陜西西安地區(qū)2026屆高二數(shù)學第一學期期末學業(yè)質量監(jiān)測模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若拋物線焦點與橢圓的右焦點重合，則的值為A. B.C. D.2．下列結論中正確的有（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則3．等差數(shù)列中，若，則（）A.42 B.45C.48 D.514．已知拋物線上的點到其準線的距離為，則（）A. B.C. D.5．在正方體中，，則（）A. B.C. D.6．點M在圓上，點N在直線上，則|MN|的最小值是（）A. B.C. D.17．設等差數(shù)列前項和為，若是方程的兩根，則（）A.32 B.30C.28 D.268．已知直線l和兩個不同的平面，，，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件9．已知，為正實數(shù)，且，則的最小值為（）A. B.C. D.110．已知傾斜角為的直線與雙曲線，相交于，兩點，是弦的中點，則雙曲線的漸近線的斜率是（）A. B.C. D.11．如下圖，邊長為2的正方體中，O是正方體的中心，M，N，T分別是棱BC，，的中點，下列說法錯誤的是（）A. B.C. D.到平面MON的距離為112．方程化簡的結果是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．復數(shù)的共軛復數(shù)是__________14．已知正方形的邊長為分別是邊的中點，沿將四邊形折起，使二面角的大小為，則兩點間的距離為__________15．已知雙曲線的焦點，過F且斜率為1的直線與雙曲線有且只有一個交點，則雙曲線的方程為_________16．函數(shù)在處的切線方程為_________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知圓，直線（1）求證：對，直線l與圓C總有兩個不同交點；（2）當時，求直線l被圓C截得的弦長18．（12分）已知圓：，，為圓上的動點，若線段的垂直平分線交于點.（1）求動點的軌跡的方程；（2）已知為上一點，過作斜率互為相反數(shù)且不為0的兩條直線，分別交曲線于，，求的取值范圍.19．（12分）已知點是橢圓E：一點，且橢圓的離心率為.（1）求此橢圓E方程；（2）設橢圓的左頂點為A，過點A向上作一射線交橢圓E于點B，以AB為邊作矩形ABCD，使得對邊CD經過橢圓中心O.（i）求矩形ABCD面積的最大值；（ii）問：矩形ABCD能否為正方形？若能，求出直線AB的方程；若不能，請說明理由.20．（12分）設函數(shù)（1）求函數(shù)的單調區(qū)間；（2）若有兩個零點，，求的取值范圍，并證明：21．（12分）為了解某城中村居民收入情況，小明利用周末時間對該地在崗居民月收入進行了抽樣調查，并將調查數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分布直方圖：根據(jù)直方圖估算：（1）在該地隨機調查一位在崗居民，該居民收入在區(qū)間內的概率；（2）該地區(qū)在崗居民月收入的平均數(shù)和中位數(shù)；22．（10分）已知函數(shù)（1）討論函數(shù)的單調性；（2）若函數(shù)有兩個零點，，證明：

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】解：橢圓的右焦點為(2,0)，所以拋物線的焦點為(2,0)，則，故選D2、D【解析】根據(jù)基本初等函數(shù)的導數(shù)和運算法則分別計算函數(shù)的導數(shù)，即可判斷選項.【詳解】A.若，則，故A錯誤；B.若，則，故B錯誤；C.若，則，故C錯誤；D.若，則，故D正確.故選：D3、C【解析】結合等差數(shù)列的性質求得正確答案.【詳解】依題意是等差數(shù)列，，.故選：C4、C【解析】首先根據(jù)拋物線的標準方程的形式，確定的值，再根據(jù)焦半徑公式求解.【詳解】，，因為點到的準線的距離為，所以，得故選：C5、A【解析】根據(jù)空間向量基本定理，結合空間向量加法的幾何意義進行求解即可.【詳解】因為，而，所以有，故選：A6、C【解析】根據(jù)題意可知圓心，又由于線外一點到已知直線的垂線段最短，結合點到直線的距離公式，即可求出結果.【詳解】由題意可知，圓心，半徑為，所以圓心到的距離為，所以的最小值為.故選：C.7、A【解析】根據(jù)給定條件利用韋達定理結合等差數(shù)列性質計算作答.【詳解】因是方程的兩根，則又是等差數(shù)列的前項和，于是得，所以.故選：A8、D【解析】根據(jù)直線、平面的位置關系，應用定義法判斷兩個條件之間的充分、必要性.【詳解】當，時，直線l可與平行、相交，故不一定成立，即充分性不成立；當，時，直線l可在平面內，故不一定成立，即必要性不成立.故選：D.9、D【解析】利用基本不等式可求的最小值.【詳解】可化為，由基本不等式可得，故，當且僅當時等號成立，故的最小值為1，故選：D.10、A【解析】依據(jù)點差法即可求得的關系，進而即可得到雙曲線的漸近線的斜率.