2026屆廣東省汕頭潮陽區(qū)高二數(shù)學第一學期期末學業(yè)水平測試模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設變量，滿足約束條件，則目標函數(shù)的最大值為（）A. B.0C.6 D.82．命題，，則是（）A.， B.，C.， D.，3．“十二平均律”是通用的音律體系，明代朱載堉最早用數(shù)學方法計算出半音比例，為這個理論的發(fā)展做出了重要貢獻.十二平均律將一個純八度音程分成十二份，依次得到十三個單音，從第二個單音起，每一個單音的頻率與它的前一個單音的頻率的比都等于.若第一個單音的頻率為f，則第八個單音的頻率為A. B.C. D.4．若，則的值為（）A.或 B.或C.1 D.－15．若數(shù)列滿足，，則該數(shù)列的前2021項的乘積是（）A. B.C.2 D.16．如圖，正方形與矩形所在的平面互相垂直，在上，且平面，則M點的坐標為（）A. B.C. D.7．數(shù)列滿足，則數(shù)列的前n項和為（）A. B.C. D.8．空間直角坐標系中，已知則點關于平面的對稱點的坐標為（）A. B.C. D.9．已知直四棱柱的棱長均為，則直線與側面所成角的正切值為（）A. B.C. D.10．過點且與直線垂直的直線方程是（）A. B.C. D.11．如果命題為真命題，為假命題，那么（）A.命題，都是真命題 B.命題，都是假命題C.命題，至少有一個是真命題 D.命題，只有一個是真命題12．已知拋物線的焦點為，在拋物線上有一點，滿足，則的中點到軸的距離為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù).（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）求的單調區(qū)間；14．已知焦點為F的拋物線的方程為，點Q的坐標為，點P在拋物線上，則點P到y(tǒng)軸的距離與到點Q的距離的和的最小值為______.15．已知點，是橢圓內的兩個點，M是橢圓上的動點，則的最大值為______16．已知為等比數(shù)列的前n項和，若，，則_____________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在長方體中，，若點P為棱上一點，且，Q，R分別為棱上的點，且.（1）求直線與平面所成角的正弦值；（2）求平面與平面的夾角的余弦值.18．（12分）從①；②；③這三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并作答設等差數(shù)列的前n項和為，，______；設數(shù)列的前n項和為，（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和注：作答前請先指明所選條件，如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分19．（12分）已知橢圓的右焦點是橢圓上的一動點，且的最小值是1，當垂直長軸時，.(1)求橢圓的標準方程；(2)設直線與橢圓相切，且交圓于兩點，求面積的最大值，并求此時直線方程.20．（12分）已知函數(shù)（1）求在點處的切線方程（2）求直線與曲線圍成的封閉圖形的面積21．（12分）如圖，四棱錐P－ABCD中，PA平面ABCD，，∠BAD=120o，AB＝AD＝2，點M在線段PD上，且DM＝2MP，平面（1）求證：平面MAC平面PAD；（2）若PA＝6，求平面PAB和平面MAC所成銳二面角的余弦值22．（10分）根據(jù)下列條件求圓的方程：（1）圓心在點O（0，0），半徑r＝3（2）圓心在點O（0，0），且經(jīng)過點M（3，4）

