初中2025北京清華附中初一（下）期末數(shù)學(xué)2025.07一、選擇題（本題共30分，每題3分）每題均有四個(gè)選項(xiàng)，符合題意的選項(xiàng)只有一個(gè)．1.一個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)分別為7和4，若第三條邊的長(zhǎng)為x，則x的值可能是（）A.1 B.2 C.8 D.122.若，則下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.3.如圖，已知，那么添加下列一個(gè)條件后，不能判定的是（）A. B.C. D.4.在解關(guān)于，的二元一次方程組時(shí)，如果①②可直接消去未知數(shù)，那么和滿(mǎn)足的條件是（）A. B. C. D.5.每一個(gè)外角都是的正多邊形是（）A.正四邊形 B.正五邊形 C.正六邊形 D.正七邊形6.《九章算術(shù)》中有這樣一個(gè)題：“今有醇酒一斗，值錢(qián)五十；行酒一斗，值錢(qián)一十．今將錢(qián)三十，得酒二斗，問(wèn)醇、行酒各得幾何？”其譯文是：今有醇酒（優(yōu)質(zhì)酒）1斗，價(jià)值50錢(qián)；行酒（劣質(zhì)酒）1斗，價(jià)值10錢(qián)；現(xiàn)有30錢(qián)，買(mǎi)得2斗酒，問(wèn)醇酒、行酒各能買(mǎi)得多少？設(shè)醇酒為斗，行酒為斗，則可列二元一次方程組為（）A. B. C. D.7.如圖，D為內(nèi)一點(diǎn)，平分，，，若，則的度數(shù)為（）A. B. C. D.8.若關(guān)于的不等式組的解集為，那么的取值范圍是（）A. B. C. D.9.若關(guān)于x、y的方程組的解滿(mǎn)足，則整數(shù)m的最小值為（）A.1 B.2 C.3 D.410.如圖，在和中，若，，，、交于點(diǎn)M，連接，則下列結(jié)論：①；②；③平分；④平分，其中正確的有（）A.4個(gè) B.3個(gè) C.2個(gè) D.1個(gè)二、填空題（本題共18分，每題3分）11.已知是關(guān)于x，y的二元一次方程的一個(gè)解，那么a的值是______．12.如圖，在中，平分，于E．若，，則______．13.若方程是關(guān)于x，y的二元一次方程，則n的值為_(kāi)__________．14.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在第四象限，則a的取值范圍是______．15.如圖，在中，是中線(xiàn)，直線(xiàn)于F，于E，若，，則中線(xiàn)的長(zhǎng)是_____．16.定義：一個(gè)三角形的一邊長(zhǎng)是另一邊長(zhǎng)的2倍，這樣的三角形叫作“倍長(zhǎng)三角形”．若是“倍長(zhǎng)三角形”，有兩條邊的長(zhǎng)分別為4和6，則第三條邊的長(zhǎng)為_(kāi)_____．三、解答題（本題共52分，第17題4分，第18題8分，第19、20題每題5分，第21題4分，第22、23題每題6分，第24、25題每題7分）17.如圖，在中，是高，是角平分線(xiàn)，它們相交于點(diǎn)F，，求和的度數(shù)．18.解方程組（1）；（2）．19.小明先畫(huà)出了，再利用尺規(guī)作圖畫(huà)出了，使（1）請(qǐng)依據(jù)如下步驟作圖（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡，標(biāo)上相應(yīng)字母）：①以點(diǎn)B為圓心，以適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交于點(diǎn)M，交于點(diǎn)N；②以點(diǎn)M為圓心，以長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，與①中的弧交于點(diǎn)P（不與點(diǎn)N重合），作射線(xiàn)；③以點(diǎn)B為圓心，以長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，與邊交于點(diǎn)D；④以點(diǎn)B為圓心，以長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，與射線(xiàn)交于點(diǎn)E，連接．（2）在小明的作圖中，判定的依據(jù)是_______（填寫(xiě)正確結(jié)論的序號(hào)）．①，②，③，④．20.解不等式組：21.