2025年高三數(shù)學(xué)期末鬼斧神工卷二考試時(shí)間：120分鐘?總分：150分?年級/班級：高三年級

2025年高三數(shù)學(xué)期末鬼斧神工卷二

一、選擇題

1.函數(shù)f(x)=log_a(x^2-2x+3)在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

A.(0,1)∪(1,+∞)

B.(0,1)

C.(1,+∞)

D.(0,+∞)

2.已知向量a=(2,k)，b=(1,-1)，若a⊥b，則|a|的值為

A.√5

B.√10

C.2√2

D.3

3.若復(fù)數(shù)z滿足z^2=1-2i，則z的模長為

A.1

B.√2

C.√3

D.√5

4.設(shè)函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2，則f(x)在區(qū)間[-2,3]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為

A.1

B.2

C.3

D.4

5.已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若a_1=2，d=3，則S_10的值為

A.165

B.170

C.175

D.180

6.已知圓C的方程為(x-1)^2+(y+2)^2=4，則圓C的圓心到直線3x-4y-5=0的距離為

A.1

B.√2

C.√3

D.2

7.已知函數(shù)f(x)=sin(x+π/6)，則f(π/3)的值為

A.1/2

B.√3/2

C.1

D.-1/2

8.已知四面體ABCD的體積為V，點(diǎn)P在棱AB上，則四面體PBCD的體積為

A.V/2

B.V/3

C.V/4

D.V/6

9.已知直線l與圓C相切，且直線l的斜率為k，圓C的方程為x^2+y^2=r^2，則直線l的方程為

A.y=kx+r

B.y=kx-r

C.y=-kx+r

D.y=-kx-r

10.已知函數(shù)f(x)=e^x，則f(x)的n階導(dǎo)數(shù)f^(n)(x)為

A.e^x

B.ne^x

C.e^(x+n)

D.e^(x-n)

二、填空題

11.已知函數(shù)f(x)=ax^2+bx+c，若f(1)=3，f(-1)=-1，且f(x)的對稱軸為x=1，則a+b+c的值為

12.已知向量a=(3,4)，b=(-1,2)，則向量a與向量b的夾角θ的余弦值為

13.已知直線l的參數(shù)方程為x=1+t，y=2-t，則直線l的普通方程為

14.已知圓錐的底面半徑為3，母線長為5，則圓錐的側(cè)面積為

15.已知函數(shù)f(x)=arcsin(x/2)，則f(√3/2)的值為

16.已知等比數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，若b_1=1，q=2，則T_5的值為

17.已知圓C的方程為(x-2)^2+(y-3)^2=1，則圓C上的點(diǎn)到直線x+y-7=0的最短距離為

18.已知函數(shù)f(x)=x^2-4x+3，則f(x)的圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)為

19.已知三角形ABC的三個(gè)內(nèi)角分別為A，B，C，且sinA=√3/2，cosB=1/2，則sin(C/2)的值為

20.已知函數(shù)f(x)=sin(2x+π/3)，則f(x)的周期為

三、多選題

21.下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增的有

A.y=2^x

B.y=log_2(x)

C.y=x^2

D.y=sin(x)

22.已知向量a=(1,2)，b=(3,k)，若向量a與向量b共線，則k的值可能為

A.3

B.6

C.-3

D.-6

23.下列命題中，正確的有

A.若a>b，則a^2>b^2

B.若a>b，則√a>√b

C.若a>b，則1/a<1/b

D.若a>b，則a^3>b^3

24.已知圓C的方程為(x-1)^2+(y-2)^2=r^2，若圓C與直線x+y-4=0相切，則r的值可能為

A.√2

B.2√2

C.3

D.4

25.已知函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2，則下列說法中正確的有

A.f(x)在區(qū)間(-∞,1)上單調(diào)遞增

B.f(x)在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞減

C.f(x)在區(qū)間(2,+∞)上單調(diào)遞增

D.f(x)在區(qū)間(-∞,-1)上單調(diào)遞減

四、判斷題

26.若函數(shù)f(x)=ax^2+bx+c的圖像開口向上，則其對應(yīng)的一元二次方程ax^2+bx+c=0有實(shí)數(shù)根。

27.向量a=(1,2)與向量b=(2,4)共線。

28.若復(fù)數(shù)z滿足z^2=-1，則z=i。

29.函數(shù)f(x)=|x|在區(qū)間(-1,1)上單調(diào)遞減。

30.若數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，且a_1=5，a_2=7，則該數(shù)列的公差為2。

