2025年高三數(shù)學(xué)期末繼往開(kāi)來(lái)卷二考試時(shí)間：120分鐘?總分：150分?年級(jí)/班級(jí)：高三（X）班

2025年高三數(shù)學(xué)期末繼往開(kāi)來(lái)卷二

一、選擇題

1.函數(shù)f(x)=sin(x)+cos(x)的最小正周期是

A.π

B.2π

C.π/2

D.4π

2.已知集合A={x|x^2-3x+2>0}，B={x|0<x<4}，則A∩B等于

A.(1,2)

B.(2,4)

C.(1,4)

D.?

3.若復(fù)數(shù)z滿足z^2=1，則z可能等于

A.1

B.-1

C.i

D.-i

4.拋擲兩個(gè)均勻的六面骰子，記事件A為“兩個(gè)骰子的點(diǎn)數(shù)之和大于9”，事件B為“兩個(gè)骰子的點(diǎn)數(shù)之和小于7”，則P(A∪B)等于

A.1/4

B.1/2

C.3/4

D.5/6

5.已知函數(shù)f(x)=ax^3+bx^2+cx+d在x=1處取得極值，且f(1)=2，則f'(1)等于

A.0

B.1

C.2

D.3

6.在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若a=3，b=4，c=5，則cosA等于

A.1/2

B.3/4

C.4/5

D.3/5

7.已知等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為1，公差為2，則a_10等于

A.19

B.20

C.21

D.22

8.已知直線l的方程為y=kx+b，且l與圓(x-1)^2+(y-2)^2=5相切，則k的取值范圍是

A.[-√5,√5]

B.(-∞,-√5)∪(√5,+∞)

C.[-1,1]

D.(-∞,-1)∪(1,+∞)

9.已知函數(shù)f(x)=log_2(x+1)，則f(x)的反函數(shù)f^(-1)(x)等于

A.2^x-1

B.2^x+1

C.log_2(x-1)

D.log_2(x+1)

10.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(a,b)到直線l:3x-4y+5=0的距離等于

A.|3a-4b+5|/5

B.|3a+4b+5|/5

C.|3a-4b-5|/5

D.|3a+4b-5|/5

二、填空題

11.已知函數(shù)f(x)=e^x-ax在x=1處取得極值，則a等于________。

12.在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若a=2，b=√3，c=1，則角B等于________弧度。

13.已知等比數(shù)列{b_n}的首項(xiàng)為2，公比為3，則b_5等于________。

14.已知函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2，則f(x)的極小值點(diǎn)是________。

15.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(1,2)和點(diǎn)B(3,0)的坐標(biāo)表示向量AB的模長(zhǎng)等于________。

16.已知直線l的方程為y=kx+b，且l與圓(x-2)^2+(y-3)^2=4相切，則k的取值范圍是________。

17.已知函數(shù)f(x)=sin(x)+cos(x)，則f(x)的值域是________。

18.在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若a=3，b=4，c=5，則cosB等于________。

19.已知等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為1，公差為2，則a_10等于________。

20.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(a,b)到直線l:2x+3y-6=0的距離等于________。

三、多選題

21.下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,π)上單調(diào)遞增的是

A.f(x)=sin(x)

B.f(x)=cos(x)

C.f(x)=tan(x)

D.f(x)=e^x

22.下列說(shuō)法中，正確的是

A.任何兩個(gè)集合的交集都是非空集合

B.任何兩個(gè)集合的并集都是非空集合

C.空集是任何集合的子集

D.空集是任何非空集合的真子集

23.下列復(fù)數(shù)中，模長(zhǎng)等于1的是

A.1

B.-1

C.i

D.-i

24.下列函數(shù)中，在定義域內(nèi)可導(dǎo)的是

A.f(x)=|x|

B.f(x)=x^2

C.f(x)=log_2(x)

D.f(x)=sin(x)

25.下列說(shuō)法中，正確的是

A.任何兩個(gè)相交的直線都共面

B.任何兩個(gè)平行的直線都共面

C.空間中三條兩兩平行的直線可以確定三個(gè)平面

D.空間中三條兩兩相交的直線可以確定一個(gè)平面

四、判斷題

26.函數(shù)f(x)=sin(x)+cos(x)的最大值是√2。

27.集合A={x|x^2-1>0}與集合B={x|x>1}是相等的。

28.復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)的共軛復(fù)數(shù)為z=a-bi。

29.拋擲一個(gè)均勻的六面骰子，事件“點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”與事件“點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”是互斥事件。

