陜西西安地區(qū)八校2026屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末統(tǒng)考試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知點(diǎn)，則滿足點(diǎn)到直線的距離為，點(diǎn)到直線距離為的直線的條數(shù)有（）A.1 B.2C.3 D.42．在二面角的棱上有兩個(gè)點(diǎn)、，線段、分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)面內(nèi)，并且都垂直于棱，若，，，，則這個(gè)二面角的大小為（）A. B.C. D.3．在平面直角坐標(biāo)系中，已知的頂點(diǎn)，，其內(nèi)切圓圓心在直線上，則頂點(diǎn)C的軌跡方程為（）A. B.C. D.4．在等比數(shù)列中，，，則等于（）A.90 B.30C.70 D.405．雙曲線的光學(xué)性質(zhì)如下：如圖1，從雙曲線右焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線鏡面反射，反射光線的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過左焦點(diǎn)．我國(guó)首先研制成功的“雙曲線新聞燈”，就是利用了雙曲線的這個(gè)光學(xué)性質(zhì)．某“雙曲線燈”的軸截面是雙曲線一部分，如圖2，其方程為，分別為其左、右焦點(diǎn)，若從右焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線上的點(diǎn)A和點(diǎn)B反射后（，A，B在同一直線上），滿足，則該雙曲線的離心率的平方為（）A. B.C. D.6．在下列函數(shù)中，求導(dǎo)錯(cuò)誤的是（）A.， B.，C.， D.，7．“”是直線與直線平行的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件8．《九章算數(shù)》“竹九節(jié)”問題：現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面4節(jié)的容積為3升，下面3節(jié)的容積共4升，則第五節(jié)的容積為（）A.1升 B.升C.升 D.升9．如圖，已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為、，，是雙曲線右支上的一點(diǎn)，，直線與軸交于點(diǎn)，的內(nèi)切圓半徑為，則雙曲線的離心率是（）A. B.C. D.10．設(shè)m，n是兩條不同直線，，是兩個(gè)不同平面，則下列說法錯(cuò)誤的是（）A.若，，則； B.若，，則；C.若，，則； D.若，，則11．（）A.-2 B.-1C.1 D.212．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的的值為，則輸入的的值可能為（）A.96 B.97C.98 D.99二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在等比數(shù)列中，已知，則________14．某工廠年前加緊手套生產(chǎn)，設(shè)該工廠連續(xù)5天生產(chǎn)的手套數(shù)依次為，，，，（單位：萬(wàn)只），若這組數(shù)據(jù)，，，，的方差為4，且，，，，的平均數(shù)為8，則該工廠這5天平均每天生產(chǎn)手套______萬(wàn)只15．已知橢圓，為其右焦點(diǎn)，過垂直于軸的直線與橢圓相交所得的弦長(zhǎng)為，則橢圓的方程為________.16．圓被直線所截得弦的最短長(zhǎng)度為___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在長(zhǎng)方體中，，，，M為上一點(diǎn)，且（1）求點(diǎn)到平面的距離；（2）求二面角的余弦值18．（12分）已知函數(shù)為常數(shù)，函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)的圖象與直線相切，求實(shí)數(shù)的值；（3）當(dāng)時(shí)，在上有兩個(gè)極值點(diǎn)且恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19．（12分）已知集合，，.（1）求；（2）若“”是“”的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.20．（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C的參數(shù)方程為（θ為參數(shù)），直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）（Ⅰ）寫出橢圓C的普通方程和直線l的傾斜角；（Ⅱ）若點(diǎn)P（1，2），設(shè)直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，求|PA|·|PB|的值21．（12分）如圖1，已知正方形的邊長(zhǎng)為，分別為的中點(diǎn)，將正方形沿折成如圖2所示的二面角，點(diǎn)在線段上（含端點(diǎn)）運(yùn)動(dòng)，連接（1）若為的中點(diǎn)，直線與平面交于點(diǎn)，確定點(diǎn)位置，求線段的長(zhǎng)；（2）若折成二面角大小為，是否存在點(diǎn)M，使得直線與平面所成的角為，若存在，確定出點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說明理由22．（10分）直線：和：（1）若兩直線垂直，求m的值；（2）若兩直線平行，求平行線間的距離

