/江蘇省蘇州市張家港市2026屆高三上學(xué)期12月階段性調(diào)研測試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，集合，則（

）A． B． C． D．2．已知角與的終邊關(guān)于軸對稱，且，則的最大值是（

）A． B． C． D．3．正方體，直線與平面所成的角的大小是（

）A． B． C． D．4．設(shè)，則復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點Z的軌跡是（

）A．直線 B．圓 C．橢圓 D．拋物線5．已知等比數(shù)列的首項為64，公比為，數(shù)列的前n項積為，則當(dāng)時n的最小值是（

）A．8 B．12 C．13 D．146．過點作直線l交圓于點M，N，若，則點N的橫坐標(biāo)是（

）A． B．2 C． D．7．已知平面向量，（），記與的夾角是，則的最大值為（

）A． B． C． D．8．已知函數(shù)滿足，若函數(shù)與圖象的交點為、、、，則（

）A． B． C． D．二、多選題9．下列四個函數(shù)中，以為最小正周期，且在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（

）A． B．C． D．10．在正三棱柱中，，點P滿足，其中，，則下列說法正確的是（

）A．當(dāng)時，直線與直線異面B．當(dāng)時，平面與底面所成角為定值C．當(dāng)時，有且僅有兩個點P，使得D．當(dāng)時，有且僅有一個點P，使得平面11．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，若以為直徑的圓與曲線C及曲線C的一條漸近線分別交于點P，M，則下列說法正確的是（

）A．當(dāng)時，曲線C的離心率為B．當(dāng)時，曲線C的離心率為C．當(dāng)時，曲線C的離心率為4D．當(dāng)時，曲線C的離心率為三、填空題12．已知圓錐的母線長為2，其側(cè)面展開圖是一個半圓，則該圓錐的體積為．13．已知為偶函數(shù)，則不等式的解集為．14．過點的直線l與拋物線交于兩點M，N，點M，N處的切線交于點P，則點P到圓的距離的最小值是．四、解答題15．記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．（1）求A；（2）若D為邊上一點，，，平分，求a．16．已知函數(shù)，．（1）當(dāng)時，判斷函數(shù)的單調(diào)性，并求出的極值；（2）若過原點存在兩條直線與曲線相切，求實數(shù)a的范圍．17．如圖，在四棱錐中，底面是正方形，點在上，點為的中點，且平面．（1）求證：平面；（2）若平面平面，且，，記平面與平面的夾角為．①求的最大值；②當(dāng)取到最大值時，求四棱錐的外接球體積．18．已知橢圓的上頂點為A，過點A作兩條相互垂直的直線分別與橢圓E交于點M，N．（1）若橢圓的離心率為，求直線與y軸交點的縱坐標(biāo)；（2）若是等腰直角三角形，且這樣的等腰直角三角形有且僅有一個，求a的范圍．19．已知數(shù)列：，，，…，的各項均為正整數(shù)，設(shè)集合，記T的元素個數(shù)為．（1）若數(shù)列：2，4，6，7，求集合T，并寫出的值；（2）若A是遞增數(shù)列，求證：“A為等差數(shù)列”的充要條件是“”；（3）已知數(shù)列A：2，，，…，，求證：．

