試卷第試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)2025年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)真題2套及答案（北京卷+上海卷）2025年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（北京卷及答案）數(shù)學(xué)本試卷共12頁(yè)，150分.考試時(shí)長(zhǎng)120分鐘.考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．1．集合，則（

）A． B． C． D．2．已知復(fù)數(shù)z滿足，則（

）A． B． C．4 D．83．雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．4．為得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)的圖象上的所有點(diǎn)（

）A．橫坐標(biāo)變成原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變 B．橫坐標(biāo)變成原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變C．縱坐標(biāo)變成原來(lái)的倍，橫坐標(biāo)不變 D．縱坐標(biāo)變成原來(lái)的3倍，橫坐標(biāo)不變5．已知是公差不為0的等差數(shù)列，，若成等比數(shù)列，則（

）A． B． C．16 D．186．已知，則（

）A． B．C． D．7．已知函數(shù)的定義域?yàn)镈，則“函數(shù)的值域?yàn)椤笔恰皩?duì)任意，存在，使得”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件8．設(shè)函數(shù)，若恒成立，且在上存在零點(diǎn)，則的最小值為（

）A．8 B．6 C．4 D．39．在一定條件下，某人工智能大語(yǔ)言模型訓(xùn)練N個(gè)單位的數(shù)據(jù)量所需要時(shí)間（單位：小時(shí)），其中k為常數(shù)．在此條件下，已知訓(xùn)練數(shù)據(jù)量N從個(gè)單位增加到個(gè)單位時(shí)，訓(xùn)練時(shí)間增加20小時(shí)；當(dāng)訓(xùn)練數(shù)據(jù)量N從個(gè)單位增加到個(gè)單位時(shí)，訓(xùn)練時(shí)間增加（單位：小時(shí)）（

）A．2 B．4 C．20 D．4010．已知平面直角坐標(biāo)系中，，，設(shè)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11．拋物線的頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為3，則．12．已知，則；．13．已知，且，，寫出滿足條件的一組，．14．某科技興趣小組通過(guò)3D打印機(jī)的一個(gè)零件可以抽象為如圖所示的多面體，其中ABCDEF是一個(gè)平行多邊形，平面平面ABC，平面平面ABC，，，若，則該多面體的體積為．15．關(guān)于定義域?yàn)镽的函數(shù)，以下說(shuō)法正確的有．①存在在R上單調(diào)遞增的函數(shù)使得恒成立；②存在在R上單調(diào)遞減的函數(shù)使得恒成立；③使得恒成立的函數(shù)存在且有無(wú)窮多個(gè)；④使得恒成立的函數(shù)存在且有無(wú)窮多個(gè)．三、解答題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程.16．在中，．(1)求c；(2)在以下三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使得存在，求BC的高．①；②；③面積為．17．四棱錐中，與為等腰直角三角形，，E為BC的中點(diǎn)．(1)F為的中點(diǎn)，G為PE的中點(diǎn)，證明：面PAB；(2)若面ABCD，，求AB與面PCD所成角的正弦值．18．有一道選擇題考查了一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，甲、乙兩校各隨機(jī)抽取100人，甲校有80人答對(duì)，乙校有75人答對(duì)，用頻率估計(jì)概率．(1)從甲校隨機(jī)抽取1人，求這個(gè)人做對(duì)該題目的概率．(2)從甲、乙兩校各隨機(jī)抽取1人，設(shè)X為做對(duì)的人數(shù)，求恰有1人做對(duì)的概率以及X的數(shù)學(xué)期望．