2025年廣東中考數(shù)學(xué)試題及答案本試卷共7頁，23小題，滿分120分．考試用時(shí)120分鐘．注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必用黑色字跡的簽字筆或鋼筆將自己的準(zhǔn)考證號、姓名、考場號和座位號填寫在答題卡上．用2B鉛筆在“考場號”和“座位號”欄相應(yīng)位置填涂自己的考場號和座位號．將條形碼粘貼在答題卡“條形碼粘貼處”．2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑：如需改動，用塑料橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上．3．非選擇題必須用黑色字跡的簽字筆或鋼筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上：如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液．不按以上要求作答的答案無效．4．考生必須保持答題卡的整潔．考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．某品牌乒乓球產(chǎn)品質(zhì)量參數(shù)是，如果一只乒乓球的質(zhì)量高于標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量記作，那么低于標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量記作（

）A． B． C． D．2．依據(jù)《廣東省推動低空經(jīng)濟(jì)高質(zhì)量發(fā)展行動方案（2024-2026年）》，預(yù)計(jì)2026年廣東省低空經(jīng)濟(jì)規(guī)模將超過3000億元．?dāng)?shù)據(jù)3000億用科學(xué)記數(shù)法表示為（

）A． B． C． D．3．計(jì)算的結(jié)果是（

）A．3 B．6 C． D．4．如圖，是由5個大小相同的正方體組成的立體圖形，它的左視圖是（

）A． B． C． D．5．如圖，點(diǎn)，，分別是各邊上的中點(diǎn)，，則（

）A． B． C． D．6．某校機(jī)器人編程團(tuán)隊(duì)參加廣東省創(chuàng)意機(jī)器人大賽，7位評委給出的分?jǐn)?shù)為95，92，96，94，95，88，95．這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)、眾數(shù)分別是（

）A．92，94 B．95，95 C．94，95 D．95，967．廣東省統(tǒng)計(jì)局的相關(guān)數(shù)據(jù)顯示，近年來高技術(shù)制造業(yè)呈現(xiàn)快速增長態(tài)勢．某公司工業(yè)機(jī)器人在今年5月產(chǎn)值達(dá)到2500萬元，預(yù)計(jì)7月產(chǎn)值將增至9100萬元．設(shè)該公司6，7兩個月產(chǎn)值的月均增長率為，可列出的方程為（

）A． B．C． D．8．在理想狀態(tài)下，某電動摩托車充滿電后以恒定功率運(yùn)行，其電池剩余的能量與騎行里程之間的關(guān)系如圖．當(dāng)電池剩余能量小于時(shí)，摩托車將自動報(bào)警．根據(jù)圖象，下列結(jié)論正確的是（

）A．電池能量最多可充B．摩托車每行駛消耗能量C．一次性充滿電后，摩托車最多行駛D．摩托車充滿電后，行駛將自動報(bào)警9．如圖，在直徑為的圓內(nèi)有一個圓心角為的扇形．隨機(jī)地往圓內(nèi)投一粒米，該粒米落在扇形內(nèi)的概率為（

）A． B． C． D．10．如圖，在矩形中，，是邊上的三等分點(diǎn)，連接，相交于點(diǎn)，連接．若，，則的值是（

）A． B． C． D．二、填空題：本大題共5小題，每小題3分，共15分．11．因式分解：．12．如圖，把放大后得到，則與的相似比是．13．不解方程，判斷一元二次方程的根的情況是．14．計(jì)算的結(jié)果是．15．已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，但不經(jīng)過原點(diǎn)，則該二次函數(shù)的表達(dá)式可以是．（寫出一個即可）三、解答題（一）：本大題共3小題，每小題7分，共21分。16．在解分式方程時(shí)，小李的解法如下：第一步：，第二步：，第三步：，第四步：．第五步：檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，．第六步：原分式方程的解為．小李的解法中哪一步是去分母？去分母的依據(jù)是什么？判斷小李的解答過程是否正確．若不正確，請寫出你的解答過程．17．如圖，點(diǎn)是斜邊邊上的一點(diǎn)，以為半徑的與邊相切于點(diǎn)．求證：平分．18．如圖，某跨海鋼箱梁懸索橋的主跨長，主塔高，主纜可視為拋物線，主纜垂度，主纜最低處距離橋面，橋面距離海平面約．請?jiān)谑疽鈭D中建立合適的平面直角坐標(biāo)系，并求該拋物線的表達(dá)式．四、解答題（二）：本大題共3小題，每小題9分，共27分．19．如圖，是斜邊上的中線，過點(diǎn)，分別作，，與相交于點(diǎn)．現(xiàn)有以下命題：命題1：若連接交于點(diǎn)，則．命題2：若連接，則．命題3：若連接，則．任選兩個命題，先判斷真假，再證明或舉反例．20．2025年2月，廣東省教育廳發(fā)布《關(guān)于保障中小學(xué)生每天綜合體育活動時(shí)間不低于兩小時(shí)的通知》．某校為更好地落實(shí)文件精神并了解學(xué)生參加體育活動的情況，隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，并對所得數(shù)據(jù)進(jìn)行處理．部分信息如下：調(diào)查問卷監(jiān)理與描述1．你每天參加體育活動（合體育課）的時(shí)間（單位：小時(shí)）（

