第第頁湖南省邵陽市2025屆高三第二次聯考數學試題一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．已知集合A=xx2<9，A．x?3<x<1 B．xx>1 C．x1<x<3【答案】D【解析】【解答】解：因為A=xx2所以A∪B=x故答案為：D.【分析】由一元二次不等式求解方法，從而得出集合A，再利用一元一次不等式求解方法得出集合B，再利用并集的運算法則，從而得出集合A∪B.2．已知復數z在復平面內對應的點的坐標是2,?1，則z=A．1+2i B．2+i C．2?i【答案】B【解析】【解答】解：因為復數z在復平面內對應的點的坐標是2,?1，

所以z=2?i，

則z故答案為：B.【分析】先利用復數的幾何意義得出復數z，從而得出復數z的共軛復數.3．命題“?x>1，exA．?x≤1，ex?2>0 B．?x>1C．?x≤1，ex?2>0 D．?x>1【答案】D【解析】【解答】解：因為命題“?x>1，ex?2>0”是全稱量詞命題，其否定是特稱量詞，所以命題“?x>1，ex?2>0”的否定為“?x>1，故答案為：D.【分析】根據全稱量詞命題的否定是特稱量詞，從而改量詞否定結論，則得出命題“?x>1，ex4．定義在R上的函數fx滿足fx?f2?x=0，且fx在1,+∞A．b<c<a B．c<b<a C．a<b<c D．b<a<c【答案】A【解析】【解答】解：因為定義在R上的函數fx滿足f所以fx=f2?x即f所以a=f?9=f11又因為fx在1,+∞上單調遞增，

所以故答案為：A.【分析】先判斷出函數圖象關于直線x=1對稱，再利用函數的單調性比較出a，b，c的大小.5．已知函數fx=3x3?A．1,+∞ B．?∞,1 C．2,+【答案】C【解析】【解答】解：因為fx=3x所以f?x又因為f'x=9x2?cos所以fx+f4?3x<0，所以，x的取值范圍是2,+∞故答案為：C.【分析】利用函數的單調性和奇偶性結合已知條件，從而得出滿足fx+f4?3x6．過拋物線x=2y2的焦點F的直線交拋物線于A、B兩點，交拋物線的準線于點C．若AB=3A．34 B．1 C．98 【答案】C【解析】【解答】解：因為拋物線y2=12x的焦點為F18,0，若直線AB與x軸重合，此時，直線AB與拋物線y2設直線AB的方程為x=my+18，

聯立x=my+18y因為AB=3AF，

則所以，y2?y1=?3所以，y1+y2=?則y1y2所以，y12=14m2=132，y22=4y1所以BC=故答案為：C.

【分析】設點Ax1,y1、Bx2,y2，利用已知條件可得直線AB不與x軸重合，設直線AB的方程為7．有甲、乙、丙3臺車床加工同一型號的零件，加工的次品率分別為6%、5%、3%，加工出來的零件混放在一起．已知甲、乙、丙3臺車床加工的零件數分別占總數的30%、A．2147 B．2047 C．1847【答案】C【解析】【解答】解：記事件A1:取到的零件為甲車床加工的，事件事件A3:取到的零件為丙車床加工的，事件則PBA1=6PA1=310由貝葉斯公式，可得：PA因此，如果取到的零件是次品，則它是甲車床加工的概率為1847故答案為：C.

【分析】記事件A1:取到的零件為甲車床加工的，事件A2:取到的零件為乙車床加工的，事件A38．已知向量a,b滿足a=3，A．2,4 B．0,8 C．3,8 D．【答案】A【解析】【解答】解：取F1F2=4a，O為線段F1F∴4又因為F1∴點P的軌跡是以F1,F∴長半軸的長為4，短半軸的長為42所以，2a故答案為：A.