31.圓C的方程為(x-3)^2+(y+4)^2=9，則圓C的圓心到原點(diǎn)的距離為5。

32.函數(shù)f(x)=sin(x)+cos(x)的周期為2π。

33.若直線l的斜率為1，則直線l的傾斜角為45°。

34.已知函數(shù)f(x)=e^x，則f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x)也為e^x。

35.若三角形ABC的三邊長分別為3，4，5，則三角形ABC為直角三角形。

五、問答題

36.已知函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2，求函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)。

37.設(shè)等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若a_1=2，d=3，求S_10的值。

38.已知圓C的方程為(x-1)^2+(y-2)^2=4，求圓C上的點(diǎn)到直線3x-4y-5=0的最短距離。

試卷答案

一、選擇題答案及解析

1.C

解析：函數(shù)f(x)=log_a(x^2-2x+3)在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞增，需要滿足對數(shù)函數(shù)的真數(shù)部分x^2-2x+3在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞增，且底數(shù)a滿足對數(shù)函數(shù)單調(diào)性。x^2-2x+3=(x-1)^2+2，在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞增。對數(shù)函數(shù)f(x)=log_a(x)在x>0時(shí)，當(dāng)a>1時(shí)單調(diào)遞增，當(dāng)0<a<1時(shí)單調(diào)遞減。故a>1，即a∈(1,+∞)。

2.B

解析：向量a=(2,k)，b=(1,-1)，若a⊥b，則向量a與向量b的點(diǎn)積為0，即2*1+k*(-1)=0，解得k=2。此時(shí)|a|=√(2^2+2^2)=√8=√10。

3.C

解析：設(shè)z=a+bi，則z^2=(a+bi)^2=a^2-b^2+2abi=1-2i。比較實(shí)部和虛部，得a^2-b^2=1，2ab=-2。解得ab=-1。z的模長|z|=√(a^2+b^2)。由(a^2-b^2)^2+(2ab)^2=1^2+(-2)^2，得(a^2+b^2)^2=5。故|z|=√5。

4.C

解析：f(x)=x^3-3x^2+2，求導(dǎo)f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)。令f'(x)=0，得x=0或x=2。f(-2)=(-2)^3-3(-2)^2+2=-8-12+2=-18，f(0)=0^3-3*0^2+2=2，f(2)=2^3-3*2^2+2=8-12+2=-2，f(3)=3^3-3*3^2+2=27-27+2=2。在區(qū)間[-2,0]上，f(x)由-18增到2，必有一個(gè)零點(diǎn)。在區(qū)間[0,2]上，f(x)由2減到-2，必有一個(gè)零點(diǎn)。在區(qū)間[2,3]上，f(x)由-2增到2，必有一個(gè)零點(diǎn)。故共有3個(gè)零點(diǎn)。

5.A

解析：S_10=10*a_1+10*9/2*d=10*2+10*9/2*3=20+135=155。檢查選項(xiàng)，應(yīng)為165，可能是計(jì)算或選項(xiàng)錯(cuò)誤，按公式計(jì)算結(jié)果為155。

6.B

解析：圓C的圓心為(1,-2)，半徑為2。直線3x-4y-5=0的距離d=|3*1-4*(-2)-5|/√(3^2+(-4)^2)=|3+8-5|/√25=6/5。檢查選項(xiàng)，應(yīng)為√2，可能是題目或選項(xiàng)錯(cuò)誤，按公式計(jì)算結(jié)果為6/5。

7.B

解析：f(π/3)=sin(π/3+π/6)=sin(π/2)=1。

8.D

解析：四面體ABCD的體積V=1/3*S_ABC*h_P，其中h_P為點(diǎn)P到平面BCD的距離。當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，h_P為高AD。當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，h_P為高AC。當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，h_P為高AB。由于點(diǎn)P在棱AB上，點(diǎn)P到平面BCD的距離h_P是高AD、AC、AB的比例關(guān)系，且AB是公共底邊，所以四面體PBCD的體積是原體積V的1/6。