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】以為圓心，為半徑，為圓心，為半徑分別畫圓，將所求轉(zhuǎn)化為求圓與圓的公切線條數(shù)，判斷兩圓的位置關(guān)系，從而得公切線條數(shù).【詳解】以為圓心，為半徑，為圓心，為半徑分別畫圓，如圖所示，由題意，滿足點(diǎn)到直線的距離為，點(diǎn)到直線距離為的直線的條數(shù)即為圓與圓的公切線條數(shù)，因?yàn)?，所以兩圓外離，所以兩圓的公切線有4條，即滿足條件的直線有4條.故選：D【點(diǎn)睛】解答本題的關(guān)鍵是將滿足點(diǎn)到直線的距離為，點(diǎn)到直線距離為的直線的條數(shù)轉(zhuǎn)化為圓與圓的公切線條數(shù)，從而根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系判斷出公切線條數(shù).2、C【解析】設(shè)這個(gè)二面角的度數(shù)為，由題意得，從而得到，由此能求出結(jié)果.【詳解】設(shè)這個(gè)二面角的度數(shù)為，由題意得，，，解得，∴，∴這個(gè)二面角的度數(shù)為，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查利用向量的幾何運(yùn)算以及數(shù)量積研究面面角.3、A【解析】根據(jù)圖可得：為定值，利用根據(jù)雙曲線定義，所求軌跡是以、為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為6的雙曲線的右支，從而寫出其方程即得【詳解】解：如圖設(shè)與圓切點(diǎn)分別為、、，則有，，，所以根據(jù)雙曲線定義，所求軌跡是以、為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為4的雙曲線的右支（右頂點(diǎn)除外），即、，又，所以，所以方程為故選：A4、D【解析】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求出答案.【詳解】設(shè)該等比數(shù)列的公比為q，則，則.故選：D5、D【解析】設(shè)，根據(jù)題意可得，由雙曲線定義得、，進(jìn)而求出（用表示），然后在中，應(yīng)用勾股定理得出關(guān)系，求得離心率【詳解】易知共線，共線，如圖，設(shè)，則.因?yàn)?，所以，則，則，又因?yàn)?，所以，則,在中，，即，所以.故選：D6、B【解析】分別求得每個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)即可判斷.詳解】；；；.故求導(dǎo)錯(cuò)誤的是B.故選：B.7、C【解析】先根據(jù)直線平行的充要條件求出a，然后可得.【詳解】若，則，，顯然平行；若直線，則且，即.故“”是直線與直線平行的充要條件.故選：C8、B【解析】設(shè)出竹子自上而下各節(jié)的容積且為等差數(shù)列，根據(jù)上面4節(jié)的容積共3升，下面3節(jié)的容積共4升列出關(guān)于首項(xiàng)和公差的方程，聯(lián)立即可求出首項(xiàng)和公差，根據(jù)求出的首項(xiàng)和公差，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求出第5節(jié)的容積【詳解】解：設(shè)竹子自上而下各節(jié)的容積分別為：，，，，且為等差數(shù)列，根據(jù)題意得：，，即①，②，②①得：，解得，把代入①得：，則故選：B【點(diǎn)睛】本題考查學(xué)生掌握等差數(shù)列的性質(zhì)，靈活運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式化簡(jiǎn)求值，屬于中檔題9、D【解析】根據(jù)給定條件結(jié)合直角三角形內(nèi)切圓半徑與邊長(zhǎng)的關(guān)系求出雙曲線實(shí)半軸長(zhǎng)a，再利用離心率公式計(jì)算作答.【詳解】依題意，，的內(nèi)切圓半徑，由直角三角形內(nèi)切圓性質(zhì)知：，由雙曲線對(duì)稱性知，，于是得，即，又雙曲線半焦距c=2，所以雙曲線的離心率.故選：D【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：二直角邊長(zhǎng)為a，b，斜邊長(zhǎng)為c的直角三角形內(nèi)切圓半徑.10、C【解析】直接由直線平面的定理得到選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)，m，n可能平行、相交或異面，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)，與內(nèi)一直線l，所以，因?yàn)閘為內(nèi)一直線，所以．所以該選項(xiàng)正確.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)，若，，則，所以該選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)，若，，則，所以該選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)，若，，則m，n可能平行、相交或異面，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)，若，，則與內(nèi)一直線l，所以，因?yàn)閘為內(nèi)一直線，所以．所以該選項(xiàng)正確.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查空間直線平面位置關(guān)系判斷，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.11、A【解析】利用微積分基本定理計(jì)算得到答案.【詳解】.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了定積分的計(jì)算，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.12、D【解析】根據(jù)程序框圖得出的變換規(guī)律后求解【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，可得輸出的T關(guān)于t的變換周期為4，而，故時(shí)，輸出的值為，故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解析】由等比數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行求解.【詳解】由等比數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)得：故答案為：214、2【解析】結(jié)合方差、平均數(shù)的公式列方程，化簡(jiǎn)求得正確答案.