(2025年)(完整版)多元統(tǒng)計(jì)分析試題及答案細(xì)選全文一、單項(xiàng)選擇題（每題3分，共15分）1.設(shè)隨機(jī)向量X=(X?,X?,X?)'服從多元正態(tài)分布N?(μ,Σ)，其中Σ為3×3協(xié)方差矩陣。以下說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A.任意兩個(gè)分量的線(xiàn)性組合服從一元正態(tài)分布B.若Σ為對(duì)角矩陣，則X?,X?,X?相互獨(dú)立C.若X?與X?獨(dú)立，則Σ中(1,2)位置元素為0D.樣本協(xié)方差矩陣S=(1/n)Σ(X?X?)(X?X?)'是Σ的無(wú)偏估計(jì)2.主成分分析中，前k個(gè)主成分的累計(jì)貢獻(xiàn)率達(dá)到85%通常被作為提取主成分的標(biāo)準(zhǔn)，該標(biāo)準(zhǔn)的本質(zhì)是（）A.保證前k個(gè)主成分包含原變量85%的協(xié)方差信息B.保證前k個(gè)主成分與原變量的相關(guān)系數(shù)之和≥0.85C.保證前k個(gè)主成分的方差之和占總方差的85%D.保證前k個(gè)主成分能解釋原變量85%的變異3.進(jìn)行因子分析時(shí)，若KMO統(tǒng)計(jì)量為0.65，Bartlett球度檢驗(yàn)p值為0.001，則（）A.數(shù)據(jù)不適合做因子分析，需增加樣本量B.數(shù)據(jù)適合做因子分析，KMO>0.6且Bartlett檢驗(yàn)拒絕原假設(shè)C.數(shù)據(jù)適合做因子分析，但需先進(jìn)行變量篩選D.數(shù)據(jù)不適合做因子分析，KMO未達(dá)到0.7的理想值4.判別分析中，F(xiàn)isher判別法的核心思想是（）A.最大化組間均值差異，最小化組內(nèi)方差B.最小化錯(cuò)判概率C.構(gòu)建線(xiàn)性函數(shù)使不同組樣本在該函數(shù)上的投影盡可能分離D.基于貝葉斯定理計(jì)算后驗(yàn)概率5.聚類(lèi)分析中，若采用離差平方和法（Ward法），則合并兩類(lèi)時(shí)應(yīng)選擇（）A.類(lèi)間歐氏距離最小的兩類(lèi)B.合并后離差平方和增加最小的兩類(lèi)C.類(lèi)間相關(guān)系數(shù)最大的兩類(lèi)D.類(lèi)內(nèi)方差最小的兩類(lèi)二、簡(jiǎn)答題（每題8分，共32分）1.簡(jiǎn)述多元正態(tài)分布與一元正態(tài)分布的聯(lián)系與區(qū)別。2.說(shuō)明主成分分析與因子分析的主要差異。3.判別分析中，為什么需要檢驗(yàn)各組協(xié)方差矩陣是否相等？若不相等應(yīng)如何處理？4.典型相關(guān)分析與多元回歸分析的主要區(qū)別是什么？三、計(jì)算題（每題12分，共36分）1.已知3維隨機(jī)向量X的協(xié)方差矩陣為：Σ=?210??131??012?（1）計(jì)算X的總方差；（2）求第一主成分表達(dá)式；（3）計(jì)算第一主成分的貢獻(xiàn)率。2.某研究收集了20個(gè)樣本的4個(gè)變量數(shù)據(jù)（標(biāo)準(zhǔn)化后），經(jīng)因子分析得到初始因子載荷矩陣：?0.820.15??0.790.21??0.180.85??0.230.78?（1）解釋初始因子的實(shí)際意義；（2）對(duì)因子進(jìn)行方差最大旋轉(zhuǎn)，寫(xiě)出旋轉(zhuǎn)后的載荷矩陣（保留2位小數(shù)）；（3）說(shuō)明旋轉(zhuǎn)的作用。3.某銀行根據(jù)歷史數(shù)據(jù)將客戶(hù)分為“優(yōu)質(zhì)”（G?）和“風(fēng)險(xiǎn)”（G?）兩類(lèi)，兩類(lèi)的均值向量分別為：X??=(5.2,3.8,2.1)'，X??=(2.5,1.2,0.9)'樣本協(xié)方差矩陣S?=?1.20.50.3?，S?=?1.50.60.4?（假設(shè)S?=S?=S）?0.51.00.2??0.61.10.3??0.30.20.8??0.40.30.7?（1）計(jì)算Fisher判別函數(shù)；（2）若某新客戶(hù)的觀測(cè)值為(4.1,2.9,1.5)'，判斷其屬于哪一類(lèi)。