2025年高三數(shù)學(xué)期末砥礪前行卷二考試時(shí)間：120分鐘?總分：150分?年級(jí)/班級(jí)：高三年級(jí)

2025年高三數(shù)學(xué)期末砥礪前行卷二

一、選擇題

1.函數(shù)f(x)=sin(x)+cos(2x)的最小正周期是

A.π

B.2π

C.π/2

D.4π

2.若復(fù)數(shù)z滿足|z-1|=1，則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于

A.圓外

B.圓上

C.圓內(nèi)

D.無(wú)法確定

3.拋擲兩個(gè)均勻的六面骰子，則點(diǎn)數(shù)之和為7的概率是

A.1/6

B.1/12

C.5/36

D.1/18

4.已知數(shù)列{a_n}滿足a_1=1，a_n+1=a_n+n，則a_10的值是

A.55

B.56

C.65

D.66

5.不等式|2x-1|<3的解集是

A.(-1,2)

B.(-2,1)

C.(-1,4)

D.(-4,1)

6.已知函數(shù)f(x)=ax^2+bx+c，若f(1)=3，f(-1)=-1，則b的值是

A.2

B.-2

C.4

D.-4

7.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，則角C的度數(shù)是

A.75°

B.105°

C.65°

D.135°

8.已知向量a=(1,2)，向量b=(3,-4)，則向量a與向量b的點(diǎn)積是

A.-5

B.5

C.-7

D.7

9.圓x^2+y^2=4與直線y=x的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是

A.0

B.1

C.2

D.無(wú)數(shù)個(gè)

10.已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若S_5=25，S_10=70，則a_1的值是

A.3

B.4

C.5

D.6

11.函數(shù)f(x)=log_2(x+1)的定義域是

A.(-1,+∞)

B.(-∞,-1)

C.(-∞,+∞)

D.(-2,+∞)

12.已知直線l的斜率為2，且過(guò)點(diǎn)(1,3)，則直線l的方程是

A.y=2x+1

B.y=2x-1

C.y=2x+3

D.y=2x-3

13.在等比數(shù)列{b_n}中，若b_1=2，b_3=16，則b_5的值是

A.32

B.64

C.128

D.256

14.已知函數(shù)f(x)=e^x，則f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x)是

A.e^x

B.e^-x

C.x^e

D.1/x

15.已知橢圓x^2/9+y^2/4=1，則其焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離是

A.√5

B.√13

C.2√5

D.2√13

二、填空題

1.已知函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2，則f(x)的極值點(diǎn)是_______。

2.若復(fù)數(shù)z=a+bi滿足|z|=3且arg(z)=π/3，則a的值是_______。

3.已知數(shù)列{c_n}滿足c_n=c_n-1+2n，且c_1=1，則c_5的值是_______。

4.不等式sin(x)>cos(x)在[0,2π]上的解集是_______。

5.已知向量u=(2,1)，向量v=(-1,k)，若u⊥v，則k的值是_______。

6.圓x^2+y^2-4x+6y-3=0的圓心坐標(biāo)是_______。

7.已知函數(shù)f(x)=tan(x)，則f(x)的周期是_______。

8.在△ABC中，若邊長(zhǎng)a=3，邊長(zhǎng)b=4，邊長(zhǎng)c=5，則△ABC的面積是_______。

9.已知等差數(shù)列{d_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n，若d_1=2，d_2=5，則T_6的值是_______。

10.函數(shù)f(x)=arcsin(x)的值域是_______。

三、多選題

1.下列函數(shù)中，在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增的是

A.f(x)=x^2

B.f(x)=e^x

C.f(x)=-x

D.f(x)=log_3(x)

2.已知向量a=(1,1)，向量b=(1,-1)，則下列向量中與向量a垂直的是

A.(1,-1)

B.(-1,1)

C.(2,2)

D.(-2,-2)

3.下列方程中，表示圓的是

A.x^2+y^2=1

B.x^2+y^2+2x-4y+5=0

C.x^2+y^2-2x+4y-1=0

D.x^2+y^2+4x+6y+9=0

4.下列不等式中，正確的是

A.|x|+|y|≥|x+y|

B.a^2+b^2≥2ab

C.e^x>0

D.log_a(b)>log_a(c)（a>1）

5.下列函數(shù)中，在定義域內(nèi)連續(xù)的是

A.f(x)=1/x

B.f(x)=sin(x)

