第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)廣東省深圳市寶安區(qū)寶安中學(xué)2025-2026學(xué)年上學(xué)期九年級(jí)數(shù)學(xué)第四次月考試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題3分，共24分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.榫卯是在兩個(gè)木構(gòu)件上所采用的一種凹凸結(jié)合的連接方式．凸出部分叫榫（或榫頭），凹進(jìn)部分叫卯（或榫眼、榫槽），榫和卯咬合，起到連接作用，如圖是某個(gè)部件“榫”的實(shí)物圖，它的俯視圖是（）

A. B. C. D.2.將方程配方后，原方程可變形為（

）A. B. C. D.3.假期同學(xué)們?nèi)埓鬆數(shù)啮桇~(yú)塘參觀，小剛同學(xué)問(wèn)張大爺“您的魚(yú)塘里大約有多少尾鰱魚(yú)??？”張大爺笑著說(shuō)：“前一段時(shí)間我往魚(yú)塘放入150尾鯉魚(yú)，后來(lái)我打撈幾次發(fā)現(xiàn)，每次打撈的魚(yú)中鯉魚(yú)的頻率穩(wěn)定在左右，你自己算算魚(yú)塘原來(lái)有多少尾鰱魚(yú)吧”，聰明的你幫小剛算一算張大爺?shù)聂~(yú)塘大約有多少尾鰱魚(yú)（

）A.7350 B.7500 C.7650 D.78004.一段加固后的護(hù)欄如圖所示,該護(hù)欄豎直部分是由等距(任意相鄰兩根木條之間的距離相等)且平行的木條構(gòu)成.已知AC=50cm,則BC的長(zhǎng)度為()

A.20cm B.25cm C.30cm D.cm5.下面說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A.平面內(nèi)，經(jīng)過(guò)平行四邊形對(duì)角線交點(diǎn)的直線，一定能平分它的面積

B.若點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn)，，，則

C.順次連接對(duì)角線互相垂直的四邊形各邊中點(diǎn)所組成的圖形是矩形

D.點(diǎn)，都在反比例函數(shù)圖象上，且，則6.如圖，點(diǎn)E在矩形邊上，且，與相交于點(diǎn)F．已知，，則的長(zhǎng)為（

）

A.2 B. C. D.7.某商場(chǎng)在銷售一種糖果時(shí)發(fā)現(xiàn)，如果以元的單價(jià)銷售，則每天可售出，如果銷售單價(jià)每增加元，則每天銷售量會(huì)減少．該商場(chǎng)為使每天的銷售額達(dá)到元，銷售單價(jià)應(yīng)為多少？設(shè)銷售單價(jià)應(yīng)為元，依題意可列方程為（

）A. B.

C. D.8.如圖，在平行四邊形中，，點(diǎn)E是上的點(diǎn)且，延長(zhǎng)至點(diǎn)F使，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)H交于點(diǎn)，則的長(zhǎng)為（

）

A.2 B.3 C. D.二、填空題：本題共5小題，每小題3分，共15分。9.若x：y=2：3，y：z=2：5，那么x：y：z=

.10.已知，分別是方程的兩根，則的值為

．11.在《數(shù)書(shū)九章》（宋·秦九韶）中記載了一個(gè)測(cè)量塔高的問(wèn)題：如圖所示，表示塔的高度，表示竹竿頂端到地面的高度，表示人眼到地面的高度，在同一平面內(nèi)，點(diǎn)A、C、E在一條水平直線上．已知米，米，米，米，人從點(diǎn)F遠(yuǎn)眺塔頂B，視線恰好經(jīng)過(guò)竹竿的頂端D，可求出塔的高度．根據(jù)以上信息，塔的高度為

米．

12.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將等腰沿腰翻折至，與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)C．若，C為的中點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為

．

13.如圖，在中，，平分，連接并延長(zhǎng)至點(diǎn)E，使得，連接，恰好有．若，則

．

三、解答題：本題共7小題，共61分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。14.(1)解方程：

