復(fù)變函數(shù)論專(zhuān)業(yè)水平測(cè)試題及真題考試時(shí)長(zhǎng)：120分鐘滿分：100分試卷名稱(chēng)：復(fù)變函數(shù)論專(zhuān)業(yè)水平測(cè)試題及真題考核對(duì)象：數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)本科三年級(jí)學(xué)生、相關(guān)專(zhuān)業(yè)研究生及行業(yè)從業(yè)者題型分值分布：-判斷題（總共10題，每題2分）總分20分-單選題（總共10題，每題2分）總分20分-多選題（總共10題，每題2分）總分20分-案例分析（總共3題，每題6分）總分18分-論述題（總共2題，每題11分）總分22分總分：100分---一、判斷題（每題2分，共20分）1.模函數(shù)是解析函數(shù)的實(shí)部或虛部。2.如果函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，則f(z)在D內(nèi)處處可導(dǎo)。3.洛朗級(jí)數(shù)展開(kāi)式的收斂域一定是圓環(huán)。4.留數(shù)定理可以用于計(jì)算實(shí)積分。5.解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍然是解析函數(shù)。6.如果函數(shù)f(z)在閉區(qū)域Γ上連續(xù)，則它在Γ上一定有界。7.虛部為常數(shù)的解析函數(shù)一定是線性函數(shù)。8.如果函數(shù)f(z)在z?處有極點(diǎn)，則它在z?處的洛朗展開(kāi)式中負(fù)冪項(xiàng)的階數(shù)等于極點(diǎn)的階數(shù)。9.所有解析函數(shù)都可以展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)。10.如果函數(shù)f(z)在擴(kuò)充復(fù)平面上除有限個(gè)孤立奇點(diǎn)外處處解析，則它可以表示為整函數(shù)。二、單選題（每題2分，共20分）1.函數(shù)f(z)=z2+2z+3在z=1處的泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式的收斂半徑是（）。A.1B.2C.∞D(zhuǎn).02.函數(shù)f(z)=1/(z-1)(z+2)在z=0處的留數(shù)是（）。A.-1/3B.1/3C.-2/3D.2/33.函數(shù)f(z)=ez/(z2+1)在z=i處的留數(shù)是（）。A.e/(2i)B.-e/(2i)C.e/(2)D.-e/(2)4.函數(shù)f(z)=z/(z2-1)在z=1處的留數(shù)是（）。A.1/2B.-1/2C.1D.-15.函數(shù)f(z)=sin(z)/z在z=0處的洛朗展開(kāi)式中，-z2項(xiàng)的系數(shù)是（）。A.-1/6B.1/6C.-1/3D.1/36.函數(shù)f(z)=1/(z-2)在z=1處的泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式是（）。A.(-1)?/(2-1)?·z?B.(-1)?/(2-1)?·z?C.(-1)?/(2-1)?·z?D.(-1)?/(2-1)?·z?7.函數(shù)f(z)=z2/(z-1)在z=1處的洛朗展開(kāi)式中，z?1項(xiàng)的系數(shù)是（）。A.1B.-1C.2D.-28.函數(shù)f(z)=ez/(z2+1)在z=i處的留數(shù)是（）。A.e/(2i)B.-e/(2i)C.e/(2)D.-e/(2)9.函數(shù)f(z)=1/(z-1)(z+2)在z=0處的留數(shù)是（）。A.-1/3B.1/3C.-2/3D.2/310.函數(shù)f(z)=z/(z2-1)在z=1處的留數(shù)是（）。A.1/2B.-1/2C.1D.-1三、多選題（每題2分，共20分）1.下列函數(shù)中，在z=0處解析的有（）。A.f(z)=z2+2z+3B.f(z)=1/zC.f(z)=sin(z)D.f(z)=ez2.下列函數(shù)中，在z=∞處解析的有（）。A.f(z)=1/z2B.f(z)=z2+1C.f(z)=1/(z-1)D.f(z)=ez3.下列關(guān)于留數(shù)定理的描述正確的有（）。A.留數(shù)定理可以用于計(jì)算實(shí)積分。B.留數(shù)定理適用于任何解析函數(shù)。C.留數(shù)定理只適用于單極點(diǎn)。D.留數(shù)定理的證明依賴(lài)于柯西積分定理。4.下列關(guān)于洛朗級(jí)數(shù)的描述正確的有（）。A.洛朗級(jí)數(shù)是泰勒級(jí)數(shù)的推廣。B.洛朗級(jí)數(shù)的收斂域一定是圓環(huán)。C.洛朗級(jí)數(shù)只適用于解析函數(shù)。D.洛朗級(jí)數(shù)可以包含正冪項(xiàng)和負(fù)冪項(xiàng)。5.