四、綜合分析題（共17分）某高校收集了120名學(xué)生的5項(xiàng)指標(biāo)數(shù)據(jù)：X?（數(shù)學(xué)成績(jī)）、X?（英語(yǔ)成績(jī)）、X?（編程能力得分）、X?（科研項(xiàng)目參與度）、X?（社會(huì)實(shí)踐時(shí)長(zhǎng)）。數(shù)據(jù)經(jīng)標(biāo)準(zhǔn)化處理后，進(jìn)行以下分析：（1）主成分分析結(jié)果：前兩個(gè)主成分的特征值分別為2.35和1.62，對(duì)應(yīng)的載荷矩陣為：?0.780.21??0.750.19??0.120.89??0.150.85??0.100.82?（2）以這兩個(gè)主成分為變量進(jìn)行系統(tǒng)聚類(lèi)，采用歐氏距離和組間平均連接法，得到樹(shù)狀圖（略），最終分為3類(lèi)，各類(lèi)均值如下：類(lèi)1：(1.2,-0.8)，類(lèi)2：(-0.3,1.1)，類(lèi)3：(-0.9,-0.3)要求：①解釋前兩個(gè)主成分的實(shí)際含義；②結(jié)合主成分載荷矩陣，說(shuō)明類(lèi)1、類(lèi)2、類(lèi)3學(xué)生的特征差異；③若需進(jìn)一步分析學(xué)生綜合能力與家庭收入（X?）的關(guān)系，應(yīng)采用何種多元統(tǒng)計(jì)方法？簡(jiǎn)述步驟。答案--一、單項(xiàng)選擇題1.D（樣本協(xié)方差矩陣無(wú)偏估計(jì)應(yīng)為(1/(n-1))Σ(...)）2.C（主成分方差和占總方差比例）3.B（KMO>0.5且Bartlett檢驗(yàn)顯著即可）4.C（Fisher判別核心是最大化組間分離度）5.B（Ward法基于離差平方和增量最?。┒?、簡(jiǎn)答題1.聯(lián)系：一元正態(tài)分布是多元正態(tài)分布的特例（p=1）；多元正態(tài)分布的任意邊緣分布和條件分布均為正態(tài)；線(xiàn)性變換保持正態(tài)性。區(qū)別：多元正態(tài)分布由均值向量和協(xié)方差矩陣完全確定；存在協(xié)方差矩陣非對(duì)角元素反映變量間相關(guān)性；多元正態(tài)性需滿(mǎn)足所有線(xiàn)性組合為正態(tài)，而一元僅需單變量。2.主成分分析是降維技術(shù)，通過(guò)線(xiàn)性組合提供新變量（主成分），解釋原變量方差；因子分析假設(shè)存在不可觀測(cè)的公共因子，原變量是因子的線(xiàn)性組合加獨(dú)特因子，重點(diǎn)解釋變量間相關(guān)性；主成分是原變量的確定線(xiàn)性組合，因子是潛在變量，需估計(jì)；主成分?jǐn)?shù)等于原變量數(shù)，因子數(shù)通常少于變量數(shù)。3.協(xié)方差矩陣相等時(shí)可使用線(xiàn)性判別函數(shù)（如Fisher判別），不等時(shí)需使用二次判別函數(shù)（如Bayes判別），否則錯(cuò)判率會(huì)升高。檢驗(yàn)方法包括Box’sM檢驗(yàn)。若不相等，應(yīng)采用二次判別或增大樣本量使協(xié)方差矩陣估計(jì)更穩(wěn)定，也可對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行變換（如標(biāo)準(zhǔn)化）使協(xié)方差矩陣近似相等。4.典型相關(guān)分析研究?jī)山M變量間的整體相關(guān)性，尋找兩組變量的線(xiàn)性組合（典型變量對(duì)）使相關(guān)系數(shù)最大；多元回歸分析是單組因變量對(duì)多組自變量的線(xiàn)性依賴(lài)關(guān)系，目標(biāo)是用自變量解釋因變量變異；典型相關(guān)是對(duì)稱(chēng)分析（兩組地位平等），多元回歸是非對(duì)稱(chēng)分析（有明確因變量）；典型相關(guān)關(guān)注兩組變量的共同變異，回歸關(guān)注因變量的獨(dú)特變異。三、計(jì)算題1.（1）總方差=tr(Σ)=2+3+2=7；（2）第一主成分對(duì)應(yīng)最大特征值。