如圖，在中，，D，E是上兩點(diǎn)，且，過(guò)點(diǎn)D作，過(guò)E作交于點(diǎn)F．求證：．22.在2025年5月24日舉第的第十三屆學(xué)生節(jié)上，校學(xué)生會(huì)購(gòu)買(mǎi)“校服熊”和“校服兔”作為特許商品進(jìn)行售賣(mài)，全部利潤(rùn)捐贈(zèng)給小榕樹(shù)學(xué)生公益基金，相關(guān)進(jìn)價(jià)和售價(jià)情況如下表所示：校服熊校服兔進(jìn)價(jià)（元/個(gè)）5052售價(jià)（元/個(gè)）5559（1）校學(xué)生會(huì)在學(xué)生節(jié)前購(gòu)進(jìn)“校服熊”和“校服兔”共200個(gè)，由于“校服熊”和“校服兔”很受歡迎，上午便銷(xiāo)售一空，共獲利1160元，求“校服熊”和“校服兔”分別購(gòu)進(jìn)多少個(gè)（請(qǐng)列方程組求解）．（2）校學(xué)生會(huì)決定中午緊急采購(gòu)“校服熊”和“校服兔”若干個(gè)用于下午的銷(xiāo)售（“校服熊”和“校服兔”均有采購(gòu)），購(gòu)貨資金恰好為8112元，參考上午的銷(xiāo)售情況，其中采購(gòu)“校服熊”的數(shù)量不少于100個(gè)，在銷(xiāo)售完這批“校服熊”和“校服兔”后，將全天所得全部利潤(rùn)捐贈(zèng)給小榕樹(shù)學(xué)生公益基金，捐款金額不少于2036元，則校學(xué)生會(huì)中午緊急采購(gòu)“校服熊”______個(gè)，“校服兔”______個(gè)（請(qǐng)直接寫(xiě)答案）．23.如果兩個(gè)不等式（組）的整數(shù)解存在且相同，則稱(chēng)它們是“整數(shù)同解”的．例如：不等式的解集為，其所有整數(shù)解為大于等于2的全體整數(shù)，不等式組的解集為，其所有整數(shù)解也為大于等于2的全體整數(shù)，因此不等式與不等式組是“整數(shù)同解”的．（1）下列不等式（組）中與是“整數(shù)同解”的是______（填寫(xiě)正確結(jié)論的序號(hào)）；①，②，③（2）已知關(guān)于x的不等式組與是“整數(shù)同解”的，請(qǐng)求出a的取值范圍；（3）已知關(guān)于x的不等式組與是“整數(shù)同解”的，直接寫(xiě)出a的取值范圍24.對(duì)給定的，考慮如下5個(gè)數(shù)：，，0，n，m，如果這5個(gè)數(shù)中有k個(gè)數(shù)是某不等式（組）的解，則稱(chēng)此不等式（組）為關(guān)于的“k階不等式（組）”．例如，給定，，考慮不等式，解得：，因?yàn)?，?，2，3這五個(gè)數(shù)中有，0，2，3是該不等式的解，所以為關(guān)于的“4階不等式”．（1）對(duì)，，在下列不等式（組）中，關(guān)于的“3階不等式（組）”有_______（填寫(xiě)所有正確結(jié)論的序號(hào)）；①，②，③（2）已知m，n滿(mǎn)足方程組，則有_____，_____（結(jié)果用含t的式子表示）；（3）在（2）的條件下，若關(guān)于x的不等式是關(guān)于的“4階不等式”，求t的取值范圍．25.如圖，在中，，外角的平分線(xiàn)與外角的平分線(xiàn)相交于點(diǎn)P，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)D，延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E．（1）求的度數(shù)；（2）求證：．

參考答案一、選擇題（本題共30分，每題3分）每題均有四個(gè)選項(xiàng)，符合題意的選項(xiàng)只有一個(gè)．1.【答案】C【分析】本題考查三角形的三邊關(guān)系，根據(jù)三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊，列式求解即可．【詳解】解：三角形的兩邊長(zhǎng)分別為7和4，設(shè)第三條邊長(zhǎng)為，，，只有C選項(xiàng)滿(mǎn)足條件，故選：C．2.【答案】C【分析】本題考查不等式的性質(zhì)，熟練掌握不等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵：①不等式兩邊同時(shí)加上（或減去）同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)含有字母的式子，不等號(hào)的方向不變；②不等式兩邊同時(shí)乘（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變；③不等式兩邊同時(shí)乘（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變．