高一年級(jí)數(shù)學(xué)試卷時(shí)間：120分鐘分?jǐn)?shù)：150分試卷共兩部分：第一部分：選擇題型（1-11題58分）；第二部分：非選擇題型（12-19題92分）第I卷（選擇題共58分）一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求）.1.已知命題，則是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)全稱量詞命題的否定為特稱量詞命題判斷求解即可.【詳解】命題，則是：.故選：C2.不等式的解集是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】移項(xiàng)通分，轉(zhuǎn)化為一元二次不等式即可求解.【詳解】，可得，即為，且，可得故選：C3.已知某運(yùn)動(dòng)員每次投籃命中的概率為，現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)該運(yùn)動(dòng)員三次投籃恰有兩次命中的概率：用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生之間的隨機(jī)整數(shù)，以每個(gè)隨機(jī)整數(shù)（不足三位的整數(shù)，其百位或十位用0補(bǔ)齊）為一組，代表三次投籃的結(jié)果，指定數(shù)字0，1，2，3，4表示命中，數(shù)字5，6，7，8，9表示未命中.如圖，在R軟件的控制臺(tái)，輸入“sample（0：999，20，replace=F）”，按回車鍵，得到0~999范圍內(nèi)的20個(gè)不重復(fù)的整數(shù)隨機(jī)數(shù)，據(jù)此估計(jì)，該運(yùn)動(dòng)員三次投籃恰有兩次命中的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出基本事件的個(gè)數(shù)以及符合條件的事件的個(gè)數(shù)，進(jìn)而結(jié)合古典概型概率公式即可求出結(jié)果.【詳解】在20個(gè)不重復(fù)的數(shù)中，表示該運(yùn)動(dòng)員三次投籃恰有兩次命中的有633，309，016，543，247，062共6個(gè)，所以據(jù)此估計(jì)，該運(yùn)動(dòng)員三次投籃恰有兩次命中的概率為.故選：A4.已知，函數(shù)若，則（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式，求得，結(jié)合列出方程，即可求解.【詳解】由題意可得，則，解得，故選：B.5.如圖，在△ABC中，，P是線段BN上的一點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)m等于（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先利用線性運(yùn)算求得，然后求得，最后利用共線定理的推論列式求解即可.【詳解】因?yàn)椋?，則，因?yàn)镻、B、N三點(diǎn)共線，所以，解得.故選：D．6.冪函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸有交點(diǎn)，且，則的值（）A.無法判斷 B.等于0 C.恒小于0 D.恒大于0【答案】D【解析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)的概念及性質(zhì)求得，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及奇函數(shù)性質(zhì)轉(zhuǎn)化求解即可.【詳解】由，解得或.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.因?yàn)楹瘮?shù)的圖象與坐標(biāo)軸有交點(diǎn)，故.又，所以，因?yàn)闉樵赗上單調(diào)遞增的奇函數(shù)，所以，即.故選：D7.某中學(xué)高一年級(jí)有600名男學(xué)生，400名女學(xué)生，現(xiàn)用分層隨機(jī)抽樣的方法調(diào)查了50名高一學(xué)生的身高.若樣本中男生身高的平均數(shù)和方差分別為172和9，女生身高的平均數(shù)和方差分別為162和14，則估計(jì)高一年級(jí)學(xué)生的平均身高和方差分別為（）A.168，35 B.168，20 C.169.6，35 D.169.6，20【答案】A【解析】【分析】先得到樣本中的男生和女生人數(shù)，進(jìn)而利用平均數(shù)和整體方差的求解公式進(jìn)行計(jì)算.【詳解】男學(xué)生和女學(xué)生人數(shù)比例為，故樣本中男生人數(shù)為人，女生人數(shù)為人，樣本的平均數(shù)為，樣本的方差為.故選：A.8.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，，且，有成立．設(shè)，，，則的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)單調(diào)性定義可知在上單調(diào)遞減，化簡(jiǎn)為，根據(jù)單調(diào)性可得大小關(guān)系.