(shù)，則（）A. B.C.0 D.111．曲線在處的切線的斜率為（）A.-1 B.1C.2 D.312．已知圓：，是直線的一點，過點作圓的切線，切點為，，則的最小值為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某部門計劃對某路段進行限速，為調(diào)查限速60km/h是否合理，對通過該路段的300輛汽車的車速進行檢測，將所得數(shù)據(jù)按，，，分組，繪制成如圖所示頻率分布直方圖.則________；這300輛汽車中車速低于限速60km/h的汽車有______輛.14．設(shè)，則動點P的軌跡方程為________15．已知命題：方程表示焦點在軸上的橢圓；命題：方程表示雙曲線.若為真，則實數(shù)的取值范圍為______.16．過拋物線的焦點作傾斜角為的直線，與拋物線分別交于兩點（點在軸上方），_________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，圓錐的底面直徑與母線長均為4，PO是圓錐的高，點C是底面直徑AB所對弧的中點，點D是母線PA的中點（1）求圓錐的表面積；（2）求點B到直線CD的距離18．（12分）已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；（2）若在區(qū)間上有唯一的零點.（ⅰ）求的取值范圍；（ⅱ）證明：.19．（12分）如圖，五邊形為東京奧運會公路自行車比賽賽道平面設(shè)計圖，根據(jù)比賽需要，在賽道設(shè)計時需預(yù)留出，兩條服務(wù)通道（不考慮寬度），，，，，為賽道．現(xiàn)已知，，千米，千米（1）求服務(wù)通道的長（2）在上述條件下，如何設(shè)計才能使折線賽道（即）的長度最大，并求最大值20．（12分）如圖，已知橢圓：（）的左、右焦點分別為、，離心率為.過的直線與橢圓的一個交點為，過垂直于的直線與橢圓的一個交點為，.（1）求橢圓的方程和點的軌跡的方程；（2）若曲線上的動點到直線：的最大距離為，求的值.21．（12分）已知數(shù)列滿足，（1）設(shè)，求證:數(shù)列是等比數(shù)列;（2）求數(shù)列的前項和22．（10分）已知橢圓C：的左右焦為，，點是該橢圓上任意一點，當(dāng)軸時，，（1）求橢圓C的標準方程；（2）記，求實數(shù)m的最大值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】要找入園人數(shù)最多的，只要根據(jù)函數(shù)圖象找出圖象中變化最大的即可【詳解】結(jié)合函數(shù)的圖象可知，在13時~14時，14時~15時，…，20時~21時八個時段中，圖象變化最快的為16到17點之間故選：B.【點睛】本題考查折線統(tǒng)計圖的實際應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】根據(jù)雙曲線的方程，求得，結(jié)合雙曲線的幾何性質(zhì)，即可求解.【詳解】由題意，雙曲線，可得，所以，且雙曲線的焦點再軸上，所以雙曲線的焦點坐標為.故選：B.3、A【解析】根據(jù)特稱命題的否定是全稱命題，結(jié)合已知條件，即可求得結(jié)果.【詳解】因為命題p：，，故命題p的否定為：，.故選：A.4、A【解析】先化簡A－B，發(fā)現(xiàn)其結(jié)果為二項式展開式，然后計算即可【詳解】A－B＝37－·36＋·35－·34＋·33－·32＋·3－1＝故選A.【點睛】本題主要考查了二項式定理的運用，關(guān)鍵是通過化簡能夠發(fā)現(xiàn)其結(jié)果在形式上滿足二項式展開式，然后計算出結(jié)果，屬于基礎(chǔ)題5、A【解析】設(shè)圓的圓心，表示出半徑，再由圓心到切線距離等于半徑即可列出方程求得參數(shù)及圓的方程.【詳解】∵圓的圓心在直線上，∴設(shè)圓心為(a，－a)，∵圓過，∴半徑r＝，又∵圓與相切，∴半徑r＝，則，解得a＝2，故圓心為(2，－2)，半徑為，故方程為.故選：A.6、D【解析】根據(jù)含一個量詞的命題的否定方法直接得到結(jié)果.【詳解】因為全稱命題的否定是特稱命題，所以命題：“，”的否定形式為：，，故選：D.【點睛】本題考查全稱命題的否定，難度容易.含一個量詞的命題的否定方法：修改量詞，否定結(jié)論.7、C【解析】對選項A，直接求出第一次摸球且摸到綠球的概率；對選項B，第二次摸到綠球分兩種情況，第一次摸到綠球且第二也摸到綠球和第一次摸到紅球且第二次摸到綠球；對選項C，直接求出第一次摸到綠球且第二也摸到綠球的概率；對選項D，直接求出第一次摸到紅球且第二也摸到紅球的概率【詳解】對選項A，第一次摸到綠球的概率為：，故錯誤；對選項B，第二次摸到綠球的概率為：，故錯誤；對選項C，兩次都摸到綠球的概率為：，故正確；對選項D，兩次都摸到紅球的概率為：，故錯誤故選：C8、B【解析】根據(jù)不等式的性質(zhì)及反例判斷各個選項.【詳解】因為c>d，所以，所以，所以B正確；時，不滿足選項A；時，，且，所以不滿足選項CD；故選：B9、D【解析】由題，求得圓的圓心和半徑，易知最長弦，最短弦為過點與垂直的弦，再求得BD的長，可得面積.【詳解】圓化簡為可得圓心為易知過點的最長弦為直徑，即而最短弦為過與垂直的弦，圓心到的距離：所以弦所以四邊形ABCD的面積：故選：D10、A【解析】構(gòu)造函數(shù)，再用積的求導(dǎo)法則求導(dǎo)計算得解.