根據(jù)不等式的性質(zhì)逐個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷，即可解答．【詳解】解：A、若，根據(jù)不等式的性質(zhì)①得，，原變形不成立，故本選項(xiàng)不符合題意；B、若，根據(jù)不等式的性質(zhì)②得，，原變形不成立，故本選項(xiàng)不符合題意；C、若，根據(jù)不等式的性質(zhì)③得，，原變形成立，故本選項(xiàng)符合題意；D、若，令，，得，原變形不成立，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：C．3.【答案】A【分析】此題考查了全等三角形的判定定理，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，必須有邊的參與，若有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角．根據(jù)全等三角形的判定定理求解即可．【詳解】解：已知，且，如果添加，不能根據(jù)判斷，選項(xiàng)A符合題意；當(dāng)添加，根據(jù)能判斷，選項(xiàng)B不符合題意；當(dāng)添加，根據(jù)能判斷，選項(xiàng)C不符合題意；當(dāng)添加，根據(jù)能判斷，選項(xiàng)D不符合題意；故選：A．4.【答案】D【分析】根據(jù)求和后直接消去，令的系數(shù)為即可．【詳解】解：得，可直接消去未知數(shù)，故，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了加減消元法解方程組，熟練掌握加減消元法是解題關(guān)鍵．5.【答案】B【分析】本題主要考查了多邊形的外角和定理．根據(jù)多邊形的外角和是和這個(gè)多邊形的每一個(gè)外角都等于，即可求得多邊形的邊數(shù)．【詳解】解：∵多邊形的外角和是，這個(gè)多邊形的每一個(gè)外角都等于，∴這個(gè)多邊形的邊數(shù)是，∴每一個(gè)外角都是的正多邊形是正五邊形，故選：B．6.【答案】A【分析】本題主要考查了列二元一次方程組解決古代問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)等量關(guān)系．根據(jù)題意，設(shè)醇酒為斗，行酒為斗，需建立兩個(gè)方程：總斗數(shù)為2斗，總花費(fèi)為30錢(qián)．【詳解】解：設(shè)醇酒為斗，行酒為斗，根據(jù)題意得，故選：A．7.【答案】C【分析】本題考查了垂線(xiàn)的定義，三角形內(nèi)角和定理，角平分線(xiàn)的定義，掌握三角形內(nèi)角和等于是解題關(guān)鍵．由垂線(xiàn)的定義可得，再由三角形內(nèi)角和定理得到，由角平分線(xiàn)的定義得到，再由三角形內(nèi)角和定理求解即可．【詳解】解：，，，，平分，，，，，，故選：C8.【答案】D【分析】分別求出各不等式的解集，再根據(jù)不等式的解集是x＞3求出a的取值范圍即可．【詳解】∵解不等式①得：，解不等式②得：，∵關(guān)于的不等式組的解集為，∴，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是解一元一次不等式組，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．9.【答案】B【分析】本題考查了二元一次方程組的解以及解二元一次方程組和一元一次不等式，掌握二元一次方程組的解法是解題關(guān)鍵．將方程組中的兩個(gè)方程相加可得，再根據(jù)方程組解的情況得到關(guān)于的不等式，求最小整數(shù)解即可．【詳解】解：，由得：，方程組的解滿(mǎn)足，，解得：，整數(shù)m的最小值為2，故選：B．10.【答案】B【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，角平分線(xiàn)的判定定理，掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．