）（單選）A．

B．C．

D．2．隨著體育活動時(shí)間的延長，學(xué)校擬增設(shè)體育活動項(xiàng)目，你希望增設(shè)的活動項(xiàng)目有（

）（可）多選）E．球類

F．田徑類G．體操類

H．水上類希望地設(shè)的活動項(xiàng)目統(tǒng)計(jì)表活動項(xiàng)目球類田徑類體操類水上類百分比根據(jù)以上信息，解答下列問題：(1)求參與這次問卷調(diào)查的學(xué)生人數(shù)．(2)估計(jì)該校1000名學(xué)生中每天參加體育活動時(shí)間不低于兩小時(shí)的學(xué)生人數(shù)．(3)基于上述兩項(xiàng)調(diào)查的數(shù)據(jù)，提煉出一條信息，并向?qū)W校提出相應(yīng)的建議．21．綜合與實(shí)踐【閱讀材料】如圖，在銳角中，，，的對邊長分別為，，，則有．這是解三角形的重要結(jié)論，可用于解決實(shí)際問題．【問題提出】萬綠湖是廣東省重要的生態(tài)屏障和飲用水水源地．某綜合與實(shí)踐小組要繪制一幅萬綠湖局部平面示意圖，現(xiàn)需要知道湖中，兩島間的實(shí)際距離．由于地形原因，無法利用測距儀直接測量，該小組對這一問題進(jìn)行了探究．【方案設(shè)計(jì)】工具：測角儀、測距儀、無人機(jī)（只能測角度、水平面高度）．測量過程：步驟1：如圖，在空曠地找一點(diǎn)；步驟2：利用無人機(jī)多次測量并取平均值測得，；步驟3：利用測距儀多次測量并取平均值測得，．【問題解決】（1）請你利用【閱讀材料】中的結(jié)論計(jì)算，兩島間的距離．（參考數(shù)據(jù)：，，）【評價(jià)反思】（2）設(shè)計(jì)其他方案計(jì)算，兩島間的距離．要求：選用【方案設(shè)計(jì)】中的工具，寫出你的方案和所用的數(shù)學(xué)知識．五、解答題（三）：本大題共2小題，第22小題13分，第23小題14分，共27分．22．《九章算術(shù)》是世界上較早給出勾股數(shù)公式的著作，掌握確定勾股數(shù)組的方法對研究直角三角形具有重要意義．若直角三角形的三邊長，，都是正整數(shù)，則，，為一組“勾股數(shù)”．下表中的每一組數(shù)都是勾股數(shù)．3，4，57，24，2511，60，6115，112，11319，180，1814，3，58，15，1712，35，3716，63，6520，21，295，12，139，12，1513，84，8517，144，14521，28，356，8，1010，___，2614，48，5018，80，8222，120，122(1)請補(bǔ)全上表中的勾股數(shù)．(2)根據(jù)上表中數(shù)據(jù)規(guī)律，用含字母（均為正整數(shù)）的代數(shù)式分別表示，，，使該組代數(shù)式能表示上表中所有的勾股數(shù)，并證明．(3)某校計(jì)劃在一塊綠地上種花，使之構(gòu)成如圖所示的圖案，該圖案是由四個全等的直角三角形組成．種花要求：僅在三角形邊上種花，每個三角形頂點(diǎn)處都種一株花，各邊上相鄰兩株花之間的距離均為．如果每個三角形最短邊都種21株花，那么這塊綠地最少需要種植多少株花？23．定義：把某線段一分為二的點(diǎn)，當(dāng)整體線段比大線段等于大線段比小線段時(shí)，則稱此線段被分為中外比，這個點(diǎn)稱為中外比點(diǎn)．(1)如圖，點(diǎn)是線段的中外比點(diǎn)，，，求的長．(2)如圖，用無刻度的直尺和圓規(guī)求作一點(diǎn)把線段分為中外比．（保留作圖痕跡，不寫作法）(3)如圖，動點(diǎn)在第一象限內(nèi)，反比例函數(shù)的圖象分別與矩形的邊，相交于點(diǎn)，，與對角線相交于點(diǎn)．當(dāng)是等腰直角三角形時(shí)，探究點(diǎn)，，是否分別為，，的中外比點(diǎn)，并證明．1．A【分析】本題主要考查了正數(shù)和負(fù)數(shù)．根據(jù)正數(shù)和負(fù)數(shù)表示具有相反意義的量，即可解答．【詳解】解：∵一只乒乓球的質(zhì)量高于標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量記作，∴那么低于標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量記作．故選：A．2．D【分析】本題考查了科學(xué)記數(shù)法，科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)，正確確定以及的值是解題的關(guān)鍵．確定的值時(shí)，要看把原數(shù)變成時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動了多少位，的絕對值與小數(shù)點(diǎn)移動的位數(shù)相同，據(jù)此即可求解．【詳解】解：3000億．故選：D．3．B【分析】本題主要考查了二次根式的乘法，正確化簡二次根式是解題關(guān)鍵．直接相乘得出答案．【詳解】．故選：B．4．C【分析】本題考查了三視圖的知識，左視圖是從物體的左面看得到的視圖．找到從左面看所得到的圖形即可．【詳解】解：從左面看得第一層有2個正方形，第二層最左邊有一個正方形．∴它的左視圖是：故選：C．5．C【分析】此題考查了三角形中位線的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)，首先得到，是的中位線，得到，，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)求解即可．【詳解】∵點(diǎn)，，分別是各邊上的中點(diǎn)，∴，是的中位線∴，∴∵∴．故選：C．6．B【分析】本題考查了中位數(shù)和眾數(shù)，熟知中位數(shù)和眾數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．中位數(shù)是將數(shù)據(jù)從小到大排列后位于中間位置的數(shù)；眾數(shù)是出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)，據(jù)此即可求解．【詳解】解：將7個評委分?jǐn)?shù)從小到大排列為：88，92，94，95，95，95，96，中位數(shù)為第4個數(shù)，即95；數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)是95（出現(xiàn)3次），故眾數(shù)為95；∴這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)、眾數(shù)分別是95，95．故選：B．7．A【分析】本題考查一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，涉及平均增長率問題，理解題意找準(zhǔn)等量關(guān)系列出方程是解題的關(guān)鍵．設(shè)該公司6，7兩個月產(chǎn)值的月均增長率為，根據(jù)連續(xù)兩個月的月均增長率建立方程即可．【詳解】解：設(shè)該公司6，7兩個月產(chǎn)值的月均增長率為，根據(jù)題意，得．故選：A．8．C【分析】本題考查了實(shí)際問題的函數(shù)圖象，解題的關(guān)鍵是讀懂函數(shù)圖象，根據(jù)圖象中的數(shù)據(jù)逐項(xiàng)求解判斷即可．【詳解】由圖象可得，當(dāng)時(shí)，，∴電池能量最多可充，故A錯誤；，∴摩托車每行駛消耗能量，故B錯誤；由圖象可得，當(dāng)時(shí)，，∴一次性充滿電后，摩托車最多行駛，故C正確；∴摩托車充滿電后，行駛將自動報(bào)警，故D錯誤；故選：C．9．D【分析】如圖所示，過點(diǎn)A作于點(diǎn)D，證明出是等腰直角三角形，求出，然后得到，然后分別求出和，然后根據(jù)概率公式求解即可．【詳解】如圖所示，過點(diǎn)A作于點(diǎn)D∵是直徑∴∵∴是等腰直角三角形∵∴，∴∴，∴該粒米落在扇形內(nèi)的概率為．故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了幾何概率，求扇形面積，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，直徑所對的圓周角是直角等知識，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識點(diǎn)．10．B【分析】本題考查矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，求角的正切值，熟練掌握以上知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)矩形的性質(zhì)，證明，得到，然后過點(diǎn)作，得到，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例分別求出的長，進(jìn)而求出的長，再利用正切的定義求解即可．【詳解】解：∵矩形，，是邊上的三等分點(diǎn)，，，∴，，，，，∴，∴，∴，過點(diǎn)作，則，∴，∴，∴，，∴，∴；故選：B．11．【分析】直接提取公因式ab，進(jìn)而分解因式得出答案．【詳解】解：a2b+ab2=．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題主要考查了提取公因式法分解因式，正確找出公因式是解題關(guān)鍵．12．##【分析】本題考查求兩個位似圖形的相似比，根據(jù)題意，把放大后得到，則與位似，從而得到與的相似比等于對應(yīng)點(diǎn)到位似中心線段的比，即，從而得到答案，掌握相似三角形的相似比與位似圖形之間線段的比例關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】解：把放大后得到，則與位似，與的相似比為，故答案為：．13．有兩個不相等的實(shí)數(shù)根【分析】本題考查了一元二次方程的根的判別式，利用一元二次方程的根的判別式判斷根的情況是解題的關(guān)鍵．先計(jì)算一元二次方程的根的判別式，得出，即可得到結(jié)論【詳解】解：∵一元二次方程，∴，，，∴，∴方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根．故答案為：有兩個不相等的實(shí)數(shù)根．14．0【分析】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值以及零指數(shù)冪，熟練記憶特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．分別計(jì)算零指數(shù)冪以及代入特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算即可．【詳解】解：，故答案為：0．15．（答案不唯一）【分析】本題考查待定系數(shù)法確定二次函數(shù)表達(dá)式，先由二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，得到，再由二次函數(shù)的圖象不經(jīng)過原點(diǎn)，得到，從而得確定，若取，即可得到，從而確定函數(shù)表達(dá)式．熟練掌握待定系數(shù)法確定函數(shù)表達(dá)式的方法是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】解：二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，，二次函數(shù)的圖象不經(jīng)過原點(diǎn)，，則，若取，則，該二次函數(shù)的表達(dá)式可以是，故答案為：（答案不唯一）．16．見解析【分析】此題考查了解分式方程，利用了轉(zhuǎn)化的思想，解分式方程時(shí)要注意不要漏乘，解完后要檢驗(yàn)．先去分母，化為一元一次方程，再解一元一次方程，最后進(jìn)行檢驗(yàn)即可．【詳解】解：第一步是去分母，去分母的依據(jù)是：等式兩邊同時(shí)乘以一個不為0的數(shù)（或式子），等式仍然成立；小李的解答過程不正確，正確解答如下：，，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)，是增根，∴原方程無解．17．證明見解析【分析】本題考查了圓的切線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)等知識點(diǎn)，熟練掌握各知識點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．連接，根據(jù)圓的切線的性質(zhì)得到，則根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)得到，再由等邊對等角得到，即可等量代換求證．【詳解】證明：連接，∵與邊相切于點(diǎn)，∴，即，∵為直角三角形，∴，∴，∴，∵∴，∴，∴平分．18．該拋物線的表達(dá)式為【分析】本題考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)表達(dá)式，先由題意，建立恰當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，從而得到、，設(shè)該拋物線的頂點(diǎn)式為，將代入解方程即可得到答案．根據(jù)題中示意圖，建立恰當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，并設(shè)出拋物線表達(dá)式是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】解：建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示：則拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為，，即，設(shè)該拋物線的表達(dá)式為，將代入得，解得，該拋物線的表達(dá)式為．19．命題1是真命題，證明見解析；命題2是真命題，證明見解析；命題3是真命題，證明見解析【分析】命題1：連接，交于，如圖所示，先由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊一半得到，判定四邊形是平行四邊形，進(jìn)而得到四邊形是菱形，再由中位線的判定與性質(zhì)得到，最后利用三角形面積公式求解即可得證；命題2：連接，交于，如圖所示，先由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊一半得到，判定四邊形是平行四邊形，進(jìn)而得到四邊形是菱形即可得證；命題3：連接，交于，如圖所示，先由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊一半得到，判定四邊形是平行四邊形，再由平行四邊形的判定與性質(zhì)得到四邊形是平行四邊形即可得證．【詳解】解：命題1：若連接交于點(diǎn)，則．命題1是真命題，證明如下：連接，交于，如圖所示：是斜邊上的中線，，，，四邊形是平行四邊形，，四邊形是菱形，，且，，為的中點(diǎn)，是的中位線，則，，則；命題2：若連接，則．命題2是真命題，證明如下：連接，交于，如圖所示：是斜邊上的中線，，，，四邊形是平行四邊形，，四邊形是菱形，；命題3：若連接，則．命題3是真命題，證明如下：連接，交于，如圖所示：是斜邊上的中線，，，，四邊形是平行四邊形，，，，四邊形是平行四邊形，．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形及特殊平行四邊形綜合，涉及直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半、平行四邊形的判定與性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、三角形中位線的判定與性質(zhì)、三角形面積公式等知識，熟記平行四邊形及特殊平行四邊形的判定與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．20．(1)200人(2)375人(3)見解析（答案不唯一）【分析】本題考查了條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖的信息關(guān)聯(lián)，用樣本估計(jì)總體，統(tǒng)計(jì)表等知識點(diǎn)，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)條形統(tǒng)計(jì)圖得到參加體育活動（合體育課）的時(shí)間人數(shù)，再相加即可；（2）用1000人乘以每天參加體育活動時(shí)間不低于兩小時(shí)的學(xué)生人數(shù)占比即可；（3）答案不唯一，合理即可．【詳解】（1）解：這次問卷調(diào)查的學(xué)生人數(shù)為：（人），答：參與這次問卷調(diào)查的學(xué)生人數(shù)有200人；（2）解：（人），答：每天參加體育活動時(shí)間不低于兩小時(shí)的學(xué)生人數(shù)為人；（3）解：從第二項(xiàng)活動可看出學(xué)生更加喜歡球類活動，建議：學(xué)?？梢赃m當(dāng)?shù)脑黾佑嘘P(guān)球類活動的項(xiàng)目和設(shè)施．（答案不唯一）21．（1）；（2）見解析【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，理解題意是解題的關(guān)鍵．（1）利用三角形內(nèi)角和定理求出，根據(jù)題意可得，代入數(shù)據(jù)求出的長，即可解答；（2）運(yùn)用解直角三角形、勾股定理等數(shù)學(xué)知識設(shè)計(jì)方案即可．【詳解】解：（1）∵，，∴，由題意得，，又∵，∴，答：，兩島間的距離為．（2）工具：測角儀、測距儀、無人機(jī)（只能測角度、水平面高度）．測量過程：步驟1：如圖，在空曠地找一點(diǎn)，使得是銳角三角形；步驟2：利用無人機(jī)多次測量并取平均值測得的度數(shù)；步驟3：利用測距儀多次測量并取平均值測得，．計(jì)算過程：過點(diǎn)作，則，∵在中，，，∴，，∴，∵在中，，∴．答：，兩島間的距離為．22．(1)(2)，，，其中、、都是正整數(shù)，，證明見解析(3)280【分析】（1）先由表中勾股數(shù)規(guī)律，令，，，由勾股數(shù)定義列方程求解即可得到答案；（2）由表中數(shù)據(jù)，分別用代數(shù)式表示出，，，再由整式混合運(yùn)算求證即可得證明；（3）由于該圖案是由四個全等的直角三角形組成，下面只需要解決其中一個直角三角形的種植情況即可，根據(jù)題意可知，最短邊為20，另一個直角邊為21，然后根據(jù)勾股定理求得斜邊，即可得到答案．【詳解】（1）解：由表中勾股數(shù)的規(guī)律可知，令，，，則由勾股數(shù)定義可知，即，，解得或（舍去）；故答案為：24．（2）解：由題意，，，，其中、、都是正整數(shù)，，證明過程如下：，，，，，，，；（3）解：由于該圖案是由四個全等的直角三角形組成，下面只需要解決其中一個直角三角形的種植情況即可，如圖所示：設(shè)，即直角三角形中最短邊為，僅在三角形邊上種花，三角形頂點(diǎn)處都種一株花，各邊上相鄰兩株花之間的距離均為，三角形最短邊種株花，，由題意可知，最小為，那么，那么這塊綠地最少需要種植株花．【點(diǎn)睛】本題考查由勾股數(shù)涉及的數(shù)字規(guī)律問題，難度中等偏上，涉及勾股數(shù)定義、整式加減乘法混合運(yùn)算、平方差公式等知識，觀察分析所給表中勾股數(shù)，分類找準(zhǔn)規(guī)律并靈活運(yùn)算解決實(shí)際問題是關(guān)鍵．23．(1)(2)見解析(3)當(dāng)是等腰直角三角形時(shí)，點(diǎn)，，分別為，，的中外比點(diǎn)，證明過程見解析【分析】（1）設(shè)，根據(jù)題意，得，解分式方程，即可求解；（2）①作線段的垂直平分線，交于點(diǎn)；②過點(diǎn)作，且；③連接；④以點(diǎn)為圓心，為半徑，畫弧，交于點(diǎn)；⑤以點(diǎn)為圓心，為半徑，畫弧，交于點(diǎn)，點(diǎn)即為線段的中外比點(diǎn)．設(shè)，根據(jù)勾股定理求得，繼而求得，，分別代入、，即可求證點(diǎn)為線段的中外比點(diǎn)；（3）當(dāng)是等腰三角形時(shí)，點(diǎn)、、分別為，，的中外比點(diǎn)，分三種情況討論：①當(dāng)時(shí)，證得，設(shè)點(diǎn)，則，根據(jù)點(diǎn)、在反比例函數(shù)的圖象上，可構(gòu)建方程，解得，分別求得、、、、、的值，即可求證．設(shè)直線的函數(shù)解析式為，利用待定系數(shù)法求得直線的函數(shù)解析式為，聯(lián)立方程組，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求證；②當(dāng)，同理可證點(diǎn)，，分別為，，的中外比點(diǎn)；③當(dāng)，則點(diǎn)、分別位于軸、軸上，與反比例函數(shù)不符．【詳解】（1）解：設(shè)，則，根據(jù)題意，得：，即，整理，得：，解得：，，，舍去，．（2）解：如圖所示，點(diǎn)為所求．設(shè)，根據(jù)題意，得：，，，，，，，，點(diǎn)為線段的中外比點(diǎn)．（3）解：當(dāng)是等腰三角形時(shí)，點(diǎn)、、分別為，，的中外比點(diǎn)，理由如下：第一種情況：當(dāng)，則，，四邊形是矩形，，，，，設(shè)點(diǎn)，，，則，點(diǎn)、在反比例函數(shù)的圖象上，得：，由①得：，將其代入②，得：，整理，得：，解得：，，（舍去），，，，，，，，，，，，，，，，點(diǎn)、為、的中外比點(diǎn)．點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，，，反比例函數(shù)為，，設(shè)直線的函數(shù)解析式為，將點(diǎn)，代入，得：，直線的函數(shù)解析式為，聯(lián)立方程組，解得：，，，點(diǎn)為的中外比點(diǎn)．第二種情況：當(dāng)，則，，四邊形是矩形，，，，，設(shè)點(diǎn)，，，則，點(diǎn)、在反比例函數(shù)的圖象上，得：，由①得：，將其代入②，得：，整理，得：，解得：，，（舍去），，，，，，，，，，，，點(diǎn)、為、的中外比點(diǎn)．點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，，，反比例函數(shù)為，，設(shè)直線的函數(shù)解析式為，將點(diǎn)，代入，得：，直線的函數(shù)解析式為，聯(lián)立方程組，解得：，，，點(diǎn)為的中外比點(diǎn)．第三種情況：當(dāng)，則點(diǎn)、分別位于軸、軸上，與反比例函數(shù)不符，因此這種情況不存在．綜上所述，當(dāng)是等腰直角三角形時(shí)，點(diǎn)，，分別為，，的中外比點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元二次方程，中外比點(diǎn)即黃金分割點(diǎn)的尺規(guī)作圖，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二次根式的混合運(yùn)算，用待定系數(shù)法求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，兩點(diǎn)坐標(biāo)的距離公式，熟練掌握相關(guān)知識點(diǎn)是解題關(guān)鍵．2024年廣東中考數(shù)學(xué)試題及答案滿分120分考試用時(shí)120分鐘注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必用黑色字跡的簽字筆或鋼筆將自己的準(zhǔn)考證號、姓名、考場號和座位號填寫在答題卡上．用2B鉛筆在“考場號”和“座位號”欄相應(yīng)位置填涂自己的考場號和座位號，將條形碼粘貼在答題卡“條形碼粘貼處”．2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上．3．非選擇題必須用黑色字跡的簽字筆或鋼筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上：如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液．不按以上要求作答的答案無效．4．考生必須保持答題卡的整潔．考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．計(jì)算－5＋3的結(jié)果是（