求解|Σ-λI|=0：行列式=(2-λ)[(3-λ)(2-λ)-1]-1[(1)(2-λ)-0]+0=(2-λ)(λ2-5λ+5)(2-λ)=(2-λ)(λ2-5λ+4)=0特征值λ=2,4,1（排序后最大為4）。對(duì)應(yīng)特征向量滿(mǎn)足(Σ-4I)a=0：?-210??a???0??1-11??a??=?0?→-2a?+a?=0；a?-a?+a?=0→a?=2a?，a?=a?-a?=a??01-2??a???0?單位化后a=(1/√(12+22+12))(1,2,1)'=(1/√6,2/√6,1/√6)'第一主成分Z?=(1/√6)X?+(2/√6)X?+(1/√6)X?（3）貢獻(xiàn)率=4/7≈57.14%2.（1）初始因子F?在變量1、2上載荷高（0.82,0.79），可能代表“學(xué)術(shù)能力”；F?在變量3、4上載荷高（0.85,0.78），可能代表“實(shí)踐能力”。（2）方差最大旋轉(zhuǎn)公式：對(duì)于2個(gè)因子，旋轉(zhuǎn)角度θ滿(mǎn)足tan(4θ)=[2(a?b?+a?b?)-(a?2+b?2+a?2+b?2)(a?b?-a?b?)]/[(a?2-b?2+a?2-b?2)(a?b?+a?b?)-2(a?b?-a?b?)(a?2+b?2-a?2-b?2)]（具體計(jì)算略），旋轉(zhuǎn)后載荷矩陣近似為：?0.910.08??0.890.12??0.050.92??0.090.89?（3）旋轉(zhuǎn)使因子載荷矩陣更“稀疏”，便于解釋因子的實(shí)際意義，突出每個(gè)因子對(duì)部分變量的高載荷。3.（1）合并協(xié)方差矩陣S=(S?+S?)/2=?1.350.550.35??0.551.050.25??0.350.250.75?計(jì)算S?1：首先求行列式|S|=1.35(1.050.75-0.250.25)-0.55(0.550.75-0.250.35)+0.35(0.550.25-1.050.35)=1.35(0.7875-0.0625)-0.55(0.4125-0.0875)+0.35(0.1375-0.3675)=1.350.725-0.550.325+0.35(-0.23)=0.97875-0.17875-0.0805=0.7195伴隨矩陣計(jì)算略，最終S?1≈?1.02-0.53-0.12??-0.531.47-0.21??-0.12-0.211.63?判別函數(shù)系數(shù)向量a=S?1(X??-X??)=S?1(2.7,2.6,1.2)'≈(1.022.7-0.532.6-0.121.2,-0.532.7+1.472.6-0.211.2,-0.122.7-0.212.6+1.631.2)'≈(2.754-1.378-0.144,-1.431+3.822-0.252,-0.324-0.546+1.956)'≈(1.232,2.139,1.086)'常數(shù)項(xiàng)c=-0.5a'(X??+X??)=-0.5(1.232(5.2+2.5)+2.139(3.8+1.2)+1.086(2.1+0.9))=-0.5(1.2327.7+2.1395+1.0863)=-0.5(9.4864+10.695+3.258)=-0.523.4394≈-11.7197Fisher判別函數(shù)：y=1.232x?+2.139x?+1.086x?-11.7197（2）代入(4.1,2.9,1.5)'：y=1.2324.1+2.1392.9+1.0861.5-11.7197≈5.0512+6.2031+1.629-11.7197≈12.8833-11.7197≈1.1636>0，故判為G?（優(yōu)質(zhì)客戶(hù)）四、綜合分析題①主成分1在X?（0.78）、X?（0.75）上載荷高，反映“基礎(chǔ)學(xué)業(yè)能力”；主成分2在X?（0.89）、X?（0.85）、X?（0.82）上載荷高，反映“實(shí)踐創(chuàng)新能力”。②類(lèi)1主成分1得分高（1.2）、主成分2得分低（-0.8），為“基礎(chǔ)學(xué)業(yè)強(qiáng)但實(shí)踐較弱”的學(xué)生；類(lèi)2主成分2得分高（1.1）、主成分1得分中等（-0.3），為“實(shí)踐創(chuàng)新突出但基礎(chǔ)學(xué)業(yè)一般”的學(xué)生；類(lèi)3兩主成分得