【詳解】設，則由，可得則，即，則則雙曲線的漸近線的斜率為故選：A11、D【解析】建立空間直角坐標系，進而根據(jù)空間向量的坐標運算判斷A,B,C；對D，算出平面MON的法向量，進而求出向量在該法向量方向上投影的絕對值，即為所求距離.【詳解】如圖建立空間直角坐標系，則.對A，，則，則A正確；對B，，則，則B正確；對C，，則C正確；對D，設平面MON的法向量為，則，取z=1，得，，所以到平面MON的距離為,則D錯誤.故選：D.12、D【解析】由方程的幾何意義得到是橢圓，進而得到焦點和長軸長求解.【詳解】∵方程，表示平面內到定點、的距離的和是常數(shù)的點的軌跡，∴它的軌跡是以為焦點，長軸，焦距的橢圓；∴；∴橢圓的方程是，即為化簡的結果故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】利用復數(shù)除法化簡，由共軛復數(shù)的概念寫出即可.【詳解】，∴.故答案為：14、.【解析】取BE的中點G，然后證明是二面角的平面角，進而證明，最后通過勾股定理求得答案.【詳解】如圖，取BE的中點G，連接AG,CG，由題意，則是二面角的平面角，則，又，則是正三角形，于是.根據(jù)可得：平面ABE，而平面ABE，所以，而，則平面BCFE，又平面BCFE，于是，，又，所以.故答案為：.15、【解析】根據(jù)直線與雙曲線只有一個交點可知直線與雙曲線平行，由漸近線斜率可列出的齊次方程，利用齊次方程求解.【詳解】直線與雙曲線有且只有一個交點，且焦點，直線與雙曲線漸近線平行，，即，，即，.則雙曲線的方程為故答案為：16、【解析】求得函數(shù)的導數(shù)，得到且，結合直線的點斜式方程，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)，可得，則且，所以函數(shù)在處的切線方程為，即，即切線方程為.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）由直線過定點，只需判斷定點在圓內部，即可證結論.（2）由點線距離公式求弦心距，再利用半徑、弦心距、弦長的幾何關系求弦長即可.【小問1詳解】直線恒過定點，又，所以點在圓的內部，所以直線與圓總有兩個不同的交點，得證.【小問2詳解】由題設，，又的圓心為，半徑為，所以到直線的距離，所以所求弦長為18、（1）動點的軌跡的方程為；（2）的取值范圍.【解析】(1)由條件線段的垂直平分線交于點可得，由此可得，根據(jù)橢圓的定義可得點的軌跡為橢圓，結合橢圓的標準方程求動點的軌跡的方程；(2)由(1)可求點坐標，設直線的方程為，，聯(lián)立方程組化簡可得，，由直線，的斜率互為相反數(shù)可得的值，再由弦長公式求的長，再求其范圍.【小問1詳解】由題知故.即即在以為焦點且長軸為4的橢圓上則動點的軌跡的方程為：；【小問2詳解】故即.設：，聯(lián)立（*），，∴，，又則：即若，則過，不符合題意故，∴，故19、（1）；（2）(i)；(ii).【解析】(1)根據(jù)給定條件列出關于a，b的方程組，解方程組代入得解.(2)(i)設直線AB方程，與橢圓方程聯(lián)立求出線段AB長，再求出原點O到直線AB距離列出矩形面積求解即可；(ii)由(i)及列出方程，由方程解的情況即可判斷計算作答.【小問1詳解】令橢圓半焦距為c，依題意，，解得，所以橢圓E的方程為：.【小問2詳解】(i)由(1)知，，設直線AB的斜率為，則直線AB的方程為：，由消去y并整理得：，點的橫坐標，則點的橫坐標有：，解得，則有，因矩形的邊CD過原點O，則，因此，矩形的面積，當且僅當，即時取“=”，所以矩形ABCD面積的最大值是.(ii)假定矩形ABCD能成為正方形，則，由(i)知：，整理得：，即，而，解得，所以矩形ABCD能成為正方形，此時，直線AB的方程為.【點睛】思路點睛：圓錐曲線中的最值問題，往往需要利用韋達定理構建目標的函數(shù)關系式，自變量可以斜率或點的橫、縱坐標等.而目標函數(shù)的最值可以通過二次函數(shù)或基本不等式或導數(shù)等求得.20、（1）答案見詳解（2），證明見解析【解析】（1）求導得，，分類討論參數(shù)a的范圍即可判斷單調區(qū)間；（2）設，，聯(lián)立整理得，構造得，構造函數(shù)，結合導數(shù)判斷單調性，進而得證.小問1詳解】由，，可得，當時，，所以在上單調遞增；當時，令，得，令，得所以在單調遞減，在單調遞增；【小問2詳解】證明：因為函數(shù)有兩個零點，由（1）得，此時的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為，有極小值.所以，可得,所以.由（1）可得的極小值點為，則不妨設.設，，則則，即，整理得，所以，設，則，所以在上單調遞減，所以，所以，即.21、（1）（2）平均數(shù)為；中位數(shù)為.【解析】（1）直接根據(jù)概率和為1計算得到答案.（2）根據(jù)平均數(shù)和中位數(shù)的定義直接計算得到答案.【小問1詳解】該居民收入在區(qū)間內的概率為：【小問2詳解】居民月收入的平均數(shù)為：.第一組概率為，第二組概率為，第三組概率為，設居民月收入的中位數(shù)為，則，解得.22、（1）函數(shù)的單調性見解析；（2）證明見解析.【解析】(1)求出函數(shù)的導數(shù)，按a值分類討論判斷的正負作答.(2)將分別代入計算化簡變形，再對所證不等式作等價變形，構造函數(shù)，借助函數(shù)導數(shù)推理作答