）A．2 B．－2 C．8 D．－82．下列幾何圖形中，既是中心對稱圖形也是軸對稱圖形的是（

）A． B． C． D．3．年6月6日，嫦娥六號在距離地球約千米外上演“太空牽手”，完成月球軌道的交會對接．?dāng)?shù)據(jù)用科學(xué)記數(shù)法表示為（

）A． B． C． D．4．如圖，一把直尺、兩個含的三角尺拼接在一起，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．5．下列計(jì)算正確的是（

）A． B． C． D．6．長江是中華民族的母親河，長江流域孕育出藏羌文化、巴蜀文化、荊楚文化、吳越文化等區(qū)域文化．若從上述四種區(qū)域文化中隨機(jī)選一種文化開展專題學(xué)習(xí)，則選中“巴蜀文化”的概率是（

）A． B． C． D．7．完全相同的4個正方形面積之和是100，則正方形的邊長是（

）A．2 B．5 C．10 D．208．若點(diǎn)都在二次函數(shù)的圖象上，則（

）A． B． C． D．9．方程的解為（

）A． B． C． D．10．已知不等式的解集是，則一次函數(shù)的圖象大致是（

）A． B． C． D．二、填空題：本大題共5小題，每小題3分，共15分．11．?dāng)?shù)據(jù)2，3，5，5，4的眾數(shù)是．12．關(guān)于x的不等式組中，兩個不等式的解集如圖所示，則這個不等式組的解集是．

13．若關(guān)于的一元二次方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根，則．14．計(jì)算：．15．如圖，菱形的面積為24，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，點(diǎn)F是上的動點(diǎn)．若的面積為4，則圖中陰影部分的面積為．三、解答題（一）：本大題共3小題，每小題7分，共21分．16．計(jì)算：．17．如圖，在中，．

(1)實(shí)踐與操作：用尺規(guī)作圖法作的平分線交于點(diǎn)D；（保留作圖痕跡，不要求寫作法）(2)應(yīng)用與證明：在（1）的條件下，以點(diǎn)D為圓心，長為半徑作．求證：與相切．18．中國新能源汽車為全球應(yīng)對氣候變化和綠色低碳轉(zhuǎn)型作出了巨大貢獻(xiàn)．為滿足新能源汽車的充電需求，某小區(qū)增設(shè)了充電站，如圖是矩形充電站的平面示意圖，矩形是其中一個停車位．經(jīng)測量，，，，，是另一個車位的寬，所有車位的長寬相同，按圖示并列劃定．

