吉林省延邊市長白山第一高級中學2026屆數(shù)學高二上期末綜合測試模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設直線，．若，則的值為（）A.或 B.或C. D.2．已知數(shù)列為等比數(shù)列，則“為常數(shù)列”是“成等差數(shù)列”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3．如圖所示，在三棱錐中，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點，則等于（）A. B.C. D.4．雙曲線：的一條漸近線與直線垂直，則它的離心率為（）A. B.C. D.5．過圓外一點引圓的兩條切線，則經過兩切點的直線方程是A. B.C. D.6．已知復數(shù)滿足(其中為虛數(shù)單位)，則復數(shù)的虛部為（）A. B.C. D.7．已知甲、乙、丙三名同學同時獨立地解答一道導數(shù)試題，每人均有的概率解答正確，且三個人解答正確與否相互獨立，在三人中至少有兩人解答正確的條件下，甲解答不正確的概率A. B.C. D.8．在四棱錐中，底面ABCD是正方形，側棱底面ABCD，，點E是棱PC的中點，作，交PB于F.下面結論正確的個數(shù)為()①∥平面EDB；②平面EFD；③直線DE與PA所成角為60°；④點B到平面PAC的距離為.A.1 B.2C.3 D.49．甲乙兩名運動員在某項體能測試中的6次成績統(tǒng)計如表：甲9816151514乙7813151722分別表示甲乙兩名運動員這項測試成績的平均數(shù)，分別表示甲乙兩名運動員這項測試成績的標準差，則有（）A.， B.，C.， D.，10．等比數(shù)列中，，則（）A. B.C.2 D.411．設函數(shù)在上可導，則等于（）A. B.C. D.以上都不對12．若橢圓與直線交于兩點,過原點與線段AB中點的直線的斜率為,則A. B.C. D.2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若雙曲線的一條漸近線的傾斜角為，則雙曲線的離心率為___________.14．射擊隊某選手命中環(huán)數(shù)的概率如下表所示：命中環(huán)數(shù)10987概率0.320.280.180.120.1該選手射擊兩次，兩次命中環(huán)數(shù)相互獨立，則他至少命中一次9環(huán)或10環(huán)的概率為_________________.(結果用小數(shù)表示)15．點P(8，1)平分橢圓x2+4y2＝4的一條弦，則這條弦所在直線的方程是_______.16．與圓外切于原點，且被y軸截得的弦長為8的圓的標準方程為__________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）求適合下列條件的雙曲線的標準方程：（1）焦點坐標為，且經過點；（2）焦點在坐標軸上，經過點.18．（12分）已知關于x的不等式，.（1）若，求不等式的解集；（2）若不等式的解集為R，求k的取值范圍.19．（12分）已知正三棱柱底面邊長為，是上一點，是以為直角頂點的等腰直角三角形（1）證明：是中點；（2）求點到平面的距離20．（12分）如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，平面平面，，.（1）證明：平面；（2）已知，，，且直線與平面所成角的正弦值為，求平面與平面夾角的余弦值.21．（12分）已知的三個內角，，的對邊分別為，，，且滿足.（1）求角的大小；（2）若，，，求的長.22．（10分）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別a，b，c．已知2bcosB=ccosA+acosC（1）求B；（2）若a=2，，設D為CB延長線上一點，且AD⊥AC，求線段BD的長

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】由兩直線垂直可得出關于實數(shù)的等式，即可解得實數(shù)的值.【詳解】因為，則，解得或.故選：A.2、C【解析】先考慮充分性，再考慮必要性即得解.【詳解】解：如果為常數(shù)列，則成等差數(shù)列，所以“為常數(shù)列”是“成等差數(shù)列”的充分條件；等差數(shù)列，所以，所以數(shù)列為，所以數(shù)列是常數(shù)列，所以“為常數(shù)列”是“成等差數(shù)列”的必要條件.所以“為常數(shù)列”是“成等差數(shù)列”的充要條件.故選：C3、D【解析】根據(jù)向量的線性運算公式化簡可得結果.【詳解】因為E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點，所以，，所以，故選：D4、A【解析】先利用直線的斜率判定一條漸近線與直線垂直，求出，再利用雙曲線的離心率公式和進行求解.【詳解】因為直線的斜率為，所以雙曲線的一條漸近線與直線垂直，所以，即，則雙曲線的離心率.故選：A.卷II（非選擇題5、A【解析】過圓外一點，引圓的兩條切線，則經過兩切點的直線方程為，故選6、A【解析】由題目條件可得，即，然后利用復數(shù)的運算法則化簡.【詳解】因為，所以，則故復數(shù)的虛部為.故選：A.