第二十一章

四邊形

21.3.1矩形第1課時(shí)矩形的性質(zhì)初中數(shù)學(xué)人教版（2024）八年級下冊學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解矩形的概念，知道矩形與平行四邊形的區(qū)別與聯(lián)系.(重點(diǎn))2.會證明矩形的性質(zhì)，會用矩形的性質(zhì)解決簡單的問題.(難點(diǎn))3.掌握直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，并會簡單的運(yùn)用.(重點(diǎn))課堂引入回顧一下平行四邊形及其邊、角、對角線都有哪些性質(zhì).一、矩形的定義及性質(zhì)問題1

如圖，現(xiàn)有一個(gè)活動的平行四邊形，使它的一個(gè)內(nèi)角變化，當(dāng)內(nèi)角變化為90°時(shí)，這是我們學(xué)過的哪個(gè)圖形？提示我們?nèi)舾淖兤叫兴倪呅蔚膬?nèi)角，使其一個(gè)內(nèi)角恰好為直角，會得到一種特殊的平行四邊形，也就是我們早已熟悉的長方形，即矩形，如圖所示.問題2

因?yàn)榫匦问瞧叫兴倪呅?，所以它具有平行四邊形的所有性質(zhì)，由于它有一個(gè)角為直角，它是否具有一般平行四邊形不具有的一些特殊性質(zhì)呢？請同學(xué)們以小組為單位，測量身邊的矩形(如書本等)的四個(gè)角度數(shù)和對角線的長度，并記錄測量結(jié)果.根據(jù)測量結(jié)果證明以下猜想.(1)猜想1：矩形的四個(gè)角都是直角；提示如圖，四邊形ABCD是矩形，∠A=90°.求證：∠B=∠C=∠D=∠A=90°.證明：∵四邊形ABCD是矩形，∠A=90°，∴∠C=∠A=90°，∠B=∠D，AD∥BC.∴∠B+∠A=180°，∵∠A=90°，∴∠B=180°-∠A=180°-90°=90°，∴∠D=90°，∴∠B=∠C=∠D=∠A=90°.提示如圖，四邊形ABCD是矩形，∠ABC=90°，對角線AC與DB相交于點(diǎn)O.求證：AC=DB.證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB=DC，∠DCB=∠ABC=90°，在△ABC和△DCB中，∵AB=DC，∠ABC=∠DCB，BC=CB，∴△ABC≌△DCB，∴AC=DB.(2)猜想2：矩形的對角線相等.知識梳理1.矩形的定義：有一個(gè)角是

的平行四邊形叫作

，矩形也就是長方形.2.作為特殊的平行四邊形，矩形具有平行四邊形的所有性質(zhì)，另外，矩形還有以下性質(zhì)：(1)矩形的四個(gè)角都是

；(2)矩形的對角線

.幾何語言：如圖，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，AC=BD.直角矩形直角相等例1

下列選項(xiàng)中，矩形具有的性質(zhì)是A.四邊相等

B.對角線互相垂直C.對角線相等

D.每條對角線平分一組對角√跟蹤訓(xùn)練1

矩形具有而平行四邊形不一定具有的性質(zhì)是A.對邊相等

B.對角相等C.對角線相等

D.對角線互相平分√解析矩形的對角線互相平分且相等，而平行四邊形的對角線互相平分，不一定相等.例2

(課本P69例1)如圖，矩形ABCD的對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，∠AOB=60°，AB=4.求矩形ABCD的對角線的長.解∵四邊形ABCD是矩形，∴AC與BD相等且互相平分，∴OA=OB，又∠AOB=60°，∴△OAB是等邊三角形，∴OA=AB=4，∴AC=BD=2OA=8.跟蹤訓(xùn)練2

(1)如圖，矩形ABCD的對角線交于點(diǎn)O.若∠BAO=55°，則∠AOD等于A.110° B.115°

C.120°

D.125°√解析∵四邊形ABCD是矩形，∴AC與BD相等且互相平分，∴OA=OB，∴∠ABO=∠BAO=55°，∴∠AOD=∠BAO+∠ABO=55°+55°=110°.(2)如圖，在矩形ABCD中，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，AE∥BD，且交CB的延長線于點(diǎn)E，求證：∠EAB=∠CAB.證明

∵四邊形ABCD是矩形，∴OA=OB.∴∠OAB=∠OBA.∵AE∥BD，∴∠EAB=∠OBA.∴∠EAB=∠CAB.二、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半問題3

如圖，一張矩形紙片，畫出兩條對角線，沿著對角線AC剪去一半.在Rt△ABC中，BO是一條怎樣的線段？它的長度與斜邊AC有什么關(guān)系？

知識梳理

斜邊的一半例3

如圖，在△ABC中，AD是高，E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點(diǎn).(1)若AB=10，AC=8，求四邊形AEDF的周長；

例3

如圖，在△ABC中，AD是高，E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點(diǎn).(2)求證：EF垂直平分AD.證明∵DE=AE，DF=AF，∴E，F(xiàn)在線段AD的垂直平分線上，∴EF垂直平分AD.反思感悟當(dāng)已知條件含有線段的中點(diǎn)、直角三角形等條件時(shí)，可聯(lián)想到直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)進(jìn)行求解.跟蹤訓(xùn)練3

(1)如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜邊AC上的中線.①若BD=3

cm，則AC=

cm；

②若∠C=30°，AB=5

cm，則AC=

cm，BD=

cm.

6105(2)如圖，在△ABC中，CD⊥AB于點(diǎn)D，E是AC的中點(diǎn).若AD=6，DE=5，則CD的長等于

.

8

課堂小結(jié)1.若直角三角形的兩條直角邊長分別為5和12，則斜邊上的中線長為A.13 B.6C.6.5 D.不能確定課堂練習(xí)√

2.若矩形的一條對角線與一邊的夾角為40°，則兩條對角線相交所成的銳角是A.20°

B.40°

C.80°

D.10°√

課堂練習(xí)3.如圖，在矩形ABCD中，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AO，AD的中點(diǎn)，若AB=6

cm，BC=8

cm，則EF=

cm.

2.5

課堂練習(xí)4.如圖，四邊形ABCD是矩形，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，BE∥AC交DC的延長線于點(diǎn)E.(1)求證：BD=BE；證明∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AC=BD，∵BE∥AC，∴四邊形ABEC是平行四邊形，∴BE=AC，∴BD=BE.課堂練習(xí)4.如圖，四邊形ABCD是矩形，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，BE∥AC交DC的延長線于點(diǎn)E