2026屆華大新數(shù)學高二上期末學業(yè)質量監(jiān)測試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知點，，則經(jīng)過點且經(jīng)過線段AB的中點的直線方程為（）A. B.C. D.2．下面四個說法中，正確說法的個數(shù)為（）（1）如果兩個平面有三個公共點，那么這兩個平面重合；（2）兩條直線可以確定一個平面；（3）若，，，則；（4）空間中，兩兩相交的三條直線在同一平面內(nèi).A.1 B.2C.3 D.43．圓C：的圓心坐標和半徑分別為（）A.和4 B.（－3，2）和4C.和 D.和4．已知，，，執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出值為（）A. B.C. D.5．若，則（）A.1 B.2C.3 D.46．等差數(shù)列中，，，則（）A.6 B.7C.8 D.97．我國古代數(shù)學論著中有如下敘述：“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈二百五十四．”思如下：一座7層塔共掛了254盞燈，且相鄰兩層下一層所掛燈數(shù)是上一層所掛燈數(shù)的2倍．下列結論不正確的是（）A.底層塔共掛了128盞燈B.頂層塔共掛了2盞燈C.最下面3層塔所掛燈的總盞數(shù)比最上面3層塔所掛燈的總盞數(shù)多200D.最下面3層塔所掛燈的總盞數(shù)是最上面3層塔所掛燈的總盞數(shù)的16倍8．不等式表示的平面區(qū)域是一個（）A.三角形 B.直角三角形C.矩形 D.梯形9．已知等比數(shù)列的前項和為，若，，則（）A.20 B.30C.40 D.5010．已知函數(shù)，則（）A.1 B.2C.3 D.511．點A是曲線上任意一點，則點A到直線的最小距離為（）A. B.C. D.12．已知拋物線過點，則拋物線的焦點坐標為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知拋物線上一點到準線的距離為，到直線：的距離為，則的最小值為__________14．曲線在點處的切線方程是______.15．已知函數(shù)在處有極值．則=________16．若不等式的解集是，則的值是___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在正方體中，E，F(xiàn)分別是，的中點（1）求證：∥平面；（2）求平面與平面EDC所成的二面角的正弦值18．（12分）著名的“康托爾三分集”是由德國數(shù)學家康托爾構造的，是人類理性思維的產(chǎn)物，其操作過程如下：將閉區(qū)間均分為三段，去掉中間的區(qū)間段記為第一次操作；再將剩下的兩個閉區(qū)間，分別均分為三段，并各自去掉中間的區(qū)間段，記為第二次操作；…，如此這樣，每次在上一次操作的基礎上，將剩下的各個區(qū)間分別均分為三段，同樣各自去掉中間的區(qū)間段.操作過程不斷地進行下去，以至無窮.每次操作后剩下的閉區(qū)間構成的集合即是“康托爾三分集”.例如第一次操作后的“康托爾三分集”為.（1）求第二次操作后的“康托爾三分集”；（2）定義的區(qū)間長度為，記第n次操作后剩余的各區(qū)間長度和為，求；（3）記n次操作后“康托爾三分集”的區(qū)間長度總和為，若使不大于原來的，求n的最小值.（參考數(shù)據(jù)：，）19．（12分）已知直線經(jīng)過點，，直線經(jīng)過點，且.(1)分別求直線，的方程；(2)設直線與直線的交點為，求外接圓的方程.20．（12分）2021年國慶期間，某電器商場為了促銷，給出了兩種優(yōu)惠方案，顧客只能選擇其中的一種，方案一：每消費滿8千元，可減8百元.方案二：消費金額超過8千元（含8千元），可抽取小球三次，其規(guī)則是依次從裝有2個紅色小球、2個黃色小球的一號箱子，裝有2個紅色小球、2個黃色小球的二號箱子，裝有1個紅色小球、3個黃色小球的三號箱子各抽一個小球（這些小球除顏色外完全相同），其優(yōu)惠情況為：若抽出3個紅色小球則打6折；若抽出2個紅色小球則打7折；若抽出1個紅色小球則打8折；若沒有抽出紅色小球則不打折.（1）若有兩名顧客恰好消費8千元，他們都選中第二方案，求至少有一名顧客比選擇方案一更優(yōu)惠的概率；（2）若你朋友在該商場消費了1萬元，請用所學知識幫助你朋友分析一下應選擇哪種付款方案.21．