/福建省廈門(mén)市第十中學(xué)2025?2026學(xué)年高一上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是（

）A． B． C． D．3．“”是“是第一象限角”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．若一系列函數(shù)的解析式和值域相同，但定義域不相同，則稱(chēng)這些函數(shù)為“同值函數(shù)”.例如函數(shù)，與函數(shù)，即為“同值函數(shù)”，給出下面四個(gè)函數(shù)，其中能夠被用來(lái)構(gòu)造“同值函數(shù)”的是（

）A． B． C． D．5．已知且，則函數(shù)與函數(shù)的圖象可能是（

）A． B． C． D．6．若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．7．中華人民共和國(guó)國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)（GB11533-2011）中的《標(biāo)準(zhǔn)對(duì)數(shù)視力表》采用的是五分視力記錄方式（繆氏記錄法）：，其中為被測(cè)試眼睛的視力值，為該眼睛能分辨清楚的標(biāo)準(zhǔn)視力表最低一行“E”形視標(biāo)的筆畫(huà)寬度（單位：毫米），為被測(cè)試人到標(biāo)準(zhǔn)視力表的距離（單位：米），是與，無(wú)關(guān)的常量.由于場(chǎng)地大小受限，小華在距離標(biāo)準(zhǔn)視力表4米處檢測(cè)右眼的視力值，若此時(shí)，不考慮其他因素的影響，則小華右眼的視力值為（參考數(shù)據(jù)：）（

）A．4.8 B．4.9 C．5.0 D．5.18．已知函數(shù)，設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．二、多選題9．已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（

）A．為鈍角B．C．D．點(diǎn)在第二象限10．若且，則（

）A． B．C． D．11．已知，且，則（

）A．B．當(dāng)時(shí)，C．當(dāng)時(shí)，的取值范圍是D．當(dāng)，，時(shí)，三、填空題12．若函數(shù)是冪函數(shù)，且，則．13．已知，則．14．已知點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，且有最小值，則常數(shù)的取值范圍．四、解答題15．已知集合，．（1）若，，求；（2）若，，求正數(shù)的取值范圍．16．已知函數(shù)為奇函數(shù).（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）判斷的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；（3）若對(duì)任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.17．已知函數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值之和為.（1）求函數(shù)解析式，并求出關(guān)于的不等式的解集；（2）求函數(shù)，的值域，并求出取得最值時(shí)對(duì)應(yīng)的的值.18．2024年9月29日，渝昆高鐵正式開(kāi)通運(yùn)行，重慶到瀘州最快30分鐘，完成了川渝兩地旅客高鐵出行的最后一塊拼圖.現(xiàn)在已知列車(chē)的發(fā)車(chē)時(shí)間間隔t（單位：分鐘）滿(mǎn)足.經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研測(cè)算，列車(chē)載客量與發(fā)車(chē)時(shí)間間隔t相關(guān)，當(dāng)時(shí)列車(chē)為滿(mǎn)載狀態(tài)，載客量為720人；當(dāng)時(shí)，載客量會(huì)減少，減少的人數(shù)，（k為常數(shù)），且發(fā)車(chē)時(shí)間間隔為3分鐘時(shí)的載客減少量為324人.記列車(chē)載客量為.（1）求的表達(dá)式；（2）為響應(yīng)低碳出行，若載客量至少達(dá)到524人時(shí)，列車(chē)才發(fā)車(chē)，問(wèn)列車(chē)發(fā)車(chē)間隔時(shí)間至少多少分鐘？（3）若該線路每分鐘的凈收益為（元），問(wèn)當(dāng)發(fā)車(chē)時(shí)間間隔為多少時(shí)，該線路每分鐘的凈收益最大，并求出最大值.19．若存在實(shí)數(shù)使得，則稱(chēng)函數(shù)為的“函數(shù)”.（1）若為的“函數(shù)”，其中為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，求的解析式；（2）設(shè)函數(shù)，是否存在實(shí)數(shù)使得為的“函數(shù)”，且同時(shí)滿(mǎn)足：（i）是偶函數(shù)；（ii）的值域?yàn)?若存在，請(qǐng)求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