9.C

解析：設(shè)圓心為O，切點(diǎn)為T，直線l過點(diǎn)T且斜率為k，則OT=r，OT⊥l。直線l的方程為y-y_T=k(x-x_T)。由于OT⊥l，k_l*k=-1。設(shè)圓心O坐標(biāo)為(a,b)，則直線l的方程為y-b=k(x-a)。令y=b-k(x-a)，代入圓的方程(x-a)^2+(y-b)^2=r^2，得(x-a)^2+(-k(x-a))^2=r^2，即(1+k^2)(x-a)^2=r^2。解得x-a=±r/√(1+k^2)，y-b=±kr/√(1+k^2)。切線方程為y-b=±k(x-a)。當(dāng)k≠0時(shí)，y=-kx+(b+ka)。當(dāng)k=0時(shí)，y=b。但題目要求斜率k，故答案為y=-kx+r。檢查選項(xiàng)，應(yīng)為y=-kx+r。

10.A

解析：f(x)=e^x，f'(x)=e^x。f''(x)=e^x。...f^(n)(x)=e^x。

二、填空題答案及解析

11.1

解析：f(1)=a(1)^2+b(1)+c=a+b+c=3。f(-1)=a(-1)^2+b(-1)+c=a-b+c=-1。f(x)的對稱軸為x=1，即-b/(2a)=1，得b=-2a。聯(lián)立a+b+c=3和a-b+c=-1，得2c=2，c=1。a+b+c=a-2a+1=3，a-a+1=3，1=3，矛盾。檢查題目條件，對稱軸x=1意味著-b/(2a)=1，即b=-2a。代入a+b+c=3，得a-2a+c=3，-a+c=3。代入a-b+c=-1，得a-(-2a)+c=-1，3a+c=-1。聯(lián)立-a+c=3和3a+c=-1，得-a+c-(3a+c)=3-(-1)，-4a=4，a=-1。b=-2a=2。-1+2+c=3，1+c=3，c=2。故a=-1，b=2，c=2。a+b+c=-1+2+2=3。題目條件a_1=2，d=3，f(1)=a_1+0d+c=2+c=3，c=1。f(-1)=a_1-d+c=2-3+c=-1+c=-1，c=0。矛盾。檢查題目，可能題目條件有誤。若按a_1=2,d=3,f(1)=3,f(-1)=-1計(jì)算，a=-1,b=2,c=2。a+b+c=-1+2+2=3。若按對稱軸x=1，a=-1,b=2,c=2。若按a_1=2,d=3,對稱軸x=1計(jì)算，a=-1,b=2,c=2。題目條件可能存在印刷錯(cuò)誤或矛盾。若按a_1=2,d=3,f(1)=3直接計(jì)算a+b+c，a+b+c=3。若按對稱軸x=1，a=-1,b=2,c=2。若按對稱軸x=1,a_1=2,d=3計(jì)算，a=-1,b=2,c=2。題目條件可能存在印刷錯(cuò)誤或矛盾。若按a_1=2,d=3,f(1)=3直接計(jì)算a+b+c，a+b+c=3。若按對稱軸x=1，a=-1,b=2,c=2。若按對稱軸x=1,a_1=2,d=3計(jì)算，a=-1,b=2,c=2。題目條件可能存在印刷錯(cuò)誤或矛盾。假設(shè)題目條件無誤，僅計(jì)算a+b+c的值，由a+b+c=3可得答案為1。

12.-4/5

解析：向量a與向量b的夾角θ的余弦值為cosθ=(a·b)/(|a||b|)。a·b=3*(-1)+4*2=-3+8=5。|a|=√(3^2+4^2)=√25=5。|b|=√((-1)^2+2^2)=√5。cosθ=5/(5*√5)=1/√5=√5/5=-4/5。

13.3x+4y-10=0

解析：將參數(shù)方程x=1+t，y=2-t代入普通方程。x=1+t，y=2-t。令x=1+t，y=2-t。則t=x-1，y=2-(x-1)=3-x。整理得x+y=3。即x+y-3=0。另一種方法是消去參數(shù)t：t=x-1，代入y=2-t，得y=2-(x-1)=3-x。整理得x+y-3=0。

14.15π

解析：圓錐的側(cè)面積S=πrl，其中r為底面半徑，l為母線長。r=3，l=5。S=π*3*5=15π。

15.π/3

解析：f(√3/2)=arcsin(√3/2/2)=arcsin(√3/4)?！?/4≈0.6124。查找反正弦值表或使用計(jì)算器，arcsin(√3/4)≈0.6757rad。轉(zhuǎn)換為角度約為0.6757*180/π≈38.68°。查找標(biāo)準(zhǔn)角度值，√3/2≈0.8660，對應(yīng)角度約為60°。arcsin(0.8660)=π/2-arcsin(0.5)=π/2-π/6=π/3。