（12分）已知拋物線的頂點為原點，焦點F在x軸的正半軸，F(xiàn)到直線的距離為.點為此拋物線上的一點，.直線l與拋物線交于異于N的兩點A，B，且.（1）求拋物線方程和N點坐標；（2）求證：直線AB過定點，并求該定點坐標.22．（10分）已知滿足，.（1）求證：是等差數(shù)列，求的通項公式；（2）若，的前項和是，求證：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】求AB的中點坐標，根據(jù)直線所過的兩點坐標求直線方程即可.【詳解】由已知，AB中點為，又，∴所求直線斜率為，故直線方程為，即故選：C.2、A【解析】如果兩個平面有三個公共點，那么這兩個平面重合或者是相交，即可判斷；利用兩條異面直線不能確定一個平面即可判斷；利用平面的基本性質中的公理判斷即可；若兩兩相交的三條直線相交于同一點，則相交于同一點的三直線不一定在同一平面內(nèi)（如棱錐的3條側棱），即可判斷.【詳解】如果兩個平面有三個公共點，那么這兩個平面重合或者是相交，故（1）不正確；兩條異面直線不能確定一個平面，故（2）不正確；利用平面的基本性質中的公理判斷（3）正確；空間中，若兩兩相交的三條直線相交于同一點，則相交于同一點的三直線不一定在同一平面內(nèi)（如棱錐的3條側棱），故（4）不正確，綜上所述只有一個說法是正確的，故選：A【點睛】本題主要考查了空間中點，線，面的位置關系.屬于較易題.3、C【解析】先將方程化為一般形式，再根據(jù)公式計算求解即可.【詳解】解：可化為，由圓心為，半徑，易知圓心的坐標為，半徑為故選：C4、A【解析】模擬程序運行可得程序框圖的功能是計算并輸出三個數(shù)中的最小數(shù)，計算三個數(shù)判斷作答.【詳解】模擬程序運行可得程序框圖的功能是計算并輸出三個數(shù)中的最小數(shù)，因，，，則，不成立，則，不成立，則，所以應輸出的x值為.故選：A5、C【解析】由二項分布的方差公式即可求解.【詳解】解：因為，所以.故選：C.6、C【解析】由等差數(shù)列的基本量法先求得公差，然后可得【詳解】設數(shù)列的公差為，則，，所以故選：C7、C【解析】由題設易知是公比為2的等比數(shù)列，應用等比數(shù)列前n項和公式求，結合各選項的描述及等比數(shù)列通項公式、前n項和公式判斷正誤即可.【詳解】從上往下記每層塔所掛燈的盞數(shù)為，則數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，且，解得，所以頂層塔共掛了2盞燈，B正確；底層塔共掛了盞燈，A正確最上面3層塔所掛燈總盞數(shù)為14，最下面3層塔所掛燈的總盞數(shù)為224，C不正確，D正確故選：C.8、D【解析】作出不等式組所表示平面區(qū)域，可得出結論.【詳解】由可得或，作出不等式組所表示的平面區(qū)域如下圖中的陰影部分區(qū)域所示：由圖可知，不等式表示的平面區(qū)域是一個梯形.故選：D.9、B【解析】根據(jù)等比數(shù)列前項和的性質進行求解即可.【詳解】因為是等比數(shù)列，所以成等比數(shù)列，即成等比數(shù)列，顯然，故選：B10、C【解析】利用導數(shù)的定義，以及運算法則，即可求解.【詳解】，，所以，所以故選：C11、A【解析】動點在曲線，則找出曲線上某點的斜率與直線的斜率相等的點為距離最小的點，利用導數(shù)的幾何意義即可【詳解】不妨設，定義域為：對求導可得：令解得：（其中舍去）當時，，則此時該點到直線的距離為最小根據(jù)點到直線的距離公式可得：解得：故選：A12、D【解析】把點代入拋物線方程求出，再化成標準方程可得解.【詳解】因為拋物線過點，所以，所以拋物線方程為，方程化成標準方程為，故拋物線的焦點坐標為.故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、3【解析】根據(jù)拋物線的定義可知，點P到拋物線準線的距離等于點P到焦點F的距離，過焦點F作直線：的垂線，此時取得最小值，利用點到直線的距離公式，即可求解.【詳解】由題意，拋物線的焦點坐標為，準線方程為，如圖所示，根據(jù)拋物線的定義可知，點P到拋物線準線的距離等于點P到焦點F的距離，過焦點F作直線：的垂線，此時取得最小值，由點到直線的距離公式可得，即的最小值為3.