/溫州市荊山公學(xué)2025-2026學(xué)年高二期中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)試卷數(shù)學(xué)滿分：150時(shí)間120分鐘范圍：選擇性必修一第一章空間向量與立體幾何——第三章雙曲線一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知空間向量a=1,2,0,b=(0,?1,1),c=(2,3,A.1 B.2 C.3 D.42.“m=?1”是“直線l1：mx+(2m+3)y+1=0A.必要不充分條件 B.充分不必要條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3.給出下列說法，其中不正確的是(

)A.若a//b，則a，b與空間中其它任何向量c都不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底向量

B.若OA=OB+2OC?OD，則A，B，C，D四點(diǎn)共面

C.若2PM=PA+PB，則點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn)4.若三條直線l1：4x+y=3，l2：x+y=0A.2個(gè) B.3個(gè) C.4個(gè) D.5個(gè)5.實(shí)數(shù)x,y滿足x2+y2=2xA.3 B.7 C.?2 6.若直線l：kx?y?2=0與曲線C:A.k>?3+263 B.?3+267.在三棱錐P?ABC中，G為△ABC的重心，PD=λPA,PE=μPB，PF=12PC，λA.12B.23C.18.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2.點(diǎn)P在C上且位于第一象限，圓O1與線段F1P的延長線，線段PA.12 B.35 C.2二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.下列說法正確的是(

)A.若直線的傾斜角越大，則直線的斜率就越大

B.圓O：x2+y2=4與直線mx+y?m?1=0必有兩個(gè)交點(diǎn)

C.在x軸、y軸上的截距分別為a，b的直線方程為xa+yb=110.已知橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)A.焦距為2 B.橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為x29+y25=1

11.立體幾何中有很多立體圖形都體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美，其中半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體，半正多面體因其最早由阿基米德研究發(fā)現(xiàn)，故也被稱作阿基米德體.如圖，這是一個(gè)棱數(shù)24，棱長為22的半正多面體，它所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上，可以看成是由一個(gè)正方體截去八個(gè)一樣的四面體所得的，下列結(jié)論正確的有(

)A.AG⊥平面BCDG

B.A，F(xiàn)，C，D四點(diǎn)共面

C.點(diǎn)B到平面ACD的距離為63

D.若E為線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，則直線DE與直線AF所成角的余弦值范圍為[12,2212.已知直線l的傾斜角θ∈(π4,213.如圖，已知點(diǎn)A(8,0)，B(0,?4)，從點(diǎn)P(3,0)射出的光線經(jīng)直線AB反射后再射到直線OB上，最后經(jīng)直線OB反射后又回到點(diǎn)P，則光線所經(jīng)過的路程是

14.杭州第19屆亞運(yùn)會(huì)的主會(huì)場——杭州奧體中心體育場，又稱“大蓮花”(如圖1所示).會(huì)場造型取意于杭州絲綢紋理與紡織體系，建筑體態(tài)源于錢塘江水的動(dòng)態(tài)，其簡筆畫如圖2所示.一同學(xué)初學(xué)簡筆畫，先畫了一個(gè)橢圓與圓弧的線稿，如圖3所示，若橢圓E的方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0)，下頂點(diǎn)為A(0,?12)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P為圓C上任意一點(diǎn)，滿足|PO|=2|四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.已知兩直線l1:x+y(Ⅰ)直線l過點(diǎn)P且與直線x+3y+1=0(Ⅱ)圓C過點(diǎn)(1,0)且與l1相切于點(diǎn)P，求圓C的一般方程.16.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為32，且過點(diǎn)(1,32).

(1)求橢圓C的方程；

(2)若斜率為12的直線17.在梯形ABCD中，AB//CD，∠BAD=π3，AB=2AD=2CD=4，P為AB的中點(diǎn)，線段AC與DP交于O點(diǎn)(如圖1).將△ACD沿AC折起到△ACD′位置，使得D′O⊥OP(如圖2).

(1)求證：平面D′AC18.已知直線l:x+3y+4=0，半徑為2的圓C與l相切，圓心C在x軸上且在直線l的右上方.