【分析】令F1F2=4a，F2P=b，利用向量加法的三角形法則得到4a+b=F1P，則將二、選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9．下列說法正確的是（）A．一組數5，7，9，11，3，13，15的第60百分位數是11B．若隨機變量ξ，η滿足η=3ξ?2，Dξ=3C．一組數據xi,yi1≤i≤15,i∈ND．某學校要從12名候選人（其中7名男生，5名女生）中，隨機選取5名候選人組成學生會，記選取的男生人數為X，則X服從超幾何分布【答案】A,C,D【解析】【解答】解：因為數據組為5，7，9，11，3，13，15，排序后為3，5，7，9，11，13，15，計算第60百分位數為：位置計算為n×p%=7×0.6=4.2，因為隨機變量η=3ξ?2，又因為Dξ=3，

根據方差線性變換公式為D(η)=32×D(ξ)=9×3=27因為線性回歸方程y=3x+2必經過樣本均值點x,y，

當x=2時，代入方程得從12名候選人（7男5女）中不放回地抽取5人，男生人數X服從超幾何分布H(12，7，5)，

故選項D正確.故答案為：ACD.

【分析】將數據從小到大排列，根據百分位數的定義計算，則可判斷選項A；根據方差的線性性質計算可判斷選項B；根據線性回歸方程必經過樣本中心點，計算可判斷選項C；根據超幾何分布的定義可判斷選項D，從而找出說法正確的選項.10．已知雙曲線C:x24?y25=1的左、右焦點分別為F1、FA．直線y=52x?1B．雙曲線C的離心率為3C．當∠F1AFD．當直線AB的斜率為k1，過線段AB的中點和原點的直線的斜率為k2【答案】B,C【解析】【解答】解：對于A，由題意，聯立y=52x?1x2所以，直線y=52x?1對于B，對于雙曲線C，則a=2，b=5，c=所以，雙曲線C的離心率為e=c對于C，設F1A=m，F2A由余弦定理，可得：F可得mn=20，

則S△對于D，設點Ax1,y1、Bx2則k1=y1?y2由題意，可得x124?y125=1故答案為：BC.

【分析】將直線方程與雙曲線方程聯立，從而得出交點坐標，則可判斷選項A；利用雙曲線的離心率公式求出雙曲線C的離心率，則可判斷選項B；利用雙曲線的定義、余弦定理結合三角形的面積公式，則可判斷選項C；利用中點坐標公式和兩點求斜率公式以及點差法，則可判斷選項D，從而找出正確的選項.11．設函數Fx的導函數為fx，即F'x=fx．當fx≥0，函數fx在區(qū)間a,b上的圖象連續(xù)不斷時，直線x=a，x=bA．1B．當t>1時，2C．存在實數a>1，使得1a1xdxD．直線x=0，x=π，y=0和曲線y=sin【答案】B,D【解析】【解答】解：對于選項A，因為12x2dx對于選項B，因為1t1+1即要證2lnt<t?1設gt=2lnt?t+1t，則gt在1,+∞上單調遞減，

所以對于選項C，∵1a1xd要使1a1xdx則ln2a+1=ln∴l(xiāng)oga+2∵當a>1時，loga+1又因為loga+1∴l(xiāng)oga+1a?∴①不成立，所以C錯誤；對于選項D，因為0πsinxdx所以D正確．故答案為：BD.

【分析】利用題中定義和定積分求面積的方法，則可判斷選項A和選項D；先計算出1t1+1x2dx三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12．3x+1n的展開式中，各二項式系數的和與各項系數的和之比為1:128，則n的值為【答案】7【解析】【解答】解：根據題意，(3x+1)n的展開式中，各二項式系數的和為2令x=1，可得其展開式中各項系數的和為4n依題意，則2n4n=(故答案為：7.【分析】先根據各二項式系數的和為2n，令x=113．在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別是a,b,c．若2A=B+C，asinA=b【答案】6【解析】【解答】解：由2A=B+CA+B+C=由asinA=bcosB結合正弦定理asin所以C=π所以sinC=故答案為：6+【分析】由已知條件和正弦定理、三角形內角和定理、兩角和的正弦公式，從而得出角C的正弦值.14．已知正六棱錐的高為3，它的外接球的表面積是163π．若在此正六棱錐內放一個正方體，使正方體可以在該正六棱錐內任意轉動，則正方體的棱長的最大值為【答案】5【解析】【解答】解：設外接球的半徑為R，