【詳解】不妨令，則由得：，，設(shè)，在上單調(diào)遞減，，又為奇函數(shù)，，，，又，，即.故選：A.二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）.9.某市教育局為了解疫情時(shí)期網(wǎng)絡(luò)教學(xué)期間的學(xué)生學(xué)習(xí)情況，從該市隨機(jī)抽取了1000名高中學(xué)生，對(duì)他們每天的平均學(xué)習(xí)時(shí)間進(jìn)行問卷調(diào)查，根據(jù)所得信息制作了如圖所示的頻率分布直方圖，則（）A.這1000名高中學(xué)生每天的平均學(xué)習(xí)時(shí)間為6~8小時(shí)的人數(shù)有100人B.估計(jì)該市高中學(xué)生每天的平均學(xué)習(xí)時(shí)間的眾數(shù)為9小時(shí)C.估計(jì)該市高中學(xué)生每天的平均學(xué)習(xí)時(shí)間的分位數(shù)為9.2小時(shí)D.估計(jì)該市高中學(xué)生每天的平均學(xué)習(xí)時(shí)間的平均值為8.6小時(shí)【答案】BCD【解析】【分析】對(duì)于A：直接利用頻率分布直方圖的數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算，即可判斷；對(duì)于B：根據(jù)眾數(shù)的定義進(jìn)行判斷；對(duì)于C：直接利用頻率分布直方圖的數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算，即可判斷；對(duì)于D：直接利用頻率分布直方圖的數(shù)據(jù)，按照平均數(shù)的定義進(jìn)行計(jì)算，即可判斷.【詳解】對(duì)于A：從頻率分布直方圖，可以得到，即這1000名高中學(xué)生每天的平均學(xué)習(xí)時(shí)間為6~8小時(shí)的人數(shù)有200人，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：由頻率分布直方圖可以得到，抽查的1000名高中學(xué)生每天的平均學(xué)習(xí)時(shí)間的眾數(shù)為9小時(shí)，由此可以估計(jì)該市高中學(xué)生每天的平均學(xué)習(xí)時(shí)間的眾數(shù)為9小時(shí)，故B正確；對(duì)于C：由頻率分布直方圖可以得到，設(shè)抽查的1000名高中學(xué)生每天的平均學(xué)習(xí)時(shí)間的分位數(shù)為k小時(shí)，則有：，解得：k=9.2，即抽查的1000名高中學(xué)生每天的平均學(xué)習(xí)時(shí)間的分位數(shù)為9.2小時(shí)，由此可以估計(jì)該市高中學(xué)生每天的平均學(xué)習(xí)時(shí)間的分位數(shù)為9.2小時(shí)，故C正確；對(duì)于D：由頻率分布直方圖可以得到，抽查的1000名高中學(xué)生每天的平均學(xué)習(xí)時(shí)間的平均值為小時(shí)，由此可以估計(jì)該市高中學(xué)生平均學(xué)習(xí)時(shí)間的平均值為8.6小時(shí)，故D正確；故選：BCD10.下列說法正確的是（）A.函數(shù)的定義域是，則的定義域是B.若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則為偶函數(shù)C.若函數(shù)對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為D.若是奇函數(shù)，則的值域?yàn)椤敬鸢浮緽CD【解析】【分析】選項(xiàng)A：根據(jù)抽象函數(shù)的定義域求解即可；選項(xiàng)B：根據(jù)函數(shù)圖象平移及奇偶性定義判斷即可；選項(xiàng)C：將恒成立問題轉(zhuǎn)化為求值域問題求解即可；選項(xiàng)D：根據(jù)奇函數(shù)的定義求出值，再求值域即可.【詳解】選項(xiàng)A：函數(shù)的定義域是，則，所以，因此的定義域?yàn)?，令，則，所以的定義域?yàn)?，故A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B：根據(jù)函數(shù)圖象平移的性質(zhì)，函數(shù)向左平移1個(gè)單位得到的圖象.因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，所以函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，根據(jù)偶函數(shù)的定義可知，為偶函數(shù)，故B正確；選項(xiàng)C：令，因?yàn)?，所以（函?shù)在上單調(diào)遞增）.函數(shù)可化為.若對(duì)恒成立，即對(duì)恒成立，也即對(duì)恒成立令，.因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以.