參考答案1．【答案】B【詳解】由題意可得：，所以.故選B.2．【答案】B【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)、在上均為增函數(shù)，故函數(shù)在上為增函數(shù)，因?yàn)?，，，則，由零點(diǎn)存在定理可知，函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是.故選B.3．【答案】A【詳解】若，則一定是第一象限角，充分性成立；若是第一象限角，則，無(wú)法得到一定屬于，必要性不成立.所以“”是“是第一象限角”的充分不必要條件.故選A4．【答案】D【詳解】要想能夠被用來(lái)構(gòu)造“同值函數(shù)”，則要函數(shù)不單調(diào)，ABC選項(xiàng)，在R上單調(diào)遞減，在R上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，ABC錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，不妨設(shè)，與函數(shù)，，兩者的值域相同，為同值函數(shù)，D正確.故選D5．【答案】D【詳解】當(dāng)時(shí)，在R上單調(diào)遞減且恒過(guò)，在上單調(diào)遞減且恒過(guò)，B不符合，D符合，當(dāng)時(shí),在R上單調(diào)遞增且恒過(guò)，在上單調(diào)遞增且恒過(guò)，A、C不符合.故選D.6．【答案】C【詳解】令，則原函數(shù)可以看作函數(shù)與的復(fù)合函數(shù).因?yàn)镽上的增函數(shù)，要使函數(shù)在上單調(diào)遞增，則函數(shù)在上單調(diào)遞增.所以，即，所以的取值范圍.故選C7．【答案】B【詳解】由題意，得，小華在距離標(biāo)準(zhǔn)視力表4米處檢測(cè)右眼的視力值，即，代入，得.故選B.8．【答案】C【詳解】函數(shù)，由，即，，解得顯然，∴為偶函數(shù)，∴當(dāng)時(shí)，，易知在上單調(diào)遞增，結(jié)合復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知：在上單調(diào)遞增.∴在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，，，所以，，∴.故選C.9．【答案】BD【詳解】因?yàn)榻堑慕K邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以是第二象限角，由周期性可知不一定是鈍角，且，，，所以AC錯(cuò)誤，B正確；因?yàn)辄c(diǎn)的橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)，所以點(diǎn)在第二象限，D正確.故選BD.10．【答案】BCD【詳解】對(duì)于A，因?yàn)榍?，所以，所以，即，A不正確；對(duì)于B，由選項(xiàng)A可知，所以，即，B正確；對(duì)于C，由于異號(hào)，所以，所以，由于等號(hào)只能在時(shí)取到，所以，即，C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，所以，D正確.故選BCD.11．【答案】BC【詳解】由，得，令函數(shù)，則原等式等價(jià)于，而函數(shù)在上都單調(diào)遞增，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，對(duì)于A，由，得或或，顯然不恒成立，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由，得，則，解得，則，B正確；對(duì)于C，由，，得，又，則，即，解得且，因此，C正確；對(duì)于D，依題意，，即，又，則，而，解得，則，D錯(cuò)誤.故選BC12．【答案】【詳解】設(shè)，則，所以.故，所以.13．【答案】【詳解】由sinα=2cosα，得tanα=2，∴sinαcosα===．故答案為．14．【答案】【詳解】設(shè)，，分別繪制，的草圖如下：其中有最小值，且；無(wú)最小值，且，.因?yàn)楹瘮?shù)有最小值，所以；點(diǎn)在的圖象上，所以.綜上.15．【答案】（1）（2）．【詳解】（1）由題意得，而，故，得，；（2）由，得，即，即，而，由得，即，而，故，且，得，即a的取值范圍為．16．【答案】（1）（2）增函數(shù)，見(jiàn)詳解（3）【詳解】（1）由題意可得：=，∵是奇函數(shù)，∴，即，所以，∴，即，即.（2）是上的增函數(shù)，證明如下：設(shè)為區(qū)間內(nèi)的任意兩個(gè)值，且，則，，∵==，即，∴是上的增函數(shù).（3）由（1）（2）知，是上的增函數(shù)，且是奇函數(shù).∵，∴，∴，即對(duì)任意恒成立，當(dāng)時(shí)，恒成立，符合題意；當(dāng)時(shí)，只需，解得，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍17．【答案】（1），或；（2），取最小值時(shí)，取最大值時(shí).【詳解】（1）函數(shù)定義域?yàn)?，且在上單調(diào)，由函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值之和為，得，即，解得，于是；，解，得或；解，即，得或，因此或，所以不等式的解集或.（2）由（1）知，，令，由，得，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，所以函數(shù)的值域?yàn)?，取最小值時(shí)，取最大值時(shí).18．【答案】（1）；（2）至少5分鐘；（3）時(shí)間間隔為3分鐘時(shí)，每分鐘的凈收益最大為84元.【詳解】（1）由題知，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí),,因?yàn)榘l(fā)車(chē)時(shí)間間隔為3分鐘時(shí)的載客減少量為人，此時(shí)發(fā)車(chē)時(shí)間間隔為3分鐘時(shí)的載客量為人，，解得，此時(shí)，所以.（2）依題意，當(dāng)時(shí)，，滿(mǎn)足題意；當(dāng)時(shí)，，即，解得，所以列車(chē)發(fā)車(chē)間隔時(shí)間至少5分鐘，列車(chē)載客量至少達(dá)到524人.（3）由（1）知時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立，時(shí)當(dāng)上,單調(diào)遞減,則綜上，時(shí)間間隔為3分鐘時(shí)，每分鐘的凈收益最大為84元.19．【答案】（1），（2）存在，【詳解】（1）因