根據(jù)以上信息回答下列問題：（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)）(1)求的長；(2)該充電站有20個停車位，求的長．四、解答題（二）：本大題共3小題，每小題9分，共27分．19．端午假期，王先生計(jì)劃與家人一同前往景區(qū)游玩，為了選擇一個最合適的景區(qū)，王先生對A、B、C三個景區(qū)進(jìn)行了調(diào)查與評估．他依據(jù)特色美食、自然風(fēng)光、鄉(xiāng)村民宿及科普基地四個方面，為每個景區(qū)評分（10分制）．三個景區(qū)的得分如下表所示：景區(qū)特色美食自然風(fēng)光鄉(xiāng)村民宿科普基地A6879B7787C8866(1)若四項(xiàng)所占百分比如圖所示，通過計(jì)算回答：王先生會選擇哪個景區(qū)去游玩？(2)如果王先生認(rèn)為四項(xiàng)同等重要，通過計(jì)算回答：王先生將會選擇哪個景區(qū)去游玩？(3)如果你是王先生，請按你認(rèn)為的各項(xiàng)“重要程度”設(shè)計(jì)四項(xiàng)得分的百分比，選擇最合適的景區(qū)，并說明理由．20．廣東省全力實(shí)施“百縣千鎮(zhèn)萬村高質(zhì)量發(fā)展工程”，2023年農(nóng)產(chǎn)品進(jìn)出口總額居全國首位，其中荔枝鮮果遠(yuǎn)銷歐美．某果商以每噸2萬元的價(jià)格收購早熟荔枝，銷往國外．若按每噸5萬元出售，平均每天可售出100噸．市場調(diào)查反映：如果每噸降價(jià)1萬元，每天銷售量相應(yīng)增加50噸．該果商如何定價(jià)才能使每天的“利潤”或“銷售收入”最大？并求出其最大值．（題中“元”為人民幣）21．綜合與實(shí)踐【主題】濾紙與漏斗【素材】如圖1所示：①一張直徑為的圓形濾紙；②一只漏斗口直徑與母線均為的圓錐形過濾漏斗．【實(shí)踐操作】步驟1：取一張濾紙；步驟2：按如圖2所示步驟折疊好濾紙；步驟3：將其中一層撐開，圍成圓錐形；步驟4：將圍成圓錐形的濾紙放入如圖1所示漏斗中．【實(shí)踐探索】(1)濾紙是否能緊貼此漏斗內(nèi)壁（忽略漏斗管口處）？用你所學(xué)的數(shù)學(xué)知識說明．(2)當(dāng)濾紙緊貼漏斗內(nèi)壁時(shí)，求濾紙圍成圓錐形的體積．（結(jié)果保留）五、解答題（三）：本大題共2小題，第22題13分，第23題14分，共27分．22．【知識技能】（1）如圖1，在中，是的中位線．連接，將繞點(diǎn)D按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到．當(dāng)點(diǎn)E的對應(yīng)點(diǎn)與點(diǎn)A重合時(shí)，求證：．【數(shù)學(xué)理解】（2）如圖2，在中，是的中位線．連接，將繞點(diǎn)D按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到，連接，，作的中線．求證：．【拓展探索】（3）如圖3，在中，，點(diǎn)D在上，．過點(diǎn)D作，垂足為E，，．在四邊形內(nèi)是否存在點(diǎn)G，使得？若存在，請給出證明；若不存在，請說明理由．23．【問題背景】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B，D是直線上第一象限內(nèi)的兩個動點(diǎn)，以線段為對角線作矩形，軸．反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A．【構(gòu)建聯(lián)系】（1）求證：函數(shù)的圖象必經(jīng)過點(diǎn)C．（2）如圖2，把矩形沿折疊，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為E．當(dāng)點(diǎn)E落在y軸上，且點(diǎn)B的坐標(biāo)為時(shí)，求k的值．【深入探究】（3）如圖3，把矩形沿折疊，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為E．當(dāng)點(diǎn)E，A重合時(shí)，連接交于點(diǎn)P．以點(diǎn)O為圓心，長為半徑作．若，當(dāng)與的邊有交點(diǎn)時(shí)，求k的取值范圍．1．B【分析】根據(jù)有理數(shù)的加法法則，即可求解.【詳解】∵－5＋3=-(5-3)=-2，故答案是：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查有理數(shù)的加法法則，掌握“異號兩數(shù)相加，取絕對值較大的數(shù)的符號，并把較大數(shù)的絕對值減去較小數(shù)的絕對值”是解題的關(guān)鍵.2．C【分析】本題主要考查了中心對稱圖形和軸對稱圖形的定義，如果一個平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形；中心對稱圖形的定義：把一個圖形繞著某一個點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點(diǎn)就是它的對稱中心．根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義進(jìn)行逐一判斷即可．【詳解】解：A．是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故不符合題意；B．不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故不符合題意；C．既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故不符合題意；D．是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故不符合題意；故選：C．3．B【分析】本題考查了絕對值大于1的科學(xué)記數(shù)法的表示，解題的關(guān)鍵在于確定的值．根據(jù)絕對值大于1的數(shù)，用科學(xué)記數(shù)法表示為，其中，的值為整數(shù)位數(shù)少1．【詳解】解：大于1，用科學(xué)記數(shù)法表示為，其中，，∴用科學(xué)記數(shù)法表示為，故選：B．4．C【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)．熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．由題意知，，根據(jù)，求解作答即可．【詳解】解：由題意知，，∴，故選：C．5．D【分析】本題主要考查了同底數(shù)冪乘除法計(jì)算，冪的乘方計(jì)算，合并同類項(xiàng)，熟知相關(guān)計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：A、，原式計(jì)算錯誤，不符合題意；B、，原式計(jì)算錯誤，不符合題意；C、，原式計(jì)算錯誤，不符合題意；D、，原式計(jì)算正確，符合題意；故選：D．6．A【分析】本題考查了概率公式，用到的知識點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．直接根據(jù)概率公式求解即可．【詳解】解：根據(jù)題意，選中“巴蜀文化”的概率是，故選：A．7．B【分析】本題主要考查了算術(shù)平方根的應(yīng)用，先求出一個正方形的面積，再根據(jù)正方形的面積計(jì)算公式求出對應(yīng)的邊長即可．【詳解】解：∵完全相同的4個正方形面積之和是100，∴一個正方形的面積為，∴正方形的邊長為，故選：B．8．A【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征等知識點(diǎn)，根據(jù)二次函數(shù)的解析式得出函數(shù)圖象的對稱軸是y軸（直線），圖象的開口向上，在對稱軸的右側(cè)，y隨x的增大而增大，再比較即可．【詳解】解∶二次函數(shù)的對稱軸為y軸，開口向上，∴當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大，∵點(diǎn)都在二次函數(shù)的圖象上，且，∴，故選∶A．9．C【分析】把分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解．【詳解】解：去分母得：，去括號得：，移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)得：，解得：x=9，經(jīng)檢驗(yàn)：x=9是原分式方程的解，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了解分式方程，利用了轉(zhuǎn)化的思想，解題的關(guān)鍵是解分式方程注意要檢驗(yàn)，避免出現(xiàn)增根．10．B【分析】本題考查一次函數(shù)與一元一次不等式，解不等式的方法：從函數(shù)的角度看，就是尋求使一次函數(shù)的值大于（或小于）0的自變量x的取值范圍．找到當(dāng)函數(shù)圖象位于x軸的下方的圖象即可．【詳解】解∶∵不等式的解集是，∴當(dāng)時(shí)，，觀察各個選項(xiàng)，只有選項(xiàng)B符合題意，故選：B．11．5【分析】由于眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)，注意眾數(shù)可以不止一個，由此即可確定這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)．【詳解】解：∵5是這組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)，∴這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為5．故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題屬于基礎(chǔ)題，考查了確定一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)的能力，解題關(guān)鍵是要明確定義，讀懂題意．12．##【分析】本題主要考查了求不等式組的解集，在數(shù)軸上表示不等式組的解集，根據(jù)“同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到（無解）”求出不等式組的解集即可．【詳解】解：由數(shù)軸可知，兩個不等式的解集分別為，，∴不等式組的解集為，故答案為：．13．1【分析】由有兩個相等的實(shí)數(shù)根，可得進(jìn)而可解答．【詳解】解：∵有兩個相等的實(shí)數(shù)根，∴，∴．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題主要考查根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)，掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．14．1【分析】本題主要考查了同分母分式減法計(jì)算，根據(jù)同分母分式減法計(jì)算法則求解即可．【詳解】解：，故答案為：1．15．10【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，三角形中線的性質(zhì)，利用菱形的性質(zhì)、三角形中線的性質(zhì)求出，，根據(jù)和菱形的面積求出，，則可求出的面積，然后利用求解即可．【詳解】解：連接，∵菱形的面積為24，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，的面積為4，∴，，設(shè)菱形中邊上的高為h，則，即，∴，∴，∴，∴，∴，故答案為：10．16．2【分析】本題主要考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，零指數(shù)冪，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，先計(jì)算零指數(shù)冪，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪和算術(shù)平方根，再計(jì)算乘法，最后計(jì)算加減法即可．【詳解】解：．17．(1)見解析(2)證明見解析【分析】本題考查了尺規(guī)作角平分線，角平分線的性質(zhì)定理，切線的判定等知識．熟練上述知識是解題的關(guān)鍵．（1）利用尺規(guī)作角平分線的方法解答即可；（2）如圖2，作于，由角平分線的性質(zhì)定理可得，由是半徑，，可證與相切．【詳解】（1）解：如圖1，即為所作；

（2）證明：如圖2，作于，

∵是的平分線，，，∴，∵是半徑，，∴與相切．18．(1)(2)【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用：（1）先由矩形的性質(zhì)得到，再解得到，接著解直角三角形得到，進(jìn)而求出，據(jù)此可得答案；（2）解得到，解得到，再根據(jù)有20個停車位計(jì)算出的長即可得到答案．【詳解】（1）解：∵四邊形是矩形，∴，在中，，，∴，，∵四邊形是矩形，∴，∴，∴，∴；∵，∴，∴

