復變函數復數辛幾何基礎測試試題考試時長：120分鐘滿分：100分試卷名稱：復變函數與復數辛幾何基礎測試試題考核對象：數學專業(yè)本科二年級學生、相關專業(yè)行業(yè)從業(yè)者題型分值分布：-判斷題（10題，每題2分）總分20分-單選題（10題，每題2分）總分20分-多選題（10題，每題2分）總分20分-案例分析（3題，每題6分）總分18分-論述題（2題，每題11分）總分22分總分：100分---一、判斷題（每題2分，共20分）1.每個復變函數在解析區(qū)域內都可展開為洛朗級數。2.若函數f(z)在區(qū)域D內解析，則f(z)在D內處處可導。3.留數定理適用于任何閉合曲線上的積分計算。4.復數平面上的旋轉映射可以表示為f(z)=az+b（a為非零復數）。5.辛變換是保持辛形式的線性變換。6.若f(z)在z?處解析，則f(z)在z?的去心鄰域內解析。7.所有解析函數的實部和虛部都滿足拉普拉斯方程。8.辛空間中的正交變換一定是酉變換。9.復數z的輻角唯一確定，且在主值范圍內為arg(z)。10.若函數f(z)在區(qū)域D內解析且不為常數，則其模|f(z)|在D內不可取最大值。二、單選題（每題2分，共20分）1.下列哪個函數在z=0處解析？A.f(z)=sin(1/z)B.f(z)=z2+2iC.f(z)=|z|D.f(z)=log(z2)2.函數f(z)=e^z在單位圓周|z|=1上的積分值為？A.0B.2πiC.πiD.-2πi3.復數z=1+i的輻角主值為？A.π/4B.3π/4C.5π/4D.7π/44.辛變換T(x)=(x?,x?)→(x?,x?+x?)的辛形式為？A.x?dx?+x?dx?B.x?dx?-x?dx?C.x?dx?-x?dx?D.x?dx?+x?dx?5.函數f(z)=z/(z2+1)在z=i處的留數為？A.-1/2B.1/2C.-iD.i6.復平面上的映射f(z)=z2將點z=1映射為？A.1B.-1C.2D.-27.辛空間R2上的正交變換矩陣Q滿足？A.Q?Q=IB.QQ?=IC.Q?Q=0D.QQ?=08.函數f(z)=1/z在z=0處的羅朗級數展開式中，-1/z的系數為？A.1B.-1C.0D.無窮9.若函數f(z)在區(qū)域D內解析且f(z)≠0，則f(z)的零點必為孤立點。A.正確B.錯誤10.辛變換的行列式為？A.1B.-1C.0D.任意實數三、多選題（每題2分，共20分）1.下列哪些是柯西-黎曼方程的等價條件？A.f(z)在區(qū)域D內解析B.u(x,y)和v(x,y)在D內可微C.u(x,y)和v(x,y)在D內連續(xù)D.?u/?x=?v/?y且?u/?y=-?v/?x2.留數定理可用于計算哪些積分？A.∮|z|1dz（|z|=1）B.∮(z2+1)?1dz（|z|=2）C.∮e^zdz（|z|=1）D.∮sin(z)/zdz（|z|=π）3.復數z=a+bi的模為？A.√(a2+b2)B.a2+b2C.|a|+|b|D.i(a+b)4.辛變換的性質包括？A.保持向量長度B.保持內積C.保持行列式為1D.保持向量正交性5.函數f(z)=z3在z=0處的泰勒級數展開式中，z的系數為？A.0B.1C.3D.66.復平面上的映射f(z)=1/z將點z=-1映射為？A.-1B.1C.-1/2D.27.辛空間R2中的向量(x?,x?)在變換T下的像為？A.(x?,x?+x?)B.(x?+x?,x?)C.(x?,-x?)D.(x?,x?+x?)8.函數f(z)=sin(z)在z=0處的泰勒級數展開式中，z3的系數為？A.0B.1/6C.1/2D.-1/69.復變函數的解析性等價于？A.柯西-黎曼方程成立B.函數滿足莫雷拉定理C.函數的實部和虛部滿足拉普拉斯方程D.函數的導數在區(qū)域內連續(xù)10.辛變換的矩陣形式為？A.Q?=Q?1B.Q?=-Q?1C.det(Q)=1D.det(Q)=-1四、案例分析（每題6分，共18分）1.案例：函數f(z)=z2/(z-1)在|z|=2的積分。（1）求f(z)在z=1處的留數。（2）利用留數定理計算積分值。2.案例：辛變換T(x)=(x?,x?)→(x?+x?,x?-x?)。（1）驗證T是否為辛變換。（2）若x=(1,2)，求T(x)的像。3.案例：復數z?=2+i，z?=1-i。（1）求z?和z?的夾角。（2）將z?和z?正交化，得到單位向量u和v。五、論述題（每題11分，共22分）1.論述題：論述柯西積分定理的條件和意義，并舉例說明其應用。2.論述題：辛幾何在物理學中有哪些應用？結合具體例子說明辛變換的物理意義。---標準答案及解析一、判斷題1.×（僅解析函數在單連通區(qū)域可展開為洛朗級數）2.√（解析性等價于全導數存在）3.×（需閉合曲線包含孤立奇點）4.√（旋轉映射為f(z)=e^(iθ)z）5.√（辛變換保持J(x?x)=J(y?y)）6.√（解析性局部定義）7.√（柯西積分定理推論）8.×（酉變換需保持內積，辛變換保持J形式）9.×（輻角多值性，主值范圍有限）10.√（最大模原理）二、單選題1.B2.B（柯西積分定理，f(z)在|z|=1內解析）3.A4.B5.A（留數計算：1/(2i)）6.C7.A8.C9.A10.A三、多選題1.A,B,D2.B,C3.A4.A,B,C5.D6.B7.A,D8.B,D9.A,B,C10.A,C四、案例分析1.（1）留數計算：Res(f,1)=lim(z→1)(z-1)z2/(z-1)=12=1。（2）∮|z|2dz=2πiRes(f,1)=2πi。2.（1）J=diag(1,-1)，T?J=diag(1,-1)，TJT?=J，故為辛變換。（2）T(1,2)=(3,-1)。3.（1）cosθ=(z?·z?)/(|z?||z?|)=(2-1)/(√5·√2)=√2/5，θ=arccos(√2/5)。（2）u=z?/|z?|=(2+i)/√5，v=z?-proj<0xE1><0xB5><0xA3>z?<u>=(1-i)-(2+i)(2+i)/(5)=(-3-4i)/5。五、論述題1.柯西積分定理：條件：f(z)在單連通區(qū)域D內解析，∮<0xE1><0xB5><0xA3>f(z)dz（|z|<0xE1><0xB5><