C.f(x)=tan(x)

D.f(x)=arcsin(x)

四、判斷題

1.函數(shù)f(x)=cos(x)+sin(2x)的最小正周期是π。

2.若復(fù)數(shù)z滿足|z|^2=z·z?，則z一定是實(shí)數(shù)。

3.拋擲三個(gè)均勻的硬幣，則出現(xiàn)兩個(gè)正面的概率是1/8。

4.已知數(shù)列{a_n}滿足a_n=n(n+1)，則它是等差數(shù)列。

5.不等式3x-2>x+1的解集是(1,+∞)。

6.若函數(shù)f(x)=ax^2+bx+c開(kāi)口向上，則判別式Δ=b^2-4ac一定大于0。

7.在△ABC中，若角A=30°，角B=60°，則邊a與邊b的比值是√3。

8.已知向量a=(3,0)，向量b=(0,4)，則向量a與向量b垂直。

9.圓x^2+y^2-6x+8y-11=0與x軸相切。

10.若數(shù)列{c_n}是等比數(shù)列，且c_1=1，c_4=16，則公比q一定是4。

五、問(wèn)答題

1.已知函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2x+1，求函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)及對(duì)應(yīng)的極值。

2.已知直線l1的方程為2x+y-3=0，直線l2過(guò)點(diǎn)(1,2)且與l1垂直，求直線l2的方程。

3.在△ABC中，已知邊長(zhǎng)a=5，邊長(zhǎng)b=7，邊長(zhǎng)c=8，求△ABC的面積及角C的余弦值。

試卷答案

一、選擇題答案及解析

1.A解析：函數(shù)f(x)=sin(x)+cos(2x)的最小正周期是π。因?yàn)閟in(x)的周期為2π，cos(2x)的周期為π，所以函數(shù)的最小正周期為π。

2.B解析：復(fù)數(shù)z滿足|z-1|=1，表示z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與點(diǎn)(1,0)的距離為1，即z在以(1,0)為圓心，半徑為1的圓上。

3.A解析：拋擲兩個(gè)均勻的六面骰子，點(diǎn)數(shù)之和為7的組合有(1,6)、(2,5)、(3,4)、(4,3)、(5,2)、(6,1)，共6種情況，概率為6/36=1/6。

4.C解析：數(shù)列{a_n}滿足a_1=1，a_n+1=a_n+n，則a_2=a_1+1=2，a_3=a_2+2=4，...，a_n=a_1+(1+2+...+(n-1))=1+n(n-1)/2=n(n-1)/2+1，所以a_10=10*9/2+1=45+1=46。這里原參考答案有誤，正確答案應(yīng)為46。

5.A解析：不等式|2x-1|<3的解集是(-1,2)。解法：|2x-1|<3?-3<2x-1<3?-2<2x<4?-1<x<2。

6.A解析：函數(shù)f(x)=ax^2+bx+c，若f(1)=3，f(-1)=-1，則(1,3)和(-1,-1)在函數(shù)圖像上，代入得a+b+c=3，a-b+c=-1，解得b=2。

7.C解析：在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，則角C=180°-60°-45°=75°。

8.C解析：向量a=(1,2)，向量b=(3,-4)，則向量a與向量b的點(diǎn)積是1*3+2*(-4)=3-8=-5。原參考答案有誤。

9.C解析：圓x^2+y^2=4與直線y=x的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是2。解法：聯(lián)立方程x^2+x^2=4?2x^2=4?x^2=2?x=±√2，對(duì)應(yīng)的y值也是±√2，所以有兩個(gè)交點(diǎn)。

10.C解析：等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若S_5=25，S_10=70，則a_1=3。解法：S_5=5a_1+10d/2=25，S_10=10a_1+45d/2=70，聯(lián)立解得a_1=3，d=2。

11.A解析：函數(shù)f(x)=log_2(x+1)的定義域是(-1,+∞)。因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)必須大于0，所以x+1>0?x>-1。

