2025年高三數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)深化期末試卷考試時間：120分鐘?總分：150分?年級/班級：高三年級

2025年高三數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)深化期末試卷

一、選擇題

1.設(shè)集合A={x|x^2-3x+2>0},B={x|ax=1},若B?A,則a的取值集合為

()

A.{1,-1}

B.{-1}

C.{1}

D.(-∞,-1)∪(1,+∞)

2.函數(shù)f(x)=2^x-1與g(x)=1-2^-x的圖象關(guān)于

()

A.x軸對稱

B.y軸對稱

C.原點對稱

D.直線y=x對稱

3.已知實數(shù)a,b滿足a+b=2,ab=1,則a^2+b^2的值為

()

A.0

B.2

C.4

D.6

4.函數(shù)f(x)=sin(2x+π/3)的最小正周期為

()

A.π

B.2π

C.3π/2

D.π/2

5.若數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n,且S_n=3n^2-2n,則a_5的值為

()

A.24

B.30

C.36

D.42

6.圓x^2+y^2-4x+6y-3=0的圓心坐標為

()

A.(2,-3)

B.(-2,3)

C.(2,3)

D.(-2,-3)

7.在等差數(shù)列{a_n}中,若a_1+a_5=10,a_2+a_4=8,則該數(shù)列的前10項和為

()

A.50

B.60

C.70

D.80

8.已知直線l:ax+by+c=0與圓O:x^2+y^2=1相交于兩點A,B,且|AB|=√2,則l與O的位置關(guān)系為

()

A.相交

B.相切

C.相離

D.無法確定

9.若復(fù)數(shù)z滿足|z|=1,且z^3=1,則z的值為

()

A.1

B.-1

C.i

D.-i

10.函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2x在區(qū)間[-1,3]上的最大值為

()

A.0

B.1

C.2

D.3

二、填空題

11.已知函數(shù)f(x)=x^2+mx+1在x=1時的切線斜率為3,則m的值為________.

12.不等式|2x-1|<3的解集為________.

13.已知向量a=(1,2),b=(3,-4),則向量a+b的模長為________.

14.在△ABC中,若角A=60°,角B=45°,邊BC=10,則邊AC的長度為________.

15.已知某校高三(1)班有50名學(xué)生,其中男生30名,女生20名,現(xiàn)隨機抽取3名學(xué)生,則抽到2名男生、1名女生的概率為________.

16.函數(shù)f(x)=ln(x+1)在區(qū)間[0,1]上的平均變化率為________.

17.已知數(shù)列{a_n}滿足a_1=1,a_n+1=2a_n+1,則a_5的值為________.

18.在直角坐標系中,點P(x,y)到直線x+y=0的距離為________.

19.若直線l:y=kx+1與圓O:x^2+y^2=4相交于兩點,且兩交點間的距離為2√3,則k的值為________.

20.已知函數(shù)f(x)=e^x-ax在x=1時取得極值,則a的值為________.

三、多選題

21.下列函數(shù)中,在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增的是

()

A.f(x)=2^x

B.f(x)=log_2(x)

C.f(x)=x^2

D.f(x)=sin(x)

22.已知集合A={x|x^2-5x+6=0},B={x|mx-1=0},若B?A,則m的取值集合為

()

A.{1}

B.{2}

C.{3}

D.{1,2,3}

23.下列命題中,真命題為

()

A.若a>b,則a^2>b^2

B.若a>b,則√a>√b

C.若a>b,則1/a<1/b

D.若a>b,則a+c>b+c

24.已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)的圖象關(guān)于y軸對稱,且周期為π,則下列說法正確的有

()

A.ω=2

B.φ=kπ(k∈Z)

C.ω=1

D.φ=kπ+π/2(k∈Z)

25.在△ABC中,已知邊a=3,邊b=4,邊c=5,則下列結(jié)論正確的有

()

A.cosA=4/5

B.sinB=3/5

C.tanC=3/4

D.cos(A+B)=1/5

四、判斷題

26.函數(shù)f(x)=cos(x)在區(qū)間[0,π]上是單調(diào)遞減的.

27.若a,b為實數(shù),且a^2=b^2,則a=b.

28.數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列的充要條件是存在常數(shù)d,使得a_n=a_1+d(n-1)對任意n∈N*成立.

29.圓x^2+y^2-6x+8y-11=0的圓心在直線x+y=1上.

30.若向量a=(1,1),b=(1,-1),則a與b互相垂直.

31.在等比數(shù)列{a_n}中,若a_2=4,a_4=16,則公比q=2.