參考答案1．【答案】C【詳解】，，∴，故選C．2．【答案】B【詳解】因為角與的終邊關(guān)于軸對稱，則，故，因為，，所以，故的最大值為.故選B.3．【答案】A【詳解】連接，交于點，再連接，∵是正方形，∴，∵在正方體中，平面，平面，∴，又∵，平面，∴平面，∴是直線與平面所成的角．設(shè)正方體的邊長為1，∴在中，，∴，∴直線與平面所成的角的大小等于．故選A．4．【答案】B【詳解】設(shè)復(fù)數(shù)，則，代入，兩邊平方得：，，兩邊除以：，以配方：，這是圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，圓心為，半徑為．∴復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點的軌跡是圓．故選B．5．【答案】D【詳解】因為等比數(shù)列的首項為64，公比為，所以.數(shù)列的前n項積為，則.指數(shù)部分是首項為6，末項為的等差數(shù)列求和，其和為.所以時，化簡得，由于，所以解得.所以當(dāng)時n的最小值是14.故選D.6．【答案】A【詳解】設(shè)，∵點在圓上，∴．已知，則，∵，∴．設(shè)，則，則，則．∵點在圓上，∴．將代入上式可得：，解得，故選A．7．【答案】C【詳解】∵，，∴，∵，，∴，∴，令，則，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即2（此時）時等號成立．即的最大值為．故選C．8．【答案】C【詳解】因為滿足，則函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，設(shè)，則函數(shù)的定義域為，因為，故函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，所以函數(shù)、的圖象的交點也關(guān)于點對稱，不妨設(shè)，則，，，，令，則，故，故，由對稱性知，，，，令，則，故，故，因此，故選C.9．【答案】BC【詳解】A：的最小正周期為，故A錯誤；B：的圖象為：，則其以為最小正周期，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，故B正確；C：因在區(qū)間上單調(diào)遞增，且其最小正周期為，故C正確；D：如圖：則其以為最小正周期，且在區(qū)間上不單調(diào)，故D錯誤；故選BC．10．【答案】BCD【詳解】設(shè)O是BC的中點，D為的中點，以為原點，分別以所在直線為軸，建立空間坐標(biāo)系，如下圖：則，則．由得，由平面向量的基本定理易知，點在矩形內(nèi)部（含邊界）．A：當(dāng)時，，∴，此時三點共線，即線段，若P與C重合，直線與直線相交，故A錯誤；B：當(dāng)時，，，設(shè)平面的法向量為，則，時不符合題意，故，則，取，則，則，平面的一個法向量為，∵確定，故平面與底面所成角為定值，故B正確；C：由，則，又，則，若，則，解得或1，∴有兩個符合題意的點，故C正確；D：，，則，即，∵，∴，令，解得，此時，∵平面，∴平面，綜上可得，有且僅有一個點符合題意，故D正確．故選BCD．11．【答案】ABD【詳解】雙曲線的焦點，漸近線方程為，以為直徑的圓與曲線C及曲線C的一條漸近線分別交于點，得，設(shè)，由，解得，對于A，，又，則，由勾股定理得，即，曲線C的離心率為，A正確；對于B，，不妨令，則，即，整理得，曲線C的離心率為，B正確；對于C，，則，解得，曲線C的離心率為，C錯誤；對于D，，而，解得，又，即，曲線C的離心率為，D正確.故選ABD12．【答案】【詳解】設(shè)底面半徑為，由題意可知，解得：，圓錐的高，所以圓錐的體積.13．【答案】【詳解】已知，則，由，得即對所有成立．若，化簡得，不滿足對所有成立，舍去；若，化簡得，解得．將代入，得不等式，即，即，即，∵，∴，即，∴．14．【答案】【詳解】由題可知直線l的斜率存在，故可設(shè)過點的直線的方程為，即．聯(lián)立拋物線方程，得：，設(shè)的橫坐標(biāo)為，∵，故由韋達定理得：，對于函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)，在處切線斜率為，切線方程為，即．故拋物線在點處的切線方程為，在點處的切線方程為．聯(lián)立兩切線方程：，解得交點的橫坐標(biāo)為，代入切線方程得縱坐標(biāo)為．因此，點坐標(biāo)為，消去參數(shù)得P的軌跡方程為，即．圓的圓心為，半徑．圓心到直線的距離，∴直線與圓相離，故P到圓的最小距離為圓心到直線距離減去圓半徑：．15．【答案】（1）（2）9【詳解】（1）由及正弦定理得，∴，∴，∵，∴，即，又∵，，∴，∴；（2）由題可知，，在中由正弦定理得①，②，①÷②得，即．又，∴，∴，∴，∴，∴，∴．16．【答案】（1）的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，極小值為，無極大值（2）【詳解】（1）當(dāng)時，，則，由可得，由可得，∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，∴函數(shù)的極小值為，無極大值．（2）∵，則，設(shè)切點為，則，切線斜率，切線方程為：，∵切線過原點，則，整理得：，∵滿足條件的切線有兩條，∴，解得或，∴的取值范圍是．17．【答案】（1）見詳解（2）①；②.【詳解】（1）取線段的中點，連接、，連接交于點，連接，如下圖所示：因為四邊形為正方形，所以，，因為、分別為、的中點，所以，，故四邊形為平行四邊形，所以，因為平面，平面，所以平面，因為平面，，、平面，所以平面平面，因為平面平面，平面平面，所以，因為為的中點，故為的中點，因為四邊形為正方形，，故為的中點，因為為的中點，所以，因為平面，平面，故平面.（2）①因為四邊形為正方形，所以，因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，以點為坐標(biāo)原點，、所在直線分別為、軸，平面內(nèi)過點且垂直于的直線為軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、，設(shè)點，其中，，則，，因為，則，可得，所以，易知平面的一個法向量為，設(shè)平面的一個法向量為，，，則，取，可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故的最大值為；②當(dāng)取到最大值時，，，則點，設(shè)四棱錐的外接球球心為，由可得，解得，，即，故四棱錐的外接球半徑為，因此四棱錐外接球的體積為.18．【答案】（1）（2）【詳解】（1）橢圓，離心率為，，解得，橢圓，橢圓的上頂點為A，過點A作兩條相互垂直的直線分別與橢圓E交于點M，N，，直線斜率存在，且斜率不為0，設(shè)直線的斜率為，，，的斜率為，直線的方程為，聯(lián)立直線與橢圓方程得，化簡整理得，解得（對應(yīng)點A）或，，，，把替換為得點，，直線的方程為，設(shè)與軸交點坐標(biāo)為，．（2）橢圓上頂點，過點A作兩條相互垂直的直線分別與橢圓E交于點M，N，是等腰直角三角形，且這樣的等腰直角三角形有且僅有一個，設(shè)直線斜率為，則直線的斜率為，直線的方程為，聯(lián)立橢圓方程得，化簡整理得，解得（對應(yīng)點A）或，，，即，把替換為得點，是等腰直角三角形，，即，化簡整理得，令，則方程化為，是方程的一個根，對應(yīng)，總能得到一個關(guān)于軸對稱的等腰直角三角形，其他根取決于，，，當(dāng)時，，無實數(shù)根，只有，故等腰直角三角形唯一，符合條件；當(dāng)時，，有重根，故仍只有，等腰直角三角形唯一，符合條件；當(dāng)時，，有兩個正根，且，，存在額外的等腰直角三角形，不滿足唯一性．滿足條件的的取值范圍是．19．【答案】（1），（2）見詳解（3）見詳解【詳解】（1）由題意知數(shù)列，可得，則，故；（2）必要性：由于為等差數(shù)列，故設(shè)數(shù)列的公