（2）解：在中，，在中，，∵該充電站有20個停車位，∴，∵四邊形是矩形，∴．19．(1)王先生會選擇B景區(qū)去游玩(2)王先生會選擇A景區(qū)去游玩(3)最合適的景區(qū)是B景區(qū)，理由見解析（不唯一）【分析】本題主要考查了求平均數(shù)和求加權(quán)平均數(shù)：（1）根據(jù)加權(quán)平均數(shù)的計(jì)算方法分別計(jì)算出三個景區(qū)的得分即可得到答案；（2）根據(jù)平均數(shù)的計(jì)算方法分別計(jì)算出三個景區(qū)的得分即可得到答案；（3）設(shè)計(jì)對應(yīng)的權(quán)重，仿照（1）求解即可．【詳解】（1）解：A景區(qū)得分為分，B景區(qū)得分為分，C景區(qū)得分為分，∵，∴王先生會選擇B景區(qū)去游玩；（2）解：A景區(qū)得分分，B景區(qū)得分分，C景區(qū)得分分，∵，∴王先生會選擇A景區(qū)去游玩；（3）解：最合適的景區(qū)是B景區(qū)，理由如下：設(shè)特色美食、自然風(fēng)光、鄉(xiāng)村民宿及科普基地四個方面的占比分別為，A景區(qū)得分為分，B景區(qū)得分為分，C景區(qū)得分為分，∵，∴王先生會選擇B景區(qū)去游玩．20．當(dāng)定價(jià)為4.5萬元每噸時(shí)，利潤最大，最大值為312.5萬元【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，設(shè)每噸降價(jià)x萬元，每天的利潤為w萬元，根據(jù)利潤每噸的利潤銷售量列出w關(guān)于x的二次函數(shù)關(guān)系式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：設(shè)每噸降價(jià)x萬元，每天的利潤為w萬元，由題意得，，∵，∴當(dāng)時(shí)，w有最大值，最大值為，∴，答：當(dāng)定價(jià)為萬元每噸時(shí)，利潤最大，最大值為萬元．21．(1)能，見解析(2)【分析】本題考查了圓錐，解題的關(guān)鍵是：（1）利用圓錐的底面周長＝側(cè)面展開扇形的弧長求出圓錐展開圖的扇形圓心角，即可判斷；（2）利用圓錐的底面周長＝側(cè)面展開扇形的弧長，求出濾紙圍成圓錐形底面圓的半徑，利用勾股定理求出圓錐的高，然后利用圓錐體積公式求解即可．【詳解】（1）解：能，理由：設(shè)圓錐展開圖的扇形圓心角為，根據(jù)題意，得，解得，∴將圓形濾紙對折，將其中一層撐開，圍成圓錐形，此時(shí)濾紙能緊貼此漏斗內(nèi)壁；（2）解：設(shè)濾紙圍成圓錐形底面圓的半徑為，高為，根據(jù)題意，得，解得，∴，∴圓錐的體積為．22．（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）存在，證明見解析【分析】（1）根據(jù)中位線的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可證明；（2）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、外角定理、中位線的性質(zhì)證明后即可證明；（3）通過解直角三角形得到，，過點(diǎn)C作于點(diǎn)M，易證，得到，即可求得，進(jìn)而，從而點(diǎn)M是的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作，交于點(diǎn)P，連接，，，根據(jù)三線合一得，證明，即可求的，過點(diǎn)P作于點(diǎn)N，則四邊形是矩形，得到，因此點(diǎn)N是的中點(diǎn)，進(jìn)而，再證，得到，根據(jù)，即可推出，因此當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)P重合時(shí)，滿足．【詳解】證明：（1）是的中位線，且．又繞點(diǎn)D按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到．（2）由題意可知：，，．作，則且，又，．根據(jù)外角定理，，．又，是的中位線，，，，，，．（3）存在點(diǎn)使得．∵，∴，∴在中，，過點(diǎn)C作于點(diǎn)M，∴，∵，∴∴，即，∴，∴，∵，∴，∴點(diǎn)M是的中點(diǎn)，∴是的垂直平分線，過點(diǎn)D作，交于點(diǎn)P，連接，，∴，∴根據(jù)三線合一得，∵，∴，∵，∴，∴，即，∴，過點(diǎn)P作于點(diǎn)N，則四邊形是矩形，∴，∵，∴，∴點(diǎn)N是的中點(diǎn)，∴垂直平分，∴，∴，∵，，∴，又，∴，∴，∵，∴即，∴，∴當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)P重合時(shí)，滿足．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、中位線的性質(zhì)、外角定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、解直角三角形，熟練掌握知識點(diǎn)以及靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．23．（1）證明見解析；（2）；（3）【分析】（1）設(shè)，則，用含的代數(shù)式表示出，再代入驗(yàn)證即可得解；（2）先由點(diǎn)B的坐標(biāo)和k表示出，再由折疊性質(zhì)得出，如圖，過點(diǎn)D作軸，過點(diǎn)B作軸，證出，由比值關(guān)系可求出，最后由即可得解；（3）當(dāng)過點(diǎn)B時(shí)，如圖所示，過點(diǎn)D作軸交y軸于點(diǎn)H，求出k的值，當(dāng)過點(diǎn)A時(shí)，根據(jù)A，C關(guān)于直線對軸知，必過點(diǎn)C，如圖所示，連，，過點(diǎn)D作軸交y軸于點(diǎn)H，求出k的值，進(jìn)而即可求出k的取值范圍．【詳解】（1）設(shè)，則，∵軸，∴D點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，∴將代入中得：得，∴，∴，∴，∴將代入中得出，∴函數(shù)的圖象必經(jīng)過點(diǎn)C；（2）∵點(diǎn)在直線上，∴，∴，∴A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，C點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，∵函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A，C，∴，，∴，∴，∵把矩形沿折疊，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為E，∴，，∴，如圖，過點(diǎn)D作軸，過點(diǎn)B作軸，∵軸，∴H，A，D三點(diǎn)共線，∴，，∴，∵，∴，∴,∵，∴，，∴，由圖知，，∴，∴；（3）∵把矩形沿折疊，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為E，當(dāng)點(diǎn)E，A重合，∴，∵四邊形為矩形，∴四邊形為正方形，，∴，，，∵軸，∴直線為一，三象限的夾角平分線，∴，當(dāng)過點(diǎn)B時(shí)，如圖所示，過點(diǎn)D作軸交y軸于點(diǎn)H，∵軸，∴H，A，D三點(diǎn)共線，∵以點(diǎn)O為圓心，長為半徑作，，∴，∴，∴，，，∵軸，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，當(dāng)過點(diǎn)A時(shí)，根據(jù)A，C關(guān)于直線對軸知，必過點(diǎn)C，如圖所示，連，，過點(diǎn)D作軸交y軸于點(diǎn)H，∵,∴為等邊三角形，∵，∴，∴，，∴，，∵軸，∴，∴，∴,∴，∴，∴，∴,∴當(dāng)與的邊有交點(diǎn)時(shí)，k的取值范圍為．2023年廣東中考數(shù)學(xué)真題及答案滿分120分，考試用時(shí)90分鐘．一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.負(fù)數(shù)的概念最早出現(xiàn)在我國古代著名的數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》中，如果把收入5元記作元，那么支出5元記作（）A.元 B.0元 C.元 D.元2.下列出版社的商標(biāo)圖案中，是軸對稱圖形的為（）A. B. C. D.3.2023年5月28日，我國自主研發(fā)的C919國產(chǎn)大飛機(jī)商業(yè)首航取得圓滿成功，C919可儲存約186000升燃油，將數(shù)據(jù)186000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A. B. C. D.4.如圖，街道與平行，拐角，則拐角（）A. B. C. D.5.計(jì)算的結(jié)果為（）A. B. C. D.6.我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾為普及優(yōu)選法作出重要貢獻(xiàn)，優(yōu)選法中有一種0.618法應(yīng)用了（）A.黃金分割數(shù) B.平均數(shù) C.眾數(shù) D.中位數(shù)7.某學(xué)校開設(shè)了勞動教育課程.小明從感興趣的“種植”“烹飪”“陶藝”“木工”4門課程中隨機(jī)選擇一門學(xué)習(xí)，每門課程被選中的可能性相等，小明恰好選中“烹飪”的概率為（）A. B. C. D.8.一元一次不等式組的解集為()A. B. C. D.9.如圖，是的直徑，，則（）A. B. C. D.10.如圖，拋物線經(jīng)過正方形的三個頂點(diǎn)A，B，C，點(diǎn)B在軸上，則的值為（）A. B. C. D.二、填空題：本大題共5小題，每小題3分，共15分．11.因式分解：______.12.計(jì)算_________．13.某蓄電池電壓為，使用此蓄電池時(shí)，電流(單位：)與電阻(單位：)的函數(shù)表達(dá)式為，當(dāng)時(shí)，的值為_______．14.某商品進(jìn)價(jià)4元，標(biāo)價(jià)5元出售，商家準(zhǔn)備打折銷售，但其利潤率不能少于，則最多可打_______折．15.邊長分別為10，6，4的三個正方形拼接在一起，它們的底邊在同一直線上（如圖），則圖中陰影部分的面積為_______．三、解答題（一）：本大題共3小題，第16題10分，第17、18題各7分，共24分．16.（1）計(jì)算：；（2）已知一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)與點(diǎn)，求該一次函數(shù)的表達(dá)式．17.某學(xué)校開展了社會實(shí)踐活動，活動地點(diǎn)距離學(xué)校，甲、乙兩同學(xué)騎自行車同時(shí)從學(xué)校出發(fā)，甲的速度是乙的倍，結(jié)果甲比乙早到，求乙同學(xué)騎自行車的速度．18.2023年5月30日，神舟十六號載人飛船發(fā)射取得圓滿成功，3名航天員順利進(jìn)駐中國空間站，如圖中的照片展示了中國空間站上機(jī)械臂的一種工作狀態(tài)，當(dāng)兩臂，兩臂夾角時(shí)，求A，B兩點(diǎn)間的距離．(結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)，，)四、解答題（二）：本大題共3小題，每小題9分，共27分．19.如圖，在中，．（1）實(shí)踐與操作：用尺規(guī)作圖法過點(diǎn)作邊上的高；(保留作圖痕跡，不要求寫作法)（2）應(yīng)用與計(jì)算：在（1）的條件下，，，求的長．20.綜合與實(shí)踐主題：制作無蓋正方體形紙盒素材：一張正方形紙板．步驟1：如圖1，將正方形紙板的邊長三等分，畫出九個相同的小正方形，并剪去四個角上的小正方形；步驟2：如圖2，把剪好的紙板折成無蓋正方體形紙盒．猜想與證明：（1）直接寫出紙板上與紙盒上的大小關(guān)系；（2）證明（1）中你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論．21.小紅家到學(xué)校有兩條公共汽車線路，為了解兩條線路的乘車所用時(shí)間，小紅做了試驗(yàn)，第一周(5個工作日)選擇A線路，第二周(5個工作日)選擇B線路，每天在固定時(shí)間段內(nèi)乘車2次并分別記錄所用時(shí)間，數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：(單位：min)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)表試驗(yàn)序號12345678910A線路所用時(shí)間15321516341821143520B線路所用時(shí)間25292325272631283024數(shù)據(jù)折線統(tǒng)計(jì)圖根據(jù)以上信息解答下列問題：平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)方差A(yù)線路所用時(shí)間22a1563.2B線路所用時(shí)間b26.5c6.36（1）填空：__________；___________；___________；（2）應(yīng)用你所學(xué)的統(tǒng)計(jì)知識，幫助小紅分析如何選擇乘車線路．五、解答題（三）：本大題共2小題，每小題12分，共24分．22.綜合探究如圖1，在矩形中，對角線相交于點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)為，連接交于點(diǎn)，連接．（1）求證：；（2）以點(diǎn)圓心，為半徑作圓．①如圖2，與相切，求證：；②如圖3，與相切，，求的面積．23.綜合運(yùn)用如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形的頂點(diǎn)A在軸的正半軸上，如圖2，將正方形繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為，交直線于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．（1）當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為多少度時(shí)，；（直接寫出結(jié)果，不要求寫解答過程）（2）若點(diǎn)，求的長；（3）如圖3，對角線交軸于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，連接，將與面積分別記為與，設(shè)，，求關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式．參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．【1題答案】【答案】A【2題答案】【答案】A【3題答案】【答案】B【4題答案】【答案】D【5題答案】【答案】C【6題答案】【答案】A【7題答案】【答案】C【8題答案】【答案】D【9題答案】【答案】B【10題答案】【答案】B二、填空題：本大題共5小題，每小題3分，共15分．【11題答案】【答案】【12題答案】【答案】6【13題答案】【答案】4【14題答案】【答案】9.2【15題答案】【答案】15三、解答題（一）：本大題共3小題，第16題10分，第17、18題各7分，共24分．【16題答案】【答案】（1）；（2）【17題答案】【答案】乙同學(xué)騎自行車的速度為千米/分鐘．【18題答案】【答案】四、解答題（二）：本大題共3小題，每小題9分，共27分．【19題答案】【答案】（1）見解析（2）【20題答案】【答案】（1）（2）證明見解析.【21題答案】【答案】（1）19，26.8，25（2）見解析五、解答題（三）：本大題共2小題，每小題12分，共24分．【22題答案】【答案】（1）見解析（2）①見解析；②【23題答案】【答案】（1）（2）（3）