則S球=4πR設正六棱錐的底面邊長為x，

則3?R2+則正六棱錐的底面邊長為1，側棱長為2，∴正六棱錐的底面積S1所以，側面面積S2∴正六棱錐的體積V=1設正六棱錐的內切球的半徑為r，則V=1∴r=3設正方體的棱長為a，則3a≤2r，

∴a≤∴正方體的棱長的最大值為5?1故答案為：5?1【分析】設正六棱錐的外接球的半徑為R、內切球的半徑為r，由題意和正六棱錐的性質，從而求出R的值以及正六棱錐的底面積和側面面積，再利用等體積法得出r的值，設正方體的最大棱長為a，此時正六棱錐的內切球是正方體的外接球，由此得出正方體的棱長的最大值.四、解答題（本大題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）15．已知向量a=sinx,3cos（1）求函數fx（2）當x∈0,π2時，t【答案】（1）解：∵f∴函數fx的最小正周期T=由π2+2kπ得π3+kπ∴fx的單調遞減區(qū)間為π3+k（2）解：∵當0≤x≤π2時，∴結合y=sinx的圖像，

當2x?π∵當x∈0,π2∴t2?52t≤0，

解得0≤t≤52【解析】【分析】（1）先由數量積的坐標表示和二倍角的余弦公式、二倍角的正弦公式以及輔助角公式，從而化簡函數為正弦型函數，再利用正弦型函數的最小正周期公式，從而得出函數fx的最小正周期，利用換元法和正弦函數的單調性，從而得出正弦型函數f（2）先根據x的取值范圍得出?π6≤2x?π6（1）∵fx∴函數fx的最小正周期T=由π2+2kπ得π3+kπ∴fx的單調遞減區(qū)間為π3+k（2）∵當0≤x≤π2時，∴結合y=sinx的圖像，當2x?π∵當x∈0,π2∴t2?52t≤0，解得0≤t≤516．如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，平面AA1C1C⊥平面ABC，AB=AC=2，BC=2（1）證明：A1C⊥平面（2）是否存在實數λ，使得點C到平面BPC1的距離為45【答案】（1）證明：∵AB=AC=2，BC=22，

∴AB2+AC又∵面AA1C1C⊥面ABC，面AA1C∴AB⊥面AA∵A1C?面AA又因為A1C⊥BC1，AB,BC1?面ABC（2）解：∵A1C⊥面ABC1，

∴A取A1C1的中點為E，連接AE，

∵∠ACC1=60°，∴?AA1C又因為AB⊥平面AA1C∴如圖所示，以點A為坐標原點，

分別以AB,AC,AE所在直線為x軸，y軸，z軸，

建立空間直角坐標系A?xyz，則A0,0,0，B2,0,0，C0,2,0，A10,?1,3，C10,1,3設n=x,y,z為平面則n?BP=?2x?λy+3λz=0,n設d為點C到面BPC則d=BC∴28λ2?16λ+1=0，