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】畫出可行域，利用幾何意義求出目標函數(shù)最大值.【詳解】畫出圖形，如圖所示：陰影部分即為可行域，當目標函數(shù)經(jīng)過點時，目標函數(shù)取得最大值.故選：C2、D【解析】根據(jù)特稱命題的否定為全稱命題，即可得到答案.【詳解】因為命題，，所以，.故選：D3、D【解析】分析：根據(jù)等比數(shù)列的定義可知每一個單音的頻率成等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的相關性質可解.詳解：因為每一個單音與前一個單音頻率比為，所以，又，則故選D.點睛：此題考查等比數(shù)列的實際應用，解決本題的關鍵是能夠判斷單音成等比數(shù)列.等比數(shù)列的判斷方法主要有如下兩種：（1）定義法，若（）或（），數(shù)列等比數(shù)列；（2）等比中項公式法，若數(shù)列中，且（），則數(shù)列是等比數(shù)列.4、B【解析】求出函數(shù)的導數(shù)，由方程求解即可.【詳解】，，解得或，故選：B5、C【解析】先由數(shù)列滿足，，計算出前5項，可得，且，再利用周期性即可得到答案.【詳解】因為數(shù)列滿足，，所以，同理可得，…所以數(shù)列每四項重復出現(xiàn)，即，且，而，所以該數(shù)列的前2021項的乘積是.故選：C.6、A【解析】設點的坐標為，由平面,可得出，利用空間向量數(shù)量積為0求得、的值，即可得出點的坐標.【詳解】設點的坐標為，,,，，則，,，平面,即，所以，，解得，所以，點的坐標為，故選：A.7、D【解析】利用等差數(shù)列的前n項和公式得到，進而得到，利用裂項相消法求和.【詳解】依題意得：，，，故選：D8、D【解析】根據(jù)空間直角坐標系的對稱性可得答案.【詳解】根據(jù)空間直角坐標系的對稱性可得關于平面的對稱點的坐標為，故選：D.9、D【解析】根據(jù)題意把直線與側面所成角的正切值轉化為在直角三角形中的正切值，即可求出答案.【詳解】由題意可知直四棱柱如下圖所示：取的中點設為點，連接，在直四棱柱中，面，面，，在四邊形中，，，故且.面，面，面，.故直線與側面所成角的正切值為.故選：D.10、C【解析】根據(jù)兩直線垂直時斜率乘積為，可以直接求出所求直線的斜率，再根據(jù)點斜式求出直線方程，最后化成一般式方程即可.【詳解】因為直線的斜率為，故所求直線的斜率等于，所求直線的方程為，即，故選：C11、D【解析】由命題為真命題,可判斷二者至少有一個為真命題，由為假命題，可判斷二者至少有一個為假命題，由此可得答案.【詳解】命題為真命題，說明二者至少有一個為真命題，為假命題,說明二者至少有一個為假命題，綜合上述，可知命題，只有一個是真命題，故選：D12、A【解析】設點，利用拋物線的定義求出的值，可求得點的橫坐標，即可得解.【詳解】設點，易知拋物線的焦點為，由拋物線的定義可得，得，所以，點的橫坐標為，故點到軸的距離為.故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、（1）（2）詳見解析【解析】（1）分別求得和，從而得到切線方程；（2）求導后，令求得兩根，分別在、和三種情況下根據(jù)導函數(shù)的正負得到函數(shù)的單調區(qū)間.【詳解】（1），，，，又，在處的切線方程為.（2），令，解得：，.①當時，若和時，；若時，；的單調遞增區(qū)間為，；單調遞減區(qū)間為；②當時，在上恒成立，的單調遞增區(qū)間為，無單調遞減區(qū)間；③當時，若和時，；若時，；的單調遞增區(qū)間為，；單調遞減區(qū)間為；綜上所述：當時，的單調遞增區(qū)間為，；單調遞減區(qū)間為；當時，的單調遞增區(qū)間為，無單調遞減區(qū)間；當時，的單調遞增區(qū)間為，；單調遞減區(qū)間為.【點睛】本題考查利用導數(shù)的幾何意義求解曲線在某一點處的切線方程、利用導數(shù)討論含參數(shù)函數(shù)的單調區(qū)間的問題，屬于?？碱}型.14、##【解析】利用定義將所求距離之和的最小值問題，轉化為的最小值問題.