第第頁甘肅省靖遠(yuǎn)縣第二中學(xué)2025屆高三下學(xué)期高考模擬測(cè)試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．已知a∈R,i是虛數(shù)單位，a+2A．?2 B．?1 C．0 D．3【答案】C【解析】【解答】解：因?yàn)閍+2ia?2i=a故答案為：C.

【分析】由復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則和已知條件，從而解方程得出a的值.2．已知集合A=x∣x2A．?1,2 B．0,2 C．1 D．0,1【答案】D【解析】【解答】解：因?yàn)锳=x∣B={y∈N所以A∩B=0,1故答案為：D.【分析】先利用一元二次不等式求解方法和三次函數(shù)求值域的方法以及元素與集合的關(guān)系，從而得出集合A和集合B，再結(jié)合交集的運(yùn)算法則，從而得出集合A∩B.3．已知向量a=1,2，b?A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【解析】【解答】解：因?yàn)橄蛄縜=1,2，

所以則a+2故答案為：A.【分析】先利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示計(jì)算出a2的值，再利用數(shù)量積求向量的模的公式和數(shù)量積的運(yùn)算律，從而得出a4．已知兩個(gè)不同的平面α,β，一條直線m，下列命題是假命題的是（）A．若α∥β,m∥α，則m∥β B．若m⊥α,m⊥β，則α∥βC．若α∥β,m⊥α，則m⊥β D．若m⊥α,m∥β，則α⊥β【答案】A【解析】【解答】解：設(shè)平面α,β的法向量分別為n1,n2，直線對(duì)于A：若α∥β,m∥α，

則m∥β或m?β，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：若m⊥α,m⊥β，

則m//n1,m//n2，

所以對(duì)于C：由α∥β,m⊥α，

可得n1//n2,m//n2對(duì)于D：由m⊥α,m∥β，

可得：m//n1，m⊥n2，

所以故答案為：A.【分析】由已知條件和線面平行的判定定理、面面平行的判定定理、線面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理，從而逐項(xiàng)判斷找出假命題的選項(xiàng).5．已知?jiǎng)狱c(diǎn)P的軌跡所構(gòu)成的圖形為圖中陰影區(qū)域，其外邊界為一個(gè)邊長(zhǎng)為4的正方形，內(nèi)邊界由四個(gè)直徑相同且均與正方形一邊相切的圓的四段圓弧組成，如圖所示，則該陰影區(qū)域的面積為（）A．16?4π B．4+π C．4+2π【答案】D【解析】【解答】解：如圖，作出輔助線，

根據(jù)圖形的對(duì)稱性，

可知陰影區(qū)域的面積為8×2×22故答案為：D.

【分析】先將圖分為八部分，再通過切割的思想和圖形的對(duì)稱性，從而得出該陰影區(qū)域的面積.6．已知0<a<1<b，則（）A．ba<aC．bb<a【答案】B【解析】【解答】解：因?yàn)楹瘮?shù)y=ax(0<a<1)是減函數(shù)，

同理可得，函數(shù)y=bxb>1是增函數(shù)，

綜上所述，可得ab故答案為：B.【分析】利用已知條件和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，從而比較出ab7．已知橢圓C:x2a12+yA．1 B．12 C．13 【答案】A【解析】【解答】解：設(shè)橢圓的焦點(diǎn)為F1?c,0,

根據(jù)橢圓、雙曲線、正方形的對(duì)稱性可知，兩曲線位于第一象限的公共點(diǎn)為Pm,mm>0則PF所以PF所以e2則e2當(dāng)且僅當(dāng)c=m時(shí)取等號(hào).故答案為：A.

【分析】利用橢圓和雙曲線的基本性質(zhì)和橢圓的定義、橢圓的離心率公式，從而得出e2?e8．設(shè)函數(shù)fx=3A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】【解答】解：因?yàn)閒x=2sin顯然，當(dāng)x≥8時(shí)，fx<0，

所以x≥8時(shí)，故只需考慮x∈0,3π的情況，

由fx則2?2cos2x+π由sinx+π6≥0，

得到2kπ由x∈0,3π，得令y1=2?2cos如圖，在同一直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)y1=2?2cos由圖知，兩個(gè)函數(shù)的圖象在x∈0,5π6∪故答案為：B.