則λ=所以，存在λ=12或【解析】【分析】（1）先由勾股定理證出AB⊥AC，再由面面垂直的性質定理得到AB⊥面AA1C1C（2）由線面垂直的定義得出線線垂直，從而得出四邊形AA1C1C為菱形，再利用等邊三角形三線合一和平行的傳遞性，從而得出線線垂直，則建立如圖所示空間直角坐標系，再利用兩向量垂直數量積為0的等價關系和數量積的坐標表示，從而得出平面BPC1的一個法向量，再利用數量積求點到平面的距離公式和已知條件，從而得出存在實數λ（1）證明：∵AB=AC=2，BC=22，∴AB2又∵面AA1C1C⊥面ABC，面AA1∴AB⊥面AA∵A1C?面A又A1C⊥BC1，AB,BC1?面AB（2）∵A1C⊥面ABC1，∴取A1C1的中點為E，連接AE，∵∠AC∴AE⊥A1C1．又又AB⊥平面AA1C∴如圖所示，以點A為坐標原點，分別以AB,AC,AE所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系A?xyz．則A0,0,0，B2,0,0，C0,2,0，A10,?1,BP=BA+AP=設n=x,y,z為面則n?BP=?2x?λy+3λz=0,設d為點C到面BPC則d=BC∴28λ2?16λ+1=0，即λ=故存在λ=12或17．已知等差數列an的前n項和為Sn，a2a3=45，S3（1）求數列an（2）證明：數列bn（3）求數列an+2anan+1【答案】（1）解：∵an是等差數列，

∴S3又∵a2a3∴等差數列an的公差d=∴a（2）證明：∵2bn?b又∵b1?15=1，

∴b∴b（3）解：由（2）得，bn記c∴T=11×【解析】【分析】（1）由等差數列前n項和公式和等差數列的性質以及已知條件，從而求出a2的值，再由等差數列的性質得出公差的值，再結合等差數列性質得出數列a（2）由遞推關系和等比數列定義，從而證出數列bn（3）由（2）結合等比數列的通項公式得出數列bn的通項公式，從而得出數列an+2anan+1b（1）∵an是等差數列，∴S又∵a2a∴等差數列an的公差d=∴a（2）∵2bn?又∵b1?15=1，∴∴b（3）由（2）得bn記cn∴T=11×18．已知橢圓C:x2a2+（1）求C的方程；（2）過C的右焦點F的直線交⊙O:x2+y2=a2于①證明：四邊形AMBN的面積為定值，并求出該定值；②若直線AB的斜率存在且不為0，設線段AB的中點為E，記△AEN，△BEM的面積分別為S1,S2．當【答案】（1）解：根據題意，得ca=63b=1所以，橢圓C的方程為x2（2）①證明：設四邊形AMBN的面積為S，由（1）得，⊙O:x2+因為直線MN的垂直平分線段AB，

所以S=1當直線AB與x軸重合時，此時AB=23，∴S=1由圓的性質知直線MN過坐標原點O，

由橢圓的對稱性知OM=當直線AB與x軸不重合時，設直線AB方程為x=ty+2∵OE2=∴AB∵MN⊥AB，

則直線MN的方程為y=?tx，

聯立橢圓方程，得y=?txx23+y∴MN∴MN∴S=12綜上所述，四邊形AMBN的面積為定值23②解：易知S1=12AE?EN，S∴=1?2由（?。┲狾NOE設3t2+1=m∴當且僅當m=4m時，即當m=2時，等號成立，此時所以S1S2【解析】【分析】（1）根據已知條件和橢圓的離心率公式、點代入法和橢圓中a，b，c三者的關系式，從而解方程組得出a，b，c的值，進而得出橢圓C的標準方程.（2）（ⅰ）從直線AB與x軸重合這一特殊入手，此時得出四邊形AMBN的面積為S=23；當直線AB與x軸不重合時，設直線AB方程為x=ty+2，通過幾何圖形的對稱性和橢圓的性質，從而計算得出AB=23t2+11+t2，MN=23t2+13（1）根據題意，得ca=6所以橢圓C的方程為x2（2）（?。┳C明：設四邊形AMBN的面積為S，由（1）得⊙O:x2+因為直線MN的垂直平分線段AB，所以S=1當直線AB與x軸重合時，此時AB=23，∴S=1由圓的性質知直線MN過坐標原點O，由橢圓的對稱性知OM=當直線AB與x軸不重合時，設直線AB方程為x=ty+2∵OE2=∴AB∵MN⊥AB，則直線MN的方程為y=?tx，聯立橢圓方程，得y=?txx2∴MN∴MN∴