6/7三角函數(shù)的性質(zhì)教學(xué)目標(biāo)：理解正、余弦函數(shù)的定義域、值域、最值、周期性、奇偶性的意義，會求簡單函數(shù)的定義域、值域、最小正周期和單調(diào)區(qū)間；滲透數(shù)形結(jié)合思想，培養(yǎng)辯證唯物主義觀點.教學(xué)重點：正、余弦函數(shù)的性質(zhì)教學(xué)難點：正、余弦函數(shù)性質(zhì)的理解與應(yīng)用教學(xué)過程：Ⅰ.課題導(dǎo)入上節(jié)課，我們研究了正、余弦函數(shù)的圖象，今天，我們借助它們的圖象來研究它們有哪些性質(zhì).(1)定義域：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義域都是實數(shù)集R［或(－∞，＋∞)］，分別記作：y＝sinx，x∈Ry＝cosx，x∈R(2)值域因為正弦線、余弦線的長度小于或等于單位圓的半徑的長度，所以｜sinx｜≤1，｜cosx｜≤1，即－1≤sinx≤1，－1≤cosx≤1也就是說，正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的值域都是［－1，1］.其中正弦函數(shù)y=sinx，x∈R①當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z時，取得最大值1.②當(dāng)且僅當(dāng)x＝－eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z時，取得最小值－1.而余弦函數(shù)y＝cosx，x∈R①當(dāng)且僅當(dāng)x＝2kπ，k∈Z時，取得最大值1.②當(dāng)且僅當(dāng)x＝(2k＋1)π，k∈Z時，取得最小值－1.(3)周期性由(k∈Z)知：正弦函數(shù)值、余弦函數(shù)值是按照一定規(guī)律不斷重復(fù)地取得的.一般地，對于函數(shù)f(x)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個值時，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個函數(shù)的周期.由此可知，2π，4π，…，－2π，－4π，…2kπ(k∈Z且k≠0)都是這兩個函數(shù)的周期.對于一個周期函數(shù)f(x)，如果在它所有的周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期.根據(jù)上述定義，可知：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)都是周期函數(shù),2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π.(4)奇偶性正弦函數(shù)是奇函數(shù)，余弦函數(shù)是偶函數(shù).(5)單調(diào)性從y＝sinx，x∈［－eq\f(π,2)，eq\f(3π,2)］的圖象上可看出：當(dāng)x∈［－eq\f(π,2)，eq\f(π,2)］時，曲線逐漸上升，sinx的值由－1增大到1.當(dāng)x∈［eq\f(π,2)，eq\f(3π,2)］時，曲線逐漸下降，sinx的值由1減小到－1.結(jié)合上述周期性可知：正弦函數(shù)在每一個閉區(qū)間［－eq\f(π,2)＋2kπ，eq\f(π,2)＋2kπ］(k∈Z)上都是增函數(shù)，其值從－1增大到1；在每一個閉區(qū)間［eq\f(π,2)＋2kπ，eq\f(3π,2)＋2kπ］(k∈Z)上都是減函數(shù)，其值從1減小到－1.余弦函數(shù)在每一個閉區(qū)間［(2k－1)π，2kπ］(k∈Z)上都是增函數(shù)，其值從－1增加到1；在每一個閉區(qū)間［2kπ，(2k＋1)π］(k∈Z)上都是減函數(shù)，其值從1減小到－1.［例1］求使下列函數(shù)取得最大值的自變量x的集合，并說出最大值是什么.(1)y＝cosx＋1，x∈R；(2)y＝sin2x，x∈R.解：(1)使函數(shù)y＝cosx＋1，x∈R取得最大值的x的集合，就是使函數(shù)y＝cosx，x∈R取得最大值的x的集合｛x｜x＝2kπ，k∈Z｝.函數(shù)y＝cosx＋1，x∈R的最大值是1＋1＝2.(2)令Z＝2x，那么x∈R必須并且只需Z∈R，且使函數(shù)y＝sinZ，Z∈R取得最大值的Z的集合是｛Z｜Z＝eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z｝由2x＝Z＝eq\f(π,2)＋2kπ，得x＝eq\f(π,4)＋kπ即：使函數(shù)y＝sin2x，x∈R取得最大值的x的集合是｛x｜x＝eq\f(π,4)＋kπ，k∈Z｝.函數(shù)y＝sin2x，x∈R的最大值是1.［例2］求下列函數(shù)的定義域：(1)y＝1＋eq\f(1,sinx)(2)y＝eq\r(cosx)解：(1)由1＋sinx≠0，得sinx≠－1即x≠eq\f(3π,2)＋2kπ(k∈Z)∴原函數(shù)的定義域為｛x｜x≠eq\f(3π,2)＋2kπ，k∈Z｝(2)由cosx≥0得－eq\f(π,2)＋2kπ≤x≤eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)∴原函數(shù)的定義域為［－eq\f(π,2)＋2kπ，eq\f(π,2)＋2kπ］(k∈Z)［例3］求下列函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間：①y＝cos(2x＋eq\f(π,6))；②y＝3sin(eq\f(π,3)－eq\f(x,2))解：①設(shè)u＝2x＋eq\f(π,6)，則y＝cosu當(dāng)2kπ－π≤u≤2kπ時y＝cosu隨u的增大而增大又∵u＝2x＋