(3)若甲校同學(xué)掌握這個(gè)知識(shí)點(diǎn)則有的概率做對(duì)該題目，乙校同學(xué)掌握這個(gè)知識(shí)點(diǎn)則有的概率做對(duì)該題目，未掌握該知識(shí)點(diǎn)的同學(xué)都是從四個(gè)選項(xiàng)里面隨機(jī)選擇一個(gè)，設(shè)甲校學(xué)生掌握該知識(shí)點(diǎn)的概率為，乙校學(xué)生掌握該知識(shí)點(diǎn)的概率為，試比較與的大小（結(jié)論不要求證明）19．已知的離心率為，橢圓上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離之和為4，(1)求橢圓方程；(2)設(shè)O為原點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，直線與直線，交于A，B．與的面積為，比較與的大?。?0．函數(shù)的定義域?yàn)?，為處的切線．(1)的最大值；(2)，除點(diǎn)A外，曲線均在上方；(3)若時(shí)，直線過(guò)A且與垂直，，分別于x軸的交點(diǎn)為與，求的取值范圍．21．，從M中選出n個(gè)有序數(shù)對(duì)構(gòu)成一列：．相鄰兩項(xiàng)滿足：或，稱為k列．(1)若k列的第一項(xiàng)為，求第二項(xiàng)．(2)若為k列，且滿足i為奇數(shù)時(shí)，：i為偶數(shù)時(shí)，；判斷：與能否同時(shí)在中，并說(shuō)明；(3)證明：M中所有元素都不構(gòu)成k列．答案第答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)1．D【分析】先求出集合，再根據(jù)集合的交集運(yùn)算即可解出.【詳解】因?yàn)?，所以，故選：D.2．B【分析】先求出復(fù)數(shù)，再根據(jù)復(fù)數(shù)模的公式即可求出．【詳解】由可得，，所以，故選：B.3．B【分析】先將雙曲線方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程，求出，即可求出離心率．【詳解】由得，，所以，即，所以，故選：B．4．A【分析】由，根據(jù)平移法則即可解出．【詳解】因?yàn)?，所以將函?shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變成原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，即可得到函數(shù)的圖象，故選：A.5．C【分析】由等比中項(xiàng)的性質(zhì)結(jié)合等差數(shù)列的基本量運(yùn)算即可求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，且，所以，即，解得或（舍去），所以.故選：C.6．C【分析】由基本不等式結(jié)合特例即可判斷.【詳解】對(duì)于A,當(dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于BD，取，此時(shí)，，故BD錯(cuò)誤；對(duì)于C，由基本不等式可得，故C正確.故選：C.7．A【分析】由函數(shù)值域的概念結(jié)合特例，再根據(jù)充分條件、必要條件的概念即可求解.【詳解】若函數(shù)的值域?yàn)?，則對(duì)任意，一定存在，使得，取，則，充分性成立；取，，則對(duì)任意，一定存在，使得，取，則，但此時(shí)函數(shù)的值域?yàn)?，必要性不成立；所以“函?shù)的值域?yàn)椤笔恰皩?duì)任意，存在，使得”的充分不必要條件.故選：A.8．C【分析】由輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，再由正弦函數(shù)的最小正周期與零點(diǎn)即可求解.【詳解】函數(shù)，設(shè)函數(shù)的最小正周期為T，由可得，所以，即；又函數(shù)在上存在零點(diǎn)，且當(dāng)時(shí)，，所以，即；綜上，的最小值為4.故選：C.9．B【分析】由題給條件列出不同訓(xùn)練數(shù)據(jù)量時(shí)所需的時(shí)間，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可求解.【詳解】設(shè)當(dāng)N取個(gè)單位、個(gè)單位、個(gè)單位時(shí)所需時(shí)間分別為,由題意，，，，因?yàn)?，所以，所以，所以?dāng)訓(xùn)練數(shù)據(jù)量N從個(gè)單位增加到個(gè)單位時(shí)，訓(xùn)練時(shí)間增加4小時(shí).故選：B.10．D【分析】先根據(jù)，求出，進(jìn)而可以用向量表示出，即可解出．【詳解】因?yàn)椋?