【分析】根據(jù)已知條件和函數(shù)fx零點(diǎn)與兩函數(shù)y1=2?2cos2x+π3、y2=二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9．某汽車公司為了宣傳A,B兩款新能源汽車，邀請(qǐng)8名業(yè)內(nèi)人士試駕，就新款汽車的駕乘感受進(jìn)行評(píng)分，最高分?jǐn)?shù)為10分.試駕結(jié)束后，評(píng)分如下表：A9.99.59.69.49.79.89.99.7B9.79.59.89.79.79.99.89.6下列說法正確的是（）A．A，B兩款汽車評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù)的眾數(shù)相同B．A，B兩款汽車評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù)的中位數(shù)相同C．若將評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù)乘以10，則新數(shù)據(jù)的方差為原數(shù)據(jù)的方差的10倍D．A款汽車評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù)去掉一個(gè)最低分和一個(gè)最高分后所得數(shù)據(jù)的極差小于原數(shù)據(jù)的極差【答案】B,D【解析】【解答】解：對(duì)于A，易知B款汽車評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù)的眾數(shù)為9.7，A款汽車評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù)眾數(shù)為9.9,9.7，

所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B，易得兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)均為9.7，所以B正確；對(duì)于C，由方差的性質(zhì)得出新數(shù)據(jù)的方差為原數(shù)據(jù)的方差的100倍，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)锳款汽車評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù)去掉一個(gè)最低分和一個(gè)最高分后所得數(shù)據(jù)的極差為：9.9?9.5<9.9-9.4，所以D正確.故答案為：BD.

【分析】由眾數(shù)、中位數(shù)、方差、極差的計(jì)算公式，從而逐項(xiàng)判斷找出說法正確的選項(xiàng).10．已知函數(shù)fxA．fxB．fx在區(qū)間0,1C．fx的圖象上不存在關(guān)于0,?1D．當(dāng)fx的極小值大于?7時(shí)，a的取值范圍為【答案】A,B,D【解析】【解答】解：令f'x=3x2所以f'x=0有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)解x1,x2易知fx的單調(diào)遞增區(qū)間是?∞,對(duì)于A，由函數(shù)的單調(diào)性可知x1為極大值點(diǎn)，x對(duì)于B，由f'又因?yàn)閒'x<0的解集為x所以，當(dāng)x∈0,1時(shí)，f'x<0，

所以對(duì)于C，令fx+f?x=?2，

則x3?ax2?3x+對(duì)于D，由函數(shù)fx的極小值大于?7和f由函數(shù)的單調(diào)性可知：fx>?7在則x3令gx則g'令g'x=0由函數(shù)的單調(diào)性可知：當(dāng)x∈0,2時(shí)，g'x當(dāng)x∈2,+∞時(shí)，g'所以g(x)所以0<a<9故答案為：ABD.【分析】先求導(dǎo)，從而確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而得出函數(shù)的極值點(diǎn)和極值，則可判斷選項(xiàng)A、選項(xiàng)B和選項(xiàng)D；由fx+f?x=?2解方程得出函數(shù)11．某同學(xué)在學(xué)習(xí)了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程后得到啟發(fā)，借助幾何畫板畫出了平面上到點(diǎn)F1?1,0,A．2B．PO的最小值為2C．當(dāng)點(diǎn)P不在坐標(biāo)軸上時(shí)，點(diǎn)P在橢圓x2D．當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為x0,y0時(shí)，【答案】A,C,D【解析】【解答】解：對(duì)于A，由題意可知1PF1+1因?yàn)镻F2-PF解得2≤對(duì)于B，當(dāng)PF2=對(duì)于C，因?yàn)镻當(dāng)且僅當(dāng)PF所以，若點(diǎn)P不在坐標(biāo)軸上時(shí)，PF2+PF1>4對(duì)于D，由1PF1+1因?yàn)镻F2=所以PF12?P所以PF則PF令PF則t2令y=t4?4t3則當(dāng)x0增大時(shí)，t4?4t3中t也增大，

故答案為：ACD.

【分析】利用橢圓定義和PF2-PF1≤F1F2=2，從而解關(guān)于PF1的不等式，則判斷出選項(xiàng)A；找特殊位置求出PO的最小值，即當(dāng)PF2=三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．已知圓臺(tái)O1O2，其上底面圓O1的直徑為2，下底面圓【答案】28【解析】【解答】解：由題意，得h=52?(4?1)2=4故答案為：28π【分析】先利用已知條件和勾股定理計(jì)算出圓臺(tái)的高，再利用圓臺(tái)的體積公式得出該圓臺(tái)的體積.13．某公司有5名員工要去參加A,B,C三項(xiàng)工作，每項(xiàng)工作都至少需要一人參加，且每人的精力只夠參加一項(xiàng)工作，一共有種不同的安排方案.【答案】150【解析】【解答】解：根據(jù)題意按每項(xiàng)工作人數(shù)分類，則只能是1,1,3或2,2,1，這是一個(gè)部分均分問題，