所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍為，故C正確；選項(xiàng)D：因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，函數(shù)定義域?yàn)?，，所以，則，即對(duì)定義域內(nèi)的恒成立，所以.此時(shí).因?yàn)?，所以?當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)，，；所以的值域?yàn)?，故D正確.故選：BCD.11.已知定義在區(qū)間上的函數(shù)滿足：對(duì)任意均有；當(dāng)時(shí)，．則下列說法正確的是（）A. B.在定義域上單調(diào)遞減C.是奇函數(shù) D.若，則不等式的解集為【答案】ACD【解析】【分析】利用賦值法求出，可判斷選項(xiàng)A；根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義可判斷選項(xiàng)B；根據(jù)函數(shù)奇偶性、對(duì)稱性和圖象變換可判斷選項(xiàng)C；借助函數(shù)的單調(diào)性及題中條件可判斷選項(xiàng)D.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：定義在區(qū)間上的函數(shù)滿足：對(duì)任意均有令，可得，解得，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：由可得任取、，且，則.由于當(dāng)時(shí)，，，所以，即，故在定義域上單調(diào)遞增，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：令，由可得，即，所以，即函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.而的圖象可由圖象向左平移個(gè)單位得到，所以函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則是奇函數(shù)，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)?，所以，則不等式等價(jià)于由在定義域上單調(diào)遞增，得，解得，故選項(xiàng)D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)的圖象平移變換、抽象函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性以及抽象不等式的解法.解題關(guān)鍵是：熟練函數(shù)奇偶性、對(duì)稱性知識(shí)應(yīng)用；解答抽象不等式的關(guān)鍵是根據(jù)不等式結(jié)合函數(shù)值情況得到相應(yīng)不等式，求得結(jié)果.第Ⅱ卷（非選擇題共92分）二、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）.12.若事件與事件互斥，且，，則______.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)互斥事件的概率加法公式，求得，再由對(duì)立事件的概率公式，即可求解.【詳解】因?yàn)槭录c事件互斥，則，又因?yàn)?，所?故答案為：.13.若，，且，則的最小值為________．【答案】6【解析】【分析】由題意可得，利用基本不等式計(jì)算可得，即，即可求解.【詳解】由，得，整理得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.則，故，解得或（舍去），所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即的最小值為6.故答案為：614.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，若函?shù)滿足條件：存在，使在上的值域是，則稱為“倍縮函數(shù)”，若函數(shù)為“倍縮函數(shù)”，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)倍縮函數(shù)的定義，構(gòu)造出方程組，得到，是方程的兩個(gè)不等實(shí)根，結(jié)合等量代換化為一元二次方程，利用方程有兩個(gè)不等實(shí)根且均大于0求解即可.【詳解】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以單調(diào)遞增，又在上單調(diào)遞增，所以在定義域內(nèi)單調(diào)遞增.因?yàn)楹瘮?shù)為“倍縮函數(shù)”，所以，即，所以，是方程的兩個(gè)不等實(shí)根.設(shè)，，則方程有兩個(gè)不等的正實(shí)根，所以，解得.所以滿足條件的實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案：三、解答題（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）.15.已知集合，集合.（1）求；（2）已知，若是的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求出集合，再利用并集的概念運(yùn)算；（2）根據(jù)一元二次不等式求解集合，再根據(jù)是的真子集求m的取值范圍.