第二十一章

四邊形21.1四邊形及多邊形21.1.1四邊形及其內(nèi)角和初中數(shù)學(xué)人教版（2024）八年級下冊學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解并掌握四邊形的概念及相關(guān)定義.(重點(diǎn))2.探索四邊形的內(nèi)角和與外角和，并能解決問題.(重點(diǎn)、難點(diǎn))3.了解四邊形的不穩(wěn)定性.課堂引入1.類比三角形的概念，你能說出什么是四邊形嗎？2.任意三角形的內(nèi)角和等于180°，試著猜想四邊形的內(nèi)角和是多少度.一、四邊形的定義及相關(guān)概念問題1

自學(xué)閱讀課本第46~47頁，并回答以下問題：(1)四邊形的概念是什么？(2)四邊形的表示方法是什么？四邊形的對角線是什么？(3)四邊形的外角是什么？知識梳理1.定義：在平面內(nèi)，由不在同一直線上的四條線段

相接組成的圖形叫作四邊形，組成四邊形的各條線段叫作四邊形的邊，每相鄰兩條線段的公共端點(diǎn)叫作四邊形的頂點(diǎn).四邊形用表示它的各個(gè)頂點(diǎn)的字母表示，如圖中的四邊形，可以按照頂點(diǎn)的順序，記作“四邊形ABCD”.2.連接四邊形

的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段，叫作四邊形的對角線.3.四邊形的角的一邊與另一邊的

組成的角叫作四邊形的外角.首尾順次不相鄰延長線二、四邊形的內(nèi)角和與外角和問題2

(1)我們知道，三角形的內(nèi)角和是180°，長方形的內(nèi)角和是360°.那么，任意一個(gè)四邊形的內(nèi)角和是多少度？提示如圖，在四邊形ABCD中，連接對角線AC，則四邊形ABCD被分為△ABC和△ACD兩個(gè)三角形，在ABC中，由三角形內(nèi)角和定理，得∠1+∠B+∠3=180°，∠2+∠4+∠D=180°，由此可得∠DAB+∠B+∠BCD+∠D=∠1+∠2+∠B+∠3+∠4+∠D=(∠1+∠B+∠3)+(∠2+∠4+∠D)=180°+180°=360°.即四邊形的內(nèi)角和等于360°.(2)如圖，在四邊形的每個(gè)頂點(diǎn)處各取一個(gè)外角，這些外角的和叫作四邊形的外角和，四邊形的外角和等于多少？提示

∵∠DAB與∠1是鄰補(bǔ)角，∴∠DAB+∠1=180°，同理，∠ABC十∠2=180°.∠BCD+∠3=180°，∠CDA+∠4=180°，∴∠DAB+∠1+∠ABC+∠2+∠BCD+∠3+∠CDA+∠4=720°.而∠DAB+∠ABC+∠BCD+∠CDA=360°，∴∠1十∠2+∠3+∠4=360°.這樣，我們就證明了四邊形的外角和等于360°.知識梳理1.四邊形的內(nèi)角和等于

.2.四邊形的外角和等于

.360°360°例1

如果一個(gè)四邊形的一組對角互補(bǔ)，那么另一組對角有什么關(guān)系？解如圖，在四邊形ABCD中，∠A+∠C=180°.∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°，∴∠B+∠D=360°-(∠A+∠C)=360°-180°=180°.這就是說，如果四邊形的一組對角互補(bǔ)，那么另一組對角也互補(bǔ).跟蹤訓(xùn)練1

如圖，在四邊形ABCD中，∠A=∠C=90°，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，∠ADC=110°.(1)求∠ABE的度數(shù)；

跟蹤訓(xùn)練1

如圖，在四邊形ABCD中，∠A=∠C=90°，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，∠ADC=110°.(2)求證：DF∥BE.證明由(1)可知∠CBE=∠ABE=35°，又∵∠C=90°，∴∠BEC=55°，∵DF平分∠ADC，∠ADC=110°，∴∠FDC=55°，∴∠FDC=∠BEC，∴BE∥DF.三、四邊形的不穩(wěn)定性問題3

如圖(1)，在每個(gè)角上釘一枚釘子，將四根木條釘成一個(gè)四邊形木架，然后扭動它，它的形狀會改變嗎？如圖(2)，在四邊形木架上再釘一根本條，將它的一對不相鄰的頂點(diǎn)連接起來，然后再扭動它，這時(shí)木架的形狀還會改變嗎？為什么？提示四邊形木架的形狀會改變；再釘一根木條后，四邊形木架變成兩個(gè)三角形木架，這時(shí)形狀不會改變.知識梳理1.三角形具有

.2.四邊形具有

.穩(wěn)定性不穩(wěn)定性例2

如圖，ABCD是一個(gè)四邊形木框，為了使它保持穩(wěn)定的形狀，需在AC或BD上釘上一根木條，現(xiàn)量得BC=8

cm，CD=6

cm，AB=4

cm，AD=5

cm，試問一根3

cm長的木條，能否滿足要求，并說明理由.解能滿足要求，理由如下：如圖，∵四邊長分別為BC=8

cm，CD=6

cm，AB=4

cm，AD=5

cm，它的形狀是不穩(wěn)定的，∴BC-AB<AC<BC+AB，DC-AD<AC<DC+AD，∴4<AC<12，1<AC<11，∴AC的取值范圍是4<AC<11，同理AD-AB<BD<AD+AB，BC-DC<BD<BC+DC，∴1<BD<9，2<BD<14，∴BD的取值范圍是2<BD<9.∴一根3

cm長的木條能滿足要求.跟蹤訓(xùn)練2

下列圖形具有穩(wěn)定性的是√解析具有穩(wěn)定性的圖形是三角形.課堂小結(jié)1.下列多邊形中，是四邊形的是課堂練習(xí)√2.如圖，從△ABC紙片中剪去△ADE，得到四邊形DBCE，且∠1+∠2=245°，則∠A的度數(shù)是A.25° B.55°C.65° D.115°√解析∵∠1+∠2=245°，∴∠C+∠B=115°，∴∠A=180°-∠C-∠B=65°.課堂練習(xí)3.以下生活現(xiàn)象不是利用三角形穩(wěn)定性的是√課堂練習(xí)解析A項(xiàng)，木窗框與對角釘?shù)哪緱l形成三角形，三邊和三角固定，防止安裝變形，是利用三角形的穩(wěn)定性；B項(xiàng)，活動梯子，張開的梯腿與地面形成三角形，三邊和三角固定，防止登上變形，是利用三角形的穩(wěn)定性；C項(xiàng)，伸縮門的結(jié)構(gòu)是平行四邊形，四角活動可以變形開關(guān)