，由平方可得，，所以．，，所以，，又，即，所以，即，故選：D.11．【分析】根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)可求的值.【詳解】因?yàn)閽佄锞€的頂點(diǎn)到焦距的距離為，故，故，故答案為：.12．【分析】利用賦值法可求，利用換元法結(jié)合賦值法可求的值.【詳解】令，則，又，故，令，則，令，則，故故答案為：.13．（答案不唯一）（答案不唯一）【分析】根據(jù)角的三角函數(shù)的關(guān)系可得角的等量關(guān)系，從而可得滿足條件的一組解.【詳解】因?yàn)?，，所以的終邊關(guān)于軸，且不與軸重合，故且，即，故取可滿足題設(shè)要求；故答案為：，（答案不唯一）14．【分析】如圖，將一半的幾何體分割成直三棱柱和四棱錐后結(jié)合體積公式可求幾何體的體積.【詳解】先證明一個(gè)結(jié)論：如果平面平面，平面平面，平面，則.證明：設(shè)，，在平面取一點(diǎn)，，在平面內(nèi)過(guò)作直線，使得，作直線，使得，因?yàn)槠矫嫫矫?，，故，而，故，同理，而，?下面回歸問(wèn)題.連接，因?yàn)榍遥剩?，，而，故直角梯形與直角梯形全等，故，在直角梯形中，過(guò)作，垂足為，則四邊形為矩形，且為以為直角的等腰直角三角形，故，平面平面，平面平面，,平面，故平面，取的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，連接，則，同理可證平面，而平面，故平面平面，同理平面平面，而平面平面，故平面，故，故四邊形為平行四邊形，故.在平面中過(guò)作，交于，連接.則四邊形為平行四邊形，且，故，故四邊形為平行四邊形，而平面，故平面，故平面平面，而，故，故幾何體為直棱柱，而，故,因?yàn)椋势矫?，而平面，故平面平面，在平面中過(guò)作，垂足為，同理可證平面，而，故，故，由對(duì)稱性可得幾何體的體積為，故答案為：.15．②③【分析】利用反證法可判斷①④的正誤，構(gòu)造函數(shù)并驗(yàn)證后可判斷②③的正誤.【詳解】對(duì)于①，若存在上的增函數(shù)，滿足，則即，故時(shí)，，故，故即，矛盾，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，取，該函數(shù)為上的減函數(shù)且，故該函數(shù)符合，故②正確；對(duì)于③，取，此時(shí)，由可得有無(wú)窮多個(gè)，故③正確；對(duì)于④，若存在，使得，令，則，但，矛盾，故滿足的函數(shù)不存在，故④錯(cuò)誤.故答案為：②③16．(1)6(2)答案見(jiàn)解析【分析】（1）由平方關(guān)系、正弦定理即可求解；（2）若選①，可得都是鈍角，矛盾；若選②，由正弦定理、平方關(guān)系求得，，進(jìn)一步由求得高，并說(shuō)明此時(shí)三角形存在即可；若選③，首先根據(jù)三角形面積公式求得，再根據(jù)余弦定理可求得，由此可說(shuō)明三角形存在，且可由等面積法求解.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，由正弦定理有，解得；?）如圖所示，若存在，則設(shè)其邊上的高為，若選①，，因?yàn)椋?，因?yàn)椋@表明此時(shí)三角形有兩個(gè)鈍角，而這是不可能的，所以此時(shí)三角形不存在，故邊上的高也不存在；若選②，，由正弦定理有，解得，此時(shí)，，而，，，所以，可以唯一確定，所以此時(shí)也可以唯一確定，這表明此時(shí)三角形是存在的，且邊上的高；若選③，的面積是，則，解得，由余弦定理可得可以唯一確定，進(jìn)一步由余弦定理可得也可以唯一確定，即可以唯一確定，這表明此時(shí)三角形是存在的，且邊上的高滿足：，即.17．(1)證明過(guò)程見(jiàn)解析(2)【分析】（1）取PA的中點(diǎn)N，PB的中點(diǎn)M，連接FN、MN，只需證明即可；（2）建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求出直線AB的方向向量與面PCD的法向量，根據(jù)向量夾角公式即可求解.【詳解】（1）取PA的中點(diǎn)N，PB的中點(diǎn)M，連接FN、MN，與為等腰直角三角形不妨設(shè)，E、F分別為BC、PD的中點(diǎn)，，，，，∴四邊形FGMN為平行四邊形，，面PAB，面PAB，面PAB；（2）面ABCD，以A為原點(diǎn)，AC、AB、AP所在直線分別為x、y、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則設(shè)面PCD的一個(gè)法向量為取設(shè)AB與面PCD成的角為則即AB與平面PCD成角的正弦值為.18．