所以總的安排方案種數(shù)為C5故答案為：150.【分析】利用已知條件將問題轉(zhuǎn)化為排列、組合中的分組分配問題，則5名員工分成三組只能是1,1,3或2,2,1，再由排列數(shù)公式和組合數(shù)公式以及分類加法計(jì)數(shù)原理，從而得出共有的不同安排方案種數(shù).14．已知定義在R上的奇函數(shù)fx和偶函數(shù)gx滿足fx+gx=2+【答案】1【解析】【解答】解：因?yàn)閒x+g所以f由題意，可化簡(jiǎn)?fx+g①-②可得fx=sinx，又因?yàn)?sinα+cosβ)2③+④可得2+2sinαcosβ+cos故答案為：12【分析】將x替換成?x，兩式相減可得fx=sin四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15．如圖，在正方體ABCD?A1B1C（1）求證：A1（2）求直線A1E與平面【答案】（1）證明：以D為原點(diǎn)，以DA,DC,DD1所在的直線分別為x軸，y軸和z軸，

建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，

不妨設(shè)正方體ABCD?則A2,0,0可得A1由A1得A1E⊥B1（2）解：由（1）可得AC=設(shè)平面ACD1的法向量為m=x,y,z，令x=1，可得y=1,z=1，所以m=設(shè)直線A1E與平面ACD則sinθ=則cosθ=1?sin2θ=73，【解析】【分析】（1）以D為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則得出點(diǎn)的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)，再結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)表示得出A1E?B1（2）由（1）知：向量A1E=?1,1,?2，再利用兩向量垂直數(shù)量積為0的等價(jià)關(guān)系和數(shù)量積的坐標(biāo)表示，從而得出平面ACD1的一個(gè)法向量為（1）以D為原點(diǎn)，以DA,DC,DD1所在的直線分別為x軸，y軸和z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，不妨設(shè)正方體則A2,0,0可得A1由A1所以A1E⊥（2）由（1）可得AC=設(shè)平面ACD1的法向量為m=令x=1，可得y=1,z=1，所以m=設(shè)直線A1E與平面ACD則sinθ=則cosθ=1?sin2θ=716．已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,a=2b,c=3,cos（1）求sinB（2）求△ABC的面積；（3）求cosC?B【答案】（1）解：在△ABC中，

因?yàn)閏osA=?55，

由正弦定理asinA=bsin（2）解：由余弦定理，得a2=b2+所以4b2=b2則?ABC的面積為12（3）解：在△ABC中，

因?yàn)閏osA<0，

所以A為鈍角，B,C所以cosB=所以sincosC=則cos【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件和同角三角函數(shù)基本關(guān)系式以及正弦定理，從而計(jì)算得出角B的正弦值.（2）利用余弦定理得出b的值，再根據(jù)三角形的面積公式得出?ABC的面積.（3）利用三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)得出A為鈍角和B,C為銳角，再利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式得出角B的余弦值，再結(jié)合三角形內(nèi)角和定理、誘導(dǎo)公式和，兩角和的正弦公式，從而得出sinC的值，再根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系式得出角C的余弦值，最后根據(jù)兩角差的余弦公式得出cos（1）在△ABC中，因?yàn)閏osA=?55由正弦定理asinA=（2）由余弦定理a2=b得4b2=故△ABC的面積為12（3）在△ABC中，因?yàn)閏osA<0，所以A為鈍角，B,C所以cosB=所以sinC=cosC=則cosC?B17．已知拋物線E:y2=axa>0,P為E上一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)P（1）求拋物線E的方程；（2）連接P,A并延長(zhǎng)交拋物線E于另一點(diǎn)Q，若PQ=2OQ（O是原點(diǎn)），求點(diǎn)【答案】（1）解：設(shè)點(diǎn)Px0,y令fx若a≥2，則fx≥1恒成立，若a<2，則當(dāng)x=2?a2時(shí)，f(x)min=1?(2?a)2綜上所述，可知拋物線E的方程為y2（2）解：由題意，可設(shè)PQ:x=ty+1，

