2026屆江蘇省蘇州市第五中學數(shù)學高三上期末聯(lián)考模擬試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設i是虛數(shù)單位，若復數(shù)（）是純虛數(shù)，則m的值為（）A． B． C．1 D．32．在中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，D是AB的中點，若，且，則面積的最大值是()A． B． C． D．3．對于函數(shù)，定義滿足的實數(shù)為的不動點，設，其中且，若有且僅有一個不動點，則的取值范圍是（）A．或 B．C．或 D．4．已知函數(shù)，且關于的方程有且只有一個實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍（）．A． B． C． D．5．已知隨機變量X的分布列如下表：X01Pabc其中a，b，.若X的方差對所有都成立，則（）A． B． C． D．6．若集合，則（）A． B．C． D．7．某幾何體的三視圖如圖所示（單位：），則該幾何體的體積（單位：）為（）A． B．6 C． D．8．為研究語文成績和英語成績之間是否具有線性相關關系，統(tǒng)計兩科成績得到如圖所示的散點圖(兩坐標軸單位長度相同)，用回歸直線近似地刻畫其相關關系，根據(jù)圖形，以下結論最有可能成立的是()A．線性相關關系較強，b的值為1.25B．線性相關關系較強，b的值為0.83C．線性相關關系較強，b的值為－0.87D．線性相關關系太弱，無研究價值9．設集合則（）A． B． C． D．10．函數(shù)的最大值為，最小正周期為，則有序數(shù)對為（）A． B． C． D．11．如圖示，三棱錐的底面是等腰直角三角形，，且，，則與面所成角的正弦值等于（）A． B． C． D．12．設全集，集合，，則集合（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在中，角所對的邊分別為，為的面積，若，，則的形狀為__________，的大小為__________．14．已知，則_____.15．拋物線上到其焦點的距離為的點的個數(shù)為________．16．若在上單調遞減，則的取值范圍是_______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）從拋物線C：（）外一點作該拋物線的兩條切線PA、PB（切點分別為A、B），分別與x軸相交于C、D，若AB與y軸相交于點Q，點在拋物線C上，且（F為拋物線的焦點）.（1）求拋物線C的方程；（2）①求證：四邊形是平行四邊形.②四邊形能否為矩形？若能，求出點Q的坐標；若不能，請說明理由.18．（12分）已知函數(shù)，，.函數(shù)的導函數(shù)在上存在零點.求實數(shù)的取值范圍；若存在實數(shù)，當時，函數(shù)在時取得最大值，求正實數(shù)的最大值；若直線與曲線和都相切，且在軸上的截距為，求實數(shù)的值.19．（12分）已知數(shù)列的前項和為，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，為數(shù)列的前項和.求證：.20．（12分）設函數(shù).（1）若，求實數(shù)的取值范圍；（2）證明：，恒成立.21．（12分）如圖，是矩形，的頂點在邊上，點，分別是，上的動點（的長度滿足需求）.設，，，且滿足.（1）求；（2）若，，求的最大值.22．（10分）已知函數(shù)，.（1）當時，求函數(shù)的值域；（2），，求實數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

根據(jù)復數(shù)除法運算化簡，結合純虛數(shù)定義即可求得m的值.【詳解】由復數(shù)的除法運算化簡可得，因為是純虛數(shù)，所以，∴，故選：A.【點睛】本題考查了復數(shù)的概念和除法運算，屬于基礎題.2、A【解析】

根據(jù)正弦定理可得，求出，根據(jù)平方關系求出.由兩端平方，求的最大值，根據(jù)三角形面積公式，求出面積的最大值.【詳解】中，，由正弦定理可得，整理得，由余弦定理，得.D是AB的中點，且，，即，即，，當且僅當時，等號成立.的面積，所以面積的最大值為.故選：.【點睛】本題考查正、余弦定理、不等式、三角形面積公式和向量的數(shù)量積運算，屬于中檔題.3、C【解析】

根據(jù)不動點的定義，利用換底公式分離參數(shù)可得；構造函數(shù)，并討論的單調性與最值，畫出函數(shù)圖象，即可確定的取值范圍.【詳解】由得，.令，則，令，解得，所以當時，，則在內單調遞增；當時，，則在內單調遞減；所以在處取得極大值，即最大值為，則的圖象如下圖所示：由有且僅有一個不動點，可得得或，解得或.故選：C【點睛】本題考查了函數(shù)新定義的應用，由導數(shù)確定函數(shù)的單調性與最值，分離參數(shù)法與構造函數(shù)方法的應用，屬于中檔題.4、B【解析】