下列關(guān)于解析函數(shù)的性質(zhì)正確的有（）。A.解析函數(shù)的實(shí)部和虛部滿足柯西-黎曼方程。B.解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍然是解析函數(shù)。C.解析函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式是唯一的。D.解析函數(shù)的積分與路徑無(wú)關(guān)。6.下列關(guān)于留數(shù)的計(jì)算方法正確的有（）。A.對(duì)于單極點(diǎn)z?，留數(shù)等于f(z)/(z-z?)在z?處的極限。B.對(duì)于m階極點(diǎn)z?，留數(shù)等于f(z)/(z-z?)^(m-1)在z?處的積分。C.對(duì)于極點(diǎn)z?，留數(shù)等于f(z)在z?處的洛朗展開(kāi)式中z?1項(xiàng)的系數(shù)。D.對(duì)于極點(diǎn)z?，留數(shù)等于2πi乘以f(z)在z?處的積分。7.下列關(guān)于柯西積分定理的描述正確的有（）。A.柯西積分定理適用于任何解析函數(shù)。B.柯西積分定理的證明依賴(lài)于柯西積分公式。C.柯西積分定理只適用于單連通區(qū)域。D.柯西積分定理表明解析函數(shù)的積分與路徑無(wú)關(guān)。8.下列關(guān)于解析函數(shù)的展開(kāi)方法的描述正確的有（）。A.泰勒級(jí)數(shù)是解析函數(shù)的展開(kāi)式。B.洛朗級(jí)數(shù)是解析函數(shù)的展開(kāi)式。C.泰勒級(jí)數(shù)只適用于解析函數(shù)。D.洛朗級(jí)數(shù)只適用于解析函數(shù)。9.下列關(guān)于留數(shù)定理的應(yīng)用正確的有（）。A.留數(shù)定理可以用于計(jì)算實(shí)積分。B.留數(shù)定理可以用于計(jì)算復(fù)積分。C.留數(shù)定理可以用于計(jì)算傅里葉變換。D.留數(shù)定理可以用于計(jì)算拉普拉斯變換。10.下列關(guān)于解析函數(shù)的展開(kāi)方法的描述正確的有（）。A.泰勒級(jí)數(shù)是解析函數(shù)的展開(kāi)式。B.洛朗級(jí)數(shù)是解析函數(shù)的展開(kāi)式。C.泰勒級(jí)數(shù)只適用于解析函數(shù)。D.洛朗級(jí)數(shù)只適用于解析函數(shù)。四、案例分析（每題6分，共18分）1.計(jì)算函數(shù)f(z)=1/(z2+1)在z=i處的留數(shù)，并利用留數(shù)定理計(jì)算積分∮_Γf(z)dz，其中Γ是圓周|z|=2。2.將函數(shù)f(z)=z/(z2-1)在z=1處展開(kāi)為洛朗級(jí)數(shù)，并求其在z=2處的值。3.證明函數(shù)f(z)=ez/(z2+1)在z=i處的留數(shù)，并利用留數(shù)定理計(jì)算積分∮_Γf(z)dz，其中Γ是圓周|z|=3。五、論述題（每題11分，共22分）1.論述解析函數(shù)的柯西積分定理及其意義，并舉例說(shuō)明其應(yīng)用。2.論述解析函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式及其收斂性，并說(shuō)明其在復(fù)變函數(shù)論中的重要性。---標(biāo)準(zhǔn)答案及解析一、判斷題1.√2.√3.√4.√5.√6.×7.×8.√9.×10.×解析：1.模函數(shù)是解析函數(shù)的實(shí)部或虛部，這是解析函數(shù)的基本性質(zhì)。2.解析函數(shù)在定義區(qū)域內(nèi)處處可導(dǎo)，這是解析函數(shù)的定義。3.洛朗級(jí)數(shù)的收斂域是圓環(huán)，這是洛朗級(jí)數(shù)的定義。4.留數(shù)定理可以用于計(jì)算實(shí)積分，這是留數(shù)定理的應(yīng)用之一。5.解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍然是解析函數(shù)，這是解析函數(shù)的基本性質(zhì)。6.函數(shù)在閉區(qū)域上連續(xù)不一定有界，例如f(z)=1/z在|z|=1上連續(xù)但無(wú)界。7.虛部為常數(shù)的解析函數(shù)不一定是線性函數(shù)，例如f(z)=z2的虛部為0但不是線性函數(shù)。8.極點(diǎn)的階數(shù)等于洛朗展開(kāi)式中負(fù)冪項(xiàng)的階數(shù)，這是極點(diǎn)的定義。9.解析函數(shù)在奇點(diǎn)鄰域內(nèi)不一定可以展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)，例如f(z)=1/z在z=0處不可展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)。10.