(2)已知：的兩鄰邊，的長(zhǎng)是關(guān)于x的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．①當(dāng)m為何值時(shí)，是菱形？②若的長(zhǎng)為3，求的周長(zhǎng)．15.(本小題10分)某中學(xué)計(jì)劃組織學(xué)生外出開(kāi)展研學(xué)活動(dòng)，在選擇研學(xué)活動(dòng)地點(diǎn)時(shí)，隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，要求被調(diào)查的學(xué)生從A、B、C、D、E五個(gè)研學(xué)活動(dòng)地點(diǎn)中選擇自己最喜歡的一個(gè)，根據(jù)調(diào)查結(jié)果，編制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖．根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖提供的信息，解答下列問(wèn)題：

(1)在這次調(diào)查中一共抽取了_

_名學(xué)生；(2)請(qǐng)把圖1中缺失的數(shù)據(jù)、圖形補(bǔ)充完整；圖2中研學(xué)活動(dòng)地點(diǎn)C所在扇形的圓心角的度數(shù)是__；(3)在選擇E地的5人中，有2人來(lái)自九年級(jí)一班，3人來(lái)自九年級(jí)二班，現(xiàn)在要從這5人中任意選2人做研學(xué)規(guī)劃分享，求選的兩人恰好來(lái)自同一個(gè)班的概率．16.(本小題10分)如圖，在正方形網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C都在格點(diǎn)上，（要求僅用無(wú)刻度的直尺，不要求寫(xiě)畫(huà)法，保留必要的作圖痕跡）

(1)在圖1中，以C為位似中心，位似比為；請(qǐng)畫(huà)出放大后的．(2)在圖2中，線段上作點(diǎn)M，利用格點(diǎn)作圖使得．(3)在圖3中，利用格點(diǎn)在邊上作－個(gè)點(diǎn)D，使得．17.(本小題7分)園林部門計(jì)劃在某公園建一個(gè)長(zhǎng)方形花圃，花圃的一面靠墻（墻足夠長(zhǎng)），另外三邊用木欄圍成，如圖所示，建成后所用木欄總長(zhǎng)米，在圖總面積不變的情況下，園林部門在花圃內(nèi)部設(shè)計(jì)了一個(gè)正方形的網(wǎng)紅打卡點(diǎn)和兩條寬度相等的小路如圖，小路的寬度是正方形網(wǎng)紅打卡點(diǎn)邊長(zhǎng)的，其余部分種植花卉，花卉種植的面積為平方米．

(1)求長(zhǎng)方形花圃的長(zhǎng)和寬；(2)求出網(wǎng)紅打卡點(diǎn)的面積．18.(本小題7分)尺規(guī)作圖起源于古希臘的數(shù)學(xué)課題，指的是只用沒(méi)有刻度的直尺和圓規(guī)作圖，并且只允許使用有限次，來(lái)解決不同的平面幾何作圖問(wèn)題．?dāng)?shù)學(xué)課堂上，黃老師給同學(xué)們呈現(xiàn)了這樣一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題：如圖，在矩形紙片中，點(diǎn)E在邊的中點(diǎn)，將矩形紙片折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)E重合．

(1)請(qǐng)?jiān)趫D中作出折痕，交邊于點(diǎn)F，交邊于點(diǎn)G，連接，并在矩形紙片內(nèi)用尺規(guī)作出一點(diǎn)M，使得四邊形是菱形，請(qǐng)給出證明；（尺規(guī)作圖，不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）(2)在（1）的條件下，若折痕交于點(diǎn)H，連接，若長(zhǎng)為6，為，直接寫(xiě)出的長(zhǎng)．19.(本小題10分)希臘數(shù)學(xué)家帕普斯借助反比例函數(shù)的圖象成功將銳角三等分，作法如下．1．如圖1，建立平面直角坐標(biāo)系，將已知的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的一邊與x軸正方向重合；2．繪制函數(shù)的圖象，圖象與已知角的另一邊交于點(diǎn)P；3．以P為圓心，以為半徑作弧，交函數(shù)的圖象于點(diǎn)R；4．分別過(guò)點(diǎn)P和R作x軸和y軸的平行線，兩線交于點(diǎn)M；5．連接，得到，這時(shí)．

(1)【探究】小明在探究該方法時(shí)發(fā)現(xiàn)，先以P，R，M為頂點(diǎn)做矩形，再證明矩形的另一頂點(diǎn)Q與O，M共線后，即可推導(dǎo)出．請(qǐng)你根據(jù)以上思路幫助小明完成證明過(guò)程．證明：如圖1，分別過(guò)點(diǎn)P和R作y軸和x軸的平行線，兩線交于點(diǎn)Q，，，，∴四邊形為矩形．設(shè)點(diǎn)，，則，Q（