2022年廣東中考數(shù)學(xué)真題及答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．（） A．﹣2 B．2 C． D．2．計(jì)算（） A．1 B． C．2 D．43．下列圖形中有穩(wěn)定性的是（） A．三角形 B．平行四邊形 C．長方形 D．正方形4．如題4圖，直線a//b，∠1=40°，則∠2=（） A．30° B．40° C．50° D．60°5．如題5圖，在△ABC中，BC=4，點(diǎn)D，E分別為AB，AC的中點(diǎn)，則DE=（） A． B． C．1 D．26．在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)（1，1）向右平移2個單位后，得到的點(diǎn)的坐標(biāo)是（） A．（3，1） B．（﹣1，1） C．（1，3） D．（1，﹣1）7．書架上有2本數(shù)學(xué)書、1本物理書．從中任取1本書是物理書的概率為（） A． B． C． D．8．如題8圖，在?ABCD中，一定正確的是（） A．AD=CD B．AC=BD C．AB=CD D．CD=BC9．點(diǎn)（1，），（2，），(3，)，（4，）在反比例函數(shù)圖象上，則，，，中最小的是（） A． B． C． D．10．水中漣漪（圓形水波）不斷擴(kuò)大，記它的半徑為r，則圓周長C與r的關(guān)系式為C=2πr．下列判斷正確的是（） A．2是變量 B．π是變量 C．r是變量 D．C是常量參考答案：題號12345678910答案BDABDABCDC二、填空題：本大題共5小題，每小題3分，共15分.11．sin30°=____________．12．單項(xiàng)式3xy的系數(shù)為____________．13．菱形的邊長為5，則它的周長為____________．14．若x=1是方程的根，則a=____________．15．扇形的半徑為2，圓心角為90°，則該扇形的面積（結(jié)果保留π）為____________．參考答案：題號1112131415答案3201π三、解答題（二）：本大題共3小題，每小題8分，共24分16．解不等式組：參考答案：由①得：由②得：∴不等式組的解集：17．先化簡，再求值：，其中a＝5．參考答案：原式=將a＝5代入得，18．如題18圖，已知∠AOC＝∠BOC，點(diǎn)P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E．求證：△OPD≌△OPE．參考答案：證明：∵PD⊥OA，PE⊥OB∴∠PDO＝∠PEO=90°∵在△OPD和△OPE中∴△OPD≌△OPE（AAS）四、解答題（二）：本大題共3小題，每小題9分，共27分．19．《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學(xué)專著，幾名學(xué)生要湊錢購買1本．若每人出8元，則多了3元；若每人出7元，則少了4元．問學(xué)生人數(shù)和該書單價(jià)各是多少？參考答案：設(shè)學(xué)生人數(shù)為x人則該書單價(jià)是（元）答：學(xué)生人數(shù)是7人，該書單價(jià)是53元．20．物理實(shí)驗(yàn)證實(shí)：在彈性限度內(nèi)，某彈簧長度y（cm）與所掛物體質(zhì)量x（kg）滿足看數(shù)關(guān)系y=kx+15．下表是測量物體質(zhì)量時(shí)，該彈簧長度與所掛物體質(zhì)量的數(shù)量關(guān)系．x025y151925（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)彈簧長度為20cm時(shí)，求所掛物體的質(zhì)量．參考答案：（1）將和代入y=kx+15得19=2k+15解得：∴y與x的函數(shù)關(guān)系式：y=2x+15（2）將代入y=2x+15得20=2x+15解得：∴當(dāng)彈簧長度為20cm時(shí)，求所掛物體的質(zhì)量是kg．21．為振興鄉(xiāng)村經(jīng)濟(jì)，在農(nóng)產(chǎn)品網(wǎng)絡(luò)銷售中實(shí)行目標(biāo)管理，根據(jù)目標(biāo)完成的情況對銷售員給予適當(dāng)?shù)莫剟?，某村委會統(tǒng)計(jì)了15名銷售員在某月的銷售額(單位：萬元)，數(shù)據(jù)如下：1047541054418835108（1）補(bǔ)全月銷售額數(shù)據(jù)的條形統(tǒng)計(jì)圖．（2）月銷售額在哪個值的人數(shù)最多（眾數(shù)）？中間的月銷售額（中位數(shù)）是多少？平均月銷售額（平均數(shù)）是多少？（3）根據(jù)（2）中的結(jié)果，確定一個較高的銷售目標(biāo)給予獎勵，你認(rèn)為月銷售額定為多少合適？參考答案：（1）月銷售額數(shù)據(jù)的條形統(tǒng)計(jì)圖如圖所示：（2）（萬元）∴月銷售額的眾數(shù)是4萬元；中間的月銷售額是5萬元；平均月銷售額是7萬元．（3）月銷售額定為7萬元合適．五、解答題（三）：本大題共2小題，每小題12分，共24分．22．如題22圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AC為⊙O的直徑，∠ADB=∠CDB．（1）試判斷△ABC的形狀，并給出證明；（2）若，AD=1，求CD的長度．參考答案：（1）△ABC是等腰直角三角形，理由如下：∵∠ADB=∠CDB∴∴∵AC是直徑∴∠ABC是90°∴△ABC是等腰直角三角形（2）在Rt△ABC中可得：∵AC是直徑∴∠ADC是90°∴在Rt△ADC中可得：∴CD的長度是23．如題23圖，拋物線（b，c是常數(shù)）的頂點(diǎn)為C，與x軸交于A，B兩點(diǎn)，A（1,0），AB=4，點(diǎn)P為線段AB上的動點(diǎn)，過P作PQ//BC交AC于點(diǎn)Q．（1）求該拋物線的解析式；（2）求△CPQ面積的最大值，并求此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)．參考答案：（1）∵A（1,0），AB=4 ∴結(jié)合圖象點(diǎn)B坐標(biāo)是（﹣3,0）將（1,0），（﹣3,0）代入得解得：∴該拋物線的解析式：（2）設(shè)點(diǎn)P為∵點(diǎn)C是頂點(diǎn)坐標(biāo)∴將代入得∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是將點(diǎn)，（1,0）代入得解得：∴AC解析式：將點(diǎn)，（﹣3,0）代入得解得：∴BC解析式：∵PQ//BC∴PQ解析式：解得：∴點(diǎn)Q坐標(biāo)：（注意：點(diǎn)Q縱坐標(biāo)是負(fù)的）當(dāng)時(shí)，取得最大值2，此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)是（﹣1,0）∴△CPQ面積最大值2，此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)是（﹣1,0）