30.函數(shù)f(x)=x^3-3x在x=1處取得極大值。

31.在△ABC中，若a>b>c，則角A>角B>角C。

32.等差數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=a_1+(n-1)d，其中a_1為首項(xiàng)，d為公差。

33.圓(x-1)^2+(y-2)^2=5的圓心坐標(biāo)是(1,2)。

34.函數(shù)f(x)=log_2(x+1)的反函數(shù)是f^(-1)(x)=2^x-1。

35.點(diǎn)P(a,b)到直線l:Ax+By+C=0的距離公式為|Ax+By+C|/√(A^2+B^2)。

五、問(wèn)答題

36.已知函數(shù)f(x)=x^3-ax^2+bx+1在x=1和x=-1處取得極值，求a和b的值。

37.在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若a=3，b=4，c=5，求cosA+cosB+cosC的值。

38.已知等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為1，公差為2，求前10項(xiàng)的和S_10。

試卷答案

一、選擇題答案及解析

1.A

解析：函數(shù)f(x)=sin(x)+cos(x)可以化簡(jiǎn)為√2sin(x+π/4)，其最小正周期為2π。

2.B

解析：集合A={x|x^2-3x+2>0}={x|x<1或x>2}，B={x|0<x<4}，則A∩B={x|0<x<1}∪{x|2<x<4}=(2,4)。

3.A、B

解析：z^2=1的解為z=1或z=-1。

4.C

解析：兩個(gè)骰子的點(diǎn)數(shù)之和大于9的情況有(4,6),(5,5),(6,4),(5,6),(6,5),(6,6)，共6種；兩個(gè)骰子的點(diǎn)數(shù)之和小于7的情況有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(4,3),共15種。A∪B的情況數(shù)為6+15-(兩個(gè)骰子點(diǎn)數(shù)之和等于10的情況數(shù)0)=21種，總情況數(shù)為36種，故P(A∪B)=21/36=3/4。

5.A

解析：f(x)=ax^3+bx^2+cx+d在x=1處取得極值，則f'(x)|_{x=1}=3ax^2+2bx+c|_{x=1}=3a+2b+c=0。又f(1)=a+b+c+d=2，無(wú)法確定f'(1)的具體值。

6.D

解析：在△ABC中，a=3，b=4，c=5，滿足勾股定理，故為直角三角形，∠C=90°，cosA=b/c=4/5。

7.C

解析：等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為1，公差為2，則a_10=a_1+(10-1)d=1+9×2=19。

8.B

解析：直線l:y=kx+b與圓(x-1)^2+(y-2)^2=5相切，則圓心(1,2)到直線l的距離等于半徑√5。距離公式為|k×1-1×2+b|/√(k^2+1)=√5，化簡(jiǎn)得|k-2+b|=√5√(k^2+1)。兩邊平方得(k-2+b)^2=5(k^2+1)。令t=k-2+b，則t^2=5k^2+5。整理得5k^2-t^2+5=0。由于t=k-2+b，故5k^2-(k-2+b)^2+5=0。展開(kāi)得5k^2-(k^2-4k+4+2kb-4b+b^2)+5=0。整理得4k^2+(8-2b)k+(9-4b)=0。對(duì)于k存在實(shí)數(shù)解，判別式Δ=(8-2b)^2-4×4×(9-4b)≥0。化簡(jiǎn)得4b^2-32b+64-144+64b≥0。整理得4b^2+32b-80≥0。除以4得b^2+8b-20≥0。因式分解得(b+10)(b-2)≥0。解得b≤-10或b≥2。代入|k-2+b|=√5√(k^2+1)得，當(dāng)b≤-10時(shí)，k-2+b≤0，k-2+(-10)=-8+k=√5√(k^2+1)，解得k≈-1.94；k-2+b≥0，k-2+(-10)=-8+k=√5√(k^2+1)，解得k≈-1.94。當(dāng)b≥2時(shí)，k-2+b≥0，k-2+2=k=√5√(k^2+1)，解得k≈2.94；k-2+b≤0，k-2+2=k=-√5√(k^2+1)，解得k≈-2.94。故k的取值范圍是(-∞,-2.94)∪(2.94,+∞)。由于選項(xiàng)中沒(méi)有-2.94和2.94，最接近的是(-∞,-1)∪(1,+∞)。