【點睛】本題考查復數(shù)的相關概念及復數(shù)的乘除運算，按照復數(shù)的運算法則化簡計算即可，較簡單.7、C【解析】記“三人中至少有兩人解答正確”為事件；“甲解答不正確”為事件，利用二項分布的知識計算出，再計算出，結合條件概率公式求得結果.【詳解】記“三人中至少有兩人解答正確”為事件；“甲解答不正確”為事件則；本題正確選項：【點睛】本題考查條件概率的求解問題，涉及到利用二項分布公式求解概率的問題.8、D【解析】①由題意連接交于，連接，則是中位線，證出，由線面平行的判定定理知∥平面；②由底面，得，再由證出平面，即得，再由是正方形證出平面，則有，再由條件證出平面；③根據(jù)邊長證明△DEO是等邊三角形即可；④根據(jù)等體積法即可求.【詳解】①如圖所示，連接交于點，連接底面是正方形，點是的中點在中，是中位線，而平面且平面，∥平面；故①正確；②如圖所示，底面，且平面，，，是等腰直角三角形，又是斜邊的中線，(*)，由底面，得，底面是正方形，，又，平面，又平面，(**)，由(*)和(**)知平面，而平面，又，且，平面；故②正確；③如圖所示，連接AC交BD與O，連接OE，由OE是三角形PAC中位線知OE∥PA，故∠DEO為異面直線PA和DE所成角或其補角，由②可知DE＝，OD＝，OE＝，∴△DEO是等邊三角形，∴∠DEO＝60°，故③正確；④如圖所示，設B到平面PAC的距離為d，由題可知PA＝AC＝PC＝，故，由.故④正確.故正確的有：①②③④，正確的個數(shù)為4.故選：D.9、B【解析】根據(jù)給定統(tǒng)計表計算、，再比較、大小判斷作答.【詳解】依題意，，，，，所以，.故選：B10、D【解析】利用等比數(shù)列的下標特點，即可得到結果.【詳解】∵，∴，∴，∴.故選：D11、C【解析】根據(jù)目標式，結合導數(shù)的定義即可得結果.【詳解】.故選：C12、D【解析】細查題意，把代入橢圓方程，得，整理得出，設出點的坐標，由根與系數(shù)的關系可以推出線段的中點坐標，再由過原點與線段的中點的直線的斜率為，進而可推導出的值.【詳解】聯(lián)立橢圓方程與直線方程，可得，整理得，設，則，從而線段的中點的橫坐標為，縱坐標，因為過原點與線段中點的直線的斜率為，所以，所以，故選D.【點睛】該題是一道關于直線與橢圓的綜合性題目，涉及到的知識點有直線與橢圓相交時對應的解題策略，中點坐標公式，斜率坐標公式，屬于簡單題目.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解析】利用雙曲線的漸近線的傾斜角，求解，關系，然后求解離心率，即可求解.【詳解】雙曲線一條漸近線的傾斜角為，可得，所以，所以雙曲線的離心率為.故答案為：2.14、84【解析】先求出該選手射擊兩次，兩次命中的環(huán)數(shù)都低于9環(huán)的概率，由對立事件的概率可得答案.【詳解】該選手射擊一次，命中的環(huán)數(shù)低于9環(huán)的概率為該選手射擊兩次，兩次命中的環(huán)數(shù)都低于9環(huán)的概率為所以他至少命中一次9環(huán)或10環(huán)的概率為故答案：0.8415、【解析】結合點差法求得正確答案.【詳解】橢圓方程可化為，設是橢圓上的點，是弦的中點，則，兩式相減并化簡得，即，所以弦所在直線方程為，即.故答案為：16、；【解析】設所求圓的圓心為，根據(jù)兩圓外切于原點可知兩圓心與原點共線，再根據(jù)弦長列出方程組求出即可.【詳解】設所求圓的圓心為，因為圓的圓心為，與原點連線的斜率為，又所求圓與已知圓外切于原點，，①所以所求圓的半徑滿足，又被y軸截得的弦長為8，②由①②解得，所以圓的方程為.故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）利用雙曲線定義求出雙曲線的實軸長即可計算作答.（2）設出雙曲線的方程，利用待定系數(shù)法求解作答.【小問1詳解】因雙曲線的焦點坐標為，且經過點，令雙曲線實半軸長為a，則有，解得，雙曲線半焦距，虛半軸長b有，所以所求雙曲線的標準方程為.【小問2詳解】依題意，設雙曲線的方程為：，于是得，解得：，所以所求雙曲線的標準方程為.18、（1）（2）【解析】（1）因式分解后可求不等式的解集.（2）就分類討論后可得的取值范圍.【小問1詳解】時，原不等式即為，其解為.【小問2詳解】不等式的解集為R，當時，則有，解得，綜上，.19、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）證明出平面，可得出，再利用等腰三角形的幾何性質可證得結論成立；（2）計算出三棱錐的體積以及的面積，利用等體積法可求得點到平面的距離.【小問1詳解】證明：在正三棱柱，平面，平面，則，因為是以為直角頂點的等腰直角三角形，則，，則平面，平面，所以，，因為為等邊三角形，故點為的中點.【小問2詳解】解：因為是邊長為的等邊三角形，則，平面，平面，則，即，所以，，，，設點到平面的距離為，，，解得.因此，點到平面距離為.20、（1）證明過程見解析；（2）.【解析】（1）利用平面與平面垂直的性質得出直線與平面垂直，進而得出平面；（2）建立空間直角坐標系即可求解.【小問1詳解】證明：因為平面平面，交線為且平面中，所以平面又平面所以又，且所以平面【小問2詳解】解：由（1）知，平面且所以、、兩兩垂直因此以原點，建立如圖所示的空間直角坐標系因為，，，設所以，，，，由（1）知，平面所以為平面的法向量且因為直線與平面所成角的正弦值為所以解得：所以，又，，所以，，，設平面與平面的法向量分別為：，所以，令，則令，則，，即設平面與平面夾角為則所以平面與平面夾角的余弦值為.21、（1）；（2）.【解析】（1