2021年廣東省中考數(shù)學(xué)真題及答案一、選擇題（本大題共10題，每小題3分，滿分30分）1．下列四個選項(xiàng)中，為負(fù)整數(shù)的是（）A．0 B．﹣0.5 C．﹣ D．﹣22．如圖，在數(shù)軸上，點(diǎn)A、B分別表示a、b，且a+b＝0，若AB＝6，則點(diǎn)A表示的數(shù)為（）A．﹣3 B．0 C．3 D．﹣63．方程＝的解為（）A．x＝﹣6 B．x＝﹣2 C．x＝2 D．x＝64．下列運(yùn)算正確的是（）A．|﹣（﹣2）|＝﹣2 B．3+＝3 C．（a2b3）2＝a4b6 D．（a﹣2）2＝a2﹣45．下列命題中，為真命題的是（）（1）對角線互相平分的四邊形是平行四邊形（2）對角線互相垂直的四邊形是菱形（3）對角線相等的平行四邊形是菱形（4）有一個角是直角的平行四邊形是矩形A．（1）（2） B．（1）（4） C．（2）（4） D．（3）（4）6．為了慶祝中國共產(chǎn)黨成立100周年，某校舉辦了黨史知識競賽活動，在獲得一等獎的學(xué)生中，有3名女學(xué)生，1名男學(xué)生，則從這4名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生，恰好抽到2名女學(xué)生的概率為（）A． B． C． D．7．一根鋼管放在V形架內(nèi)，其橫截面如圖所示，鋼管的半徑是24cm，若∠ACB＝60°，則劣弧AB的長是（）A．8πcm B．16πcm C．32πcm D．192πcm8．拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)（﹣1，0）、（3，0），且與y軸交于點(diǎn)（0，﹣5），則當(dāng)x＝2時(shí)，y的值為（）A．﹣5 B．﹣3 C．﹣1 D．59．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△AB′C′，使點(diǎn)C′落在AB邊上，連結(jié)BB′，則sin∠BB′C′的值為（）A． B． C． D．10．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形OABC的點(diǎn)A在函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，點(diǎn)C在函數(shù)y＝﹣（x＜0）的圖象上，若點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為﹣，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（）A．（，2） B．（，） C．（2，） D．（，）二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，滿分18分）11．代數(shù)式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義時(shí)，x應(yīng)滿足的條件是．12．方程x2﹣4x＝0的實(shí)數(shù)解是．13．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，線段AB的垂直平分線分別交AC、AB于點(diǎn)D、E，連結(jié)BD．若CD＝1，則AD的長為．14．一元二次方程x2﹣4x+m＝0有兩個相等的實(shí)數(shù)根，點(diǎn)A（x1，y1）、B（x2，y2）是反比例函數(shù)y＝上的兩個點(diǎn)，若x1＜x2＜0，則y1y2（填“＜”或“＞”或“＝”）．15．如圖，在△ABC中，AC＝BC，∠B＝38°，點(diǎn)D是邊AB上一點(diǎn)，點(diǎn)B關(guān)于直線CD的對稱點(diǎn)為B′，當(dāng)B′D∥AC時(shí)，則∠BCD的度數(shù)為．16．如圖，正方形ABCD的邊長為4，點(diǎn)E是邊BC上一點(diǎn)，且BE＝3，以點(diǎn)A為圓心，3為半徑的圓分別交AB、AD于點(diǎn)F、G，DF與AE交于點(diǎn)H．并與⊙A交于點(diǎn)K，連結(jié)HG、CH．給出下列四個結(jié)論．其中正確的結(jié)論有（填寫所有正確結(jié)論的序號）．（1）H是FK的中點(diǎn)（2）△HGD≌△HEC（3）S△AHG：S△DHC＝9：16（4）DK＝三、解答題（本大題共9小題，滿分72分）17．解方程組．18．如圖，點(diǎn)E、F在線段BC上，AB∥CD，∠A＝∠D，BE＝CF，證明：AE＝DF．19．已知A＝（﹣）?．（1）化簡A；（2）若m+n﹣2＝0，求A的值．20．某中學(xué)為了解初三學(xué)生參加志愿者活動的次數(shù)，隨機(jī)調(diào)查了該年級20名學(xué)生，統(tǒng)計(jì)得到該20名學(xué)生參加志愿者活動的次數(shù)如下：3，5，3，6，3，4，4，5，2，4，5，6，1，3，5，5，4，4，2，4根據(jù)以上數(shù)據(jù)，得到如下不完整的頻數(shù)分布表：次數(shù)123456人數(shù)12a6b2（1）表格中的a＝，b＝；（2）在這次調(diào)查中，參加志愿者活動的次數(shù)的眾數(shù)為，中位數(shù)為；（3）若該校初三年級共有300名學(xué)生，根據(jù)調(diào)查統(tǒng)計(jì)結(jié)果，估計(jì)該校初三年級學(xué)生參加志愿者活動的次數(shù)為4次的人數(shù)．21．民生無小事，枝葉總關(guān)情，廣東在“我為群眾辦實(shí)事”實(shí)踐活動中推出“粵菜師傅”、“廣東技工”、“南粵家政”三項(xiàng)培訓(xùn)工程，今年計(jì)劃新增加培訓(xùn)共100萬人次．（1）若“廣東技工”今年計(jì)劃新增加培訓(xùn)31萬人次，“粵菜師傅”今年計(jì)劃新增加培訓(xùn)人次是“南粵家政”的2倍，求“南粵家政”今年計(jì)劃新增加的培訓(xùn)人次；（2）“粵菜師傅”工程開展以來，已累計(jì)帶動33.6萬人次創(chuàng)業(yè)就業(yè)，據(jù)報(bào)道，經(jīng)過“粵菜師傅”項(xiàng)目培訓(xùn)的人員工資穩(wěn)定提升，已知李某去年的年工資收入為9.6萬元，預(yù)計(jì)李某今年的年工資收入不低于12.48萬元，則李某的年工資收入增長率至少要達(dá)到多少？22．如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝90°，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，且AC＝AD．（1）尺規(guī)作圖：作∠CAD的平分線AF，交CD于點(diǎn)F，連結(jié)EF、BF（保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）在（1）所作的圖中，若∠BAD＝45°，且∠CAD＝2∠BAC，證明：△BEF為等邊三角形．23．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l：y＝x+4分別與x軸，y軸相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P（x，y）為直線l在第二象限的點(diǎn)．（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）設(shè)△PAO的面積為S，求S關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出x的取值范圍；（3）作△PAO的外接圓⊙C，延長PC交⊙C于點(diǎn)Q，當(dāng)△POQ的面積最小時(shí)，求⊙C的半徑．24．已知拋物線y＝x2﹣（m+1）x+2m+3．（1）當(dāng)m＝0時(shí)，請判斷點(diǎn)（2，4）是否在該拋物線上；（2）該拋物線的頂點(diǎn)隨著m的變化而移動，當(dāng)頂點(diǎn)移動到最高處時(shí)，求該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（3）已知點(diǎn)E（﹣1，﹣1）、F（3，7），若該拋物線與線段EF只有一個交點(diǎn)，求該拋物線頂點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍．25．如圖，在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2，點(diǎn)E為邊AB上一個動點(diǎn)，延長BA到點(diǎn)F，使AF＝AE，且CF、DE相交于點(diǎn)G．（1）當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動到AB中點(diǎn)時(shí)，證明：四邊形DFEC是平行四邊形；（2）當(dāng)CG＝2時(shí)，求AE的長；（3）當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)A開始向右運(yùn)動到點(diǎn)B時(shí)，求點(diǎn)G運(yùn)動路徑的長度．