根據(jù)條件可知方程有且只有一個實根等價于函數(shù)的圖象與直線只有一個交點，作出圖象，數(shù)形結合即可．【詳解】解：因為條件等價于函數(shù)的圖象與直線只有一個交點，作出圖象如圖，由圖可知，，故選：B．【點睛】本題主要考查函數(shù)圖象與方程零點之間的關系，數(shù)形結合是關鍵，屬于基礎題．5、D【解析】

根據(jù)X的分布列列式求出期望,方差,再利用將方差變形為,從而可以利用二次函數(shù)的性質求出其最大值為,進而得出結論.【詳解】由X的分布列可得X的期望為,又,所以X的方差,因為,所以當且僅當時,取最大值,又對所有成立,所以,解得,故選:D.【點睛】本題綜合考查了隨機變量的期望?方差的求法,結合了概率?二次函數(shù)等相關知識,需要學生具備一定的計算能力,屬于中檔題.6、A【解析】

先確定集合中的元素，然后由交集定義求解．【詳解】，.故選：A．【點睛】本題考查求集合的交集運算，掌握交集定義是解題關鍵．7、D【解析】

根據(jù)幾何體的三視圖，該幾何體是由正方體去掉三棱錐得到，根據(jù)正方體和三棱錐的體積公式可求解.【詳解】如圖,該幾何體為正方體去掉三棱錐,所以該幾何體的體積為：,故選：D【點睛】本題主要考查了空間幾何體的三視圖以及體積的求法，考查了空間想象力，屬于中檔題.8、B【解析】

根據(jù)散點圖呈現(xiàn)的特點可以看出，二者具有相關關系，且斜率小于1.【詳解】散點圖里變量的對應點分布在一條直線附近，且比較密集，故可判斷語文成績和英語成績之間具有較強的線性相關關系，且直線斜率小于1，故選B.【點睛】本題主要考查散點圖的理解，側重考查讀圖識圖能力和邏輯推理的核心素養(yǎng).9、C【解析】

直接求交集得到答案.【詳解】集合，則.故選：.【點睛】本題考查了交集運算，屬于簡單題.10、B【解析】函數(shù)（為輔助角）∴函數(shù)的最大值為，最小正周期為故選B11、A【解析】

首先找出與面所成角，根據(jù)所成角所在三角形利用余弦定理求出所成角的余弦值，再根據(jù)同角三角函數(shù)關系求出所成角的正弦值.【詳解】由題知是等腰直角三角形且，是等邊三角形，設中點為，連接，，可知，，同時易知，，所以面，故即為與面所成角，有，故.故選：A.【點睛】本題主要考查了空間幾何題中線面夾角的計算，屬于基礎題.12、C【解析】∵集合，，∴點睛：本題是道易錯題，看清所問問題求并集而不是交集.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、等腰三角形【解析】∵∴根據(jù)正弦定理可得，即∴∴∴的形狀為等腰三角形∵∴∴由余弦定理可得∴，即∵∴故答案為等腰三角形，14、【解析】

對原方程兩邊求導，然后令求得表達式的值.【詳解】對等式兩邊求導，得，令，則.【點睛】本小題主要考查二項式展開式，考查利用導數(shù)轉化已知條件，考查賦值法，屬于中檔題.15、【解析】

設拋物線上任意一點的坐標為，根據(jù)拋物線的定義求得，并求出對應的，即可得出結果.【詳解】設拋物線上任意一點的坐標為，拋物線的準線方程為，由拋物線的定義得，解得，此時.因此，拋物線上到其焦點的距離為的點的個數(shù)為.故答案為：.【點睛】本題考查利用拋物線的定義求點的坐標，考查計算能力，屬于基礎題.16、【解析】

由題意可得導數(shù)在恒成立，解出即可．【詳解】解：由題意，，當時，顯然，符合題意；當時，在恒成立，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，屬于中檔題．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）①證明見解析；②能，.【解析】