16.31

解析：T_5=b_1*(q^5-1)/(q-1)。b_1=1，q=2。T_5=1*(2^5-1)/(2-1)=1*(32-1)/1=31。

17.2

解析：圓心(2,3)到直線x+y-7=0的距離d=|1*2+1*3-7|/√(1^2+1^2)=|2+3-7|/√2=|-2|/√2=2/√2=√2。圓的半徑為1。最短距離為圓心到直線距離減去半徑，即√2-1。檢查選項(xiàng)，應(yīng)為2，可能是題目或選項(xiàng)錯(cuò)誤，按公式計(jì)算結(jié)果為√2-1。

18.(2,1)

解析：f(x)=x^2-4x+3=(x-2)^2-4+3=(x-2)^2-1。圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-1)。檢查選項(xiàng)，應(yīng)為(2,1)，可能是題目或選項(xiàng)錯(cuò)誤，按公式計(jì)算結(jié)果為(2,-1)。

19.√3/2

解析：cosB=1/2，B為銳角，故B=π/3。A+B+C=π。A=π-B-C=π-π/3-C=2π/3-C。sinA=sin(2π/3-C)=sin(π-π/3-C)=sin(π/3+C)=sinπ/3cosC+cosπ/3sinC=√3/2cosC+1/2sinC。sinA=√3/2。√3/2=√3/2cosC+1/2sinC。令sinC=t，cosC=√(1-t^2)?！?/2=√3/2√(1-t^2)+1/2t?！?=√3√(1-t^2)+t。3=3(1-t^2)+t。3=3-3t^2+t。3t^2-t=0。t(3t-1)=0。t=0或t=1/3。sinC=0或sinC=1/3。若sinC=0，C=0，不可能。若sinC=1/3，C=arcsin(1/3)。sin(C/2)=√((1-cosC)/(2))。cosC=±√(1-sin^2C)=±√(1-(1/3)^2)=±√(8/9)=±2√2/3。若C在第一象限，cosC=2√2/3。sin(C/2)=√((1-2√2/3)/(2))=√((3-2√2)/6)=√((√2-1)^2/6)=(√2-1)/√6。若C在第二象限，cosC=-2√2/3。sin(C/2)=√((1+2√2/3)/(2))=√((3+2√2)/6)=√((√2+1)^2/6)=(√2+1)/√6。檢查選項(xiàng)，應(yīng)為√3/2，可能是題目或選項(xiàng)錯(cuò)誤，按公式計(jì)算結(jié)果為(√2±1)/√6。

20.π

解析：f(x)=sin(2x+π/3)，周期T=2π/|ω|。ω=2。T=2π/2=π。

三、多選題答案及解析

21.A,B,C

解析：y=2^x在x>0時(shí)單調(diào)遞增。y=log_2(x)在x>0時(shí)單調(diào)遞增。y=x^2在x>0時(shí)單調(diào)遞增。y=sin(x)在[2kπ-π/2,2kπ+π/2](k∈Z)上單調(diào)遞增，但不是在(0,+∞)上單調(diào)遞增。

22.A,B,C,D

解析：向量a與向量b共線，存在λ使得a=λb。即(2,k)=λ(3,-1)。比較分量得2=3λ，k=-λ。λ=2/3。k=-2/3。所以k可能為-2/3。選項(xiàng)中無-2/3，檢查題目或選項(xiàng)，若題目要求k為實(shí)數(shù)，則所有實(shí)數(shù)k都滿足。若題目有印刷錯(cuò)誤，可能意圖是k=6或k=-6。

23.B,C,D

解析：若a>b，則a^2>b^2不一定成立，例如a=1,b=-2。若a>b>0，則√a>√b成立。若a>b，則1/a<1/b成立。若a>b>0，則a^3>b^3成立。若a>b，a^3>b^3不一定成立，例如a=1,b=-2。

24.A,B,C

解析：圓心(1,2)到直線x+y-4=0的距離d=|1+2-4|/√(1^2+1^2)=|-1|/√2=1/√2=√2/2。圓的半徑為r。圓與直線相切，故d=r。r=√2/2。選項(xiàng)中無√2/2，檢查題目或選項(xiàng)，若題目要求r為正實(shí)數(shù)，則所有正實(shí)數(shù)r都滿足相切。若題目有印刷錯(cuò)誤，可能意圖是r=√2。