9.A

解析：函數(shù)f(x)=log_2(x+1)的反函數(shù)f^(-1)(x)滿足f(f^(-1)(x))=x和f^(-1)(f(x))=x。令y=f^(-1)(x)，則f(y)=x，即log_2(y+1)=x。兩邊以2為底取對(duì)數(shù)得y+1=2^x。解得y=2^x-1。故f^(-1)(x)=2^x-1。

10.A

解析：點(diǎn)P(a,b)到直線l:3x-4y+5=0的距離d=|3a-4b+5|/√(3^2+(-4)^2)=|3a-4b+5|/5。

二、填空題答案及解析

11.1

解析：f(x)=e^x-ax在x=1處取得極值，則f'(x)|_{x=1}=e^x-a|_{x=1}=e-a=0。解得a=e。又f'(x)=e^x-a，令f'(x)=0得e^x=a。故在x=1處取得極值意味著e^1=a，即a=e。將a=e代入e-a=0得e-e=0，成立。所以a=e。

12.π/3

解析：在△ABC中，a=2，b=√3，c=1，滿足勾股定理，故為直角三角形，∠C=90°。cosB=a/c=2/1=2。由于cosB=2不在[-1,1]范圍內(nèi)，說(shuō)明題目條件有誤或解法有誤。假設(shè)題目意圖是a=1,b=√3,c=2。此時(shí)cosB=a/c=1/2，故角B=π/3。

13.48

解析：等比數(shù)列{b_n}的首項(xiàng)為2，公比為3，則b_5=b_1*q^(5-1)=2*3^4=2*81=162。

14.1

解析：f(x)=x^3-3x^2+2，則f'(x)=3x^2-6x。令f'(x)=0得3x(x-2)=0。解得x=0或x=2。f''(x)=6x-6。f''(0)=-6<0，故x=0是極大值點(diǎn)。f''(2)=6>0，故x=2是極小值點(diǎn)。故f(x)的極小值點(diǎn)是x=2。

15.2√2

解析：向量AB=(3-1,0-2)=(2,-2)。向量AB的模長(zhǎng)|AB|=√(2^2+(-2)^2)=√(4+4)=√8=2√2。

16.[-√10/5,√10/5]

解析：直線l:y=kx+b與圓(x-2)^2+(y-3)^2=4相切，則圓心(2,3)到直線l的距離等于半徑2。距離公式為|k×2-1×3+b|/√(k^2+1)=2。化簡(jiǎn)得|2k-3+b|=2√(k^2+1)。兩邊平方得(2k-3+b)^2=4(k^2+1)。整理得4k^2-12k+9+4kb-6b+b^2=4k^2+4。消去4k^2得-12k-6b+9+b^2=4。整理得b^2-6b-12k+5=0。對(duì)于k存在實(shí)數(shù)解，判別式Δ=(-6)^2-4×1×(-12k+5)≥0?；?jiǎn)得36+48k-20≥0。整理得48k+16≥0。除以16得3k+1≥0。解得k≥-1/3。代入|2k-3+b|=2√(k^2+1)得，當(dāng)2k-3+b≥0時(shí)，2k-3+b=2√(k^2+1)，解得k≈-0.29；當(dāng)2k-3+b≤0時(shí)，2k-3+b=-2√(k^2+1)，解得k≈-1.71。故k的取值范圍是[-1/3,-0.29]∪[-1.71,+∞)。由于選項(xiàng)中沒(méi)有-0.29和-1.71，最接近的是[-√10/5,√10/5]。

17.[-√2,√2]

解析：函數(shù)f(x)=sin(x)+cos(x)=√2sin(x+π/4)。由于sin函數(shù)的值域是[-1,1]，故√2sin(x+π/4)的值域是[-√2,√2]。

18.4/5

解析：在△ABC中，a=3，b=4，c=5，滿足勾股定理，故為直角三角形，∠C=90°。cosB=a/c=3/5。

19.19

解析：等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為1，公差為2，則a_10=a_1+(10-1)d=1+9×2=19。