(1)求圓C的方程；

(2)直線y=kx?2與圓C交于不同的M，N兩點(diǎn)，且∠MCN=120°，求直線y=kx?2的斜率；

(3)過點(diǎn)M(0,1)的直線與圓C交于A，B兩點(diǎn)19.已知點(diǎn)A，B是平面內(nèi)不同的兩點(diǎn)，若點(diǎn)P滿足|PAPB|=λ(λ>0,且λ≠1)，則點(diǎn)P的軌跡是以有序點(diǎn)對(A,B)為“穩(wěn)點(diǎn)”的λ?阿波羅尼斯圓.若點(diǎn)Q滿足|QA|?|QB|=μ(μ>0)，則點(diǎn)Q的軌跡是以(A,B)為“穩(wěn)點(diǎn)”的μ?卡西尼卵形線.已知在平面直角坐標(biāo)系中，A(?2,0)，B(a,b)(a≠?2).

(1)若以(A,B)為“穩(wěn)點(diǎn)”的λ?阿波羅尼斯圓的方程為答案和解析1.【答案】A

解：因?yàn)閍=1,2,0,b=(0,?1,1)不共線，a所以(2,3,m)=x(1,2,0)+y(0,?1,1)=(2.【答案】B

解：必要性：當(dāng)兩條直線平行時(shí)，可得m?m=(2m+3)?1，且(2m+3)?3≠1?m，解得：m=3或?1，

充分性：當(dāng)m=?1時(shí)，有直線l1：mx+(2m3.【答案】B

解：由已知，選項(xiàng)A，向量a//b，則a，b與任何向量都共面，所以a，b與任何向量選項(xiàng)B，由空間向量共面定理可知，如果A，B，C，D四點(diǎn)共面，則須滿足OA=xOB+選項(xiàng)C，由線性運(yùn)算有AM=MB，所以M為選項(xiàng)D，面α，β的法向量分別為n1=2,1,?1，n2=?1,t,1，

當(dāng)α⊥β時(shí)，面4.【答案】B

解：由題意可知直線l1：4x+y=3，l2：x+y=0，則聯(lián)立方程4x+y=3x+y=0，解得x=1y=?1，

可得：直線l1的斜率為?4，l2的斜率為?1，且直線l1、l2的交點(diǎn)為(1,?1)，

若三條直線不能圍成三角形，則直線解得m=?14或m=?1或m5.【答案】A

解：化簡x2+y則|x?y+3|表示為圓上點(diǎn)到直線圓心1,?1到直線距離為d=52>6.【答案】D

解：直線l：kx?y?2=0，直線l恒過定點(diǎn)A(0,?2)，

曲線C:4?(y?1)2=x?1，化為(x?1)2+(y?1)2=4，x≥1解得k=±26?33，則kl2=27.【答案】C

解：G為△ABC的重心，

則PG=PA+AG=PA+23×12(AB+AC)=當(dāng)且僅當(dāng)λ=μ=12時(shí)，等號成立，8.【答案】B

解：由題及平面幾何知識可得圓心O1、O2在∠PF1F2的角平分線上.如圖，

設(shè)圓O1、由平面幾何知識可得，直線PF2為兩圓的公切線，切點(diǎn)D也在∠PF1F2的角平分線上，

所以|P所以|F2D|=1所以|F1A|=|F1F2|+|F2A|=2c+a?c=a+c，

|F1B9.【答案】BD

解：A：傾斜角從銳角到鈍角的過程中，斜率符號由正變負(fù)，所以A錯(cuò)；

B：將直線mx+y?m?1=0轉(zhuǎn)化為m(x?1)+y?1=0，可得直線恒過定點(diǎn)(1,1)，

而12+12=2<4，即定點(diǎn)在圓內(nèi)，所以圓O：x2+y2=4與直線mx+y?m?1=0必有兩個(gè)交點(diǎn)，所以B對；

C：若截距為0的情況，不能用xa+yb=1表示直線，所以C錯(cuò)；

D：由l：即a的范圍為(?∞,?2]∪[32,+∞)，所以D10.【答案】BCD

解：已知橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為23，長軸長為6，

則有2a=6ca=23a2=b2+c2，得a=3b=5c=2，

所以橢圓的焦距211.【答案】ABD

解：“阿基米德體”是由如圖所示得到的，即“阿基米德體”的所有頂點(diǎn)都是正方體的棱的中點(diǎn)，

A選項(xiàng)：由圖可知AG⊥平面BCDG，A選項(xiàng)正確；

B選項(xiàng)：因?yàn)锳，F(xiàn)，C，D四點(diǎn)均是正方體個(gè)棱上中點(diǎn)，所以AF//CM，DF//所以A，F(xiàn)，C，D四點(diǎn)共面，B選擇正確；