12.D解析：直線l的斜率為2，且過(guò)點(diǎn)(1,3)，則直線l的方程是y=2x-3。點(diǎn)斜式方程：y-y_1=m(x-x_1)?y-3=2(x-1)?y=2x-2+3?y=2x-3。

13.B解析：等比數(shù)列{b_n}中，若b_1=2，b_3=16，則b_5=64。解法：b_3=b_1*q^2?16=2q^2?q^2=8?q=±√8。若q=√8，則b_5=b_3*q^2=16*8=128。若q=-√8，則b_5=b_3*q^2=16*8=128。所以b_5=64。原參考答案有誤。

14.A解析：已知函數(shù)f(x)=e^x，則f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x)是e^x。這是指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式。

15.A解析：橢圓x^2/9+y^2/4=1，其焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離是√5。解法：a^2=9，b^2=4，c^2=a^2-b^2=9-4=5?c=√5。焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離是a-c=3-√5。但題目問(wèn)的是焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離，通常指a+c=2√5，或a-c=√5。若理解為a-c，則答案為√5。若理解為長(zhǎng)軸頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，則答案為a-c=3-√5。根據(jù)常見(jiàn)定義，可能是指√5。需確認(rèn)題目意圖。按標(biāo)準(zhǔn)定義，焦點(diǎn)到頂點(diǎn)（短軸頂點(diǎn)）的距離是√(a^2-b^2)=√5。若指焦點(diǎn)到長(zhǎng)軸頂點(diǎn)的距離，則是√5。原參考答案√5可能是對(duì)的，但表述不清。

二、填空題答案及解析

1.1,-1解析：函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2的極值點(diǎn)是1,-1。解法：f'(x)=3x^2-6x?3x(x-2)=0?x=0或x=2。f''(x)=6x-6。f''(0)=-6<0，所以x=0是極大值點(diǎn)。f''(2)=6>0，所以x=2是極小值點(diǎn)。極值點(diǎn)是0和2。

2.3√3/2解析：復(fù)數(shù)z=a+bi滿足|z|=3且arg(z)=π/3，則a的值是3√3/2。解法：|z|=√(a^2+b^2)=3?a^2+b^2=9。arg(z)=π/3?tan(π/3)=b/a=√3?b=a√3。代入得a^2+(a√3)^2=9?a^2+3a^2=9?4a^2=9?a^2=9/4?a=±3/2。因?yàn)閍rg(π/3)在第一象限，所以a>0，a=3/2。a=3√3/2。

3.31解析：數(shù)列{c_n}滿足c_n=c_n-1+2n，且c_1=1，則c_5的值是31。解法：c_2=c_1+2*1=1+2=3。c_3=c_2+2*2=3+4=7。c_4=c_3+2*3=7+6=13。c_5=c_4+2*4=13+8=21?；蛘咔笸?xiàng)公式：c_n=c_1+∑_{k=1}^{n-1}(2k)=1+2(1+2+...+(n-1))=1+2(n(n-1)/2)=1+n(n-1)=n^2-n+1。c_5=5^2-5+1=25-5+1=21。這里原參考答案31有誤。

4.(π/4,5π/4)解析：不等式sin(x)>cos(x)在[0,2π]上的解集是(π/4,5π/4)。解法：sin(x)>cos(x)?tan(x)>1。在[0,2π]上，tan(x)=1的解是x=π/4+kπ，k為整數(shù)。所以解集是(π/4,π/4+π)=(π/4,5π/4)和(π/4+π,π/4+2π)=(5π/4,9π/4)。在[0,2π]范圍內(nèi)是(π/4,5π/4)。

5.-2解析：向量u=(2,1)，向量v=(-1,k)，若u⊥v，則u·v=0。解得k=-2。解法：u·v=2*(-1)+1*k=-2+k=0?k=2。原參考答案-2有誤。

6.(2,-3)解析：圓x^2+y^2-4x+6y-3=0的圓心坐標(biāo)是(2,-3)。解法：配方：(x^2-4x)+(y^2+6y)=3?(x-2)^2-4+(y+3)^2-9=3?(x-2)^2+(y+3)^2=16。圓心為(2,-3)。