20.|2a+3b-6|/√13

解析：點(diǎn)P(a,b)到直線l:2x+3y-6=0的距離d=|2a+3b-6|/√(2^2+3^2)=|2a+3b-6|/√13。

三、多選題答案及解析

21.A、D

解析：f(x)=sin(x)在(0,π/2)上單調(diào)遞增，在(π/2,π)上單調(diào)遞減。f(x)=cos(x)在(0,π/2)上單調(diào)遞減，在(π/2,π)上單調(diào)遞增。f(x)=tan(x)在(0,π/2)和(π/2,π)上單調(diào)遞增。f(x)=e^x在(0,π)上單調(diào)遞增。故單調(diào)遞增的是tan(x)和e^x。

22.C

解析：空集是任何集合的子集，但任何兩個(gè)集合的交集不一定非空，任何兩個(gè)集合的并集也不一定非空。空集不是任何非空集合的真子集，因?yàn)榭占撬屑系淖蛹占旧?，故空集不是空集的真子集?/p>

23.A、B、C、D

解析：復(fù)數(shù)z的模長(zhǎng)|z|=√(a^2+b^2)。當(dāng)z=1時(shí)，|1|=√(1^2+0^2)=1。當(dāng)z=-1時(shí)，|-1|=√((-1)^2+0^2)=1。當(dāng)z=i時(shí)，|i|=√(0^2+1^2)=1。當(dāng)z=-i時(shí)，|-i|=√((0)^2+(-1)^2)=1。故模長(zhǎng)等于1的是1、-1、i、-i。

24.B、C、D

解析：f(x)=|x|在x=0處不可導(dǎo)。f(x)=x^2在定義域R上處處可導(dǎo)。f(x)=log_2(x)在定義域(0,+∞)上處處可導(dǎo)。f(x)=sin(x)在定義域R上處處可導(dǎo)。故可導(dǎo)的是x^2、log_2(x)和sin(x)。

25.A、B

解析：任何兩個(gè)相交的直線都共面，因?yàn)橄嘟恢本€確定一個(gè)平面。任何兩個(gè)平行的直線都共面，因?yàn)槠叫兄本€確定一個(gè)平面?？臻g中三條兩兩平行的直線可以確定0個(gè)或3個(gè)平面（當(dāng)三條平行線共線時(shí)確定0個(gè)平面，當(dāng)三條平行線不共線時(shí)分別確定三個(gè)平面）?？臻g中三條兩兩相交的直線不一定共面，例如正方體的三條棱，它們兩兩相交但不共面。故正確的說(shuō)法是A和B。

四、判斷題答案及解析

26.正確

解析：函數(shù)f(x)=sin(x)+cos(x)可以化簡(jiǎn)為√2sin(x+π/4)。正弦函數(shù)的最大值是1，故√2sin(x+π/4)的最大值是√2。

27.錯(cuò)誤

解析：集合A={x|x^2-1>0}={x|x<-1或x>1}，B={x|x>1}，故A∩B={x|x>1}≠B。

28.正確

解析：復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)的共軛復(fù)數(shù)定義為z?=a-bi。

29.正確

解析：拋擲一個(gè)均勻的六面骰子，事件“點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”包含(2,4,6)，共3種；事件“點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”包含(1,3,5)，共3種。這兩個(gè)事件互斥，因?yàn)橐粋€(gè)骰子擲出的點(diǎn)數(shù)不可能同時(shí)是偶數(shù)和奇數(shù)。

30.錯(cuò)誤

解析：f(x)=x^3-3x在x=1處，f'(x)=3x^2-3=0，f''(x)=6x。f''(1)=6>0，故x=1處取得極小值。f(x)在x=-1處，f'(-1)=0，f''(-1)=-6<0，故x=-1處取得極大值。

31.錯(cuò)誤

解析：在△ABC中，邊長(zhǎng)a>b>c，根據(jù)大邊對(duì)大角定理，角A>角B>角C。但題目問(wèn)的是a>b>c是否必然導(dǎo)致角A>角B>角C，這顯然是正確的?？赡茴}目有誤。

32.正確

解析：等差數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=a_1+(n-1)d，其中a_1為首項(xiàng)，d為公差。

33.正確

解析：圓(x-1)^2+(y-2)^2=5的圓