第12章平面圖形的認識12.2多邊形在認識三角形的基礎上，我們將學習多邊形的有關概念，并探究多邊形的內角和。在圖12.2-1中，你能找到哪些多邊形?這些多邊形有什么共同特點?同一平面內，若干條線段首尾順次相接，且有公共端點的線段不在同一條直線上，這樣得到的圖形叫作多邊形(polygon)。組成多邊形的各條線段叫作多邊形的邊，相鄰兩條邊的公共端點叫作多邊形的頂點，相鄰兩條邊所組成的角叫作多邊形的內角。連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段叫作多邊形的對角線。由四條邊組成的多邊形叫作四邊形(quadrilateral)，由五條邊組成的多邊形叫作五邊形(pentagon)······由n

條邊組成的多邊形叫作n

邊形(n是大于2的整數(shù))。四邊形五邊形一般地，用四邊形的頂點A，B，C，D

表示四邊形，記作四邊形ABCD(圖12.2-2)。同樣，可以用五邊形的頂點A，B，C，D，E

表示五邊形，記作五邊形ABCDE(圖12.2-3)各邊相等、各角也相等的多邊形叫作正多邊形(regularpolygon)。圖12.2-4中的各個正多邊形分別稱作正三角形(即等邊三角形)、正四邊形(即正方形)、正五邊形、正六邊形和正八邊形。三角形的內角和等于180°，四邊形的內角和等于多少度呢?五邊形、六邊形······n邊形的內角和等于多少度?我發(fā)現(xiàn)，從四邊形一個頂點出發(fā)的對角線可將四邊形分成2個三角形，從五邊形一個頂點出發(fā)的對角線可將五邊形分成3個三角形·····從而求得四邊形、五邊形、六邊形的內角和分別為360°，540°，720°。從n

邊形一個頂點出發(fā)的對角線可將n

邊形分成(n－2)個三角形，所以邊形的內角和等于(n－2)?180°。n

邊形的內角和等于(n－2)?180°。已知一個多邊形的內角和等于2700°，求這個多邊形的邊數(shù)。例1解：設這個多邊形的邊數(shù)為n，則(n－2)?180°＝2700°。解得n＝17.所以這個多邊形的邊數(shù)為17。你還能舉出普查的例子嗎?嘗試用其他方法說明n

邊形的內角和等于(n－2)?180°。如圖所示.在多邊形A1A2A3A4A5···An，中的內部選取一點O，連接OA1，OA2，OA3，OA4，OA5，···OAn，就可以把多邊形分成n個三角形，則這n

個三角形的內角和是n?180°，所以n

邊形的內角和是n?180°－360°，即n邊形的內角和等于(n－2)?180(答案不唯一)1.如果從多邊形一個頂點出發(fā)的所有對角線將多邊形分成6個三角形，那么這個多邊形是幾邊形?它的內角和是多少?解：八邊形.它的內角和是180°×(8－2)＝180°×6＝1080°2.分別計算九邊形、十二邊形的內角和。解：九邊形內角和：180°×(9－2)＝180°×7＝1260°，十二邊形內角和：180°×(12－2)＝180°×10＝1800°.3.如圖，正方形

AMNP的邊AM在正五邊形ABCDE的邊AB上，求∠PAE

的度數(shù)。

我們已經(jīng)知道多邊形內角和的計算方法，下面將探究多邊形的外角和。如圖12.2-6，任意畫一個四邊形ABCD，分別延長各邊，得到∠1，∠2，∠3，∠4，它們有什么共同特征?我發(fā)現(xiàn)，每個角與相鄰的內角互為鄰補角。一般地，多邊形一個內角的鄰補角叫作多邊形的外角。在多邊形的每個頂點處取多邊形的一個外角，這些外角的和叫作多邊形的外角和。(1)如圖12.2-6，四邊形ABCD

的外角和等于多少?四邊形ABCD

的每個外角都與相鄰的內角互為鄰補角。4個外角與內角的和是4×180°，減去四邊形的內角和360°，得到這4個外角的和為360°。(2)n

邊形的外角和是多少呢?n

邊形的每一個內角與相鄰的外角互為鄰補角，n

邊形有n

個內角，所以所有內角與外角的和為n?180°。已知邊形的內角和為(n－2)?180°，因此”邊形的外角和為n?180°－(n－2)?180＝n·180°－n·180°＋2×180＝360°。多邊形的外角和等于360°。一個多邊形的內角和是它的外角和的7倍，求這個多邊形的邊數(shù)。例2解：設多邊形的邊數(shù)為n，則(n－2)?180°＝7×360°解得n＝16。所以這個多邊形的邊數(shù)為16。嘗試用其他方法說明n

邊形的外角和等于360°。如圖.∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋···＋∠n

＝

n?180°－(n－2)?180＝360°1.一個多邊形的內角和是外角和的2倍，這個多邊形是幾邊形?解：因為多邊形的外角和是360°，內角和是外角和的2倍，所以這個多邊形的內角和是720°.設多邊形的邊數(shù)是n，則(n－2)?180°＝720°.解得n＝6.所以這個多邊形是六邊形.2.求正八邊形一個外角的度數(shù)。解：360°÷8＝45°.1.下列說法中，正確的有_______個.①三角形是邊數(shù)最少的多邊形；②等邊三角形和長方形都是正多邊形；③n邊形有n條邊，n個頂點，n個內角；④六邊形從一個頂點出發(fā)可以畫3條對角線，共有9條對角線.32.根據(jù)下列條件求多邊形的邊數(shù)：(1)內角和是1620°；解：設多邊形的邊數(shù)為n.根據(jù)題意，得(n－2)?180°＝1620°，解得n＝11.所以該多邊形的邊數(shù)為11.(2)每個內角均為120°.解：設多邊形的邊數(shù)為n.根據(jù)題意，得(n－2)?180°＝n?120°，解得n＝6.所以該多邊形的邊數(shù)為6.3.(2024·重慶中考A卷)如果一個多邊形的每一個外角都是72°，那么這個多邊形的邊數(shù)為_________.5習題12.21.正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形的一個內角各是多少度??復習鞏固解：正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形的一個內角分別是60°，90°，108°，120°.2.一個多邊形的內角和為1620°，求它的邊數(shù)。解：設多邊形的邊數(shù)為n，則(n－2)?180°＝1620°.解得n＝11.所以它的邊數(shù)是11.3.一個多邊形的內角和與外角和相等，這個多邊形是幾邊形?解：四邊形.4.若從多邊形的一個頂點出發(fā)，最多可引3條對角線，那么這個多邊形是幾邊形?一共有多少條對角線?它的內角和是多少度?

?拓展延伸5.在如圖所示的五角星中，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E的度數(shù)。解：因為∠AFE

是△FEC

的外角，所以根據(jù)三角形外角的性質，得∠AFE＝∠C＋∠E.因為∠AJB

是△BDJ

的外角，所以根據(jù)三角形外角的性質，得∠AJB＝∠B＋∠D.根據(jù)三角形內角和是180°，得∠A＋∠AFE＋∠AJB＝180°，所以∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°.?探索創(chuàng)新6.機器人從