32.函數(shù)f(x)=tan(x)在定義域內(nèi)是增函數(shù).

33.若事件A與事件B互斥,則P(A∪B)=P(A)+P(B).

34.已知點A(1,2),B(3,0),C(0,4),則△ABC是直角三角形.

35.若直線l:ax+by+c=0與x軸平行,則a=0且b≠0.

五、問答題

36.已知函數(shù)f(x)=x^3-3x^2+2x,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.

37.在△ABC中,已知角A=60°,角B=45°,邊a=√3,求邊b和邊c的長度.

38.已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n,且S_n=2n^2-3n,求通項公式a_n,并判斷{a_n}是否為等差數(shù)列.

試卷答案

一、選擇題

1.B

解析：集合A={x|x^2-3x+2>0}={x|x<1或x>2},B={x|ax=1}。若B?A,則x=1/a不在A中,即1/a≤1或1/a≥2,解得a≤1或a≥1/2,但a=0時B為空集也滿足,綜上a的取值集合為{-1}。

2.C

解析：f(x)=2^x-1關(guān)于原點對稱變換為g(x)=1-(2^(-x)-1)=1-2^-x。f(-x)=2^-x-1,g(x)-f(-x)=1-2^-x-(2^-x-1)=2-2*2^-x=0,故關(guān)于原點對稱。

3.C

解析：由(a+b)^2=a^2+b^2+2ab=4,且a^2+b^2=4-2ab=4-2=2。

4.A

解析：函數(shù)f(x)=sin(2x+π/3)的周期T=2π/|ω|=2π/2=π。

5.B

解析：a_5=S_5-S_4=(3*5^2-2*5)-(3*4^2-2*4)=75-10-48+8=30。

6.C

解析：圓方程化為標準式：(x-2)^2+(y+3)^2=16+9+3=28,圓心坐標為(2,-3)。

7.A

解析：設(shè)公差為d,則a_1+a_5=a_2+a_4=10=8,得a_1+a_5=10,a_2+a_4=8,2a_1+4d=10,2a_1+2d=8,解得d=1,a_1=3,S_10=10*3+(10-1)*1=80。

8.A

解析：圓心O(0,0)到直線ax+by+c=0的距離d=c/√(a^2+b^2)=1/√(a^2+b^2),|AB|=2√[1-(d^2/1)]=2√[1-(c^2)/(a^2+b^2)]=√2,得(a^2+b^2-c^2)/(a^2+b^2)=1/2,√2(a^2+b^2)=c^2,d^2=1/2(a^2+b^2),d=√(a^2+b^2)/2<1,故相交。

9.C

解析：|z|=1即z=cosθ+isinθ,z^3=1即(cosθ+isinθ)^3=1,得cos3θ=1,sin3θ=0,3θ=2kπ,θ=2kπ/3,k=0時z=1,k=1時z=-1,k=2時z=i,k=3時z=-i,由z^3=1且z≠1,得z=i。

10.B

解析：f'(x)=3x^2-6x+2=0,x=1±√(1/3),在[-1,3]上駐點為1-√(1/3),1+√(1/3),f(-1)=5,f(1-√(1/3))=(1-√(1/3))^3-3(1-√(1/3))^2+2(1-√(1/3))=1-√(1/3),f(1+√(1/3))=1+√(1/3),f(3)=15,最大值為1+√(1/3)。

二、填空題

11.2

解析：f'(x)=2x+m,f'(1)=2+m=3,得m=1。

12.(-1,2)

解析：2x-1>3或2x-1<-3,x>2或x<-1。

13.2√5

解析：|a+b|=√[(1+3)^2+(2-4)^2]=√[16+4]=2√5。

14.2√5

解析：由正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC,sinC=sin(180°-(A+B))=sin(105°)=√(5+√3)/4,a=10sin60°/sin(105°)=10(√3/2)/(√(5+√3)/4)=20√3/(√(5+√3)),b=10sin45°/sin(105°)=10(√2/2)/(√(5+√3)/4)=20√2/(√(5+√3)),c=10,由余弦定理a^2=b^2+c^2-2bc*cosA,令A(yù)=60°,得(20√3/(√(5+√3)))^2=(20√2/(√(5+√3)))^2+100-2*20√2/(√(5+√3))*10*cos60°,解得AC=2√5。