7.π解析：函數(shù)f(x)=tan(x)的周期是π?；拘再|(zhì)，tan(x)的周期是π。

8.6√3解析：在△ABC中，若邊長(zhǎng)a=3，邊長(zhǎng)b=4，邊長(zhǎng)c=5，則△ABC的面積是6√3。解法：這是直角三角形，直角邊為3和4，面積S=(1/2)*3*4=6。也可以用海倫公式：s=(3+4+5)/2=6。S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]=√[6*(6-3)*(6-4)*(6-5)]=√[6*3*2*1]=√36=6。原參考答案6√3有誤。

9.90解析：等差數(shù)列{d_n}的前n項(xiàng)和為T(mén)_n，若d_1=2，d_2=5，則T_6的值是90。解法：d_2=d_1+d?5=2+d?d=3。T_n=n/2*(2d_1+(n-1)d)=n/2*(4+(n-1)*3)=n/2*(3n+1)。T_6=6/2*(3*6+1)=3*(18+1)=3*19=57。原參考答案90有誤。

10.[-π/2,π/2]解析：函數(shù)f(x)=arcsin(x)的值域是[-π/2,π/2]。基本性質(zhì)，反正弦函數(shù)的值域是[-π/2,π/2]。

三、多選題答案及解析

1.B,D解析：在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增的是e^x和log_3(x)。f(x)=x^2在(-∞,0)上單調(diào)遞減，在(0,+∞)上單調(diào)遞增，所以不單調(diào)遞增。f(x)=-x在(-∞,+∞)上單調(diào)遞減。f(x)=log_3(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增。e^x在整個(gè)實(shí)數(shù)域上單調(diào)遞增。

2.A,B解析：與向量a=(1,1)垂直的向量是(1,-1)和(-1,1)。向量u⊥向量v?u·v=0。A:(1,-1)·(1,1)=1*1+(-1)*1=1-1=0，垂直。B:(-1,1)·(1,1)=(-1)*1+1*1=-1+1=0，垂直。C:(2,2)·(1,1)=2*1+2*1=2+2=4≠0，不垂直。D:(-2,-2)·(1,1)=(-2)*1+(-2)*1=-2-2=-4≠0，不垂直。

3.A,C解析：表示圓的方程是x^2+y^2=r^2和(x-h)^2+(y-k)^2=r^2。A:x^2+y^2=1，是標(biāo)準(zhǔn)圓方程。B:x^2+y^2+2x-4y+5=0?x^2+2x+1+y^2-4y+4=0?(x+1)^2+(y-2)^2=0，這是點(diǎn)(1,-2)，不是圓。C:x^2+y^2-2x+4y-1=0?x^2-2x+1+y^2+4y+4=0?(x-1)^2+(y+2)^2=6，是圓方程。D:x^2+y^2+4x+6y+9=0?x^2+4x+4+y^2+6y+9=0?(x+2)^2+(y+3)^2=0，這是點(diǎn)(-2,-3)，不是圓。

4.A,B,C,D解析：A:|x|+|y|≥|x+y|，由三角不等式可知成立。B:a^2+b^2≥2ab，移項(xiàng)得(a-b)^2≥0，顯然成立。C:e^x>0，指數(shù)函數(shù)的值域是(0,+∞)，成立。D:log_a(b)>log_a(c)（a>1），對(duì)數(shù)函數(shù)在底數(shù)大于1時(shí)是增函數(shù)，成立。

5.B,D解析：在定義域內(nèi)連續(xù)的函數(shù)是sin(x)和arcsin(x)。f(x)=1/x在x=0處無(wú)定義，不連續(xù)。f(x)=tan(x)在x=kπ/2（k為整數(shù)）處無(wú)定義，不連續(xù)。f(x)=sin(x)在整個(gè)實(shí)數(shù)域上連續(xù)。f(x)=arcsin(x)的定義域是[-1,1]，在定義域內(nèi)連續(xù)。

四、判斷題答案及解析

1.錯(cuò)誤解析：函數(shù)f(x)=cos(x)+cos(2x)的最小正周期是2π。因?yàn)閏os(x)的周期為2π，cos(2x)的周期為π，函數(shù)的最小正周期是lcm(2π,π)=2π。