(1)(2)，(3)【分析】（1）用頻率估計(jì)概率后可得從甲校隨機(jī)抽取1人做對(duì)該題目的概率；（2）利用獨(dú)立事件可求恰有1人做對(duì)的概率及的分布列，從而可求其期望；（3）根據(jù)題設(shè)可得關(guān)于的方程，求出其解后可得它們的大小關(guān)系.【詳解】（1）用頻率估計(jì)概率，從甲校隨機(jī)抽取1人，做對(duì)題目的概率為.（2）設(shè)為“從甲校抽取1人做對(duì)”，則，則，設(shè)為“從乙校抽取1人做對(duì)”，則，則，設(shè)為“恰有1人做對(duì)”，故，而可取，，，，故的分布列如下表：故.（3）設(shè)為“甲校掌握該知識(shí)的學(xué)生”，因?yàn)榧仔Ｕ莆者@個(gè)知識(shí)點(diǎn)則有的概率做對(duì)該題目，未掌握該知識(shí)點(diǎn)的同學(xué)都是從四個(gè)選項(xiàng)里面隨機(jī)選擇一個(gè)，故即，故，同理有，故，故.19．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)橢圓定義以及離心率可求出，再根據(jù)的關(guān)系求出，即可得到橢圓方程；（2）法一：聯(lián)立直線方程求出點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出，再根據(jù)，即可得出它們的大小關(guān)系.法二：利用直線的到角公式或者傾斜角之間的關(guān)系得到，再根據(jù)三角形的面積公式即可解出.【詳解】（1）由橢圓可知，，所以，又，所以，，故橢圓方程為；（2）聯(lián)立，消去得，，整理得，①，又，所以，，故①式可化簡(jiǎn)為，即，所以，所以直線與橢圓相切，為切點(diǎn).設(shè)，易知，當(dāng)時(shí)，由對(duì)稱性可知，．故設(shè)，易知，聯(lián)立，解得，聯(lián)立，解得，所以，，故．法二：不妨設(shè)，易知，當(dāng)時(shí)，由對(duì)稱性可知，．故設(shè)，聯(lián)立，解得，聯(lián)立，解得，則，，,又，所以，所以，，則，即，所以.20．(1)(2)證明見(jiàn)解析(3)【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，即可求出最大值；（2）求出直線的方程，再構(gòu)造函數(shù)，只需證明其最小值（或者下確界）大于零即可；（3）求出直線的方程，即可由題意得到的表示，從而用字母表示出，從而求出范圍.【詳解】（1）設(shè)，，由可得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以的最大值為.（2）因?yàn)?，所以直線的方程為，即，設(shè)，，由（1）可知，在上單調(diào)遞增，而，所以，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，且，而當(dāng)時(shí)，，所以總有，單調(diào)遞增故，從而命題得證；（3）由可設(shè)，又，所以，即，因?yàn)橹本€的方程為，易知，所以直線的方程為,，.所以,由（1）知,當(dāng)時(shí)，，所以,所以.21．(1)或(2)不能，理由見(jiàn)解析(3)證明過(guò)程見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)新定義即可得解；（2）假設(shè)與能同時(shí)在中，導(dǎo)出矛盾，從而得出與不能同時(shí)在中的結(jié)論；（3）假設(shè)全體元素構(gòu)成一個(gè)列，通過(guò)構(gòu)造導(dǎo)出矛盾，從而得到要證明的結(jié)論.【詳解】（1）根據(jù)題目定義可知，或，若第一項(xiàng)為，顯然或不符合題意（不在集合中），所以下一項(xiàng)是或；（2）假設(shè)二者同時(shí)出現(xiàn)在中，由于列取反序后仍是列，故可以不妨設(shè)在之前.顯然，在列中，相鄰兩項(xiàng)的橫縱坐標(biāo)之和的奇偶性總是相反的，所以從到必定要向下一項(xiàng)走奇數(shù)次.但又根據(jù)題目條件，這兩個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)均在中，所以從到必定要向下一項(xiàng)走偶數(shù)次.這導(dǎo)致矛盾，所以二者不能同時(shí)出現(xiàn)在中.（3）法1：若中的所有元素構(gòu)成列，考慮列中形如的項(xiàng)，這樣的項(xiàng)共有個(gè)，由題知其下一項(xiàng)為，共計(jì)16個(gè)，而，因?yàn)橹荒?由2來(lái)，3只能由7來(lái)，橫、縱坐標(biāo)不能同時(shí)相差4，這樣下一項(xiàng)只能有12個(gè)點(diǎn)，即對(duì)于16個(gè)，有12個(gè)與之相對(duì)應(yīng)，矛盾．