證明，可判斷①結(jié)論；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，可判斷②結(jié)論；過(guò)點(diǎn)作，，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和角平分線(xiàn)的判定定理，可判斷③結(jié)論；假設(shè)平分，可證，則，可判斷④結(jié)論．【詳解】解：，，即，又，，，，①結(jié)論正確；，，，，，②結(jié)論正確；如圖，過(guò)點(diǎn)作，，，，平分，③結(jié)論正確；假設(shè)平分，，平分，，，即，又，，，而題干中沒(méi)有說(shuō)明，即無(wú)法判斷平分，④結(jié)論錯(cuò)誤；故選：B．二、填空題（本題共18分，每題3分）11.【答案】5【分析】本題考查了二元一次方程的解，理解掌握二元一次方程的解是解題的關(guān)鍵．把代入，即可求解．【詳解】解：∵是關(guān)于x，y的二元一次方程的一個(gè)解，∴，解得：．故答案為：512.【答案】4【分析】本題考查了角平分線(xiàn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等．過(guò)點(diǎn)作于，根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)得到，再根據(jù)三角形面積公式計(jì)算．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，∵平分，∴，，∴，故答案為：4．13.【答案】【分析】二元一次方程滿(mǎn)足的條件：含有2個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)是1的整式方程．【詳解】解：由方程是關(guān)于x，y的二元一次方程，得|n|＝1且n﹣1≠0；解得n＝﹣1．故答案為：﹣1．【點(diǎn)睛】此題主要考查了二元一次方程定義，關(guān)鍵是掌握二元一次方程需滿(mǎn)足三個(gè)條件：①首先是整式方程．②方程中共含有兩個(gè)未知數(shù)．③所有未知項(xiàng)的次數(shù)都是一次．不符合上述任何一個(gè)條件的都不叫二元一次方程．14.【答案】【分析】本題考查解一元一次不等式組、點(diǎn)所處的象限的特點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是明確第四象限點(diǎn)的坐標(biāo)的符號(hào)是，列出相應(yīng)的不等式組．根據(jù)點(diǎn)在第四象限和第四象限點(diǎn)的坐標(biāo)的特點(diǎn)，可以得到關(guān)于的不等式組，從而可以得到的取值范圍．【詳解】解：∵點(diǎn)在第四象限，∴，解得：，故答案為：．15.【答案】12【分析】本題主要考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，垂線(xiàn)定義理解，證明是解題的關(guān)鍵．證明，得出，即可得出答案．【詳解】解：∵，，∴，∵在中，是中線(xiàn)，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴．故答案為：12．16.【答案】3或8【分析】本題考查三角形三邊關(guān)系．分四種情況，由三角形三邊關(guān)系定理來(lái)判斷，即可得到答案．【詳解】解：設(shè)三角形第三邊的長(zhǎng)是x，由三角形三邊關(guān)系定理得到，∴，若，則；若，則；若，則；若，則；∵，∴三角形第三邊的長(zhǎng)是3或8．故答案為：3或8．三、解答題（本題共52分，第17題4分，第18題8分，第19、20題每題5分，第21題4分，第22、23題每題6分，第24、25題每題7分）17.【答案】【分析】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理，角平分線(xiàn)的定義，高線(xiàn)的定義，由高線(xiàn)可得，由三角形的內(nèi)角和可求得，從而可求得，再利用角平分線(xiàn)的定義可得，再次利用三角形的內(nèi)角和即可求的度數(shù)．【詳解】解：∵是高，∴.∵，∴，，∴.∵是的平分線(xiàn)，∴，∴．18.【答案】（1）（2）【分析】本題考查了解二元一次方程組，熟練掌握加減消元法是解題關(guān)鍵．（1）將第二個(gè)方程減去第一個(gè)方程可消去，解方程可得的值，再將的值代入第一個(gè)方程，解方程可得的值，由此即可得；（2）將第一個(gè)方程的兩邊同乘以2，與第二個(gè)方程相加消去，解方程可得的值，再將的值代入第一個(gè)方程，解方程可得的值，由此即可得．【小問(wèn)1詳解】解：，由②①得：，解得，將代入①得：，解得，所以方程組的解為．