【詳解】依題意設(shè)，則，.故答案為：15、##【解析】將代入橢圓的方程，可得出，可得出關(guān)于的等式，求出的值，進(jìn)而可求得的值，由此可得出橢圓的方程.【詳解】將代入橢圓的方程可得，可得，由已知可得，整理可得，，解得，所以，，因此，橢圓的方程為.故答案為：.16、【解析】首先確定直線所過定點(diǎn)；由圓的方程可確定圓心和半徑，進(jìn)而求得圓心到的距離，由此可知所求最短長(zhǎng)度為.【詳解】由得：，直線恒過點(diǎn)；，在圓內(nèi)；又圓的圓心為，半徑，圓心到點(diǎn)的距離，所截得弦的最短長(zhǎng)度為.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）以A為原點(diǎn)，以AB、AD、所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解，（2）求出和的法向量，利用空間向量求解【小問1詳解】以A為原點(diǎn)，以AB、AD、所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系由，，，，所以，，，因此，，，設(shè)平面的法向量，則，，所以，取，則，，于是，所以點(diǎn)到平面的距離【小問2詳解】由，，設(shè)平面的法向量，則，，所以，取，則，，于是，由（1）知平面的法向量為，記二面角的平面角為，則，由圖可知二面角為銳角，所以所求二面角的余弦值為18、（1）答案見解析；（2）7；（3）【解析】（1）根據(jù)題意求得，討論，，，時(shí)解，即可得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)切點(diǎn)為則結(jié)合，得令通過求導(dǎo)研究單調(diào)性解得進(jìn)而解出的值.（3）由已知可得解析式，觀察有，求導(dǎo)得原題意可轉(zhuǎn)化為函數(shù)在上有兩個(gè)不同零點(diǎn).結(jié)合根分布可得，函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)為是在上的兩個(gè)不同零點(diǎn)可得且，代入函數(shù)中令通過單調(diào)性求出進(jìn)而可得答案.【詳解】解：(1)，令，解得：①當(dāng)時(shí)，由得，由得，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，由得或由得所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；③當(dāng)時(shí)，恒成立，所以上單調(diào)遞增.④當(dāng)時(shí)，由得或由得所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.綜上：①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；③當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增.④當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.(2)設(shè)切點(diǎn)為則(*)，由可得(**)，聯(lián)立(*)(**)可得，設(shè)則，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，又，所以，所以.（3）由已知可得令由題意知在上有兩個(gè)不同零點(diǎn).則，因?yàn)楹瘮?shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)為，則和是在上的兩個(gè)不同零點(diǎn).所以且，所以令則所以在上單調(diào)遞增，所以有其中，即又恒成立，所以故實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知不等式恒成立求參數(shù)值(取值范圍)問題常用的方法：（1）函數(shù)法：討論參數(shù)范圍，借助函數(shù)單調(diào)性求解；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域或最值問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.19、(1).(2).【解析】分析：（1）先求出A,B集合的解集，A集合求定義，B集合解不等式即可，然后由交集定義即可得結(jié)論；（2）若“”是“”的必要不充分條件，說明且，然后根據(jù)集合關(guān)系求解.詳解：(1),.則(2)，因?yàn)椤啊笔恰啊钡谋匾怀浞謼l件，所以且.由，得，解得.經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，成立，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.點(diǎn)睛：考查定義域，解不等式，交集的定義以及必要不充分條件，正確求解集合，縷清集合間的基本關(guān)系是解題關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.20、(I)見解析；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）利用平方法消去θ得到橢圓C的普通方程為，根據(jù)直線參數(shù)方程的幾何意義求出直線的斜率，從而可得結(jié)果；（Ⅱ）把直線的方程，代入中，利用直線參數(shù)方程的幾何意義求出直線的斜率結(jié)合韋達(dá)定理可得結(jié)果.試題解析：（Ⅰ）消去θ得到橢圓C的普通方程為∵直線的斜率為，∴直線l的傾斜角為（Ⅱ）把直線的方程，代入中，得即，∴t1·t2＝4，即｜PA｜·｜PB｜＝421、（1）是的延長(zhǎng)線與延長(zhǎng)線的交點(diǎn)，且（2）存在，使得直線與平面所成的角為，且.【解析】（1）通過延長(zhǎng)、以及全等三角形確定點(diǎn)的位置并求得線段的長(zhǎng).（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法判斷符合題意的點(diǎn)是否存在.【小問1詳解】延長(zhǎng)，連接并延長(zhǎng)，交的延長(zhǎng)線于，由于，