聯(lián)立拋物線方程y2=x，消去x可得：y2?ty?1=0，

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為則y1+y2=t,所以O(shè)P?OQ=x1又因?yàn)镻Q=2OQ，由所以O(shè)P=由OPOQ得x1所以，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為33【解析】【分析】（1）設(shè)Px0,（2）設(shè)PQ:x=ty+1，再將直線PQ的方程與拋物線方程聯(lián)立，再結(jié)合韋達(dá)定理和數(shù)量積為0兩向量垂直的等價(jià)關(guān)系和數(shù)量積的坐標(biāo)表示，從而得到OP⊥OQ，再利用PQ=2OQ和勾股定理，從而得出OPOQ（1）設(shè)點(diǎn)Px0令fx若a≥2，則fx≥1恒成立，若a<2，則當(dāng)x=2?a2時(shí)，f(x)min=1?綜上，可知拋物線E的方程為y2（2）由題意可設(shè)PQ:x=ty+1，聯(lián)立拋物線方程y2消去x可得：y2設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為x1,y則y1+y所以O(shè)P?OQ=又PQ=2OQ，由所以O(shè)P=由OPOQ得x1故點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為3318．已知函數(shù)fx（1）當(dāng)a=?1時(shí)，求曲線y=fx在點(diǎn)0,f（2）若a>2，且fx在0,+∞（3）證明：當(dāng)a∈1,+∞時(shí)，【答案】（1）解：當(dāng)a=?1時(shí)，fx=ex+3x+2則f'x=ex所以曲線y=fx在點(diǎn)0,1處的切線方程為y?1=6x，

???????即6x?y+1=0（2）解：令μx則μ'因?yàn)閍>2,x>0，所以所以μ'所以f'x是又因?yàn)閒x在0,+所以f'x=所以，只需f'0=a2所以a≥2.（3）證明：因?yàn)閏osx≤1，

所以，要證f只需證fx令ga=exa令hx=3x令h'x>0，則x<1，h所以hx在?∞,1所以h(x)max=h1=32問題可轉(zhuǎn)化為證明g1≥0，

即證即證3x?2sin令Fx則F'令φx則φ'所以φx在R上單調(diào)遞減，且φ所以當(dāng)x<0時(shí)，F(xiàn)'x>0；當(dāng)x>0所以函數(shù)Fx在?∞,0所以Fx≤F0=1，【解析】【分析】（1）由a的值得出函數(shù)的解析式，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得出切線的斜率，再結(jié)合代入法得出切點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)斜式方程得出曲線y=fx在點(diǎn)0,f（2）先確定f'x是0,+∞上的增函數(shù)，再由f'x（3）由cosx≤1，將問題轉(zhuǎn)化成fx=a2ex?3ax+2sinx≥1，構(gòu)造函數(shù)ga=eφx的單調(diào)性，從而判斷出函數(shù)Fx的單調(diào)性，進(jìn)而得出函數(shù)Fx的最值，則證出當(dāng)a∈（1）當(dāng)a=?1時(shí)，fx=ef'x=故曲線y=fx在點(diǎn)0,1處的切線方程為y?1=6x，即6x?y+1=0（2）令μx則μ'因?yàn)閍>2,x>0，所以所以μ'所以f'x是因?yàn)閒x在0,+所以f'x=所以只需f'0=故a≥2.（3））因?yàn)閏osx≤1，所以要證f只需證fx令ga=e令hx=3x令h'x>0，則x<1，h所以hx在?∞,1所以h(x)max=h1=問題可轉(zhuǎn)化為證明g1≥0，即證即證3x?2sin令Fx則F'令φx則φ'所以φx在R上單調(diào)遞減，且φ所以當(dāng)x<0時(shí)，F(xiàn)'x>0，當(dāng)x>0所以函數(shù)Fx在?∞,0所以Fx≤F019．設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若存在實(shí)數(shù)R>0，使得點(diǎn)an,Sn位于平面直角坐標(biāo)系上以原點(diǎn)為圓心，半徑為（1）設(shè)數(shù)列an是首項(xiàng)與公比均為?1的等比數(shù)列，證明：數(shù)列an具有“（2）若各項(xiàng)均為非負(fù)整數(shù)的數(shù)列an具有“R圓性質(zhì)”，證明：數(shù)列an中非零的項(xiàng)數(shù)不超過（3）設(shè)隨機(jī)變量Xn等可能地取?1,0,1n=1,2,?，且不同的Xn的取值是相互獨(dú)立的.對(duì)于正整數(shù)m，定義數(shù)列Am：前m項(xiàng)為X1,X2,?,Xm【答案】（1）證明：由題意，得an=(?1)n,Sn=?1（2）證明：因?yàn)閍n具有“R圓性質(zhì)”，

所以an2+Sn2≤R2，

設(shè)數(shù)列an中有k項(xiàng)是非零的，

記為an1,an2,?,ankn1<n2<?<（3）證明：當(dāng)各項(xiàng)均為整數(shù)的數(shù)列an具有“2圓性質(zhì)”時(shí)，an2+Sn2≤2，

則an,Sn∈?1,0,1，