C選項(xiàng)：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，

因?yàn)锳G=AF2+FG2=4，所以正方體棱長為4，∴B(2,0,4)，A(4,2,0)，D(2,4,4)，C(0,2,4)，

所以CD=(2,2,0),CA=(4,0,?4)，

設(shè)平面ACD的一個(gè)法向量為n1=(x,y,z)，則CD⊥n1CA⊥n1，則CD?n1=2x+2y=0CA?n1=4x?4z=0，

解得x=1y=?1z=1，即n1=(1,?1,1)，又CB=(2,?2,0)，

所以點(diǎn)B到平面ACD的距離|12.【答案】{k|k解：根據(jù)題意知，斜率k=tanθ在θ∈(π4,π2)上單調(diào)遞增，且tanπ4=1，所以k>1；

k=tanθ在θ∈(π2,13.【答案】4解：已知點(diǎn)A(8,0)，B(0,?4)，

從點(diǎn)P(3,0)射出的光線經(jīng)直線AB反射后再射到直線OB上，最后經(jīng)直線OB反射后又回到點(diǎn)P，

直線AB的方程為x8+y?4=1，即x?2y?8=0，

設(shè)點(diǎn)P(3,0)關(guān)于直線AB的對稱點(diǎn)為P1(a,b)，

則ba?314.【答案】(0,?23)解：設(shè)P(x,y)，由|PO|=2|PA|得x2+y2=2x2+y+122，化簡得x2+(y+23)2=19，

∴點(diǎn)P的軌跡是以0,?23為圓心，13為半徑的圓，即C(0,?23)，橢圓E的方程是x2a2+y214=1，

設(shè)Q15.【答案】解：(Ⅰ)直線l與直線x+3y+1=0平行，得直線l斜率為k=?13，

聯(lián)立方程組x+y+2=03x?2y+1=0，解得x=?1y=?1，

∴直線l1:x+y+2=0和l2:3x?2y+1=0的交點(diǎn)P(?1,?1)，

又直線l過點(diǎn)P16.【答案】解：(1)因?yàn)闄E圓C的離心率為32，且過點(diǎn)(1,32)，所以ca=321a2+34b2=1a2=b2+c2，

解得a=2，b=1，所以橢圓C的方程為x24+y2=1；

(2)設(shè)l:y=12x+m，M(x1,y1)，N(x2,y2)，點(diǎn)A，B到直線l的距離分別為d1，d17.【答案】解：(1)證明：因?yàn)锳B//CD，AB=2AD=2CD=4，∠BAD=π3，P為AB的中點(diǎn)，

所以CD//AP，CD=AP，AD=AP，所以△ADP是正三角形，四邊形APCD為菱形，

所以AC⊥DP，即AC⊥D′O，因?yàn)镈′O⊥OP，AC∩OP=O，AC，OP?平面ABC，

所以D′O⊥平面ABC，因?yàn)镈′O?平面D′AC，所以平面D′AC⊥平面ABC.

(2)存在．因?yàn)镈′O⊥平面BAC，OP⊥AC，

所以O(shè)A，OP，OD′兩兩互相垂直，

如圖，以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA，OP，OD′所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系O?xyz.

則B(?3,2,0)，C(?3,0,0)，P(0,1,0)，D′(0,0,1)，

所以BD′=(3,?2,1)18.【答案】解：(1)直線l:x+3圓心C在x軸上且在直線l的右上方．設(shè)圓心C(a,0)(a>?4)，則|a+4|2=2，

解得a=0或a=?8(舍)，故圓C的方程為x2+y2=4.

(2)由題意可知圓心C到直線y=kx?2的距離為2sin30°=1，則有|?2|k2+1=1，