15.3/10

解析：C(50,3)=2300,C(30,2)*C(20,1)=27*20=540,P=540/2300=27/115=3/10。

16.1

解析：平均變化率=(f(1)-f(0))/(1-0)=ln(1+1)-ln(1+0)=ln2。

17.13

解析：a_2=a_1+1=2,a_3=a_2+1=3,a_4=a_3+1=4,a_5=a_4+1=5,遞推可知a_n=n+1,a_5=13。

18.√(x^2+y^2)/√2

解析：點P(x,y)到直線x+y=0的距離d=|x+y|/√(1^2+1^2)=|x+y|/√2。

19.±√3

解析：圓心O(0,0)到直線y=kx+1的距離d=|1|/√(1+k^2)=1/√(1+k^2),|AB|=2√[1-(d^2/4)]=2√[1-(1/(4(1+k^2)))]=(2√(4k^2+3))/(2√(1+k^2))=√(4k^2+3)/√(1+k^2)=2√3,得4k^2+3=12k^2,8k^2=3,k=±√(3/8)=±√3/2。

20.-1

解析：f'(x)=e^x-a,x=1時取得極值,f'(1)=e-a=0,得a=e,f''(x)=e^x>0,故x=1處為極小值,但題目說極值,a=e不符合,重新檢查,f'(x)=e^x-a,x=1時f'(1)=e-a=0,得a=e,f''(x)=e^x>0,極小值,題目矛盾,可能題目有誤,假設(shè)題目要求極大值,則f''(1)=e-a<0,e-a<0,a>e,但f'(1)=0,無法同時滿足,題目可能有誤,無法解答。

三、多選題

21.A,B,C

解析：f(x)=2^x在(0,+∞)上單調(diào)遞增,f(x)=log_2(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,f(x)=x^2在(0,+∞)上單調(diào)遞增,f(x)=sin(x)在(0,+∞)上非單調(diào)。

22.A,B,C

解析：A={2,3},B={x|mx-1=0},若m=0,B=??A,若m≠0,B={1/m},1/m=2或1/m=3,得m=1/2或m=1/3,但選項無1/2,只有A={2,3},B={1}?A,B={2}?A,B={3}?A。

23.C,D

解析：a>b,1/a<1/b,正確,a>b,若a,b為負數(shù),則a^2>b^2錯誤,a>b,a>0,b>0,√a>√b,若a,b為負數(shù),√a,√b無意義,a>b,a+c>b+c,正確。

24.A,B

解析：f(x)=sin(ωx+φ)關(guān)于y軸對稱,則f(x)=f(-x),sin(ωx+φ)=sin(-ωx+φ),ωx+φ=-ωx+φ+2kπ,2ωx=2kπ,ω=0或x=kπ,若ω=0,函數(shù)為常數(shù)函數(shù),不合題意,故ω≠0,kπ=0,ω=2,φ=kπ+π/2,ω=2,φ可取任何kπ+π/2。

25.A,B,C

解析：cosA=b^2+c^2-a^2/2bc=4^2+5^2-3^2/(2*4*5)=25/40=5/8=4/5,sinB=a^2+c^2-b^2/2ac=3^2+5^2-4^2/(2*3*5)=25-16/30=9/30=3/10≠3/5,tanC=a/b=3/4,cos(A+B)=-(b^2+c^2-a^2)/2bc=-1/5。

四、判斷題

26.錯誤

解析：f(x)=cos(x)在[0,π/2]上單調(diào)遞減,在[π/2,π]上單調(diào)遞增。

27.錯誤

解析：a=-b時,a^2=b^2,但a≠b。

28.正確

解析：a_n=a_1+d(n-1)可寫成a_n=a_1+(n-1)d,令n'=n-1,a_{n'}=a_1+(n'-1)d,即a_{n'}=a_1+n'd,這是等差數(shù)列定義。

29.正確

解析：圓方程化為(x-3)^2+(y+4)^2=28,圓心(3,-4),代入直線x+y=1,3+(-4)=1,等式成立。

30.正確

解析：a·b=(1,1)·(1,-1)=1*1+1*(-1)=0,向量垂直。

31.正確

解析：a_4=a_2*q^2,16=4*q^2,q^2=4,q=±2,若q=-2,a_3=a_2*q=-8,a_1=a_2*q^2=-16,a_1=-16,a_5=-32,與題意不符,故q=2。

32.錯誤

解析：f(x)=tan(x)在(kπ-π/2,kπ+π/2)上單調(diào)遞增,不是整個定義域。

33.正確

解析：事件A與事件B互斥,P(A∪B)=P(A)+P(B)。

34.正確

解析：向量AB=(3-1,0-2)=(2,-2),向量AC=(0-1,4-2)=(-1,2),向量AB·向量AC=2*(-1)+(-2)*2=-2-4=-6≠0,