【詳解】令，則，求導(dǎo)得：，所以.故選：A11、D【解析】先求解出導(dǎo)函數(shù)，然后代入到導(dǎo)函數(shù)中，所求導(dǎo)數(shù)值即為切線斜率.【詳解】因為，所以，所以切線的斜率為.故選：D.12、A【解析】根據(jù)題意，為四邊形的面積的2倍，即，然后利用切線長定理，將問題轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離求解.【詳解】圓：的圓心為，半徑，設(shè)四邊形的面積為，由題設(shè)及圓的切線性質(zhì)得，，∵，∴，圓心到直線的距離為，∴的最小值為，則的最小值為，故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①.②.【解析】根據(jù)個小矩形面積之和為1即可求出的值；根據(jù)頻率分布直方圖可以求出車速低于限速60km/h的頻率，從而可求出汽車有多少輛【詳解】由解得：這300輛汽車中車速低于限速60km/h的汽車有故答案為：；14、【解析】根據(jù)雙曲線的定義可得答案.【詳解】因為，所以動點P的軌跡是焦點為A，B，實軸長為4的雙曲線的上支．因為，所以，所以動點P的軌跡方程為故答案為：.15、【解析】既然為真，那么就是為真，即p是假，并且q是真，根據(jù)橢圓和雙曲線的定義即可解出?！驹斀狻俊邽檎?，∴p為假，q為真；考慮p為真的情況：解得……①；由于p為假，∴或；由于q為真，∴，即……②；由①和②得：；故答案為：.16、3【解析】根據(jù)拋物線焦半徑公式，所以.故答案為：3.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）直接運用圓錐的表面積公式計算即可；（2）建立空間直角坐標，然后運用向量法計算可求得答案.【小問1詳解】【小問2詳解】如圖，建立直角坐標系，，，，∴B在CD上投影的長度∴B到CD的距離解法2：設(shè)直線CD上一點E滿足令，則∴，∴，∴∴，故B到CD距離為.18、（1）；（2）（?。?；（ⅱ）證明見解析.【解析】（1）求出，，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求得切線方程；（2）（ⅰ）根據(jù)題意對參數(shù)分類討論，當(dāng)時，等價轉(zhuǎn)化，且構(gòu)造函數(shù)，利用零點存在定理，即可求得參數(shù)的取值范圍；（ⅱ）根據(jù)（?。┲兴蟮玫脚c的等量關(guān)系，求得并構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性和最值，則問題得證.【小問1詳解】當(dāng)時，，則，故，，則曲線在點處的切線方程為.【小問2詳解】（?。┮驗?，故可得，因為，則當(dāng)時，，則，無零點，不滿足題意；當(dāng)時，若在有一個零點，即在有一個零點，也即在有一個零點，又，則單調(diào)遞增，則只需，解得.綜上所述，若在區(qū)間上有唯一的零點，則；（ⅱ）由（?。┛芍?，若在區(qū)間上有唯一的零點，則，也即，則，令，則，又在都是單調(diào)增函數(shù)，故是單調(diào)增函數(shù)，又，故，則在單調(diào)遞增，則，故，即證.【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點以及最值；處理問題的關(guān)鍵是合理轉(zhuǎn)化函數(shù)零點問題，以及充分利用零點存在定理，熟練掌握構(gòu)造函數(shù)法，屬綜合困難題.19、（1）服務(wù)通道的長為千米（2）時，折線賽道的長度最大，最大值為千米【解析】（1）先在中利用正弦定理得到長度，再在中，利用余弦定理得到即可；（2）在中利用余弦定理得到，再根據(jù)基本等式求解最值即可.【小問1詳解】在中，由正弦定理得：，在中，由余弦定理，得，即解得或（負值舍去）所以服務(wù)通道的長為千米【小問2詳解】在中，由余弦定理得：，即，所以因為，所以，所以，即（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）即當(dāng)時，折線賽道的長度最大，最大值為千米20、（1）橢圓的方程為，點的軌跡的方程為（2）【解析】（1）由題意可得，求出，再結(jié)合，求出，從而可得橢圓的方程，設(shè)，則由題意可得，坐標代入化簡可得點的軌跡的方程，（2）由題意結(jié)合點到直線的距離公式可得，設(shè)，將直線方程代入橢圓方程中消去，整理利用根與系數(shù)的關(guān)系，由，可得，因為，代入化簡計算可求得答案【小問1詳解】由題意得，解得，則，所以橢圓的方程，設(shè)，則由題意可得，所以，所以，所以點軌跡的方程為【小問2詳解】由（1）知曲線是以原點為圓心，1為半徑的圓，因為曲線上的動點到直線：的最大距離為，所以，得，設(shè)，由，得，所以，，因為，所以，所以，所以，因為，所以，所以，，所以，得，得（舍去），或21、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）將變形為，得到為等比數(shù)列，（2）由（1）得到的通項公式，用錯位相減法求得【詳解】（1）由，，可得，因為則，，可得是首項為，公比為的等比數(shù)列，（2）由（1），由，可得，，，上面兩式相減可得：，則【點睛】數(shù)列求和的方法技巧：(1)倒序相加：用于等差數(shù)列、與二項式系數(shù)、對稱性相關(guān)聯(lián)的數(shù)列的求