綜上，M中所有元素都無(wú)法構(gòu)成列．法2：全體元素構(gòu)成一個(gè)列，則.設(shè)，.則和都包含個(gè)元素，且中元素的相鄰項(xiàng)必定在中.如果存在至少兩對(duì)相鄰的項(xiàng)屬于，那么屬于的項(xiàng)的數(shù)目一定多于屬于的項(xiàng)的數(shù)目，所以至多存在一對(duì)相鄰的項(xiàng)屬于.如果存在，則這對(duì)相鄰的項(xiàng)的序號(hào)必定形如和，否則將導(dǎo)致屬于的項(xiàng)的個(gè)數(shù)比屬于的項(xiàng)的個(gè)數(shù)多2，此時(shí).從而這個(gè)序列的前項(xiàng)中，第奇數(shù)項(xiàng)屬于，第偶數(shù)項(xiàng)屬于；這個(gè)序列的后項(xiàng)中，第奇數(shù)項(xiàng)屬于，第偶數(shù)項(xiàng)屬于.如果不存在相鄰的屬于的項(xiàng)，那么也可以看作上述表示在或的特殊情況.這意味著必定存在，使得.由于相鄰兩項(xiàng)的橫縱坐標(biāo)之和的奇偶性必定相反，故中橫縱坐標(biāo)之和為奇數(shù)的點(diǎn)和橫縱坐標(biāo)之和為偶數(shù)的點(diǎn)的數(shù)量一定分別是和（不一定對(duì)應(yīng)）.但容易驗(yàn)證，和都包含個(gè)橫縱坐標(biāo)之和為奇數(shù)的點(diǎn)和個(gè)橫縱坐標(biāo)之和為偶數(shù)的點(diǎn)，所以，得.從而有.這就得到.再設(shè)，.則同理有.這意味著.從而得到，但顯然它們是不同的集合，矛盾.所以全體元素不能構(gòu)成一個(gè)列.2025年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試上海數(shù)學(xué)試卷（考試時(shí)間120分鐘，滿分150分）一、填空題（本大題共12題，第1~6題每題4分，第7~12題每題5分，共54分?？忌鷳?yīng)在答題紙的相應(yīng)位置直接填寫結(jié)果）1．已知全集，集合，則_________．2．不等式的解集為_(kāi)________．3．己知等差數(shù)列的首項(xiàng)，公差，則該數(shù)列的前6項(xiàng)和為_(kāi)________．4．在二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，的系數(shù)為_(kāi)________．5．函數(shù)在上的值域?yàn)開(kāi)________．6．已知隨機(jī)變量X的分布為，則期望_________．7．如圖，在正四棱柱中，，則該正四棱柱的體積為_(kāi)________．8．設(shè)，則的最小值為_(kāi)________．9．4個(gè)家長(zhǎng)和2個(gè)兒童去爬山，6個(gè)人需要排成一條隊(duì)列，要求隊(duì)列的頭和尾均是家長(zhǎng)，則不同的排列個(gè)數(shù)有_________種．10．已知復(fù)數(shù)z滿足，則的最小值是_________．11．小申同學(xué)觀察發(fā)現(xiàn)，生活中有些時(shí)候影子可以完全投射在斜面上．某斜面上有兩根長(zhǎng)為1米的垂直于水平面放置的桿子，與斜面的接觸點(diǎn)分別為A、B，它們?cè)陉?yáng)光的照射下呈現(xiàn)出影子，陽(yáng)光可視為平行光：其中一根桿子的影子在水平面上，長(zhǎng)度為0.4米；另一根桿子的影子完全在斜面上，長(zhǎng)度為0.45米．則斜面的底角_________．（結(jié)果用角度制表示，精確到）12．已知，是平面內(nèi)三個(gè)不同的單位向量．若，則可的取值范圍是_______．二、選擇題（本大題共4題，第13、14題每題4分，第15、16題每題5分，共18分。每題有且僅有一個(gè)正確選項(xiàng)，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項(xiàng)的小方格涂黑。）13．己知事件A、B相互獨(dú)立，事件A發(fā)生的概率為，事件B發(fā)生的概率為，則事件發(fā)生的概率為（）A．B．C．D．014．設(shè)．下列各項(xiàng)中，能推出的一項(xiàng)是（）A．，且B．，且C．，且D．，且15．已知，C在上，則的面積（）A．有最大值，但沒(méi)有最小值B．沒(méi)有最大值，但有最小值C．既有最大值，也有最小值D．既沒(méi)有最大值，也沒(méi)有最小值16．設(shè)，數(shù)列，數(shù)列．設(shè)．若對(duì)任意，長(zhǎng)為、、的線段均能構(gòu)成三角形，則滿足條件的n有（）A．1個(gè)B．3個(gè)C．4個(gè)D．無(wú)窮三、解答題（