（1）根據(jù)拋物線的定義，求出，即可求拋物線C的方程；（2）①設，，寫出切線的方程，解方程組求出點的坐標.設點，直線AB的方程，代入拋物線方程，利用韋達定理得到點的坐標，寫出點的坐標，，可得線段相互平分，即證四邊形是平行四邊形；②若四邊形為矩形，則，求出，即得點Q的坐標.【詳解】（1）因為，所以，即拋物線C的方程是.（2）①證明：由得，.設，，則直線PA的方程為（?。?，則直線PB的方程為（ⅱ），由（?。┖停áⅲ┙獾茫?，，所以.設點，則直線AB的方程為.由得，則，，所以，所以線段PQ被x軸平分，即被線段CD平分.在①中，令解得，所以，同理得，所以線段CD的中點坐標為，即，又因為直線PQ的方程為，所以線段CD的中點在直線PQ上，即線段CD被線段PQ平分.因此，四邊形是平行四邊形.②由①知，四邊形是平行四邊形.若四邊形是矩形，則，即，解得，故當點Q為，即為拋物線的焦點時，四邊形是矩形.【點睛】本題考查拋物線的方程，考查直線和拋物線的位置關系，屬于難題.18、；4；12.【解析】

由題意可知，，求導函數(shù)，方程在區(qū)間上有實數(shù)解，求出實數(shù)的取值范圍；由，則，分步討論，并利用導函數(shù)在函數(shù)的單調性的研究，得出正實數(shù)的最大值；設直線與曲線的切點為，因為，所以切線斜率，切線方程為，設直線與曲線的切點為，因為，所以切線斜率，即切線方程為，整理得.所以，求得，設，則，所以在上單調遞增，最后求出實數(shù)的值.【詳解】由題意可知，，則，即方程在區(qū)間上有實數(shù)解，解得；因為，則，①當，即時，恒成立，所以在上單調遞增，不符題意；②當時，令，解得：，當時，，單調遞增，所以不存在，使得在上的最大值為，不符題意；③當時，，解得：，且當時，，當時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增，若，則在上單調遞減，所以，若，則上單調遞減，在上單調遞增，由題意可知，，即，整理得，因為存在，符合上式，所以，解得，綜上，的最大值為4；設直線與曲線的切點為，因為，所以切線斜率，即切線方程整理得：由題意可知，，即，即，解得所以切線方程為，設直線與曲線的切點為，因為，所以切線斜率，即切線方程為，整理得.所以，消去，整理得，且因為，解得，設，則，所以在上單調遞增，因為，所以，所以，即.【點睛】本題主要考查導數(shù)在函數(shù)中的研究，導數(shù)的幾何意義，屬于難題.19、（1）（2）證明見解析【解析】

（1）利用求得數(shù)列的通項公式.（2）先將縮小即，由此結合裂項求和法、放縮法，證得不等式成立.【詳解】（1）∵，令，得.又，兩式相減，得.∴.（2）∵.又∵，，∴.∴.∴.【點睛】本小題主要考查已知求，考查利用放縮法證明不等式，考查化歸與轉化的數(shù)學思想方法，屬于中檔題.20、（1）（2）證明見解析【解析】

（1）將不等式化為，利用零點分段法，求得不等式的解集.（2）將要證明的不等式轉化為證，恒成立，由的最小值為，得到只要證，即證，利用絕對值不等式和基本不等式，證得上式成立.【詳解】（1）∵，∴，即當時，不等式化為，∴當時，不等式化為，此時無解當時，不等式化為，∴綜上，原不等式的解集為（2）要證，恒成立即證，恒成立∵的最小值為－2，∴只需證，即證又∴成立，∴原題得證【點睛】本題考查絕對值不等式的性質、解法，基本不等式等知識；考查推理論證能力、運算求解能力；考查化歸與轉化，分類與整合思想.21、（1）（2）【解析】

（1）利用正弦定理和余弦定理化簡，根據(jù)勾股定理逆定理求得.（2）設，由此求得的表達式，利用三角函數(shù)最值的求法，求得的最大值.【詳解】（1）設，，，由，根據(jù)正弦定理和余弦定理得.化簡整理得.由勾股定理逆定理得.（2）設，，由（1）的結論知.在中，，由，所以.在中，，由，所以.所以，由，所以當，即時，取得最大值，且最大值為.【點睛】本小題考查正弦定理，余弦定理，勾股定理，解三角形，三角函數(shù)性質及其三角恒等變換等基礎知識；考查運算求解能力，推理論證能力，化歸與轉換思想，應用意識.22、（1）；（2）.【解析】