【小問1詳解】，，故.【小問2詳解】，因?yàn)槭堑某浞植槐匾獥l件，所以是的真子集，則，得，故實(shí)數(shù)m的取值范圍為.16.已知定義在上的函數(shù).（1）判斷函數(shù)的單調(diào)性，并用定義證明；（2）解不等式.【答案】（1）增函數(shù)，證明見解析（2）【解析】【分析】（1）利用函數(shù)單調(diào)性的定義，即可作出判斷與證明；（2）利用函數(shù)為奇函數(shù)，把不等式轉(zhuǎn)化為，再利用的單調(diào)性，得出不等式組，即可求解.【小問1詳解】函數(shù)在上是增函數(shù)，證明如下：設(shè)，則，，，且，則，則，即，所以函數(shù)在上是增函數(shù).【小問2詳解】，，故是奇函數(shù)，，，是定義在上的增函數(shù)，，解得，所以不等式的解集為.17.如圖，四邊形是正方形.在邊上運(yùn)動(dòng)，在邊上運(yùn)動(dòng)，與交于點(diǎn).（1）若是的中點(diǎn)，，，求實(shí)數(shù)的值；（2）若，，求的最大值.【答案】（1）（2）1【解析】【分析】（1）建系，利用向量坐標(biāo)運(yùn)算，建立方程，即可求解；（2）建系，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為1，，構(gòu)建函數(shù)模型，根據(jù)基本不等式，即可求解.【小問1詳解】如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為6，則，所以，，設(shè)點(diǎn)，則，由，得，所以，即，得到，設(shè)，則，所以，解得.【小問2詳解】因?yàn)槿c(diǎn)共線，且，所以，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為1，，則，所以，，，所以，又，所以，所以，，所以，若，則，若，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，綜上所述：的故大值為1.18.不透明的盒子里裝有除顏色外完全相同的3個(gè)黑球、2個(gè)白球，其中黑球編號(hào)為1，2，3，白球編號(hào)為4，5.（1）現(xiàn)從盒子里隨機(jī)取出2個(gè)小球，記事件“有放回地依次取出時(shí)，取到兩個(gè)白球”，事件“不放回地依次取出時(shí)，取出小球編號(hào)之和為”，當(dāng)時(shí)，分別求事件的概率；（2）某班級(jí)為活躍班級(jí)氛圍，組織了玩游戲送書簽的活動(dòng)，該活動(dòng)由三個(gè)游戲組成，每個(gè)游戲各玩一次且結(jié)果互不影響，連勝兩個(gè)游戲可以獲得一張書簽，連勝三個(gè)游戲可以獲得兩張書簽.游戲一：從盒子中隨機(jī)取出一個(gè)球，取到白球時(shí)獲勝；游戲二：從盒子中有放回地依次取出2個(gè)球，取出兩個(gè)白球時(shí)獲勝；游戲三：從盒子中無放回地依次取出2個(gè)球，取出球編號(hào)之和為時(shí)獲勝.小明同學(xué)決定先玩游戲一，（i）當(dāng)時(shí)，求接下來先玩游戲二獲得書簽的概率？（ii）當(dāng)n為何值時(shí)，接下來先玩游戲三比先玩游戲二獲得書簽的概率更大？【答案】（1），（2）（i）；（ii）5，6，7【解析】【分析】（1）利用列舉法求出樣本空間，結(jié)合古典概型的概率公式即可得解；（2）（i）利用互斥事件與獨(dú)立事件的概率公式求得先玩游戲二獲得書簽的概率，再根據(jù)當(dāng)時(shí)，即可得答案；（ii）同（i），求得先玩游戲三獲得書簽的概率，從而得到滿足題意，再結(jié)合（1），討論滿足的的解即可.【小問1詳解】解：對(duì)于事件，有放回地依次取出兩個(gè)球的樣本空間，則，因?yàn)?，所以，所?對(duì)于事件，不放回地依次取出兩個(gè)球的樣本空間，則，因?yàn)椋?，所?【小問2詳解】解：（i）設(shè)“先玩游戲二時(shí)，獲得書簽”，“先玩游戲三時(shí)，獲得書簽”，記事件“從盒子中隨機(jī)取出一個(gè)球，取到白球”，的樣本空間為，則，所以．則互斥，相互獨(dú)立，所以由（1）知，當(dāng)時(shí)，，，,所以當(dāng)時(shí)，接下來先玩游戲二獲得書簽的概率為.（ii）由（i）知．同理，互斥，相互獨(dú)立，．因?yàn)椋?，解得．仿照?）中的方法得，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，所以，當(dāng)對(duì)應(yīng)的均為，大于，滿足題意；對(duì)應(yīng)的均為，小于，不滿足題意．因此，符合題意的的取值為5，6，7．19.已知，分別為定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且．（1）求和的解析式；（2）若函數(shù)在上的值域?yàn)?，求正?shí)數(shù)a的值；（3）證明：對(duì)任意實(shí)數(shù)k，曲線與曲線總存公共點(diǎn)．【答案】（1），（2）（3）證明見詳解【解析】【分析】（1）利用解方程組法即可