參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）1．下列四個選項(xiàng)中，為負(fù)整數(shù)的是（）A．0 B．﹣0.5 C．﹣ D．﹣2【分析】根據(jù)整數(shù)的概念可以解答本題．【解答】解：A、0是整數(shù)，但0既不是負(fù)數(shù)也不是正數(shù)，故此選項(xiàng)不符合題意；B、﹣0.5是負(fù)分?jǐn)?shù)，不是整數(shù)，故此選項(xiàng)不符合題意；C、﹣是負(fù)無理數(shù)，不是整數(shù)，故此選項(xiàng)不符合題意；D、﹣2是負(fù)整數(shù)，故此選項(xiàng)符合題意．故選：D．2．如圖，在數(shù)軸上，點(diǎn)A、B分別表示a、b，且a+b＝0，若AB＝6，則點(diǎn)A表示的數(shù)為（）A．﹣3 B．0 C．3 D．﹣6【分析】根據(jù)相反數(shù)的性質(zhì)，由a+b＝0，AB＝6得a＜0，b＞0，b＝﹣a，故AB＝b+（﹣a）＝6．進(jìn)而推斷出a＝﹣3．【解答】解：∵a+b＝0，∴a＝﹣b，即a與b互為相反數(shù)．又∵AB＝6，∴b﹣a＝6．∴2b＝6．∴b＝3．∴a＝﹣3，即點(diǎn)A表示的數(shù)為﹣3．故選：A．3．方程＝的解為（）A．x＝﹣6 B．x＝﹣2 C．x＝2 D．x＝6【分析】求解分式方程，根據(jù)方程的解得結(jié)論．【解答】解：去分母，得x＝2x﹣6，∴x＝6．經(jīng)檢驗(yàn)，x＝6是原方程的解．故選：D．4．下列運(yùn)算正確的是（）A．|﹣（﹣2）|＝﹣2 B．3+＝3 C．（a2b3）2＝a4b6 D．（a﹣2）2＝a2﹣4【分析】根據(jù)絕對值的定義、二次根式的運(yùn)算法則、冪的乘方和積的乘方的運(yùn)算法則，完全平方公式等知識進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：A、|﹣（﹣2）|＝2，原計(jì)算錯誤，故本選項(xiàng)不符合題意；B、3與不是同類二次根式，不能合并，原計(jì)算錯誤，故本選項(xiàng)不符合題意；C、（a2b3）2＝a4b6，原計(jì)算正確，故本選項(xiàng)符合題意；D、（a﹣2）2＝a2﹣4a+4，原計(jì)算錯誤，故本選項(xiàng)不符合題意．故選：C．5．下列命題中，為真命題的是（）（1）對角線互相平分的四邊形是平行四邊形（2）對角線互相垂直的四邊形是菱形（3）對角線相等的平行四邊形是菱形（4）有一個角是直角的平行四邊形是矩形A．（1）（2） B．（1）（4） C．（2）（4） D．（3）（4）【分析】利用平行四邊形、矩形及菱形的判定方法分別判斷后即可確定正確的選項(xiàng)．【解答】解：（1）對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，正確，為真命題，符合題意；（2）對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，故原命題錯誤，是假命題，不符合題意；（3）對角線相等的平行四邊形是矩形，故原命題錯誤，為假命題，不符合題意；（4）有一個角是直角的平行四邊形是矩形，正確，是真命題，符合題意，真命題為（1）（4），故選：B．6．為了慶祝中國共產(chǎn)黨成立100周年，某校舉辦了黨史知識競賽活動，在獲得一等獎的學(xué)生中，有3名女學(xué)生，1名男學(xué)生，則從這4名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生，恰好抽到2名女學(xué)生的概率為（）A． B． C． D．【分析】畫樹狀圖，共有12種等可能的結(jié)果，恰好抽到2名女學(xué)生的結(jié)果有6種，再由概率公式求解即可．【解答】解：畫樹狀圖如圖：共有12種等可能的結(jié)果，恰好抽到2名女學(xué)生的結(jié)果有6種，∴恰好抽到2名女學(xué)生的概率為＝，故選：B．7．一根鋼管放在V形架內(nèi)，其橫截面如圖所示，鋼管的半徑是24cm，若∠ACB＝60°，則劣弧AB的長是（）A．8πcm B．16πcm C．32πcm D．192πcm【分析】首先利用相切的定義得到∠OAC＝∠OBC＝90°，然后根據(jù)∠ACB＝60°求得∠AOB＝120°，從而利用弧長公式求得答案即可．【解答】解：由題意得：CA和CB分別與⊙O分別相切于點(diǎn)A和點(diǎn)B，∴OA⊥CA，OB⊥CB，∴∠OAC＝∠OBC＝90°，∵∠ACB＝60°，∴∠AOB＝120°，∴＝16π（cm），故選：B．8．拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)（﹣1，0）、（3，0），且與y軸交于點(diǎn)（0，﹣5），則當(dāng)x＝2時(shí)，y的值為（）A．﹣5 B．﹣3 C．﹣1 D．5【分析】根據(jù)拋物線于x周兩交點(diǎn)，及于y軸交點(diǎn)可畫出大致圖象，根據(jù)拋物線的對稱性可求y＝﹣5．【解答】解：如圖∵拋物線y＝ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)（﹣1，0）、（3，0），且與y軸交于點(diǎn)（0，﹣5），∴可畫出上圖，∵拋物線對稱軸x＝＝1，∴點(diǎn)（0，﹣5）的對稱點(diǎn)是（2，﹣5），∴當(dāng)x＝2時(shí)，y的值為﹣5．故選：A．9．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△AB′C′，使點(diǎn)C′落在AB邊上，連結(jié)BB′，則sin∠BB′C′的值為（）A． B． C． D．【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理可求AB，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AC＝AC'＝6，BC＝B'C'＝8，∠C＝∠AC'B'＝90°，在Rt△BB'C'中，由勾股定理可求BB'的長，即可求解．【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝＝10，∵將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△AB′C′，∴AC＝AC'＝6，BC＝B'C'＝8，∠C＝∠AC'B'＝90°，∴BC'＝4，∴B'B＝＝＝4，∴sin∠BB′C′＝＝＝，故選：C．10．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形OABC的點(diǎn)A在函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，點(diǎn)C在函數(shù)y＝﹣（x＜0）的圖象上，若點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為﹣，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（）A．（，2） B．（，） C．（2，） D．（，）【分析】如圖，作AD⊥x軸于D，CE⊥x軸于E，通過證得△COE∽△OAD得到＝，則OE＝2AD，CE＝2OD，設(shè)A（m，）（m＞0），則C（﹣，2m），由OE＝0﹣（﹣）＝得到m﹣（﹣）＝，解分式方程即可求得A的坐標(biāo)．【解答】解：如圖，作AD⊥x軸于D，CE⊥x軸于E，∵四邊形OABC是矩形，∴∠AOC＝90°，∴∠AOD+∠COE＝90°，∵∠AOD+∠OAD＝90°，∴∠COE＝∠OAD，∵∠CEO＝∠ODA，∴△COE∽△OAD，∴＝（）2，，∵S△COE＝×|﹣4|＝2，S△AOD＝＝，∴＝，∴OE＝2AD，CE＝2OD，設(shè)A（m，）（m＞0），∴C（﹣，2m），∴OE＝0﹣（﹣）＝，∵點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為﹣，∴m﹣（﹣）＝，整理得2m2+7m﹣4＝0，∴m1＝，m2＝﹣4（舍去），∴A（，2），故選：A．二．填空題（共6小題）11．代數(shù)式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義時(shí)，x應(yīng)滿足的條件是x≥6．【分析】二次根式中被開方數(shù)的取值范圍為被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)．【解答】解：代數(shù)式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義時(shí)，x﹣6≥0，解得x≥6，∴x應(yīng)滿足的條件是x≥6．故答案為：x≥6．12．方程x2﹣4x＝0的實(shí)數(shù)解是x1＝0，x2＝4．【分析】方程利用因式分解法求出解即可．【解答】解：方程x2﹣4x＝0，分解因式得：x（x﹣4）＝0，可得x＝0或x﹣4＝0，解得：x1＝0，x2＝4．故答案為：x1＝0，x2＝4．13．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，線段AB的垂直平分線分別交AC、AB于點(diǎn)D、E，連結(jié)BD．若CD＝1，則AD的長為2．【分析】由線段垂直平分線的性質(zhì)可得AD＝BD，利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)可求解BD的長，進(jìn)而求解．【解答】解：∵DE垂直平分AB，∴AD＝BD，∵∠C＝90°，∠A＝30°，CD＝1，∴BD＝2CD＝2，∴AD＝2．故答案為2．14．一元二次方程x2﹣4x+m＝0有兩個相等的實(shí)數(shù)根，點(diǎn)A（x1，y1）、B（x2，y2）是反比例函數(shù)y＝上的兩個點(diǎn)，若x1＜x2＜0，則y1＞y2（填“＜”或“＞”或“＝”）．【分析】由一元二次方程根的情況，求得m的值，確定反比例函數(shù)y＝圖象經(jīng)過的象限，然后根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)即可求得結(jié)論．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣4x+m＝0有兩個相等的實(shí)數(shù)根，∴Δ＝16﹣4m＝0，解得m＝4，∵m＞0，∴反比例函數(shù)y＝圖象在一三象限，在每個象限y隨x的增大而減少，∵x1＜x2＜0，∴y1＞y2，故答案為＞．15．如圖，在△ABC中，AC＝BC，∠B＝38°，點(diǎn)D是邊AB上一點(diǎn)，點(diǎn)B關(guān)于直線CD的對稱點(diǎn)為B′，當(dāng)B′D∥AC時(shí)，則∠BCD的度數(shù)為32°．【分析】先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠A＝∠B＝38°，再利用平行線的性質(zhì)得∠ADB′＝∠A＝38°，接著根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得到∠CDB′＝∠CDB，則可出∠CDB的度數(shù)，然后利用三角形內(nèi)角和計(jì)算出∠BCD的度數(shù)．【解答】解：∵AC＝BC，∴∠A＝∠B＝38°，∵B′D∥AC，∴∠ADB′＝∠A＝38°，∵點(diǎn)B關(guān)于直線CD的對稱點(diǎn)為B′，∴∠CDB′＝∠CDB＝（38°+180°）＝109°，∴∠BCD＝180°﹣∠B﹣∠CDB＝180°﹣39°﹣109°＝32°．故答案為32°．16．如圖，正方形ABCD的邊長為4，點(diǎn)E是邊BC上一點(diǎn)，且BE＝3，以點(diǎn)A為圓心，3為半徑的圓分別交AB、AD于點(diǎn)F、G，DF與AE交于點(diǎn)H．并與⊙A交于點(diǎn)K，連結(jié)HG、CH．給出下列四個結(jié)論．其中正確的結(jié)論有（1）（3）（4）（填寫所有正確結(jié)論的序號）．（1）H是FK的中點(diǎn)（2）△HGD≌△HEC（3）S△AHG：S△DHC＝9：16（4）DK＝【分析】（1）先證明△ABE≌△DAF，得∠AFD+∠BAE＝∠AEB+∠BAE＝90°，AH⊥FK，由垂徑定理，得：FH＝HK，即H是FK的中點(diǎn)；（2）只要證明題干任意一組對應(yīng)邊不相等即可；（3）分別過H分別作HM⊥AD于M，HN⊥BC于N，由余弦三角函數(shù)和勾股定理算出了HM，HT，再算面積，即得S△AHG：S△DHC＝9：16；（4）余弦三角函數(shù)和勾股定理算出了FK，即可得DK．【解答】解：（1）在△ABE與△DAF中，，∴△ABE≌△DAF（SAS），∴∠AFD＝∠AEB，∴∠AFD+∠BAE＝∠AEB+∠BAE＝90°，∴AH⊥FK，由垂徑定理，得：FH＝HK，即H是FK的中點(diǎn)，故（1）正確；（2）如圖，過H分別作HM⊥AD于M，HN⊥BC于N，∵AB＝4，BE＝3，∴AE＝＝5，∵∠BAE＝∠HAF＝∠AHM，∴cos∠BAE＝cos∠HAF＝cos∠AHM，∴＝，∴AH＝，HM＝，∴HN＝4﹣＝，即HM≠HN，∵M(jìn)N∥CD，∴MD＝CN，∵HD＝，HC＝，∴HC≠HD，∴△HGD≌△HEC是錯誤的，故（2）不正確；（3）由（2）知，AM＝＝，∴DM＝，∵M(jìn)N∥CD，∴MD＝HT＝，∴＝＝，故（3）正確；（4）由（2）知，HF＝＝，∴，∴DK＝DF﹣FK＝，故（4）正確．三．解答題（共9小題）17．解方程組．【分析】用代入消元法解二元一次方程組即可．【解答】解：，將①代入②得，x+（x﹣4）＝6，∴x＝5，將x＝5代