），于是直線的解析式為

，，點(diǎn)Q在直線上；連接交于點(diǎn)N，則N為和的中點(diǎn)，，，又，，

，．(2)【拓展】小明進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)也可以將任意銳角三等分，請(qǐng)證明．(3)【應(yīng)用】如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的一邊與x軸正方向重合，另一邊與函數(shù)交于點(diǎn)A，以A為圓心，為半徑作弧，交函數(shù)圖象于點(diǎn)C，點(diǎn)P為線段中點(diǎn)，連接，其中，，那么

．20.(本小題10分)友好圖形的定義如下：兩個(gè)完全重合放置的圖形，固定一個(gè)頂點(diǎn)，將其中一個(gè)圖形繞這個(gè)頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，這樣的圖形稱為友好圖形，下面我們來(lái)探究友好圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．已知矩形，將矩形繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到矩形，，．

(1)【嘗試發(fā)現(xiàn)】如圖1，連接，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，探究

(2)【類比探究】如圖2，在矩形繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，使落在矩形對(duì)角線上，矩形對(duì)角線與相交于點(diǎn)，交于K，延長(zhǎng)交于點(diǎn)H，求的長(zhǎng)．(3)【聯(lián)系拓廣】將友好矩形中的繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到的過(guò)程中，當(dāng)構(gòu)成直角三角形時(shí)，求出的長(zhǎng)．

1.【答案】C

2.【答案】A

3.【答案】A

4.【答案】C

5.【答案】D

6.【答案】B

7.【答案】C

8.【答案】A

9.【答案】4：6：15

10.【答案】1

11.【答案】17.6//

12.【答案】

13.【答案】

14.【答案】【小題1】解：或，，；【小題2】解：①是菱形，，即方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，，即，解得，（不符合題意，舍去），當(dāng)時(shí)，是菱形；②由題可得，是方程的一個(gè)實(shí)數(shù)根，，解得，則原方程為，解得，，，的周長(zhǎng)為：．

15.【答案】【小題1】100【小題2】解：根據(jù)題意，得喜歡A地的人數(shù)為：（人）補(bǔ)全圖形如下：

C地點(diǎn)所占圓心角為：，故答案為：144．【小題3】解：設(shè)九年級(jí)一班的兩個(gè)人分別，，來(lái)自九年級(jí)二班3人分別，，，根據(jù)題意，畫(huà)樹(shù)狀圖如下：共有20種等可能的結(jié)果，來(lái)自同一個(gè)班的有8種，故所選兩位同學(xué)恰好來(lái)自同一個(gè)班概率為．故來(lái)自同一個(gè)班的概率為．

16.【答案】【小題1】解：如圖，即為所求作的三角形；；【小題2】解：如圖，點(diǎn)M就是所求的點(diǎn)；；【小題3】解：如圖，點(diǎn)D就是所求的點(diǎn)．．

17.【答案】【小題1】設(shè)米，則米，根據(jù)題意，得：，解得：，∴米，米，答：長(zhǎng)方形花圃的長(zhǎng)為米，寬為米；【小題2】設(shè)網(wǎng)紅打卡點(diǎn)的邊長(zhǎng)為米，根據(jù)題意，得：，解得：，(舍去)，∴網(wǎng)紅打卡點(diǎn)的面積為(平方米)，答：網(wǎng)紅打卡點(diǎn)的面積為平方米．

18.【答案】【小題1】解：如圖，直線為折痕，點(diǎn)為所求作；證明如下：由題意可知，點(diǎn)、關(guān)于直線對(duì)稱，垂直平分，，，在射線上取點(diǎn)，使得，四邊形是平行四邊形，又，四邊形是菱形；【小題2】解：四邊形是矩形，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，，四邊形是菱形，，，，，，，

19.【答案】【小題1】

??????????????【小題2】證明：如圖2，分別過(guò)點(diǎn)P和R作y軸和x軸的平行線，兩線交于點(diǎn)Q，，，，∴四邊形為矩形．設(shè)點(diǎn)，，則，，設(shè)直線的解析式為，則，∴，∴直線的解析式為，，點(diǎn)Q在直線上；連接交于點(diǎn)N，則N為和的中點(diǎn)，，，