擴(kuò)充復(fù)平面上除有限個(gè)孤立奇點(diǎn)外處處解析的函數(shù)不一定是整函數(shù)，例如f(z)=1/z在z=0處有奇點(diǎn)但不是整函數(shù)。二、單選題1.B2.A3.A4.A5.B6.A7.A8.A9.A10.A解析：1.函數(shù)f(z)=z2+2z+3在z=1處的泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式的收斂半徑是2，因?yàn)閦=1是最近奇點(diǎn)。2.函數(shù)f(z)=1/(z-1)(z+2)在z=0處的留數(shù)是-1/3，通過(guò)部分分式展開(kāi)計(jì)算。3.函數(shù)f(z)=ez/(z2+1)在z=i處的留數(shù)是e/(2i)，通過(guò)洛朗展開(kāi)計(jì)算。4.函數(shù)f(z)=z/(z2-1)在z=1處的留數(shù)是1/2，通過(guò)部分分式展開(kāi)計(jì)算。5.函數(shù)f(z)=sin(z)/z在z=0處的洛朗展開(kāi)式中，-z2項(xiàng)的系數(shù)是1/6，通過(guò)泰勒展開(kāi)計(jì)算。6.函數(shù)f(z)=1/(z-2)在z=1處的泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式是(-1)?/(2-1)?·z?，通過(guò)幾何級(jí)數(shù)展開(kāi)計(jì)算。7.函數(shù)f(z)=z2/(z-1)在z=1處的洛朗展開(kāi)式中，z?1項(xiàng)的系數(shù)是1，通過(guò)部分分式展開(kāi)計(jì)算。8.函數(shù)f(z)=ez/(z2+1)在z=i處的留數(shù)是e/(2i)，通過(guò)洛朗展開(kāi)計(jì)算。9.函數(shù)f(z)=1/(z-1)(z+2)在z=0處的留數(shù)是-1/3，通過(guò)部分分式展開(kāi)計(jì)算。10.函數(shù)f(z)=z/(z2-1)在z=1處的留數(shù)是1/2，通過(guò)部分分式展開(kāi)計(jì)算。三、多選題1.AC2.AB3.AD4.ABD5.ABCD6.AC7.CD8.AB9.AB10.AB解析：1.函數(shù)f(z)=z2+2z+3和f(z)=sin(z)在z=0處解析，f(z)=1/z在z=0處不解析。2.函數(shù)f(z)=1/z2和f(z)=z2+1在z=∞處解析，f(z)=1/(z-1)和f(z)=ez在z=∞處不解析。3.留數(shù)定理可以用于計(jì)算實(shí)積分和復(fù)積分，適用于單極點(diǎn)和m階極點(diǎn)，證明依賴(lài)于柯西積分定理。4.洛朗級(jí)數(shù)是泰勒級(jí)數(shù)的推廣，收斂域是圓環(huán)，可以包含正冪項(xiàng)和負(fù)冪項(xiàng)，適用于解析函數(shù)。5.解析函數(shù)的實(shí)部和虛部滿足柯西-黎曼方程，導(dǎo)數(shù)仍然是解析函數(shù)，泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)式唯一，積分與路徑無(wú)關(guān)。6.對(duì)于單極點(diǎn)z?，留數(shù)等于f(z)/(z-z?)在z?處的極限，對(duì)于極點(diǎn)z?，留數(shù)等于f(z)在z?處的洛朗展開(kāi)式中z?1項(xiàng)的系數(shù)。7.柯西積分定理只適用于單連通區(qū)域，證明依賴(lài)于柯西積分公式，表明解析函數(shù)的積分與路徑無(wú)關(guān)。8.泰勒級(jí)數(shù)和洛朗級(jí)數(shù)都是解析函數(shù)的展開(kāi)式，泰勒級(jí)數(shù)只適用于解析函數(shù)，洛朗級(jí)數(shù)適用于解析函數(shù)。9.留數(shù)定理可以用于計(jì)算實(shí)積分和復(fù)積分，不能用于計(jì)算傅里葉變換和拉普拉斯變換。10.泰勒級(jí)數(shù)和洛朗級(jí)數(shù)都是解析函數(shù)的展開(kāi)式，泰勒級(jí)數(shù)只適用于解析函數(shù)，洛朗級(jí)數(shù)適用于解析函數(shù)。四、案例分析1.函數(shù)f(z)=1/(z2+1)在z=i處的留數(shù)是e/(2i)，通過(guò)洛朗展開(kāi)計(jì)算。解析：f(z)=1/(z-i)(z+i)，在z=i處，留數(shù)等于1/(z+i)在z=i處的值，即1/(2i)=e/(2i)。積分∮_Γf(z)dz=2πi×e/(2i)=πe。2.函數(shù)f(z)=z/(z2-1)在z=1處展開(kāi)為洛朗級(jí)數(shù)是z/(z-1)(z+1)，在z=1處，展開(kāi)式為1/2+(z-1)/2，在z=2處，值為2/3。3.函數(shù)f(z)=ez/(z2+1)在z=i處的留數(shù)是e/(2i)，通過(guò)洛朗展開(kāi)計(jì)算。解析：f(z)=ez/(z-i)(z+i)，在z=i處，留數(shù)等于ez/(z+i)在z=i處的值，即e/(2i)=e/(2i)。積分∮_Γf(z)dz=2πi