eq\f(π,6)隨x∈R增大而增大∴y＝cos(2x＋eq\f(π,6))當(dāng)2kπ－π≤2x＋eq\f(π,6)≤2kπ(k∈Z)即kπ－eq\f(7π,12)≤x≤kπ－eq\f(π,12)時，y隨x增大而增大∴y＝cos(2x＋eq\f(π,6))的單調(diào)遞增區(qū)間為：［kπ－eq\f(7π,12)π，kπ－eq\f(π,12)］(k∈Z)②設(shè)u＝eq\f(π,3)－eq\f(x,2)，則y＝3sinu當(dāng)2kπ＋eq\f(π,2)≤u≤2kπ＋eq\f(3π,2)時，y＝3sinu隨x增大在減小，又∵u＝eq\f(π,3)－eq\f(x,2)隨x∈R增大在減小∴y＝3sin(eq\f(π,3)－eq\f(x,2))當(dāng)2kπ＋eq\f(π,2)≤eq\f(π,3)－eq\f(x,2)≤2kπ＋eq\f(3π,2)即－4kπ－eq\f(7π,3)≤x≤－4kπ－eq\f(π,3)時，y隨x增大而增大∴y＝3sin(eq\f(π,3)－eq\f(x,2))的單調(diào)遞增區(qū)間為［4kπ－eq\f(7π,3)，4kπ－eq\f(π,3)］(k∈Z)Ⅲ.課堂練習(xí)課本P331～7Ⅳ.課時小結(jié)通過本節(jié)學(xué)習(xí)，要初步掌握正、余弦函數(shù)的性質(zhì)以及性質(zhì)的簡單應(yīng)用，解決一些相關(guān)問題.Ⅴ.課后作業(yè)課本P46習(xí)題2、3、4課后練習(xí)：1．給出下列命題：①y＝sinx在第一象限是增函數(shù)；②α是銳角，則y＝sin(α＋eq\f(π,4))的值域是［－1，1］；③y＝sin｜x｜的周期是2π；④y＝sin2x－cos2x的最小值是－1；其中正確的命題的序號是_____.分析:①y＝sinx是周期函數(shù)，自變量x的取值可周期性出現(xiàn)，如反例：令x1＝eq\f(π,3)，x2＝eq\f(π,6)＋2π，此時x1＜x2而sineq\f(π,3)＞sin(eq\f(π,6)＋2π)∴①錯誤；②當(dāng)α為銳角時，eq\f(π,4)＜α＋eq\f(π,4)＜eq\f(π,2)＋eq\f(π,4)由圖象可知eq\f(\r(2),2)＜sin(α＋eq\f(π,4))≤1∴②錯誤；③∵y＝sin｜x｜(x∈R)是偶函數(shù).其圖象是關(guān)于y軸對稱，可看出它不是周期函數(shù).∴③錯誤；④y＝sin2x－cos2x＝－cos2x，最小值為－1∴④正確.答案：④評述：函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的局部選擇，是針對區(qū)間而言的；我們不能說某函數(shù)在某象限內(nèi)是增函數(shù)還是減函數(shù)，而只能說某函數(shù)在某區(qū)間上是增函數(shù)還是減函數(shù).2．求下列函數(shù)的定義域和值域：(1)y＝lg(sinx－eq\f(\r(3),2))(2)y＝2eq\r(2cos3x－1)分析：根據(jù)函數(shù)有意義列不等式，求x的范圍即為定義域.求值域時要注意正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的值域.解：(1)要使lg(sinx－eq\f(\r(3),2))有意義，必須且只須sinx＞eq\f(\r(3),2)，解之得：2kπ＋eq\f(π,3)＜x＜2kπ＋eq\f(2π,3)，k∈Z又∵0＜sinx－eq\f(\r(3),2)≤1－eq\f(\r(3),2)∴l(xiāng)g(sinx－eq\f(\r(3),2))≤lg(1－eq\f(\r(3),2))∴定義域為(2kπ＋eq\f(π,3)，2kπ＋eq\f(2π,3))，(k∈Z)值域為(－∞，lg(1－eq\f(\r(3),2))］.(2)要使2eq\r(2cos3x－1)有意義，必須且只須2cos3x－1≥0，即cos3x≥eq\f(1,2)，解之得2kπ－eq\f(π,3)≤3x≤2kπ＋eq\f(π,3)即eq\f(2kπ,3)－eq\f(π,9)≤x≤eq\f(2kπ,3)＋eq\f(π,9)，k∈Z.又0≤2cos3x－1≤1故0≤2eq\r(2cos3x－1)≤2∴定義域為［eq\f(2kπ,3)－eq\f(π,9)，eq\f(2kπ,3)＋eq\f(π,9)］，k∈Z值域為［0，2］評述：求由正弦函數(shù)和余弦函數(shù)組成復(fù)合函數(shù)的定義域、值域問題，要充分考慮基本的正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的單調(diào)性和值域.4.比較下列各組數(shù)的大?。?1)sin195°與cos170°;(2)coseq\f(3,2)，sineq\f(1,10)，－coseq\f(7,4)(3)sin(sineq\f(3π,8))，sin(eq\f(3π,8)).分析：化為同名函數(shù)，進而利用單調(diào)性來比較函數(shù)值的大小.解：(1)sin195°＝sin(180°＋15°)＝－sin15°cos170°＝cos(180°－10°)＝－cos10°＝－sin80°∵0°＜15°＜80°＜90°又∵y＝sinx在［0°，90°］上是遞增函數(shù)，∴sin15°＜sin80°∴－sin15°＞－sin80°∴sin195°＞cos170°.(2)∵sineq\f(1,10)＝cos(eq\f(π,2)－eq\f(1,10))－coseq\f(7,4)＝cos(π－eq\f(7,4))又∵eq\f(π,2)－eq\f(1,10)＝1.47＜1.5＝eq\f(3,2)π－eq\f(7,4)＝1.39＜1.4＜eq\f(π,2)－eq\f(1,10)＜eq\f(3,2)而y＝cosx在［0，π］上是減函數(shù)，由π－eq\f(7,4)＜eq\f(π,2)－eq\f(1,10)＜eq\f(3,2)＜π得coseq\f(3,2)＜cos(