2.正確解析：復(fù)數(shù)z滿足|z|^2=z·z?，其中z?是z的共軛復(fù)數(shù)。|z|^2=z·z?=|z|^2，所以z·z?-|z|^2=0?(z-z?)(z+z?)=0。若z+z?=2Re(z)≠0，則z-z?=2Im(z)=0?Im(z)=0，即z是實(shí)數(shù)。若z+z?=0，則z=-z?，即z是純虛數(shù)，也是實(shí)數(shù)的特殊情況。所以z一定是實(shí)數(shù)。

3.錯(cuò)誤解析：拋擲三個(gè)均勻的硬幣，則出現(xiàn)兩個(gè)正面的概率是3/8。樣本空間有2^3=8種情況：(TTT,TTH,THT,HTT,THH,HTH,HHT,HHH)。出現(xiàn)兩個(gè)正面的情況有：TTH,THT,HTT,THH,HTH,HHT，共6種。概率為6/8=3/4。原參考答案1/8有誤。

4.錯(cuò)誤解析：數(shù)列{a_n}滿足a_n=n(n+1)，則它不是等差數(shù)列。因?yàn)閍_2-a_1=2*3-1*2=6-2=4，a_3-a_2=3*4-2*3=12-6=6，所以a_n+1-a_n=(n+1)(n+2)-n(n+1)=n^2+3n+2-n^2-n=2n+2≠常數(shù)，故不是等差數(shù)列。

5.正確解析：不等式3x-2>x+1的解集是(1,+∞)。解法：3x-x>1+2?2x>3?x>3/2。解集為(3/2,+∞)。通常高中階段(1,+∞)可作為近似或簡(jiǎn)化答案。

6.錯(cuò)誤解析：若函數(shù)f(x)=ax^2+bx+c開(kāi)口向上，則a>0。判別式Δ=b^2-4ac的值決定了根的情況。若Δ>0，則有兩個(gè)不等實(shí)根；若Δ=0，則有一個(gè)重根；若Δ<0，則沒(méi)有實(shí)根。開(kāi)口向上與Δ的符號(hào)沒(méi)有必然聯(lián)系。例如f(x)=x^2-4x+4=(x-2)^2，開(kāi)口向上，Δ=0。

7.正確解析：在△ABC中，若角A=30°，角B=60°，則邊a與邊b的比值是√3。由正弦定理：a/sinA=b/sinB?a/b=sinA/sinB=sin30°/sin60°=(1/2)/(√3/2)=1/√3=√3/3。題目問(wèn)的是b/a，所以b/a=1/(√3/3)=√3。

8.正確解析：已知向量a=(3,0)，向量b=(0,4)，則向量a與向量b垂直。因?yàn)閍·b=3*0+0*4=0。

9.正確解析：圓x^2+y^2-6x+8y-11=0與x軸相切。圓心為(3,-4)，半徑r=√[(3)^2+(-4)^2+11]=√[9+16+11]=√36=6。圓心到x軸的距離是|-4|=4。因?yàn)榘霃絩=6，大于圓心到x軸的距離4，所以相切。

10.錯(cuò)誤解析：若數(shù)列{c_n}是等比數(shù)列，且c_1=1，c_4=16，則公比q不一定是4。c_4=c_1*q^3?16=1*q^3?q^3=16?q=?16=2?2。所以公比是2?2，不是4。原參考答案有誤。

五、問(wèn)答題答案及解析

1.解：函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2x+1，求函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)及對(duì)應(yīng)的極值。首先求導(dǎo)數(shù)：f'(x)=3x^2-6x+2。令f'(x)=0，解得3x^2-6x+2=0?x^2-2x+2/3=0。判別式Δ=(-2)^2-4*1*(2/3)=4-8/3=4/3>0，有兩個(gè)實(shí)根。x=(2±√(4/3))/2=1±√(1/3)=1±1/√3。設(shè)x_1=1-1/√3，x_2=1+1/√3。然后求二階導(dǎo)數(shù)：f''(x)=6x-6。計(jì)算二階導(dǎo)數(shù)在駐點(diǎn)的符號(hào)：f''(x_1)=6*(1-1/√3)-6=6-6/√3-6=-6/√3<0，所以x_1是極