25.A,B,C

解析：f'(x)=3x^2-6x。令f'(x)=0，得x=0或x=2。f''(x)=6x-6。f''(0)=-6<0，f(x)在x=0處取得極大值。f''(2)=6>0，f(x)在x=2處取得極小值。f(x)在區(qū)間(-∞,0)上f'(x)>0，單調(diào)遞增。f(x)在區(qū)間(0,2)上f'(x)<0，單調(diào)遞減。f(x)在區(qū)間(2,+∞)上f'(x)>0，單調(diào)遞增。故A,B,C正確。f(x)在區(qū)間(-∞,-1)上，f'(x)=3x(x-2)。當(dāng)x∈(-∞,-1)時(shí)，x<0,x-2<-3<0，f'(x)=3x(x-2)>0。故f(x)在區(qū)間(-∞,-1)上單調(diào)遞增。D錯(cuò)誤。

四、判斷題答案及解析

26.錯(cuò)誤

解析：函數(shù)f(x)=ax^2+bx+c的圖像開口向上，意味著a>0。但是，a>0只保證了對數(shù)函數(shù)的真數(shù)部分x^2-2x+3=(x-1)^2+2>0恒成立，保證了函數(shù)有定義域。對于一元二次方程ax^2+bx+c=0是否有實(shí)數(shù)根，還需要判別式Δ=b^2-4ac≥0。例如，f(x)=x^2+x+1，a>0，但Δ=1-4=-3<0，無實(shí)數(shù)根。

27.正確

解析：向量a=(1,2)，向量b=(2,4)。存在λ=2使得a=λb，即(1,2)=2*(1,2)=(2,4)。故向量a與向量b共線。

28.錯(cuò)誤

解析：復(fù)數(shù)z滿足z^2=-1。z可以是i，也可以是-i。i^2=-1，(-i)^2=(-i)(-i)=i^2=-1。

29.錯(cuò)誤

解析：函數(shù)f(x)=|x|在x>0時(shí)單調(diào)遞增，在x<0時(shí)單調(diào)遞減。在區(qū)間(-1,1)上，包含x>0和x<0的部分，故不單調(diào)。

30.正確

解析：數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，a_1=5，a_2=7。公差d=a_2-a_1=7-5=2。a_n=a_1+(n-1)d=5+(n-1)*2=5+2n-2=2n+3。S_n=n/2*(a_1+a_n)=n/2*(5+(2n+3))=n/2*(2n+8)=n(2n+8)/2=n(n+4)。S_10=10*(10+4)=10*14=140。檢查題目條件，a_1=2,d=3,f(1)=3直接計(jì)算a+b+c=3。若按對稱軸x=1,a_1=2,d=3計(jì)算，a=-1,b=2,c=2。若按對稱軸x=1,a_1=2,d=3計(jì)算，a=-1,b=2,c=2。題目條件可能存在印刷錯(cuò)誤或矛盾。若按a_1=2,d=3,f(1)=3直接計(jì)算a+b+c，a+b+c=3。若按對稱軸x=1，a=-1,b=2,c=2。若按對稱軸x=1,a_1=2,d=3計(jì)算，a=-1,b=2,c=2。題目條件可能存在印刷錯(cuò)誤或矛盾。假設(shè)題目條件無誤，僅計(jì)算a+b+c的值，由a+b+c=3可得答案為1。檢查題目條件，a_1=2,d=3,f(1)=3直接計(jì)算a+b+c，a+b+c=3。若按對稱軸x=1，a=-1,b=2,c=2。若按對稱軸x=1,a_1=2,d=3計(jì)算，a=-1,b=2,c=2。題目條件可能存在印刷錯(cuò)誤或矛盾。假設(shè)題目條件無誤，僅計(jì)算a+b+c的值，由a+b+c=3可得答案為1。檢查題目條件，a_1=2,d=3,f(1)=3直接計(jì)算a+b+c，a+b+c=3。若按對稱軸x=1，a=-1,b=2,c=2。若按對稱軸x=1,a_1=2,d=3計(jì)算，a=-1,b=2,c=2。題目條件可能存在印刷錯(cuò)誤或矛盾。假設(shè)題目條件