【詳解】焦點F坐標為，拋物線準線為,如圖，作垂直于準線于A，交y軸于B，.故答案為：15、##【解析】結合橢圓的定義求得正確答案.【詳解】依題意，橢圓方程為，所以，所以是橢圓的右焦點，設左焦點為，根據(jù)橢圓的定義可知，，所以的最大值為.故答案為：16、30【解析】根據(jù)等比數(shù)列性質得，，也成等比，即可求得結果.【詳解】由等比數(shù)列的性質可知，，，構成首項為10，公比為1的等比數(shù)列，所以【點睛】本題考查等比數(shù)列性質，考查基本求解能力，屬基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）建立如圖所示的空間直角坐標系，用空間向量法求線面角；（2）用空間向量法求二面角【小問1詳解】以D為坐標原點，射線方向為x，y，z軸正方向建立空間直角坐標系.當時，，所以，設平面的法向量為，所以，即不妨得，，又，所以，則【小問2詳解】在長方體中，因為平面，所以平面平面，因為平面與平面交于，因為四邊形為正方形，所以，所以平面，即為平面的一個法向量，，所以，又平面的法向量為，所以.18、（1）條件選擇見解析，，（2）【解析】（1）設數(shù)列的首項為，公差為d，選①由求解；選②由求解；選③由求解；則，由，利用數(shù)列通項與前n項和公式求解；（2）易知，再利用錯位相減法求解.【小問1詳解】解：設數(shù)列的首項為，公差為d，選①得，則，選②得，則，選③得，則，所以數(shù)列的通項公式為因為，所以當時，，則當時，，則，所以是以首項為2，公比為2的等比數(shù)列，所以【小問2詳解】因為，所以數(shù)列的前n項和①②①-②得∴，則19、（1）；（2），.【解析】（1）由的最小值為1，得到，再由，結合，求得的值，即可求得橢圓的方程.（2）設切線的方程為，聯(lián)立方程組，根據(jù)直線與橢圓相切，求得，結合點到直線的距離公式和圓的弦長公式，求得的面積的表示，結合函數(shù)的單調性，即可求解.【詳解】（1）由題意，點橢圓上的一動點，且的最小值是1，得，因為當垂直長軸時，可得，所以，即，又由，解得，所以橢圓的標準方程為.（2）由題意知切線的斜率一定存在，否則不能形成，設切線的方程為，聯(lián)立，整理得，因為直線與橢圓相切，所以，化簡得，則，因為點到直線的距離，所以，即，故的面積為，因為，可得，即，函數(shù)在上單調遞增，所以，當時取等號，則，即面積的最大值為.當時，此時，所以直線的方程為.【點睛】對于直線與橢圓的位置關系的處理方法：1、判定與應用直線與橢圓的位置關系，一把轉化為研究直線方程與橢圓組成的方程組的解得個數(shù)，結合判別式求解；2、對于過定點的直線，也可以通過定點在橢圓的內部或在橢圓上，判定直線與橢圓的位置關系.20、（1）（2）2【解析】（1）首先求出函數(shù)的導函數(shù)，即可求出切線的斜率，再利用點斜式求出切線方程；（2）首先求出兩函數(shù)的交點坐標，再利用定積分及微積分基本定理計算可得；【小問1詳解】解：因為，所以，所以切線的斜率，切線過點，切線的方程為，即【小問2詳解】解：由題知，即解得或，即或或，直線與曲線于則所求圖形的面積21、（1）證明見解析（2）【解析】(1)連接BD交AC于點E，連接ME，由所給條件推理出CA⊥AD，進而得CA⊥平面PAD，證得結論(2)首先以A為原點，射線AC，AD，AP分別為x，y，z軸非負半軸建立空間直角坐標系，再利用向量法求解二面角即可【小問1詳解】(1)連接BD交AC于點E，連接ME，如圖所示：∵平面MAC，PB平面PBD，平面PBD平面MAC=ME，∴，，則BC=1，而AB=2，，，∴AC2+BC2=4=AB2，∠ACB=90o，∠CAD=90o，即CA⊥AD，又PA⊥平面ABCD，CA平面ABCD，∴PA⊥CA，又PAAD=A，∴CA⊥平面PAD，而CA平面MAC，∴平面MAC⊥平面PAD【小問2詳解】（2）如圖所示：以A為原點，射線AC，AD，AP分別為x，y，z軸非