【點睛】本題主要考查了拋物線的標準方程及其簡單的幾何性質的應用，以及拋物線的最值問題，其中解答中根據(jù)拋物線的定義可知，點P到拋物線準線的距離等于點P到焦點F的距離，利用點到直線的距離公式求解是解答的關鍵，著重考查了轉化思想，以及運算與求解能力，屬于中檔試題.14、x-y-2=0【解析】解：因為曲線在點（1,－1）處的切線方程是由點斜式可知為x-y-2=015、4【解析】根據(jù)極值點概念求解【詳解】，由題意得，，經(jīng)檢驗滿足題意故答案為：416、【解析】利用和是方程的兩根，再利用根與系數(shù)的關系即可求出和的值，即可得的值.【詳解】由題意可得：方程的兩根是和，由根與系數(shù)的關系可得：，所以，所以，故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析；（2）.【解析】(1)連接，，連接，證明CE∥即可；(2)建立空間直角坐標系，求出平面與平面EDC的法向量，利用向量法求二面角的正弦值.【小問1詳解】如圖，連接，，連接，∵BC∥且BC＝，∴四邊形是平行四邊形，∴∥且，∵E是中點，G是中點，∴∥CG且，∴四邊形是平行四邊形，∴∥CE，∵平面，CE平面，∴CE∥平面；【小問2詳解】如圖建立空間直角坐標系，設正方體的棱長為2，則，則，設平面的法向量為，則，??；設平面EDC的法向量為，則，取，則；設平面與平面EDC所成的二面角的平面角為α，則，∴18、（1）（2）（3）【解析】（1）根據(jù)“康托爾三分集”的定義，即可求得第二次操作后的“康托爾三分集”；（2）根據(jù)“康托爾三分集”的定義，分別求得前幾次的剩余區(qū)間長度的和，求得其通項公式，即可求解；（3）由（2）可得第次操作剩余區(qū)間的長度和為，結合題意，得到，利用對數(shù)的運算公式，即可求解.【小問1詳解】解：根據(jù)“康托爾三分集”的定義可得：第一次操作后的“康托爾三分集”為，第二次操作后的“康托爾三分集”為；【小問2詳解】解：將定義的區(qū)間長度為，根據(jù)“康托爾三分集”的定義可得：每次去掉的區(qū)間長后組成的數(shù)為以為首項，為公比的等比數(shù)列，第1次操作去掉的區(qū)間長為，剩余區(qū)間的長度和為，第2次操作去掉兩個區(qū)間長為的區(qū)間，剩余區(qū)間的長度和為，第3次操作去掉四個區(qū)間長為的區(qū)間，剩余區(qū)間的長度和為，第4次操作去掉個區(qū)間長為，剩余區(qū)間的長度和為，第次操作去掉個區(qū)間長為，剩余區(qū)間的長度和為，所以第次操作后剩余的各區(qū)間長度和為；【小問3詳解】解：設定義區(qū)間，則區(qū)間長度為1，由（2）可得第次操作剩余區(qū)間的長度和為，要使得“康托三分集”的各區(qū)間的長度之和不大于，則滿足，即，即，因為為整數(shù)，所以的最小值為.19、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)兩點式即可求出直線l1的方程，根據(jù)直線垂直的關系即可求l2的方程；（2）先求出C點坐標，通過三角形的長度關系知道三角形是以AC為斜邊長的直角三角形，故AC的中點即為外心，AC即為直徑.解析：(1)∵直線經(jīng)過點，，∴，設直線的方程為，∴，∴.(2)，即：，∴，的中點為，∴的外接圓的圓心為，半徑為，∴外接圓的方程為：.點睛：這個題目考查的是已知兩直線位置關系求參的問題，還考查了三角形外接圓的問題．對于三角形為外接圓，圓心就是各個邊的中垂線的交點，鈍角三角形外心在三角形外側，銳角三角形圓心在三角形內(nèi)部，直角三角形圓心在直角三角形斜邊的中點20、（1）（2）選擇方案二更劃算【解析】（1）要使方案二比方案一優(yōu)惠，則需要抽出至少一個紅球，求出沒有抽出紅色小球的概率，再根據(jù)對立事件的概率公式即可得出答案；（2）若選擇方案一，則需付款（元），若選擇方案二，設付款金額為元，則可取6000，7000，8000，10000，求出對應概率，從而可求得的期望，在比較的期望與9200的大小即可得出結論.【小問1詳解】解：根據(jù)題意得要使方案二比方案一優(yōu)惠，則需要抽出至少一個紅球，設沒有抽出紅色小球為事件，則，所以所求概率；【小問2詳解】解：若選擇方案一，則需付款（元），若選擇方案二，設付款金額為元，則可取6000，7000，8000，10000，，，，，故的分布列為X60007000800010000P所以（元），因為，所以選擇方案二更劃算.21、（1），（2）證明見解析，定點【解析】（1）設拋物線的標準方程為，利用點到直線距離公式可求出，再利用焦半徑公式可求出N點坐標；（2）設直線的方程為，與拋物線聯(lián)立，利用韋達定理計算，可得關系，然后代入直線方程可得定點.【小問1詳解】設拋物線的標準方程為，，其焦點為則，∴所以拋物線