【小問(wèn)2詳解】解：，由①②得：，解得，將代入①得：，解得，所以方程組的解為．19.【答案】（1）見(jiàn)解析（2）②【分析】本題考查了尺規(guī)作圖，全等三角形的判定．熟練掌握三角形全等的判定方法，是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意作圖步驟進(jìn)行作圖即可；（2）根據(jù)作圖痕跡，利用即可證明即可．【小問(wèn)1詳解】解：如圖，即為所求作的三角形；【小問(wèn)2詳解】解：根據(jù)作圖可知：，，，∴，即判定的依據(jù)是②，故答案為：②．20.【答案】【分析】本題考查了解不等式組．分別解兩不等式，即可求出不等式組的解集．【詳解】解：，解不等式①得：，解不等式②得：，∴不等式組的解集為．21.【答案】見(jiàn)詳解【分析】該題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，平行線(xiàn)的性質(zhì)，證明，即可解答．【詳解】證明：∵，∴，∵，，∴，在和中∴，∴．22.【答案】（1）“校服熊”購(gòu)進(jìn)120個(gè)，“校服兔”購(gòu)進(jìn)80個(gè)（2）104,56【分析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及一元一次不等式組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式組．（1）設(shè)“校服熊”購(gòu)進(jìn)個(gè)，“校服兔”購(gòu)進(jìn)個(gè)，利用總利潤(rùn)每個(gè)“校服熊”的銷(xiāo)售利潤(rùn)購(gòu)進(jìn)數(shù)量每個(gè)“校服兔”的銷(xiāo)售利潤(rùn)×購(gòu)進(jìn)數(shù)量，結(jié)合購(gòu)進(jìn)“校服熊”和“校服兔”的數(shù)量及銷(xiāo)售后獲得的總利潤(rùn)，可列出關(guān)于的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）設(shè)校學(xué)生會(huì)中午緊急采購(gòu)“校服熊”個(gè)，則采購(gòu)“校服兔”個(gè)，根據(jù)中午采購(gòu)“校服熊”的數(shù)量不少于100個(gè)且全天獲得的總利潤(rùn)不少于2036元，可列出關(guān)于的一元一次不等式組，解之可得出的取值范圍，再結(jié)合均為正整數(shù)，即可得出結(jié)論．【小問(wèn)1詳解】解：設(shè)“校服熊”購(gòu)進(jìn)個(gè)，“校服兔”購(gòu)進(jìn)個(gè)，根據(jù)題意得：，解得：．答：“校服熊”購(gòu)進(jìn)120個(gè)，“校服兔”購(gòu)進(jìn)80個(gè)；【小問(wèn)2詳解】解：設(shè)校學(xué)生會(huì)中午緊急采購(gòu)“校服熊”個(gè)，則采購(gòu)“校服兔”個(gè)，根據(jù)題意得：，解得：，又∵均為正整數(shù)，，個(gè)，∴校學(xué)生會(huì)中午緊急采購(gòu)“校服熊”104個(gè)，“校服兔”56個(gè)．故答案為：104,56．23.【答案】（1）③（2）（3）【分析】本題主要考查了解一元一次不等式（組），理解新定義是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)新定義解答，即可求解；（2）分別求出兩個(gè)不等式組的解集，再結(jié)合新定義得到關(guān)于a的不等式組，即可求解；（3）分別求出兩個(gè)不等式組的解集，再結(jié)合新定義得到關(guān)于a的不等式組，即可求解．【小問(wèn)1詳解】解：，解得：，∴不等式的所有整數(shù)解為大于等于2的全體整數(shù)，①，解得：，其所有整數(shù)解為大于等于5的全體整數(shù)，不符合題意；②，解得：，其所有整數(shù)解為大于等于3的全體整數(shù)，不符合題意；③，解得：，其所有整數(shù)解為大于等于2的全體整數(shù)，符合題意；故答案為：③【小問(wèn)2詳解】解：，解不等式得：，解不等式得：，∴原不等式組的解集為，∴其所有整數(shù)解為，，解不等式得：，解不等式得：，∴原不等式組的解集為，∵不等式組與是“整數(shù)同解”的，∴不等式組的所有整數(shù)解為，∴，解得：；【小問(wèn)3詳解】解：，解得：，，解得：，∵不等式組與是“整數(shù)同解”的，設(shè)“整數(shù)同解”解集中的最大整數(shù)為，且為非負(fù)整數(shù)，則有，解得：