第二十一章

四邊形

21.2.1平行四邊形及其性質(zhì)

第2課時(shí)平行四邊形性質(zhì)綜合應(yīng)用初中數(shù)學(xué)人教版（2024）八年級下冊學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握兩條平行線之間的距離相等的性質(zhì).(重點(diǎn))2.能綜合運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)解決平行四邊形的有關(guān)計(jì)算問題和簡單的證明題.(難點(diǎn))3.經(jīng)歷對平行四邊形性質(zhì)的猜想與證明的過程，滲透轉(zhuǎn)化思想，體會圖形性質(zhì)探究的一般思路.課堂引入1.平行四邊形的定義是什么？2.平行四邊形的邊、角、對角線有什么性質(zhì)？一、平行四邊形的性質(zhì)綜合應(yīng)用例1

如圖，?ABCD的對角線AC，BD交于點(diǎn)O.過點(diǎn)O作直線EF，分別交AB，CD于點(diǎn)E，F(xiàn).求證：OE=OF.證明∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，OD=OB，∴∠ODF=∠OBE，∠DFO=∠BEO，∴△DOF≌△BOE(AAS)，∴OE=OF.反思感悟過平行四邊形的對角線交點(diǎn)作直線與平行四邊形的一組對邊或?qū)叺难娱L線相交，得到的線段總相等.跟蹤訓(xùn)練1

如圖，在?ABCD中，?ABCD的周長為16，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作OE⊥AC，交AD于點(diǎn)E，則△CDE的周長是多少？解∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，AD=BC，OA=OC，∴平行四邊形ABCD的周長為2(AD+CD)=16.∴AD+CD=8.∵OE⊥AC，OA=OC，∴AE=CE，∴△CDE的周長為CD+CE+DE=CD+AE+DE=AD+CD=8.二、兩條平行線之間的距離問題(1)若m∥n，作AB∥CD∥EF，分別交m于點(diǎn)A，C，E，交n于點(diǎn)B，D，F(xiàn).由平行四邊形的定義易知四邊形ABDC，CDFE均為

.由平行四邊形的性質(zhì)得

.

結(jié)論：

.

平行四邊形兩條平行線之間的任何平行線段都相等AB=CD=EF(2)若m∥n，AB，CD，EF垂直于n，交n于B，D，F(xiàn)，交m于A，C，E.同前面易得

.結(jié)論：在兩條平行線中，一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線的距離都

.

相等AB=CD=EF知識梳理1.兩點(diǎn)間的距離：連接兩點(diǎn)的線段的長度.

2.點(diǎn)到直線的距離：直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長度.

3.(1)兩條平行線之間的任何兩條平行線段都

.(2)兩條平行線中，一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線的距離，叫作這

.兩條平行線間的距離處處相等.相等兩條平行線之間的距離例2

(課本P58例3)如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，求證∠B=∠C.證明如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，過點(diǎn)A，D分別作AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分別為E，F(xiàn).∵AE，DF的長都是平行線AD，BC之間的距離，∴AE=DF.又AB=DC，∴Rt△ABE≌Rt△DCF.∴∠B=∠C.跟蹤訓(xùn)練2

(1)如圖，AB∥CD，BC⊥AB，若AB=4

cm，S△ABC=12

cm2，求△ABD中AB邊上的高.

(2)如圖所示，M是?ABCD的邊AD上任意一點(diǎn)，若△CMB的面積為S，△CDM的面積為S1，△ABM的面積為S2，則下列S，S1，S2的大小關(guān)系中正確的是A.S>S1+S2B.S=S1+S2C.S<S1+S2D.S與S1+S2的大小關(guān)系無法確定√

三、平行四邊形中“平行線+角分線”例3

如圖，在

?ABCD中，BF平分∠ABC交AD于點(diǎn)F，CE平分∠BCD交AD于點(diǎn)E，BC=5，EF=1，則AB長為A.3 B.4 C.5 D.6√解析∵四邊形ABCD是平行四邊形，BC=5，∴AD∥BC，AD=BC=5，DC=AB，∴∠AFB=∠CBF，∠DEC=∠BCE，∵BF平分∠ABC交AD于點(diǎn)F，CE平分∠BCD交AD于點(diǎn)E，∴∠ABF=∠CBF，∠DCE=∠BCE，∴∠AFB=∠ABF，∠DEC=∠DCE，∴AF=AB，DE=DC=AB，∵EF=1，∴AF+DE=2AB=AE+EF+DE=AD+EF=5+1=6，∴AB=3.反思感悟過平行四邊形一個(gè)內(nèi)角的角平分線交平行四邊形的對邊或?qū)叺难娱L線圍成一個(gè)等腰三角形，從而得到的兩條線段相等.跟蹤訓(xùn)練3

如圖所示，在平行四邊形ABCD中，AB=5，AD=3，∠DAB的平分線AE交線段CD于點(diǎn)E，則EC=

.

解析∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，DC=AB.∴∠DEA=∠EAB，∵∠DAB的平分線AE交DC于點(diǎn)E，∴∠EAB=∠DAE，∴∠DEA=∠DAE，∴AD=DE，∵AD=3，AB=5，∴EC=DC-DE=AB-AD=5-3=2.2課堂小結(jié)1.如圖，直線a∥b，A是直線a上的一個(gè)定點(diǎn)，線段BC在直線b上移動，那么在移動過程中△ABC的面積A.變大 B.變小C.不變 D.無法確定課堂練習(xí)√解析∵a∥b，∴a，b之間的距離是固定的，∵△ABC的高和a，b之間的距離相等，所以△ABC的高、底邊都是固定的，所以它的面積不變.2.如圖，E是平行四邊形內(nèi)任一點(diǎn)，若S?ABCD=8，則圖中陰影部分的面積是

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4

課堂練習(xí)3.如圖，在?ABCD中，AC，BD為